Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora

Transkrypt

1 Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia możemy aalizować jego wybrae właściwości, obserwować zmiay daych wyjściowych z symulacji pod wpływem zmia daych wejściowych. A jak wygląda porówaie symulacji z prawdziwym procesem zachodzącym w elemecie? Jeżeli uwzględiliśmy wszystkie istote czyiki mające wpływ a modeloway proces i udało am się uikąć pojawieia się zaczących błędów modelu, wejścia, obcięcia lub zaokrągleń to w procesie symulacji wyiki wyjściowe będą dobrze korelować z rzeczywistymi pomiarami. Zobaczmy a ile różią się i jak są podobe wyiki uzyskae z symulacji i pomiaru szybkości zmia apięcia a ładowaym kodesatorze. Szybkość zmia apięcia ładowaego kodesatora opisuje rówaie różiczkowe: du dt =U we U R C (1) W celu uikięcia dodatkowych błędów powstających w wyiku umeryczego rozwiązaia rówaia różiczkowego wykorzystao dokłade rozwiązaie rówaia (1): U =U we 1 e t / R C () U apięcie a kodesatorze [V] U we apięcie zasilające [V] R rezystacja [W] C pojemość [F] t czas [s] W przykładzie porówao wyiki z pomiaru wykoaego a kodesatorze elektrolityczym 9,8 [mf], zasilaego ze źródła apięcia [V] przez oporik 9 [kw] w czasie t = [s] z krokiem co 1 [s]. Rysuek 1 przedstawia pomiar zmia apięcia a ładowaym kodesatorze, atomiast w tabeli 1 zamieszczoo wyiki pomiaru i symulacji wzrostu apięcia a okładkach kodesatora. Rys. 1 Pomiar apięcia a ładowaym kodesatorze 1

2 Tab. 1 Napięcie [V] Napięcie [V] Napięcie [V] Symulacja Pomiar Symulacja Pomiar Symulacja Pomiar,,1 17,88 17,1 19,78 19, 1,1 1,9 1 18,11 17, 1 19,8 19,, 3,83 18,31 17, 19,8 19,7 3 5,7,7 3 18,9 17,7 3 19,8 19,5 7,,8 18,5 17,9 19,8 19,53 5 8,59 8, ,79 18,1 5 19,87 19,5 9,8 9,51 18,9 18,35 19,89 19,57 7 1,89 1,5 7 19, 18,9 7 19,9 19, 8 11,85 11, ,1 18, ,91 19, 9 1,7 11,9 9 19,3 18,7 9 19,9 19,3 1 13,9 1, ,31 18, ,93 19,5 11 1,18 13, 31 19,38 18, ,93 19,7 1 1,8 13, ,5 18,9 5 19,9 19, ,35 1, ,51 19, 53 19,95 19,9 1 15,85 1, ,5 19,8 5 19,95 19, ,9 15, 35 19,1 19, ,9 19,7 1 1,8 1,3 3 19,5 19, 5 19,9 19, , 1, ,9 19, 57 19,97 19, ,35 1, ,7 19, ,97 19, ,3 1, ,75 19, ,97 19,7 19,98 19,7 Jak widać w tabeli 1 pomiędzy symulacją a pomiarem rzeczywistym zmia apięcia a ładowaym kodesatorze są rozbieżości wyikające z ie uwzględieia iych parametrów poza pojemością C i rezystacją R, takich jak zastosoway dielektryk, kostrukcja, proces starzeia kodesatora, temperatura itp. Porówajmy jeszcze raz różice pomiędzy pomiarem a symulacją, tym razem a wykresie przedstawioym a rysuku. U(t) t [s] Rys. Charakterystyka apięcia a ładowaym kodesatorze Symulacja Pomiar

3 Przystąpmy już do wyciągięcia kilku wiosków z przeprowadzoej symulacji i pomiaru rzeczywistych zmia apięcia a ładowaym kodesatorze. Różicę pomiędzy pomiarem i symulacją graficzie przedstawia wykres a rysuku 3. 1,1 1,,9,8,7,,5, Różica pomiędzy symulacją a pomiarem Przedział ufości mi. Przedział ufości max. Regresja Średia,3,, t [s] Rys. 3 Wykres różicy pomiędzy symulacją a pomiarem, regresji, średiej oraz przedziału ufości Tab. Przedziały x i-1,,5,18 1,1,1,5,51,38,3,59,51,78, 18,3,89,78 1,,89 7, x i Rys. Histogram (x i-1 +x i )/ i i / i / Przedział Sporządźmy teraz histogram (rys. ) a podstawie tabeli, jeżeli chcieli byśmy przeprowadzić test zgodości c to musimy pamiętać aby połączyć przedziały tak, by liczba daych w każdym z ich ie była miejsza od pięciu. Kolumę zależości częstotliwości obserwacji i / od środków przedziałów możemy iterpretować jako przybliżeie gęstości rozkładu (rys. 5). Kolumę częstotliwości skumulowaej i / możemy ziterpretować jako przybliżeie dystrybuaty (rys. ). 3

