STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

Transkrypt

1 Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości, zapozaie ze tatytyczą aalizą wyików pomiarów, poobami zajdowaia i elimiacji wyików obarczoych błędami grubymi, oceą kładowej przypadkowej błędu, wkazaie a koieczość aalizy waruków i wyików pomiarów pod kątem obecości kładowej ytematyczej błędu PROGRAM ĆWICZENIA Pomiary wymiarów liiowych trójkątów, a, b, c, h a, h b, h c a zapozać ię z obługą uwmiarki i przeprowadzić kilka pomiarów próbych b przygotować tabele pomiarowe, Numer Nr a b c h a h b h c tudeta Trójkąta Numer tudeta odpowiada umerowi pierwzego trójkąta jaki mierzył tudet Te pierwzy trójkąt jet jego trójkątem c zmierzyć wymiary a, b, c, h a, h b, h c, wojego trójkąta a wyiki zapiać w tabeli w wierzu odpowiadającym umerowi trójkąta d wymieiać z kolegami trójkąty (ewetualie rówież uwmiarki - patrz uwagi), zmierzyć ich wymiary a wyiki wpiać w odpowiedie wierze tabeli Przekazaie wyików pomiarów a podzielić tabelę z wyikami pomiarów a wyiki pomiaru pojedyczych trójkątów,

2 Statytycza ocea wyików pomiaru b zebrać wyiki pozczególych trójkątów- przekazać wyiki pomiaru każdego trójkąta właścicielom trójkątów (pierwzy mierzoy przez tudeta trójkąt jet jego trójkątem) c Przygotować tabelę wyików pomiaru wymiarów liiowych trójkąta wojego trójkąta 3 Przygotowaie tabel z wyikami pozczególych trójkątów a Tabela wyików pomiarów wymiarów liiowych trójkąta r Nr tudeta a b c h a h b h c 8 X X- wartość średia wyików; - odchyleie tadardowe b Tabela wyików pomiaru pośrediego pola trójkąta r Nr tudeta 8 P a [mm ] P b [mm ] P c [mm ] P H [mm ] X P- powierzchia trójkąta; P a, P b, P c powierzchia obliczoa z odpowiediej podtawy i wyokości, P H - powierzchia obliczoa z wzoru Heroa Aaliza i opracowaie wyików pomiarów Każdy tudet przeprowadza idywidualą aalizę wyików pomiarów wojego trójkąta W ramach tej aalizy ależy: a) Zbadać, czy ą pomiary obciążoe błędem grubym i przeprowadzić elimiację lub korektę tych wyików W razie potrzeby wyzaczyć wartości parametrów tatytyczych w korygowaej erii pomiarów b) Przeprowadzić aalizę miar błędów przypadkowych (odchyleń tadardowych ) w wyikach pomiarów boków i wyokości Porówać między obą wartości odchyleń tadardowych w grupie pomiarów boków, w grupie pomiarów wyokości oraz określić relacje między wartościami odchyleń tadardowych pomiarów boków i wyokości c) Porówać iepewość pomiaru wyikającą z błędów przypadkowych pomiarów boków i wyokości z błędem graiczym uwmiarki Podać otatecze wyiki tych pomiarów z uwzględieiem przedziałów iepewości d) Przeprowadzić aalizę wyików obliczeń powierzchi pola badaego trójkąta P za pomocą różych wzorów Sprawdzić czy otrzymae wyiki ie ą przecze Oceić,

