ANALIZA PRZYCZYNOWOŚCI W ZAKRESIE ZALEŻNOŚCI NIELINIOWYCH. IMPLIKACJE FINANSOWE

Transkrypt

1 Wiold Orzeszko Magdalea Osińska Uiwersye Mikołaja Koperika w Toruiu ANALIA PRCNOWOŚCI W AKRSI ALŻNOŚCI NILINIOWCH. IMPLIKACJ FINANSOW WSTĘP Przyczyowość w sesie Gragera jes jedym z kluczowych pojęć ekoomeryczej aalizy zależości pomiędzy procesami ekoomiczymi. Jedak doychczas w pracach poświęcoych ej emayce badaia ograiczały się zwykle do ideyikacji zależości o charakerze liiowym zaś podsawowym arzędziem ej aalizy był model ypu VAR. W arykule zaprezeowao ideę przyczyowości w zakresie zależości ieliiowych. Idea a odwołuje się do kocepcji Baeka i Brocka 1992 i opara jes a pojęciu całki korelacyjej. W iiejszym arykule przedsawioo wywodzącą się z ej kocepcji procedurę Hiemsry i Joesa 1994 esowaia obecości ieliiowych zależości przyczyowych a akże jej modyikację dokoaą przez Diksa i Pachekę Obie meody zosały zasosowae do daych geerowaych oraz do iasowych szeregów czasowych z Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie. 1. MTODOLOGIA TSTOWANIA PRCNOWOŚCI W AKRSI ALŻNOŚCI NILINIOWCH Wysępowaie zależości przyczyowych między sacjoarymi procesami i zosało zdeiiowae przez Gragera 1969 w kaegorii warukowych rozkładów prawdopodobieńswa. Według ej deiicji ie jes przyczyą jeśli... ;... F... F 1 lx ly = ly dla dowolych opóźień czasowych lx ly 1. W przypadku gdy waruek 1 ie jes spełioy mówimy że co w szczególości implikuje możliwość wykorzysaia przeszłości jes przyczyą do progozowaia. Tesowaie wysępowaia zależości przyczyowych polega a weryikacji hipoezy zerowej iż ie jes przyczyą co a mocy deiicji rówoważe jes zależości 1. Jedak w prakyce ekoomeryczej weryikację rudego do zasosowaia waruku 1 zasępuje się bardziej operacyjymi meodami. Jedą z ich jes ograiczeie zakresu badaia do ideyikacji zależości przyczyowych jedyie o charakerze liiowym. W akiej syuacji badaie polega a zbudowaiu i aalizie modelu VAR. kolei operacyją meodą aalizy przyczyowych zależości o charakerze ieliiowym jes meoda Baeka i Brocka Kocepcja a odwołuje się do pojęcia całki

2 2 Wiold Orzeszko Magdalea Osińska korelacyjej C W ε będącej prawdopodobieńswem zdarzeia iż dwie losowo wybrae realizacje wekora losowego W oddaloe są od siebie o ie więcej iż ε z. C W = P{ W1 W2 ε} = I s1 s2 ε W s1 W s2 ds2ds1 ε 2 gdzie W 1W2 są iezależymi realizacjami W jes ormą supremum aomias 1; s1 s2 ε 1 2 ε =. 0; w p. w. Dla usaloych opóźień czasowych lx ly 1 iech ukcja I s s lx oraz ly ozaczają wekory opóźień posaci lx = lx... i ly = ly.... Odwołując się do pojęcia wekorów opóźień Baek i Brock przeormułowali w sposób operacyjy deiicję przyczyowości w sesie Gragera. Według ej kocepcji ie jes przyczyą jeśli: gdzie { s < ε ly sly < ε lx slx P = P{ s < ε ly sly jes ormą supremum. Niespełieie waruku 3 ozacza że lx = 3 może być pomoce w progozowaiu. Przyjmijmy bowiem że isieje zależość przyczyowa o charakerze deermiisyczym między procesami ly lx a posaci = ly... 1 lx... z. = dla pewej ciągłej ukcji. deiicji ciągłości wyika że za progozę moża przyjąć s gdzie s jes ideksem dla kórego wekor sly slx jes ly lx bliski w sesie meryki wekorowi. Co więcej iespełieie waruku 3 ozacza że jes bardziej prawdopodobe że progoza a będzie dokłada gdy wykorzysa się ie ylko wiedzę o przeszłości lecz rówież o przeszłości ly lx. 1 kolei w syuacji gdy = g dla pewej ukcji losowej g waruek 3 jes opary a założeiu że w zależości g może isieć składowa deermiisycza dzięki kórej a mocy wcześiej zasosowaego rozumowaia możliwe jes eekywe wykorzysaie przeszłości do progozowaia. Niech C1 C2 C3 oraz C4 ozaczają asępujące całki korelacyje: s { ly sly < ε lx slx { ly sly < ε lx slx C 1 = P 4a C 2 = P 4b 1 Niespełieie waruku 3 może rówież ozaczać że lewa sroa rówaia jes miejsza od prawej. Ozacza o rudą do zierpreowaia syuację w kórej wiedza o przeszłości urudia progozowaie.