4 ,5, i/,3,,1 Rys. 5 Przybliżeie gęstości rozkładu,,,,,8 1, 1, 1,8 Σi/,,, Rys. Przybliżeie dystrybuaty,,,,,8 1, Histogram jest iesymetryczy, a zatem mediaa jest róża od średiej. Mediaa jest rówa q =,, atomiast średia x =,83. Obliczmy współczyik skośości: Sk ( 1)( ) i x i x s 3 (3) x średie arytmetycze zbiorów wartości x ilość daych s odchyleie stadardowe s= i x i x 1 ()

5 Współczyik skrośości Sk =,89, poieważ Sk > histogram jest dodatio skośy. Oszacujemy średią różice pomiędzy symulacją a pomiarem, w tym celu posłużymy się rówaiem: R= 1 U s i U pi (5) U s apięcie symulacji [V] U p apięcie pomiaru [V] i ideks daych, i =,1,..., Średia różica pomiędzy symulacją a pomiarem jest rówa,5 [V]. Współczyik korelacyjy umożliwi sprawdzeie zbieżości symulacji z pomiarem, opisuje go wzór: r xy = x i x y i y () x i x y i y Współczyik korelacji może przyjmować wartości z przedziału (-1,1), gdy r xy = zmiee są ieskorelowae. Dla aszego porówaia współczyik te wyosi,9987 (mamy do czyieia z korelacja dodatią) i świadczy czego oczekiwaliśmy o bardzo dużej zależości symulacji i pomiaru. Wykres a rysuku 3 przedstawia rówież regresję różicy pomiaru i symulacji, współczyiki rówaia prostej zostały obliczoe za pomocą rówań: a= x i x y i y x i x (7) b=y a x y=a xb obliczoe współczyiki wyoszą odpowiedio: a = -,191 b =,53738 Poieważ współczyik ' a ', zway kierukowym ma wartość ujemą to prosta regresji jest malejąca. Ostrożie wyciągiemy wiosek że różica pomiędzy symulacją i pomiarem w fukcji czasu maleje. Określmy przedział ufości dla średiej zakładając poziom ufości 1-a =,99 (8) oraz oceńmy precyzję wyzaczoego szacuku obliczając błąd względy szacuku (1). 5

6 Px Z M x Z 1 Z a wartość zmieej losowej dla rozkładu ormalego dla współczyika ufości 1 a s odchyleie stadardowe populacji geeralej (8) i x i (9) m wartość oczekiwaa Obliczoy przedział ufości a poziomie,99 jest rówy P(,9<M<,5578) =,159. Rysuek 7 przedstawia obliczoy przedział ufości wraz z rzeczywistym pomiarem zmia apięcia. Fukcję opisującą miimum przedziału ufości obliczoo z rówaia: P mi t=u s t x M (1) Natomiast fukcję opisującą maksimum przedziału ufości obliczoo z rówaia: P max t =U s tx M (11) Rys. 7 Przedział ufości dla poziomu ufości,99 i pomiar apięcia Przedział ufości mi. Przedział ufości max. Pomiar

7 Z B( x) x 1% (1) Błąd względy szacuku przedziału ufości jest rówy 1,15 [%]. Oczywiście możemy postąpić odwrotie, ajpierw określić pożądaą dokładość i obliczyć ilość pomiarów potrzebą do osiągięcia założoej dokładości szacuku, zrobimy to posługując się rówaiem: Z d (13) Powyżej wyzaczyliśmy przedział ufości dla średiej błędu symulacji a podstawie próby liczącej 1 pomiarów. Przedział te miał długość d =,9,5578 =,159 [V], precyzja szacuku wyosiła więc,775 [V]. Ustalmy teraz jak dużo pomiarów ależy wykoać przy ie zmieioym poziomie ufości 1-a =,99 oraz odchyleiu stadardowym tak jak wyżej, s =,38 ale przy precyzji szacuku,1 [V]. Po podstawieiu daych do rówaia (13) możemy obliczyć liczebość pomiarów która jest rówa 37. Literatura [1] H. Budzisz, E. Filipow-Cisowska, J. Wachowiak, M. Wardecki: Elektroicza techika obliczeiowa. Programowaie i metody umerycze, Koszali, Wyższa Szkoła Iżyierska w Koszaliie, 198 [] Z. Hellwig: Elemety rachuku prawdopodobieństwa i statystyki matematyczej, Warszawa, PWN 1995 [3] W. Kloecki: Statystyka dla iżyierów, Warszawa, PWN, 1999 [] A. Obecy: Statystyka matematycza w Excelu dla szkół. Ćwiczeia praktycze, Gliwice, Helio 3 7