Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Transkrypt

1 Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu zachowaia się jego ogoa. Przypomijmy, że przez tzw. ogo ciągu (a ) 1 rozumiemy wszystkie wyrazy o umerach o, dla pewego aturalego o.wtedyzachowaiesięogoa determiuje asymptotycze zachowaie się ciągu. Dalej przyjmiemy założeie, że rozważae ciągi będą albo zbieże, albo rozbieże, co ozacza, że z aalizy wykluczymy ciągi, które ie są ai zbieże, ai rozbieże. Niech C ozacza mogość takich ciągów. Możemy sformułować dwa podstawowe problemy, rozwiązaiem których zajmiemy się w dalszej części. Problem 1 Niech (a ) 1 C. Należy rozstrzygąć kwestię, czy day ciąg jest zbieży, czy jest rozbieży. Problem 2 Wiedząc, że (a ) 1 C jest zbieży ależy ustalić jego graicę. W przypadku jego rozbieżości ależy określić typ tej rozbieżości. Wydział Nauk Techiczych i Ekoomiczych Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej im. Witeloa w Legicy, e mail: rebowskir@pwsz-legica.eu 1

2 2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH 2 Badaie ciągów zbieżych Przedstawimy trzy metody badaia zbieżości ciągów: twierdzeie o arytmetyce graic (TAG), twierdzeie o 3 ciągach (T3C) oraz twierdzeie o liczbie Eulera (TLE). Jak zobaczymy dalej, żade z tych twierdzeń ie jest a tyle uiwersale, aby mogło rozstrzygąć kwestię zbieżości każdego ciągu. Dlatego waża będzie dalej umiejętość doboru odpowiediego twierdzeia do badaego ciągu, a co zwrócimy szczególą uwagę. 2.1 TAG Zacziemy od defiicji wyjaśiającej pojęcie struktury arytmetyczej ciągu. Defiicja 1 Powiemy, że ciąg (a ) 1 posiada strukturę arytmetyczą, jeśli istieją dwa ciągi (b ) 1 i (c ) 1 takie, że (a ) 1 ma jedą z poiższych postaci: a = b + c, dla 1. (1) Wtedy powiemy, że jest o sumą ciągów (b ) 1 i (c ) 1, a = b c, dla 1. (2) Wtedy powiemy, że jest o różicą ciągów (b ) 1 i (c ) 1, a = b c, dla 1. (3) Wtedy powiemy, że jest o iloczyem ciągów (b ) 1 i (c ) 1, a = b, oiledla 1c 0. (4) c Wtedy powiemy, że jest o ilorazem ciągów (b ) 1 i (c ) 1, Przykład 1 Każdy z poiższych ciągów ma strukturę arytmetyczą: a = , 1, (5) a = , 3, (6) a =( 1) 1, 1, (7) 2

3 2.1 TAG 2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH Przykład 2 Nie każdy ciąg ma strukturę arytmetyczą, p.: a =si 1, 1, (8) a = 2, 1, (9) a = 2 +5, 1, (10) ( ) , a = (11) Twierdzeie 1 (TAG) Niech ciąg (a ) 1 ma strukturę arytmetyczą typu (1) (3), gdzie ciągi (b ) 1 i (c ) 1 są zbieże. Wtedy (a ) 1 też jest zbieży. Co więcej, jeśli b b, c c, to odpowiedio a b + c, a b c, a bc. Jeśli dodatkowo c 0, to ciąg typu (4) też jest zbieży i a b c. Przykład 3 Zbadać charakter zbieżości ciągu daego wzorem (5). Rozwiązaie. Wiemy, że a = , 1 ma strukturę arytmetyczą jako iloraz dwóch ciągów b = oraz c =5 5 3, 1.Poieważb 5 dla 1 iciąg 5 ie jest ograiczoy z góry, ciąg (b ) 1 jest ieograiczoy i dlatego ie może być zbieży. Ozacza to, że pomimo dopuszczalej struktury, ie możemy zastosować TAG dla badaego ciągu. Z drugiej stroy, z oszacowaia = 5 6 a 5 25 =1, 1, 25 wyika, że baday ciąg jest ograiczoy. W takim razie, zgodie z umową zawartą we wstępie jest zbieży. Jak to uzasadić, skoro ie działa TAG. Odpowiedź jest tylko jeda ależy iaczej zapisać postać wyrazu a. Zauważmy, że 2 a = , 1. 4 Teraz TAG zadziała, bowiem ciąg ma strukturę typu (1) i (2) 3 5 oraz z własości ciągu α harmoiczego, =1. Podobie 3 5 dla = Dlatego z TAG a Czytelik powiie umieć uzasadić to oszacowaie. 2 Należy to uzasadić. 3

