Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D."

Transkrypt

1 Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt) y Potęga (gdzie i y są róże od zera) jest rówa A.. y Zadaie. ( pkt) Liczba log jest rówa 7 y C. y D. y A.. C. D. Zadaie 4. ( pkt) Wyrażeie dla < 0 jest rówe A.. C. D. Zadaie. ( pkt) W pewym sklepie cey wszystkich płyt CD obiżoo o 0%. Zatem za dwie płyty kupioe w tym sklepie ależy zapłacić miej o A. 0%. 0% C. 0% D. 40% Zadaie 6. ( pkt) Wielomia 4 00 jest rówy A C. 4 0 D Zadaie 7. ( pkt) 6 Rówaie 0 6 A. ie ma rozwiązań.. ma dokładie jedo rozwiązaie. C. ma dokładie dwa rozwiązaia. D. ma dokładie trzy rozwiązaia.

2 4 Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy Zadaie 8. ( pkt) Największą liczbą całkowitą spełiającą ierówość jest A.. 4 C. D. Zadaie 9. ( pkt) Fukcja liiowa f 6 A. jest malejąca i jej wykres przechodzi przez pukt. jest rosąca i jej wykres przechodzi przez pukt 0,6. 0,6. C. jest malejąca i jej wykres przechodzi przez pukt 0, 6. D. jest rosąca i jej wykres przechodzi przez pukt 0, 6. Zadaie 0. ( pkt) Liczby, są rozwiązaiami rówaia Suma jest rówa A. 6. C. 40 D. 48 Zadaie. ( pkt) Na rysuku jest przedstawioy wykres fukcji y f. Zbiorem wartości tej fukcji jest y A. 4,. 4,, C. 4,, D., 6 Zadaie. ( pkt) W trójkącie prostokątym dae są kąty ostre: 7 i 6. Wtedy A. si6. si 6 C. D. cos si rówa się cos

3 6 Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy Zadaie. ( pkt) Ciąg arytmetyczy a jest określoy wzorem a dla. Różica tego ciągu jest rówa A.. C. D. Zadaie 4. ( pkt) W ciągu geometryczym a dae są a i a. Wtedy wyraz a jest rówy A.. C. D. Zadaie. ( pkt) Dae są pukty A 6, i,. Współczyik kierukowy prostej A jest rówy A.. C. D. Zadaie 6. ( pkt) Pole prostokąta jest rówe 40. Stosuek długości jego boków jest rówy :. Dłuższy bok tego prostokąta jest rówy A C. 7 D. 6 Zadaie 7. ( pkt) Day jest trójkąt prostokąty o przyprostokątych i. Promień okręgu opisaego a tym trójkącie jest rówy A.. 8, C. 6, D. Zadaie 8. ( pkt) Dae są dwa okręgi o promieiach i 7. Miejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest rówa A.. C. 7 D. 9 Zadaie 9. ( pkt) Stożek powstał w wyiku obrotu trójkąta prostokątego o przyprostokątych i wokół dłuższej przyprostokątej. Promień podstawy tego stożka jest rówy A.. C. 7, D. 6,

4 8 Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy Zadaie 0. ( pkt) Day jest sześcia ACDEFGH. Siatką ostrosłupa czworokątego ACDE jest E H F G D C A A.. C. D. Zadaie. ( pkt) Jeżeli A jest zdarzeiem losowym oraz A jest zdarzeiem przeciwym do zdarzeia A i PA PA, to prawdopodobieństwo zdarzeia A jest rówe A. 4. C. 6 D. 6

5 Zadaie. ( pkt) Rozwiąż ierówość: ZADANIA OTWARTE Zadaie. ( pkt) Fukcja f jest określoa wzorem f() = Oblicz współczyik b. dla 0. Poadto wiemy, że f (4) = -. Zadaie 4. ( pkt) Podstawy trapezu prostokątego mają długości 6 i 0 oraz tages kąta ostrego jest rówy. Oblicz pole tego trapezu. Zadaie. ( pkt) Trójkąt AC przedstawioy a poiższym rysuku jest rówoboczy, a pukty, C, N są współliiowe. Na boku AC wybrao pukt M tak, że AM = CN. Wykaż, że M = MN. Zadaie 6. ( pkt) Liczby 64,,4 są odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometryczego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu. Zadaie 7. ( pkt) Uzasadij, że dla każdej dodatiej liczby całkowitej liczba jest wielokrotością liczby 0. Zadaie 8. ( pkt) Tabela przedstawia wyiki uzyskae a sprawdziaie przez ucziów klasy III. Ocey 6 4 Liczba ucziów 6 9 Oblicz średią arytmetyczą i kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce. Zadaie 9. ( pkt) Rzucamy dwa razy symetryczą sześcieą kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeia A polegającego a tym, że liczba oczek w drugim rzucie jest o większa od liczby oczek w pierwszym rzucie. Zadaie 0. (4 pkt) Podstawą ostrosłupa ACDS jest romb ACD o boku długości 4. Kąt AC rombu ma miarę 0 o oraz AS = CS = 0 i S = DS. Oblicz sius kąta achyleia krawędzi S do płaszczyzy podstawy ostrosłupa. Zadaie. (4 pkt) Wyzacz rówaie okręgu przechodzącego przez pukt A(;) i styczego do obu osi układu współrzędych. Rozważ wszystkie przypadki. Zadaie. ( pkt) Z dwóch miast A i, odległych od siebie o 8 kilometrów, wyruszyli aprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedą godzię wcześiej iż drugi z miasta. Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaiu pierwszy turysta szedł do miasta jeszcze, godziy, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziy do miasta A.

