5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Transkrypt

1 Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zasady jest bardzo waże twierdzeie, które umożliwia i ułatwia wiele dowodów twierdzeń o liczbach aturalych. Zaim przejdziemy do sformułowaie tego twierdzeia podajmy parę przykładów ie koieczie związaych z matematyką. A. Ruch falowy. Zapewe każdy obserwował powstaie fali a wodzie po wrzuceiu kamieia. Doskoale widać jak w pukcie upadku kamieia powstają okręgi, których promieie rosą coraz bardziej. Jeżeli dokładiej zaobserwujemy zjawisko, to zauważymy, że upadek kamieia spowodował poprzecze drgaie cząsteczek wody w miejscu upadku. To z kolei powoduje poprzecze drgaia cząsteczek sąsiedich, które pobudzają do drgaia swoich sąsiadów itd. Cząsteczki wody ie przeoszą się, za to drgając przeoszą iejako impuls spowodoway wrzuceiem kamieia. B. Przekazywaie eergii. Zae z lekcji fizyki doświadczeie, w którym odchylamy pierwszą kulkę wiszącą w szeregu kulek. Pierwsza kulka po uderzeiu w drugą przekaże impuls drugiej, ta z kolei trzeciej, itd. W wyiku doświadczeia odskoczy kulka ostatia, chociaż jej ie dotykaliśmy. C. Kostki domia. Jeżeli ustawimy kostki domia jeda za drugą i w takiej odległości, że upadek którejkolwiek kostki spowoduje upadek kostki astępej. Po czym przewrócimy kostkę pierwszą, to po chwili przewrócą się wszystkie kostki (impuls zostaie przekazay dalej). Opisae powyżej sytuacje mają dwie cechy wspóle: ) istieje pierwszy impuls, który powoduje dalsze skutki (wrzuceie kamieia do wody, odchyleie i puszczeie pierwszej kulki, przewróceie pierwszej kostki domia), ) w każdej obserwacji da się wyróżić wraz z jakimś elemetem jego astępik, elemet bezpośredio z im sąsiadujący (cząsteczki wody sąsiadują ze sobą, kulki sąsiadują ze sobą, kostki domia sąsiadują ze sobą). Przy spełieiu tych waruków doświadczeia pokazują, że zapoczątkoway impuls obejmie wszystkie elemety w zbiorze (oczywiście w warukach fizyczych słowo wszystkie ależy rozumieć zdroworozsądkowo). Idealizacją matematyczą opisaych obserwacji jest iezwykle waże i przydate twierdzeie, które przedstawiamy poiżej.

2 Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie Twierdzeie 5. (zasada idukcji matematyczej) Jeżeli A jest podzbiorem zbioru N takim, że: to a) A (elemet pierwszy ależy do zbioru A), b) A ( + ) A (dla dowolego elemetu ależącego do zbioru A jego astępik rówież ależy do zbioru A), A N (zbiór A jest rówy zbiorowi N). Dowód. Ze względu a a) zbiór A jest iepusty. Przypuśćmy tezę przeciwą tz. pomimo spełieia waruków a) i b) iech A N. Ozaczmy B N A. Zbiór B jest iepusty, więc a podstawie zasady miimum istieje w im elemet ajmiejszy. Ozaczmy te elemet przez k. Liczba k ie ależy do zbioru B, musi więc ależeć do zbioru A. Na podstawie b) mamy, że ( k ) + A, co ozacza, że k A. Jest to sprzecze z określeiem liczby k jako ajmiejszej liczby w zbiorze B. Pokazaa sprzeczość dowodzi prawdziwości tezy. Oczywiście zasadę idukcji matematyczej moża formułować a róże sposoby. Na przykład tak: a) jeżeli liczba spełia jakieś zdaie (twierdzeie) o liczbach aturalych (zbiór A są to liczby spełiające to zdaie), b) dla każdej liczby, która to zdaie (twierdzeie) spełia, jej astępik rówież to zdaie (twierdzeie) spełia (rówież ależy do zbioru A), to wszystkie liczby aturale spełiają to zdaie (twierdzeie) (zbiór A jest całym zbiorem N). Aby przy pomocy twierdzeia 5. udowodić jakiekolwiek twierdzeie o liczbach aturalych ależy po pierwsze sprawdzić spełieie waruku a) te krok azywa się sprawdzeiem idukcyjym. Po drugie ależy założyć prawdziwość twierdzeia dla liczby jest to założeie idukcyje. Po trzecie ależy pokazać, że twierdzeie jest spełioe dla astępika liczby, czyli liczby +, pokazujemy prawdziwość waruku b) te krok azywa się dowodem idukcyjym. Po spełieiu tych trzech kroków stwierdzamy prawdziwość dowodzoego twierdzeia a podstawie zasady idukcji matematyczej. Przykłady dowodów idukcyjych. Udowodić wzór : ( ). Sprawdzeie idukcyje., co więcej + (dokoaliśmy sprawdzeia ie tylko dla ale rówież dla ). Założeie idukcyje. Zakładamy prawdziwość wzoru dla, czyli ( ). Jest to pierwszy zay w historii dowód idukcyjy przeprowadzoy w 575 r. przez włoskiego matematyka Fracesco Maurolico.