4 2.1 TAG 2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH Przykład 4 Zbadać charakter zbieżości ciągu daego wzorem (6). Rozwiązaie. Z Przykładu 1 wiemy, że baday ciąg rówież posiada strukturę arytmetyczą. Poieważ jedak >, rówież w tym przypadku TAG ie może być zastosowae. Jedocześie mamy podobą sytuację do ciągu z przykładu powyżej badaych ciąg jest ograiczoy 3. W takim razie, jako elemet zbioru C jest zbieży. Wykażemy to dokoując przeformatowaia jego zapisu. Zauważmy, że ( )( ) a = , czyli 4 a = = Dalej będziemy potrzebowali pewego wspomagającego faktu. 5 Fakt 1 Przypuśćmy, że dla ciągu (d ) 1 wiadomo, że: wyrazy jego są ieujeme oraz d d. Wtedyd 0 oraz d d. Korzystając teraz z Faktu 1 oraz z TAG możemy apisać 5+0 a = Przykład 5 Zbadać charakter zbieżości ciągu daego wzorem (7). Rozwiązaie. Nie moża zastosować TAG, pomimo, że ciąg ma strukturę arytmetyczą. 6 Baday ciąg jest jedak ograiczoy, zatem przy obowiązującym założeiu jest zbieży. Tym razem jedak procedura wstępego przeformatowaia, z jaką spotkaliśmy się w przykładach 3 i 4 ie zadziała. Jak tym razem w takim razie uzasadić zbieżość badaego ciągu? Zauważmy, że 1 ( 1) = 1, co ozacza, że a 0. Dalej potrzebujemy kolejego faktu 7. 3 Czytelik powieie to umieć uzasadić! 4 Należy to uzasadić. 5 Czytelik powiie zapozać się z dowodem tego faktu. 6 Proszę uzasadić dlaczego. 7 Proszę zapozać się z dowodem. 4

5 2.2 T3C 2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH Fakt 2 Dla każdego ciągu (a ) 1 astępujące waruki są rówoważe: a 0. a 0. Dlatego ( 1) Ćwiczeia Zadaie 1 Zbadać zbieżość ciągu a = , Zadaie 2 Zbadać zbieżość ciągu a = (20 +2) 3, 1. ( 3 +1) 20 Zadaie 3 Zbadać zbieżość ciągu a = 2 +4, T3C Przykład 2 pokazuje, że ie każdy ciąg posiada strukturę arytmetyczą. Z tego powodu zasięg zastosowaia TAG jest ograiczoy. Dla potrzeb badaia takich ciągów potrzebe są koleje metody. Jedą z ich jest zaprezetowaa poiżej metoda trzech ciągów. Przypuśćmy, że położeia ogoa badaego ciągu (a ) 1 możemy kotrolować pośredio używając do tego celu dwóch dodatkowych ciągów (łączie mamy zatem trzy ciągi) (b ) 1 i (c ) 1 w sposób astępujący o b a c. (12) Jeśli teraz ciągi (b ) 1 i (c ) 1 są zbieże, czyli b b i c c oraz b = c, to z waruku (12) wyika, że ogo ciągu (a ) 1 zajduje się w dowolym otoczeiu liczby a = b = c. Prowadzi to do astępującego twierdzeia. Twierdzeie 2 (T3C) Niech dla ciągu (a ) 1 istieją takie ciągi (b ) 1 i (c ) 1, dla których zachodzi waruek (12). Wtedy, jeśli b b i c c oraz b = c, tociąg(a ) 1 jest zbieży oraz a a = b = c. 5