3 Statytycza ocea wyików pomiaru 3 czy ą wyiki obarczoe błędami ytematyczymi i jaka mogła być ich przyczya e) * Wyzaczyć miimalą liczbę pomiarów pozczególych boków i wyokości, którą ależałoby wykoać, aby błąd przypadkowy wyzaczeia średiej arytmetyczej w każdym z tych pomiarów, był przyajmiej 0 razy miejzy iż błąd graiczy uwmiarki ( a więc pomijalie mały ) f)*wyzaczyć wartości graicze bezwzględych i względych błędów przypadkowych pomiarów pola trójkąta z różych wzorów Sprawdzić czy zachodzi prawo propagacji błędów przypadkowych, Np czy : (δ p P a ) = (δ p a) + (δ p h a )? WPROWADZENIE DO TEMATU Pomiar jet czyością doświadczalą, wykoywaą w celu wyzaczeia wartości jakiejś wielkości Do wykoaia pomiaru potrzebe ą odpowiedie środki techicze - arzędzia pomiarowe, i oberwator - człowiek wykoujący pomiary i aalizujący ich wyiki Po wykoaiu pomiaru dypoujemy zbiorem wartości odczytaych z przyrządów pomiarowych Są to urowe wyiki pomiarów Mogą być oe uporządkowae i zarejetrowae w potaci pliku daych, tabeli lub wykreu Wyik pomiaru odczytay z przyrządu różi ię prawie zawze od wartości prawdziwej ( rzeczywitej ) mierzoej wielkości, to jet tej którą ma ta wielkość w chwili przeprowadzaia pomiaru Dokładość pomiaru określa bliką zgodość wyiku pomiaru z wartością prawdziwą Miarą dokładości jet błąd pomiaru, będący różicą między otrzymaym wyikiem a wartością prawdziwą Wartość prawdziwa jet pojęciem teoretyczym, idealym W praktyce możemy ię tylko przybliżyć do jej wartości za pomocą wartości poprawej, określoej tak dokładie, że moża a tej podtawie, z pewą iepewością, wyzaczyć błąd pomiaru Najczęściej jedak ie dypoujemy wartością poprawą i błędu pomiaru ie potrafimy określić jedozaczie Umiejętość przewidywaia przyczy i miejc wytępowaia błędów pozwala oceić ich charakter, ozacować ajwiękzą możliwą wartość dodatią i ujemą błędu, zaleźć wzajeme korelacje między błędami w pomiarach pośredich i złożoych itd Źródłami błędów i iepewości w pomiarach ą mi: arzędzia pomiarowe, metoda pomiaru, wpływy zewętrze, obliczeia, oberwator Nieuchroość itieia błędów w pomiarach i trudość z ich zidetyfikowaiem powoduje iepewość wyików pomiarów i rozrzut wartości, które moża w uzaadioy poób przypiać wielkości mierzoej Wyikiem pomiaru jet zatem zawze para liczb charakteryzująca przedział wartości w obrębie którego zajduje ię z makymalie dużym prawdopodobieńtwem wartość prawdziwa mierzoej wielkości Szacowaie przedziału iepewości otrzymaych wyików pomiarów jak i zukaie metod ograiczeia przyczy i miejc wytępowaia błędów jet w metrologii dużą ztuką Loowość zjawik decydujących w dużym topiu o wyikach pomiaru powoduje, że 3