3 Aaliza przyczyowości w zakresie zależości ieliiowych. Implikacje iasowe 3 s { ly s ly { ly sly C3 4c = P C 4 = P. 4d deiicji prawdopodobieńswa warukowego: { s < ε ly sly < ε lx slx P = P { s < ε ly sly < ε lx slx P{ < ε ly sly lx slx co z kolei z własości ormy supremum rówe jes: P P { ly sly < ε lx slx { ly sly < ε lx slx 5 6 C 1 czyli. Aalogiczie: C3 P{ s < ε ly sly =. C2 C4 7 C 1 C3 A zaem wzór 3 rówoważy jes ormule =. C2 C4 8 Wzór 8 jes podsawą procedury esowaia wysępowaia zależości przyczyowych w szeregach czasowych x i y. symaorami całek korelacyjych C1 C2 C3 oraz C4 są odpowiedio: 2 s C 1 = ε ε 1 < I y s ly lx s lx s ly y I x x 9a 2 C 2 = I y ε ε 1 < s ly lx s lx s ly y I x x 9b 2 s C3 = I y s ly ε 1 s ly y < 9c 2 C 4 = I y ε 1 < s ly s ly y 9d gdzie s = max lx ly T = T max lx ly T- długość szeregów czasowych. Hiemsra i Joes 1994 udowodili że dla dowolych sacjoarych w węższym sesie słabo zależych i spełiających waruki Dekera i Kellera 1983 procesów oraz dla dowolych lx ly 1 i ε > 0 jeśli ie jes przyczyą o: C1 C3 2 ~ N 0 σ lx ly ε C2 C gdzie σ lx ly ε i jej esymaor są zdeiiowae w dodaku arykułu Hiemsry i Joesa. Należy podkreślić że meoda Hiemsry i Joesa ideyikuje zależości przyczyowe różej aury. ego powodu w celu ideyikacji zależości ieliiowych

4 Wiold Orzeszko Magdalea Osińska 4 ależy badaiu poddawać reszy z modelu VAR z. dae pozbawioe eweualych zależości liiowych. Auorzy esu zalecają rówież aby w drugiej kolejości dokoać ormalizacji daych i w eście rozważyć warości ε pomiędzy 05 a 15. Modyikacją meody Hiemsry i Joesa jes saysyka T zapropoowaa przez Diksa i Pachekę Auorzy ci wykazali że es Hiemsry i Joesa prowadzi do admierie częsego odrzucaia hipoezy zerowej o braku przyczyowości. Powodem ej syuacji jes brak rówoważości pomiędzy ormułami 1 i 3 a w kosekwecji rówież i 8 podczas gdy w isocie ormuła 3 jes ylko implikacją waruku deiicji Gragera. Niech ozacza wekor losowy posaci = 1 1 ly lx aomias ukcję gęsości prawdopodobieńswa. Diks i Pacheko dowodzą że hipoeza zerowa ozacza iż spełioa jes rówość: y z y y y x y z y x = 11 podczas gdy kluczowa w eście Hiemsry i Joesa ormuła 8 jes rówoważa rówości: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = 12 gdzie [ ] = ds s W W W 2 i jes ierpreowaa jako miara koceracji wekora losowego W. Diks i Pacheko argumeują że pukem wyjścia w aalizie przyczyowości ie powiie być wzór 12 lecz ormuła: 0 =. 13 godie z ą kocepcją auorzy saysyki T rozważają wyrażeie: g 14 gdzie g jes dodaią ukcją wagową. W przypadku braku przyczyowości wyrażeie o zeruje się gdyż a mocy wzoru 13 warość w awiasie okrągłym jes rówa zero. W oparciu o przeprowadzoe symulacje Diks i Pacheko propoują przyjąć ukcję wagową 2 y z y x g =. Wówczas ormuła 14 przyjmuje posać: [ ] 15 Jej esymaorem jes ly lx T 1 2 ε dla małego 0 > ε gdzie: = i i k i j ij ik ij ik I I I I T