6 Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad Odp. D A C A A D C C D C A A A C D Zadaie. ( pkt) Rozwiąż ierówość Schemat oceiaia do zadań otwartych 6 0. Rozwiązaie Rozwiązaie ierówości kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap może być realizoway a sposoby: I sposób rozwiązaia (realizacja pierwszego etapu) Zajdujemy pierwiastki trójmiau kwadratowego 6 obliczamy wyróżik tego trójmiau: i stąd 4, 6 6 albo stosujemy wzory Viète a: oraz i stąd 4 oraz albo podajemy je bezpośredio (eplicite lub zapisując postać iloczyową trójmiau lub zazaczając a wykresie) 4, lub 4 0 lub y 4

7 Marzec 0 II sposób rozwiązaia (realizacja pierwszego etapu) Wyzaczamy postać kaoiczą trójmiau kwadratowego a astępie przekształcamy ierówość, tak by jej lewa stroa była zapisaa w postaci iloczyowej Drugi etap rozwiązaia: Podajemy zbiór rozwiązań ierówości, 4. Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązaia i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości, p. o obliczy lub poda pierwiastki trójmiau kwadratowego 4, i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości o zazaczy a wykresie miejsca zerowe fukcji f 6 i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości o rozłoży trójmia kwadratowy a czyiki liiowe, p. 4 i a tym poprzestaie lub błędie rozwiąże ierówość realizując pierwszy etap, popełi błąd (ale otrzyma dwa róże pierwiastki) i kosekwetie do tego rozwiąże ierówość, p. o popełi błąd rachukowy przy obliczaiu wyróżika lub pierwiastków trójmiau kwadratowego i kosekwetie do popełioego błędu rozwiąże ierówość o błędie zapisze rówaia wyikające ze wzorów Viète a: i i kosekwetie do tego rozwiąże ierówość Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań ierówości :, 4 lub, 4 lub 4 albo sporządzi ilustrację geometryczą (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań ierówości w postaci, 4

8 Marzec 0 albo poda zbiór rozwiązań ierówości w postaci graficzej z poprawie zazaczoymi końcami przedziałów 4 Uwagi. Jeżeli zdający poprawie obliczy pierwiastki trójmiau i 4 i zapisze, 4, popełiając tym samym błąd przy przepisywaiu jedego z pierwiastków, to za takie rozwiązaie otrzymuje pukty.. Jeżeli błąd zdającego w obliczeiu pierwiastków trójmiau ie wyika z wykoywaych przez iego czyości (zdający rozwiązuje swoje zadaie ), to otrzymuje 0 puktów za całe zadaie. Zadaie. ( pkt) Fukcja f jest określoa wzorem Oblicz współczyik b. f b 9 dla 9. Poadto wiemy, że f 4. Rozwiązaie Waruek f 4 zapisujemy w postaci rówaia z iewiadomą b: Rozwiązujemy to rówaie i obliczamy współczyik b: b. Schemat oceiaia 4 b. 4 9 Zdający otrzymuje... pkt 4 b gdy poprawie zapisze rówaie z iewiadomą b, p Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy współczyik b. 4

9 Marzec 0 Zadaie 4. ( pkt) Podstawy trapezu prostokątego mają długości 6 i 0 oraz tages kąta ostrego jest rówy. Oblicz pole tego trapezu. Rozwiązaie 6 h 6 4 Obliczamy wysokość trapezu h, korzystając z faktu, że tages kąta ostrego jest rówy : h, stąd h. 4 Zatem pole trapezu jest rówe Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy wysokość trapezu h i a tym poprzestaie lub błędie obliczy pole albo obliczy wysokość trapezu z błędem rachukowym i kosekwetie do popełioego błędu obliczy pole trapezu. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie obliczy pole trapezu P 96. Zadaie. ( pkt) Trójkąt AC przedstawioy a poiższym rysuku jest rówoboczy, a pukty, C, N są współliiowe. Na boku AC wybrao pukt M tak, że AM CN. Wykaż, że M MN. N C M A

