Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Transkrypt

1 7 Wyzaczyć zbiór wszyskich warości rzeczywisych parameru p, dla kórych całka iewłaściwa jes zbieża x xe Dzieląc przedział całkowaia orzymujemy x x e x x e x x e Zbadamy, dla kórych warości parameru p całki wysępujące w powyższej sumie są zbieże W ym celu zauważymy, że fukcja podcałkowa jes dodaia i skorzysamy z kryerium porówawczego dla całek iewłaściwych Orzymujemy o ile e p <, czyli p > e Poado x x e x x e o ile e p, czyli p e Podobie x x e o ile p >, czyli p < Poado x x e o ile p, czyli p x e x e x e x x x <, xe p, xe p <, x p, x p Wiosek: Jeżeli e < p <, o obydwie całki powsałe z podziału przedziału całkowaia są zbieże, a więc i wyjściowa całka jes zbieża W przeciwym razie jeda z ych całek jes rozbieża, a zaem wyjściowa całka jes rozbieża Odpowiedź: Podaa całka jes zbieża dla p e, 7 Udowodić zbieżość szeregu Saraie sformułuj kryeria, z kórych korzysasz i szczegółowo je uzasadij Aby udowodić zbieżość szeregu daego w reści zadaia, skorzysamy z kryerium Leibiza o szeregach aprzemieych, kóre wymaga spełieia asępujących rzech waruków: W szeregu a przemia wysępują wyrazy dodaie i ujeme Spełieie ego waruku jes oczywise Lisa P Rozwiązaia Sroy 95-??

2 Ciąg warości bezwzględych wyrazów jes zbieży do zera Sprawdzamy o asępująco: Ciąg warości bezwzględych wyrazów jes ierosący W celu udowodieia ego waruku udowodimy ierówość, kóra jes rówoważa kolejym ierówościom:, co jes spełioe dla każdego,, W kosekwecji szereg day w reści zadaia jes zbieży a mocy kryerium Leibiza o szeregach aprzemieych 7 Obliczyć całkę ozaczoą 9 x Wykoując podsawieie x, czyli x i formalie d, orzymujemy 9 x d d Odpowiedź: Daa w zadaiu całka ma warość 6/ 7 Obliczyć całkę ozaczoą 9 arcg x Podsawiamy x, czyli formalie d: 9 arcg x Nasępie wykoujemy całkowaie przez części: arcg d arcg 9 arcg arcg arcg d d Pamięaj o uproszczeiu wyiku d d Lisa P Rozwiązaia Sroy 95-??

3 arcg arcg arcg 8 Odpowiedź: Daa w zadaiu całka ma warość 8 75 Obliczyć całkę ozaczoą x x Rozkładamy fukcję podcałkową a sumę ułamków prosych: x x x x AxB x C x D x, AxB x C x x D x, Ax Bx Cx CxDx D, AC B D C D Sąd orzymujemy A oraz B Wobec ego x x x x arcgx x x Odpowiedź: Daa w zadaiu całka ma warość Pamięaj o uproszczeiu wyiku arcg arcg x 76 Wyzaczyć promień zbieżości szeregu poęgowego! Sosujemy kryerium d Alembera do daego szeregu rakowaego jako szereg liczbowy z paramerem x Orzymujemy x!! x x Lisa P Rozwiązaia Sroy 95-??

4 przy x 7e x Tak więc zasosowaie kryerium d Alembera prowadzi do graicy ilorazów kolejych wyrazów szeregu rówej 7e x Jeżeli 7e x <, czyli x <, o szereg jes zbieży 7e Jeżeli zaś 7e x >, czyli x >, o szereg jes rozbieży 7e Sąd wiosek, że promień zbieżości daego szeregu poęgowego jes rówy 7e Odpowiedź: Day w zadaiu szereg poęgowy ma promień zbieżości 7e 77 Obliczyć całkę ieozaczoą x x5 Przekszałcamy daą całkę i wykoujemy kolejo podsawieia y x oraz y/7: x x5 x 9 dy y 9 dy 9y/7 9 7 d 9 9 x Pamięać o uproszczeiu wy- x x iku 7 d arcg C arcgy/7 C arcgx/7 C Obliczyć warość całki iewłaściwej Rozkładamy fukcję podcałkową a sumę ułamków prosych: x x x x x AxB x C x D x, x AxB x C x x D x, Sąd orzymujemy A i B Wobec ego x x x x Ax Bx Cx CxDx D, AC B D C D x x x x x l x arcgxl x x x Lisa P Rozwiązaia Sroy 95-??