5 Aaliza przyczyowości w zakresie zależości ieliiowych. Implikacje iasowe 5 W ij oraz I = I W W ε. gdzie i j Moża udowodić że przy założeiu hipoezy o braku przyczyowości: T N01 17 S S jes zdeiiowae w dodaku arykułu Diksa i Pacheki. 2. ANALIA SMULACJNA I MPIRCNA W celu porówaia wyików esów Hiemsry i Joesa oraz Diksa i Pacheki dokoao kilku symulacji oraz zbadao empirycze szeregi iasowe doyczące relacji między dzieymi obserwacjami sóp zwrou z akcji oraz ideksów Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie i związaych z imi wolumeów obrou. W pierwszej kolejości wygeerowao iezależie szeregi czasowe x y o rozkładzie ormalym N01. Liczba obserwacji była rówa W celu zasosowaia omówioych saysyk wykorzysae zosały programy apisae orygialie przez Hiemsrę i Pachekę dosępe w Ierecie. godie z oczekiwaiami w przypadku białych szumów esy w zasadzie ie wykazywały zależości dla żadych lx i ly z wyjąkiem esu HJ kóry wskazał a isieie zależości dla 8-go opóźieia ablica 1. 2 Wyiki esowaia przyczyowości ieliiowej dla iezależych białych szumów H 0 : y ie jes przyczyą x H 0 : x ie jes przyczyą y * Tablica1 2 W ablicach 1-12 symbol T ozacza warość saysyki esu Diksa i Pacheki zaś HJ Hiemsry i Joesa. kolei symbole * ** *** ozaczają odrzuceie H 0 a poziomie odpowiedio 10 5 i 1%.

6 6 Wiold Orzeszko Magdalea Osińska W kolejym eapie wygeerowae zosały szeregi x i y po 1000 obserwacji związae relacją ieliiową zapropoowaą przez Baeka i Brocka posaci x = ay p xq + ε gdzie ε i y są iezależymi szeregami N01. Warości paramerów przyjęo a asępującym poziomie a {05; 05} oraz p q {1; 2}. Między badaymi szeregami ie wykryo zależości liiowej sosując sadardowy es Gragera w wersji LM. Jedakże sosując esy HJ oraz T widzimy wyraźe zależości ieliiowe. Wyiki esowaia przedsawia ablica 2. Wyiki esowaia przyczyowości ieliiowej dla modelu Baeka i Brocka H 0 : y ie jes przyczyą x x 0 5y x = 2 + ε H 0 : x ie jes przyczyą y *** 2850*** *** 2448** Tablica x 0 5y x + ε = * 2021** *** 4836*** *** 3672*** *** 3033*** ** 3222*** ** 2832*** ** 2748*** ** -1738* x 0 5y x + ε = *** 5856*** *** 4645*** *** 4175*** *** 3077*** *** 3146***

7 Aaliza przyczyowości w zakresie zależości ieliiowych. Implikacje iasowe 7 Tablica 2 c.d *** 2987*** * 2332** x 0 5y x + ε = *** 4525*** *** 3557*** *** 2933*** * 1867* x 0 5y x + ε = *** 4756*** *** 3527*** *** 2509** ** 2133** * 2464** * 2312** * x 0 5y x + ε = *** 4751*** *** 3556*** ** 2607*** * 2188** * * Fiasowe implikacje ieliiowej zależości przyczyowej w sesie Gragera zosały zbadae a przykładzie relacji między sopami zwrou z akcji i ideksów

8 8 Wiold Orzeszko Magdalea Osińska giełdowych oraz odpowiadającymi im wolumeami obrou. Jes o podsawowa relacja a ryku kapiałowym. W lieraurze Hiemsra i Joes 1994 wskazuje się a wysępowaie zależości przyczyowej w obu kierukach. Jedo z wyjaśień polega a ym że apływająca sekwecyjie iormacja powoduje auokorelację w szeregach zwroów oraz wolumeów obrou. Wyika sąd iż obydwa szeregi mogą wzajemie wyjaśiać swoją dyamikę w krókim okresie. Silvapulle i Choi 1999 zasosowali es HJ do daych koreańskich zajdując am wzajeme ieliiowe relacje przyczyowe. W prezeowaym badaiu przeaalizowae zosały relacje przyczyowe między logarymiczymi sopami dzieych zmia ce i obroów spółek: Agora KGHM PKN oraz ideksów ogólych: WIG WIG20 i brażowych: WIG-baki WIG-bud WIG-io WIG-spożyw obserwowaych w okresie W przypadku szeregów empiryczych zasosowao asępującą procedurę krokową ilrującą eweuale zależości w warukowej wariacji oraz zależości liiowe. Koleje eapy procedury były asępujące: 1. przeilrowaie modelem GARCH11 i wyliczeie resz sadaryzowaych 2. elimiacja zależości liiowych model VAR 3. ormalizacja orzymaych szeregów u = x x / S x 4. obliczeie warości saysyk HJ oraz T dla ε = porówaie z warościami kryyczymi N01 rozkład dwusroy. Wyiki esowaia przyczyowości przedsawioe zosały w ablicach We wszyskich przypadkach przyjęo asępujące ozaczeia: x logarymicze sopy dzieych zmia ce/poziomów y logarymicze sopy dzieych zmia warości obroów. Tablica 3 Wyiki esowaia przyczyowości między sopą zmia ce a sopą zmia wolumeów obrou dla spółki Agora /Model VAR: brak przyczyowości liiowej w obu kierukach/ H 0 : y ie jes przyczyą x H 0 : x ie jes przyczyą y * *** -2736*** * -1895* * -1835*