3 Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie Dowód idukcyjy ( ) + ( + ) + + ( + ) Pokazaliśmy prawdziwość twierdzeia dla astępego. W takim razie a podstawie zasady idukcji matematyczej stwierdzamy prawdziwość twierdzeia dla dowolego N. ( + ). Udowodić wzór: Sprawdzeie idukcyje. ( + ) Założeie idukcyje. Zakładamy idukcyjie prawdziwość wzoru. dla liczby. Dowód idukcyjy. ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) Na podstawie zasady idukcji matematyczej stwierdzamy prawdziwość wzoru dla dowolego N. Udowodioy powyżej wzór daje się elemetarie wyprowadzić, (czym iym jest udowodić, że jakiś wzór ma miejsce a czym iym zaleźć te wzór). Przekształćmy sumę: ( ) + ( ) + [ + ] + [ + ( )] + [ + ( )] + ( + ) Dokoał tego w wieku 7 lat (!) Carl Friedrich Gauss zway księciem matematyków. Nauczyciel a lekcji rachuków kazał ucziom zsumować liczby od do 00. Po miucie Gauss podszedł do auczyciela i podał taki wyik: ( + 00) + ( + 99) + ( + 98) + + (50 + 5) Pokazać, że dla dowolego zachodzi 8 ( ) (liczby postaci przez 8). są podziele Sprawdzeie idukcyje. Dla mamy: 8. Założeie idukcyje. Zakładamy prawdziwość tezy.

4 Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie Dowód idukcyjy. + + (8 + ) 8 + ( Pierwszy składik sumy po prawej stroie dzieli się przez 8 w sposób oczywisty, drugi składik dzieli się przez 8 a podstawie założeia idukcyjego. Na podstawie zasady idukcji matematyczej stwierdzamy prawdziwość tezy. Dowodząc twierdzeia 5. korzystaliśmy z zasady miimum. Poieważ ta zasada, przy dodatkowym założeiu obowiązuje rówież dla liczb całkowitych asuwa to przypuszczeie, że zasadę idukcji matematyczej moża rozszerzyć rówież a liczby całkowite. Rzeczywiście stosując dowody idukcyje a liczbach całkowitych ależy pamiętać, że dowodzimy ie dla wszystkich liczb ależących do Z, lecz dla tych liczb ależących do Z, które są większe od pewego k. Zauważmy rówież, że w dowodzie twierdzeia 5. mowa jest o pierwszym elemecie spełiającym tezę (sprawdzeie idukcyje), co ie zaczy, że mówimy o elemecie. Pierwszym elemetem rówie dobrze może być 7 czy 50. Chodzi o to, że od tego pierwszego elemetu teza obowiązuje i dowodzimy jej już ie dla wszystkich N, lecz dla prawie wszystkich N (wszystkich za wyjątkiem skończoej ilości, które są miejsze od elemetu pierwszego). Wskazaie pierwszego elemetu potrzebe jest, aby zapewić iż zbiór A jest iepusty (iaczej ie byłoby czego dowodzić). Bywają takie dowody, w których korzysta się z zasady idukcji matematyczej w sposób iejawy i dopiero głębsza aaliza dowodu te fakt uzmysławia. Dalsze przykłady rozumowań idukcyjych 4. Pokazać, że jeżeli x + jest liczbą całkowitą, to całkowita jest rówież liczba x +. x x Z treści zadaia wyika, że sprawdzeie idukcyje jest zbęde. Zakładamy prawdziwość tezy dla liczby. Rozważmy iloczy: + + x + x + x + + x + x + + x x x x x x x Po lewej stroie rozpatrywaej rówości mamy iloczy liczb całkowitych (a podstawie treści zadaia i założeia idukcyjego). Wobec tego suma po prawej stroie rówież musi być liczbą całkowitą. Pierwszy składik sumy jest całkowity a podstawie założeia idukcyjego (skoro założeie obowiązuje dla liczby, tym bardziej obowiązuje dla liczby ). W takim razie drugi składik sumy także musi być całkowity i tego ależało dowieść. 5. Pokazać, że dla każdego aturalego zachodzi 6 ( + 5). Dla otrzymamy Zakładamy prawdziwość tezy dla. Liczymy: ( + ) ( + 5( + ) + 5) + ( ) ( ) + [ ( + ) + ] ) 4

5 Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie Pierwszy składik sumy dzieli się przez 6 a podstawie założeia idukcyjego, drugi dzieli się przez i przez (w awiasie kwadratowym pierwszy składik sumy jako iloczy kolejych liczb jest parzysty a drugim składikiem jest ). 6. Pokazać, że dla dowolej liczby aturalej > zachodzi >. + + Mamy tu przypadek gdzie pierwszą liczbą, która ma spełiać tezę ie jest. Zauważmy, że dla dowolego k,,, zachodzi ierówość >. Stąd: + k > Powstaje pytaie, co z dowodem idukcyjym? Jest to przykład zadaia, gdzie zasada idukcji matematyczej jest obeca iejawie. Zauważmy, że bez specjalych dociekań przyjęliśmy istotą dla dalszej części dowodu ierówość: > + k Spełioą dla każdego k,,...,. Jest oa tak oczywista, że ie wymaga dowodu. Ta oczywistość ma aturę idukcyją i chcąc formalie potraktować zadaie ależałoby przeprowadzić idukcyjy dowód tej ierówości. Coraz częściej spotykać się będziemy z sumami postaci a + a + a + a gdzie sumujemy elemetów (ie muszą być róże między sobą). Istieje prosty i wygody sposób zapisu takich sum: a + a + a + a Zaczek jest grecką literą sigma duże i w zapisie powyżej ozacza: za i podstaw, weź elemet a, za i podstaw, weź elemet a dodaj do elemetu a, za i podstaw, weź elemet a dodaj do otrzymaej wcześiej sumy itd. aż za i podstawisz elemet. Wprowadźmy jeszcze jede symbol Zaczek jest grecką literą pi duże a i a i a a a ai, który skraca zapis możeia. i Przykłady. 00 i 00 i i 5050, i i 00 Oczywiście i dodawaie i możeie ie musi rozpoczya się od ideksu i. Może rozpoczya się od dowolej liczby całkowitej. Waże jest tylko aby zawsze było i bo iaczej wyrażeie straci ses. 5