6 2.2 T3C 2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH Przykład 6 Zbadać zbieżość ciągu daego wzorem (8). Rozwiązaie. Z własości fukcji trygoometryczej si, ciągsi 1, 1 jest ograiczoy. Zatem, zgodie z założeiem ależy do klasy C, czyli jest zbieży. Do wyzaczeia jego graicy ie możemy zastosować TAG, bowiem ie posiada o struktury arytmetyczej. Graicę tę wyzaczymy metodą pośredią zastosujemy T3C. Z podstawowej własości fukcji si wiadomo, że si x x dla x 0 oraz dla kątów z przedziału x [0,π/2], si x 0. W takim razie dla badaego ciągu możemy apisać astępujące oszacowaie 0 si 1 1, dla 1, co a mocy T3C dowodzi, że si 1 0. Przykład 7 Zbadać charakter zbieżości ciągu 2, 1 z przykładu 2. Rozwiązaie. Z własości działaia pierwiastkowaia wyika, że każdego 1. W takim razie możemy apisać 2 1 dla 2=1+ε, gdzie ε 0 dla 1. Jeśli wykażemy, że zdefiioway powyżej ciąg (ε ) 1 jest zbieży do zera, to z TAG będzie wyikało, że 2 1. W tym celu skorzystamy z T3C. Zauważmy, że z defiicji (ε ) 1 możemy apisać 2=(1+ε ), dla 1. Dalej będziemy potrzebowali pewej ierówości. 8 Fakt 3 (Nierówość Beroulliego) Dla każdej liczby rzeczywistej a 1, liczby aturalej (1 + a) 1+a. (13) W takim razie dla ciągu (ε ) 1 mamy oszacowaie 9 skąd i z T3C wyika, że ε 0. 0 ε 1, 8 Proszę zapozać się z dowodem. 9 Należy to uzasadić. 6

7 2.3 TLE 2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH Przykład 8 Zbadać charakter zbieżości ciągu daego wzorem (10). Rozwiązaie. Zauważymy, że baday ciąg jest ograiczoy, bowiem = 2 3 =3 2, oraz z przykładu 7 ciąg 2 jako zbieży jest ograiczoy. Poieważ 2 1, z T3C ostatie oszacowaie ozacza, że Ćwiczeia Zadaie 4 Zbadać zbieżość ciągu , 1. Zadaie 5 Wyzaczyć graice ciągu 2+( 1), Zadaie 6 Wyzaczyć graicę ciągu 2 +1, 1. Zadaie 7 Obliczyć graicę ciągu 2+si, 1. Zadaie 8 Zbadać zbieżość ciągu a, 1, gdziea> TLE Asymptotycze zachowaie się ciągu opisuje się za pomocą trzech własości: mootoiczości, ograiczoości i zbieżości (rozbieżości). Dobrze zae przykłady 10 pokazują, że ie ma związku pomiędzy mootoiczością a ograiczoością oraz pomiędzy zbieżością (rozbieżością) a mootoiczością. Jeśli jedak w odpowiedi sposób skompiluje się własość ograiczoości z mootoiczością, to otrzyma się efekt zbieżości lub rozbieżości ciągu. Na przykład: każdy ciąg iemalejący i ograiczoy z góry jest zbieży; 2. każdy ciąg malejący i ieograiczoy z dołu jest rozbieży. W szczególości, ozacza to, że każdy ciąg mootoiczy jest albo zbieży albo rozbieży, czyli ależy do zbioru ( C. Klasyczym przykładem jest tutaj tzw., ciąg Eulera (e ) 1, gdzie e = 1+ ) 1 który jest rosący i ograiczoy z góry. Feome tego ciągu polega a tym, że jego graicą ie jest liczba wymiera jest ią liczba iewymiera 12,tzw.liczba Eulera ozaczaa literą e. 10 Proszę je przypomieć. 11 Proszę sformułować pozostałe przypadki. 12 Jej przybliżoa wartość to 2,71. 7