9 Aaliza przyczyowości w zakresie zależości ieliiowych. Implikacje iasowe 9 Tablica 4 Wyiki esowaia przyczyowości między sopą zmia ce a sopą zmia wolumeów obrou dla spółki KGHM /Model VAR: brak przyczyowości liiowej w obu kierukach/ H 0 : y ie jes przyczyą x H 0 : x ie jes przyczyą y ** * * Tablica 5 Wyiki esowaia przyczyowości między sopą zmia ce a sopą zmia wolumeów obrou dla spółki PKN /Model VAR: brak przyczyowości liiowej w obu kierukach/ H 0 : y ie jes przyczyą x H 0 : x ie jes przyczyą y Lx=ly T HJ T HJ * -1972** abeli 3 wyika że wielkości zmia obroów są zdeermiowae wcześiejszymi zmiaami ce przy czym wskazuje a o zarówo es T jak i HJ. ależość aka jes aurala gdyż iwesorzy a bieżąco aalizują zmiay ce dososowując do ich swe decyzje doyczące kupa i sprzedaży. W ablicach 4 i 5 moża zaobserwować icydealie pojawiające się przypadki odrzuceia hipoezy o braku przyczyowości ieliiowej. Waro akże zwrócić uwagę że w przypadku spółek ie wysąpiły liiowe zależości przyczyowe. W przypadku ideksów giełdowych zależości o charakerze liiowym miały miejsce przy czym zmiaa ideksu deermiowała zmiaę wolumeu obroów.

10 10 Wiold Orzeszko Magdalea Osińska Tablica 6 Wyiki esowaia przyczyowości między sopą zmia ce a sopą zmia wolumeów obrou dla ideksu WIG /Model VAR: x wpływa a y; w przeciwym kieruku brak/ H 0 : y ie jes przyczyą x H 0 : x ie jes przyczyą y ** -2327** *** -2656*** Tablica 7 Wyiki esowaia przyczyowości między sopą zmia ce a sopą zmia wolumeów obrou dla ideksu WIG20 /Model VAR: x wpływa a y; w przeciwym kieruku brak/ H 0 : y ie jes przyczyą x H 0 : x ie jes przyczyą y ** -2380** *** -3736*** *** -4456*** ** -2469** *

11 Aaliza przyczyowości w zakresie zależości ieliiowych. Implikacje iasowe 11 Tablica 8 Wyiki esowaia przyczyowości między sopą zmia ce a sopą zmia wolumeów obrou dla ideksu WIG-baki /Model VAR: brak przyczyowości liiowej w obu kierukach/ H 0 : y ie jes przyczyą x H 0 : x ie jes przyczyą y * * * -2518** Tablica 9 Wyiki esowaia przyczyowości między sopą zmia ce a sopą zmia wolumeów obrou dla ideksu WIG-bud /Model VAR: brak przyczyowości liiowej w obu kierukach/ H 0 : y ie jes przyczyą x H 0 : x ie jes przyczyą y *

12 12 Wiold Orzeszko Magdalea Osińska Tablica 10 Wyiki esowaia przyczyowości między sopą zmia ce a sopą zmia wolumeów obrou dla ideksu WIG-io /Model VAR: x wpływa a y; w przeciwym kieruku brak/ H 0 : y ie jes przyczyą x H 0 : x ie jes przyczyą y * -1822* * Tablica 11 Wyiki esowaia przyczyowości między sopą zmia ce a sopą zmia wolumeów obrou dla ideksu WIG-spożyw /Model VAR: brak przyczyowości liiowej w obu kierukach/ H 0 : y ie jes przyczyą x H 0 : x ie jes przyczyą y