5 x lim arcgx x lim x lim x x l l l larcg l x 6 l Odpowiedź: Daa w zadaiu całka jes zbieża i ma warość 6 l 79 Obliczyć całkę ozaczoą 6 x x Wykoując podsawieie x 6 i formalie 6 5 d, orzymujemy: 6 x x 6 5 d 6 6 6l d 6 d 6 d 6 6l6l 6 6l Odpowiedź: Daa w zadaiu całka ma warość 6 6l si x 8 Obliczyć całkę ieozaczoą x Wykoując podsawieie x i formalie d, a asępie całkując przez części, orzymujemy: si x si x cos 8 Obliczyć warość całki d si d cos cos d cos d cos sic x cos x si xc si 5 x Sposób I Użyjemy liczb zespoloych do wyprowadzeia odpowiediej ożsamości rygoomeryczej Przyjmijmy z cosxisix, co daje z cosxisix, z cosx isix, six z z i Przy ych ozaczeiach orzymujemy: z z si 5 5 x z5 5z z z 5z z 5 i i Lisa P Rozwiązaia Sroy 95-??

6 si5x 6 5six 6 Teraz możemy obliczyć daą w zadaiu całkę: si 5 x 5six 8 si5x 6 5six 5six cos5x cosx 5cosx 8 8 x cos5 8 5cos 5cos cos cos 8 5cos Odpowiedź: Podaa całka ma warość 6/ Sposób II Podsawieie cosx i formalie d six drowadzi do si 5 x 5 5 d d d Obliczyć graicę ciągu lim 8 8 Sosując kryerium d Alembera lub Cauchy ego dla ciągów orzymujemy 8 lim 8 lim Rachuki są u pomiięe, ale w rozwiązaiu muszą się zaleźć wraz z powołaiem się a odpowiedie kryerium Wobec ego lim lim 8 Obliczyć warość całki cos x lim 8 8 Użyjemy liczb zespoloych do wyprowadzeia odpowiediej ożsamości rygoomeryczej Przyjmijmy z cosxisix, Lisa P Rozwiązaia - - Sroy 95-??

7 co daje z cosxisix, z cosx isix, cosx z z Przy ych ozaczeiach orzymujemy: z z cos x z z 8 5z 6 z z 5z z 5z 6 z 8 z cosx 5 5cos8x 5cos6x 5cosx 5cosx Teraz możemy obliczyć daą w zadaiu całkę zauważeie, że całka z cosiusa po pełym okresie jes zerem, pozwala wydaie uprościć obliczeia: cos x cos x 5 5cos8x 5cos6x 5cosx 5cosx Odpowiedź: Podaa całka ma warość 6/56 8 Obliczyć graicę ciągu lim p dla ak dobraej warości rzeczywisej parameru p, aby graica a była dodaia i skończoa Przekszałcamy sumę wysępującą pod zakiem graicy: 7 k p k p gdzie fx x 7 k k p/ 7 k k p/ 7 f k k, Poieważ fukcja f jes całkowala jako fukcja ciągła, jej sumy Riemaa odpowiadające ciągowi podziałów przedziału całkowaia a 7 przedziałów rówej długości / dążą do całki ozaczoej: lim 7 k f k 8 8 fx x 8 x/ x Powyższa warość będzie graicą rozważaego w zadaiu ciągu, o ile wykładik w wyrażeiu p/ będzie rówy, czyli dla p / Odpowiedź: Dla p / daa w zadaiu graica ciągu jes rówa 5/ 86 Obliczyć sumę szeregu Rozłóżmy a ułamki prose wyraz ogóly szeregu: A B C, Lisa P Rozwiązaia - - Sroy 95-??