8 2.3 TLE 2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH Poiższe twierdzeie pokazuje, że istieje cała klasa ciągów, które zachowują się podobie do ciągu Eulera, czyli są zbieże do e. Twierdzeie 3 (TLE) Każdy ciąg postaci ( 1+ 1 α ) α, gdzie (α ) 1 jest dowolym ciągiem rozbieżym, jest zbieży do liczby Eulera. ( ) α, Dalej o ciągu 1+ 1 α 1 będziemy mówili, że ma strukturę ciągu Eulera. Przykład 9 Zbadać zbieżość ciągu daego wzorem (11). Rozwiązaie. Kwestią kluczową jest umiejętość dostrzeżeia w defiicji badaego ciągu struktury ciągu Eulera. W tym celu zajmiemy się ajpierw podstawą potęgi. Zauważmy, że = = = Defiiujemy ciąg (α ) 1, gdzie α = 1. Wtedy, poieważ = α 2 + 1, baday 2 ciąg ma strukturę ( ) ( = 1+ 1 ) 4α+2, 2 1 α co po przekształceiach daje ( ) = [(1+ 1 ) α ] 4 ( 1+ 1 ) α α Uzyskaa faktoryzacja badaego ciągu pozwala zastosować TLE. Pierwszy czyik a mocy TLE i TAG zbieży jest do e 4. Drugi czyik, a mocy TAG ma graicę rówą Dlatego a mocy TAG baday ciąg jest zbieży do e Ćwiczeia Zadaie 9 ( Obliczyć graicę ciągu Zadaie 10 Obliczyć graicę ciągu ) 6, 1. ( 1 1 ), 1. Zadaie 11 ( ) 2, Zbadać zbieżość ciągu = 2 13 Proszę to uzasadić. 8

9 3 BADANIE CIĄGÓW ROZBIEŻNYCH 3 Badaie ciągów rozbieżych Przykład 10 Weźmy szereg harmoiczy Σ 1, czyli ciąg S = 1 k=1, 2. k Zbadać zachowaie się jego ogoa. Rozwiązaie. Poieważ S +1 S = 1 +1, ciąg sum częściowych szeregu harmoiczego jest rosący. Moża pokazać, 14 że ie jest o ograiczoy z góry. W takim razie jest o rozbieży przez wartości dodatie, co możemy zapisać jako S + lub Σ 1 =+. Badaie rozbieżości ciągu sprowadza się do ustaleia położeia jego ogoa w otoczeiu tzw. ieskończoości, czyli albo dowolie daleko a prawo od zera, albo dowolie daleko a lewo od zera. Ozacza to, że do ustaleia takiego położeia, z puktu widzeia metody porówawczej wystarczy dyspoować tylko jedym (dodatkowym) ciągiem rozbieżym. Prowadzi to do tzw. twierdzeia o dwóch ciągach (T2C). Twierdzeie 4 (T2C) Jeśli dla ciągu (a ) 1 położeiejegoogoadajesięustalićjedązmetod: a b, dla o, albo c a, dla o, gdzie b,alboc +, to (a ) 1 jest rozbieży odpowiedio przez wartości ujeme albo dodatie. Przykład 11 Zbadać zachowaie się ogoa ciągu +5, 1. Rozwiązaie. Zauważmy, że +5 =, dla 1. Poieważ ciąg o wyrazie jest rozbieży przez wartości dodatie, z T2C, baday ciąg rówież. Ozacza to, że ogo badaego ciągu zajduje się w otoczeiu +. Przykład 12 Zbadać zachowaie się ciągu 5 +7, Rozwiązaie. Zauważmy, że dla 1 mamy oszacowaie = 1 ) 7. 2( 5 Ozacza to, że baday ciąg domiuje z góry ciąg geometryczy o ilorazie większym od jede. Z T2C baday ciąg jest rozbieży przez wartości dodatie. 14 Proszę to zrobić. 9

10 3.1 Ćwiczeia 3 BADANIE CIĄGÓW ROZBIEŻNYCH 3.1 Ćwiczeia Zadaie 12 Ustalić charakter rozbieżości ciągu (3 + ( 1) ), 1. Zadaie 13 Uzasadić, że astępujący ciąg (si 2) 2, 1jest rozbieży. Zadaie 14 Zbadać zachowaie się ogoa ciągu, 1. 10