4 Statytycza ocea wyików pomiaru 4 do aalizy błędów i ocey iepewości otrzymywaych wyików wykorzytuje ię modele i metody rachuku prawdopodobieńtwa i tatytyki matematyczej Przeprowadzeie erii pomiarów- czyli -krote powtórzeie pomiaru tej amej wielkości, daje zaę a wyzaczeie błędów o charakterze przypadkowym i admierym Zmiaa metody pomiaru pozwala a zauważeie błędu ytematyczego Spoób doboru metod pomiarowych i powtórzeia pomiaru mui być wybray świadomie, dając zaę a wykrycie błędów jedej z wymieioych kategorii Błędy ytematycze w pomiarach tej amej wartości pewej wielkości, w iezmieych warukach, tym amym arzędziem i metodą pomiarową, przeprowadzoych przez tego amego oberwatora pozotają tałe Wykrycie tych błędów jet możliwe przez powtórzeie pomiarów po zmiaie jedego z czyików wpływających a wyik, p iym arzędziem, w iej temperaturze, w iym miejcu, w przypadku pomiarów pośredich przez korzytaie z iej zależości fukcyjej między wyikiem a wielkościami mierzoymi bezpośredio ( w ćwiczeiu wyiki pomiaru pola trójkąta moża okręcić z różych wzorów i- z długości podtawy i wyokości lub tylko długości boków trójkąta)tp Błąd przypadkowy powoduje, że wyiki kolejych pomiarów zmieiają ię w poób loowy, mimo, że mierzoa jet ta ama wartość wielkości w warukach praktyczie iezmieych Wyikami pomiarów obarczoymi błędami przypadkowymi rządzą prawa tatytyki i ich modelem matematyczym jet rozkład ormaly ( Gaua) Błędy admiere (grube, omyłki) powodują wyraźe odtęptwo wyiku pomiaru w erii od pozotałych wyików otrzymaych w praktyczie iezmieych warukach Bardzo częto ich bezpośredim źródłem jet wykoujący pomiary człowiek Opracowaie erii wyików pomiarów x i ( dla i =, ) i wiokowaie o ich iepewości rozpoczya ię od wyzaczeia podtawowych parametrów tatytyczych daej erii -elemetowej: - wartości średiej arytmetyczej z pomiarów: X = x i i= - odchyleia tadardowego ( odchyleia średiokwadratowego ) wyików pomiarów od wartości średiej: = i = i= ( x X) i Różica miedzy wartością średią z wyików pomiarów i wartością, którą moża uzać za poprawą wyzacza błąd ytematyczy popełiay w każdym z pomiarów w erii Modelem matematyczym błędów przypadkowych jet rozkład ormaly (Gaua) opiay fukcją rozkładu gętości prawdopodobieńtwa f(x) zdarzeń loowych, którymi ą koleje wyiki pomiarów x : = ( x µ ) f( x) exp σ π σ 4

5 Statytycza ocea wyików pomiaru 5 gdzie: µ - wartość oczekiwaa E{x} σ - odchyleie tadardowe Parametr σ azyway jet wariacją Wariacja i odchyleie tadardowe ą miarą rozprozeia wartości x wokół wartości oczekiwaej µ, czyli tej ajbardziej prawdopodobej Z właściwości fukcji gętości prawdopodobieńtwa f(x) wyika określoe prawdopodobieńtwo atępujących zdarzeń loowych ( wyików pomiarów ): P {µ - 3 σ x µ + 3 σ }= 0,997 P {µ - σ x µ + σ }= 0955 P {µ - σ x µ + σ } = 0,683 W tabelach rozkładu ormalego moża zaleźć wartości wpółczyików k, określających prawdopodobieńtwo zdarzeia, że wartość x µ± kσ Wyzaczoa z erii pomiarów: wartość średia X i odchyleie tadardowe ą odpowiedio etymatorami (oceami ) parametrów µ(wartości oczekiwaej) i σ (odchyleia tadardowego) tego rozkładu Ozacza to, że po wykoaiu bardzo wielu wyików pomiarów, w przedziale wartości X± 3 powio zaleźć ię 99,7 % wyików pomiarów Wioek te moża wykorzytać do elimiowaia z erii wyików, pomiarów obciążoych błędem admierym Korekta wyików poprzez elimiację wyików podejrzaych wymaga przeliczeia parametrów X i dla krócoej erii Określająca przedział iepewości wartości 3 może być iterpretowaa jako wartość graicza błędu przypadkowego Prawdopodobieńtwo p, z jakim określa ię wartość błędu przypadkowego, może być miejze iż p=0,997 W wielu przypadkach wytarczająca jet wartość p=0,95 dająca błąd przypadkowy pojedyczego pomiaru p x i = ± Wartość średia wyzaczoa z erii pomiarów jet tym bliżza wartości oczekiwaej im więkza jet liczba pomiarów w erii Odchyleie tadardowe wartości średiej z wyików o odchyleiu tadardowym zależy od liczby i jet rówe: x = Tak więc błąd przypadkowy przypiay wyzaczoej z pomiarów wartości średiej jet miejzy iż błąd przypadkowy pojedyczego pomiaru w erii i wyoi : p X= k gdzie k jet odpowiedim wpółczyikiem dla rozkładu ormalego ( ajczęściej przyjmuje ię k= lub k=3) Parametry rozkładu ormalego touje ię do ocey wyików pomiarów powtórzoych co ajmiej 30 razy W eriach pomiarów miej liczych korzyta ię z właściwości rozkładu t-studeta Wpółczyiki t tego rozkładu ą tabelaryzowae jako 5