8 Zaem A B C, dla : A, A /, dla : B, B /, dla : C, C / / / / W kosekwecji sumy częściowe daego szeregu wyrażają się wzorem N N / / / / / / 5 / / 5 / 8 / N / N / N przy N / / / 6 / N / N / N / / / 7 / N / N / N / N / N / N / / / / / N / N / N / N / N / N / N / N Odpowiedź: Suma daego szeregu jes rówa / 86 Rozsrzygąć zbieżość całki iewłaściwej six Poieważ zbieżość całki iewłaściwej ie zależy od zmiay graicy całkowaia, w kórej ie ma osobliwości, możemy dla uproszczeia rozważać całkę six Wykoując podsawieie x i formalie d orzymujemy Całkowaie przez części prowadzi do si d si d cos six si d cos d lim / cos cos cos d / Lisa P Rozwiązaia - - Sroy 95-??

9 cos d / Problem zbieżości daej w zadaiu całki sprowadza się więc do zbieżości całki cos d, / kóra jes zbieża a mocy kryerium zbieżości bezwzględej i kryerium porowawczego: cos / d d <, bo / > / Odpowiedź: Podaa całka jes zbieża 865 Obliczyć sumę szeregu Rozłóżmy a ułamki prose wyraz ogóly szeregu: A B C, Zaem A B C, dla : A, A /, dla : B, B /, dla : 6C, C /6 / / /6 W kosekwecji sumy częściowe daego szeregu wyrażają się wzorem N N / / /6 / / /6 / / 5 /6 7 / N / N /6 N / / /6 5 / N / N /6 N / / /6 6 / N / N /6 N / N / N /6 N / /6 /6 / N /6 N /6 N 7 6 / N /6 N /6 N 7 6 przy N Odpowiedź: Suma daego szeregu jes rówa 7/6 Lisa P Rozwiązaia - - Sroy 95-??

10 866 Daa jes aka fukcja ciągła f :[,,, że całka iewłaściwa jes zbieża Udowodić zbieżość całki fx x fx Z ierówości między średią arymeyczą i geomeryczą orzymujemy fx fx x x / x fx x / x / x / fx / x/ / x, / skąd a mocy kryerium porówawczego orzymujemy zbieżość całki podaej w ezie zadaia: fx x fx / x / 867 Podać przykład akiego ciągu a, że szeregi fx a i a 9 jes rozbieży Uzasadić poprawość podaego przykładu < x/ a są zbieże, a szereg Przykładem o własościach sformułowaych w reści zadaia jes ciąg a zdefiioway wzorem 9 dla r, m a km r 9 m dla r, Powyższy ciąg prowadzi do asępujących szeregów: a Odoujmy, że wobec a możemy ajpierw sumować po rzy koleje wyrazy szeregu, a poem dodawać orzymae sumy a szereg harmoiczy Lisa P Rozwiązaia - - Sroy 95-??

11 a /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 8 8 /9 8 /9 /9 /9 /9 /9 8 / < /9 /9 /9 /9 /9 /9 bo /9 > 868 Rozsrzygąć, czy warość całki ozaczoej jes miejsza czy większa od 6 Ozaczmy przez f fukcję podcałkową: Wówczas oraz x x 66 5 x fx x f x x x / f x x / 8x 9 x 5/ x 5/ 8x 9 x 5/ 6x 66 8x x 5/ 9 9 x 5/ x 5/ x >, o ile x <, 9 skąd wyika, że fukcja f jes ściśle wypukła w przedziale [, ] zawierającym ieresujący as przedział całkowaia [, 5] Poieważ f, wykres fukcji f w przedziale całkowaia leży powyżej syczej do wykresu w pukcie, Wobec ego i w kosekwecji fx > f x dla x, x > f x 6 Warość osaiej całki moża obliczyć ierpreując ją geomeryczie jako pole odpowiediego rapezu Moża eż wykoać bezpośredie całkowaie Odpowiedź: Warość podaej całki ozaczoej jes większa od 6 Uwaga: Fakyczie podaa całka ma warość w przybliżeiu rówą 6,5 Takie sformułowaie jes zgrabe, chociaż dla jego pełej poprawości wymagałoby dodaia ic ie woszącego do rozwiązaia zasrzeżeia, że puk syczości leży a syczej, a ie powyżej iej Lisa P Rozwiązaia Sroy 95-??