13 Aaliza przyczyowości w zakresie zależości ieliiowych. Implikacje iasowe 13 Tablica 12 Wyiki esowaia przyczyowości między sopą zmia ce a sopą zmia wolumeów obrou dla ideksu WIG-elkom /Model VAR: brak przyczyowości liiowej w obu kierukach/ H 0 : y ie jes przyczyą x H 0 : x ie jes przyczyą y * -1742* -1662* -1953* ** -2777*** * -3337*** -3632*** ** -2595*** ** Aalizując wyiki orzymae ideksów giełdowych moża wskazać że ideksy globale akie jak WIG i WIG20 wykazywały ieliiowe zależości przyczyowe w kieruku od zmia ce do zmia obroów. Ideksy brażowe poza WIG-baki i WIG-elkom - wykazywały a ogół brak przyczyowości w obu kierukach. upełie odmiee zachowaie odoowao w przypadku WIG-elkom w przypadku kórego isoa okazała się zależość przyczyowa w obu kierukach. Wydaje się że powyższe zależości mogą być wypadkową akywości iwesorów i płyości ryku sąd dla WIG-elkom zaobserwowao zależości wysępujące a rozwiięych rykach kapiałowych. PODSUMOWANI Baek i Brock zapropoowali uiwersale podejście do zdeiiowaia i aalizy ieliiowej przyczyowości w sesie Gragera. Hiemsra i Joes zmodyikowali ę meodologię upraszczając założeia co do badaych procesów. Poado zapropoowali oi procedurę ilrującą zależości wyikające ze zmieości wariacji warukowej oraz z liiowych zależości przyczyowych. Najowszych modyikacji dokoali Diks i Pacheko w osaich laach kórzy skocerowali się a zgodości deiicji przyczyowości ieliiowej z pierwoą zapropoowaą przez Gragera. Wykazali oi poado że z powodu ych ieścisłości es HJ zby częso odrzucał hipoezę zerową. W chwili obecej poza iedoskoałością samej meody źródłem błędów wioskowaia wydaje się przyjęcie procedury ilrującej zależości liiowe. Ich

14 14 Wiold Orzeszko Magdalea Osińska iewłaściwa specyikacja może prowadzić do zakłóceia relacji ieliiowych. Celem reerau było porówaie wyików esów Hiemsry i Joesa oraz Diksa i Pacheki a daych geerowaych oraz zbadaie czy w rzeczywisych szeregach iasowych mają miejsce zależości ieliiowe. W przypadku daych geerowaych iezależe białe szumy oraz model Baeka i Brocka orzymao rezulay zgode z oczekiwaymi. Jeśli chodzi o badaie zależości przyczyowych między zmiaami ce a zmiaami obroów a Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie o a ogół zmiay ce deermiowały zmiay obroów. W przypadku spółek ie odoowao liiowej przyczyowości w sesie Gragera aomias w przypadku ideksów zależości ieliiowe wysępowały akże po elimiacji pozyywie zweryikowaych związków liiowych. Dla ideksu brażowego WIG-elkom wskazao a isieie przyczyowości w obu kierukach. Tes HJ rzeczywiście wykazywał pewą skłoość do odrzucaia H 0 częściej iż es T. Orzymae wyiki sugerują koieczość prowadzeia szczegółowych badań w ym zakresie a akże rozważeia ieliiowych specyikacji modeli wykorzysywaych a rykach kapiałowych. LITRATURA 1. Baek.G. Brock W.A A geeral es or oliear Grager causaliy: Bivariae model. Techical Repor. Iowa Sae Uiversiy ad Uiversiy o Wiscosi Madiso. 2. Deker M. Keller G O U-saisics ad vo Mises saisics or weakly depede processes. eischri ür Wahrscheilichkeisheorie ud Verwade Gebiee Diks C. Pacheko V A ew saisic ad pracical guidelies or oparameric Grager causaliy esig. Ceer or Noliear Dyamics i coomics ad Fiace. Workig Paper. 4. Grager C.W.J Ivesigaig causal relaios by ecoomeric models ad crossspecral mehods. coomerica Grager C.W.J. Huag B-H ag Ch-W A bivariae causaliy bewee sock prices ad exchage raes: evidece rom rece Asia lu. The Quarerly Review o coomics ad Fiace Hiemsra C. Joes J.D Tesig or liear ad oliear Grager causaliy i he sock price volume relaio. Joural o Fiace Jorio P The exchage rae exposure o US muliaioals. Joural o Busiess Silvapulle P. Choi J-S Tesig or liear ad oliear Grager causaliy i he sock price volume relaio: Korea evidece. The Quarerly Review o coomics ad Fiace 39.