6 Statytycza ocea wyików pomiaru 6 fukcja liczby pomiarów i przyjętego prawdopodobieńtwa p i podobie jak wpółczyiki k pełią fukcję wpółczyików rozzerzeia przy wyzaczaiu przedziału iepewości powodowaego błędem przypadkowym W tabeli poiżej podao przykładowe wartości t dla typowych wartości p i liczby pomiarów p=0,95 p=0,997 5,78 6,6 0,6 4,08, ,5 3,58 4,3 3,53 5, 3,49 6, 3,46 7,0 3,43 8,09 3,40 9,08 3,38 0,08 3,35 30,04 3, W takim przypadku, błędy przypadkowe wyzacza ię z zależości aalogiczych jak dla rozkładu ormalego zatępując wpółczyik k odpowiedią wartością wpółczyika t ZADANIA W celu prawdzeia błędu wkazań woltomierza cyfrowego wykoao im trzydzieści pomiarów SEM ogiwa wzorcowego i otrzymao wyiki: a) zbadać, czy ą wyiki pomiarów obciążoe błędami grubymi i ewetualie dokoać ich elimiacji b) wyzaczyć średią U dla podaych wyików pomiarów, c) wyzaczyć z tej próby odchyleie tadardowe: pojedyczego pomiaru-, oraz średiej u, d) ozacować błąd ytematyczy woltomierza jeśli wartość poprawa wzorca SEM wyoi U p = (0860 ± ) V Za pomocą uwmiarki elektroiczej o błędzie graiczym 003 mm i rozdzielczości 00 mm zmierzoo wymiary liiowe trójkąta i otrzymao wyiki, boki: a = 9000 mm, b = 6380 mm, c = 800 mm, wyokości: h a = 5567 mm, h b = 7850 mm, h c = 680 mm Który ze wzorów P a, P b, P c czy P H pozwala a wyzaczeie powierzchi P trójkąta z ajmiejzym błędem graiczym (przy założeiu że błąd graiczy pomiaru boków i wyokości ie jet więkzy iż błąd uwmiarki) 3 Obliczoo średią arytmetyczą R z pomiarów rezytacji, R,R,,R Okazało ię 6

7 Statytycza ocea wyików pomiaru 7 atępie, że k-ty wyik, R k, k, jet obarczoy błędem grubym Wyprowadzić wzór obliczający ową korygowaą wartość średią R (bez poowego umowaia wyików) dla przypadków gdy: a) uuięto k-ty wyik z erii b) korygowao błędy, k-ty wyik R k, zatępując go wyikiem R k po twierdzeiu, że omyłkowo wpiao ią cyfrę a pierwzym miejcu zaczącym 4 * Trójkąt ABC ma zaokrągloe wierzchołki o promieiu krzywizy rówym r każdy, przy czym promień r jet bardzo mały w porówaiu z bokami, r << a,b,c Obliczyć kładową ytematyczą błędu pomiaru trójkąta przy użyciu różych wzorów P a, P b, P c oraz P H powodowaą zaokrągleiami w zależości od wartości r Założyć, że trójkąt jet w przybliżeiu rówoboczy: a b c 7