10 Marzec 0 I sposób rozwiązaia N C M D A Rysujemy odciek MD rówoległy do odcika A. Uzasadiamy, że trójkąty DM i MCN są przystające a podstawie cechy bkb: D CN, bo D AM MD CM, bo trójkąt MDC jest rówoboczy DM 0 NCM Zatem M MN. Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy apisze, że trójkąty DM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wiosek, że M MN. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, że trójkąty DM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wiosek, że M MN. Uwaga Zdający może też dorysować odciek MD C i aalogiczie pokazać, że trójkąty MD i MNC są przystające. II sposób rozwiązaia Z twierdzeia cosiusów dla trójkąta AM obliczamy M AM A AM A cos 60 AM A AM A AM A AM A. M : 6

11 Marzec 0 Z twierdzeia cosiusów dla trójkąta MCN obliczamy MN MC CN MC CN cos0 MC CN MC CN MC CN MC CN Poieważ AM CN i MC A AM, więc MN A AM AM A AM AM MN : A AM A AM AM A AM AM Zatem M MN, czyli M MN. Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia A AM A AM. Zdający otrzymuje... pkt gdy korzystając z twierdzeia cosiusów, obliczy kwadraty długości odcików M i MN. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, że M MN. Zadaie 6. ( pkt) Liczby 64,,4 są odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometryczego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu. I sposób rozwiązaia Korzystając ze wzoru a trzeci wyraz ciągu geometryczego obliczamy q iloraz ciągu: 464 q q 6 q lub q. 4 4 Poieważ ciąg jest malejący, to Obliczamy koleje wyrazy ciągu: q. 4 64,6,4,, 4, zatem piąty wyraz ciągu jest rówy 4. II sposób rozwiązaia Z własości ciągu geometryczego wyika, że Stąd 6, czyli 6 lub 6. Poieważ ciąg geometryczy jest malejący, to 6, a iloraz tego ciągu q jest rówy 4. Obliczamy koleje wyrazy ciągu: 64,6,4,,, zatem piąty wyraz ciągu jest 4 rówy 4. Uwaga Zdający może obliczyć piąty wyraz ciągu korzystając ze wzoru:

12 Marzec 0 Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy iloraz ciągu: q. 4 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy piąty wyraz ciągu: 4 Zadaie 7. ( pkt) Uzasadij, że dla każdej dodatiej liczby całkowitej liczba wielokrotością liczby 0. jest Rozwiązaie Liczbę przedstawiamy w postaci , gdzie k k jest liczbą całkowitą. Zatem liczba jest wielokrotością liczby 0. Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze liczbę w postaci 0 i ie uzasadi, że liczba jest podziela przez 0. Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełe rozumowaie, p.: przekształci liczbę 0 0 0k, gdzie k jest liczbą całkowitą albo przekształci liczbę 0 do postaci do postaci 0 i zapisze, że liczbą całkowitą albo zapisze liczbę w postaci 0 i uzasadi, że jest podziela przez 0. Uwaga Jeśli zdający zapisuje kolejo: i uzasadia, że jest liczbą podzielą przez, to otrzymuje pukty. jest 8

13 Marzec 0 Zadaie 8. ( pkt) Tabela przedstawia wyiki uzyskae a sprawdziaie przez ucziów klasy III. Ocey 6 4 Liczba ucziów 6 9 Oblicz średią arytmetyczą i kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce. Rozwiązaie Obliczamy średią arytmetyczą oce uzyskaych przez ucziów klasy III: Obliczamy kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce: , 6 Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy średią arytmetyczą oce uzyskaych przez ucziów klasy III i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy lub obliczy średią arytmetyczą oce uzyskaych przez ucziów klasy III z błędem rachukowym i kosekwetie do tego obliczy kwadrat odchyleia stadardowego. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy średią arytmetyczą i kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce: odpowiedio i,6. Zadaie 9. ( pkt) Rzucamy dwa razy symetryczą sześcieą kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeia A polegającego a tym, że liczba oczek w drugim rzucie jest o większa od liczby oczek w pierwszym rzucie. I sposób rozwiązaia jest zbiorem wszystkich par w którym 6. ab, takich, że ab,,,,4,,6 Zdarzeiu A sprzyjają astępujące zdarzeia elemetare:,,,,,4, 4,,,6 Zatem P A A i stąd A. 6. Mamy model klasyczy, 9

14 Marzec 0 Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze, że 6 A,,,,,4, 4,,,6. i Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzeia A: PA. 6 II sposób rozwiązaia: metoda drzewa Rysujemy drzewo i pogrubiamy istote dla rozwiązaia zadaia gałęzie tego drzewa. Zapisujemy prawdopodobieństwa tylko a tych gałęziach Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzeia A: P A Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy albo arysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa a jego gałęziach i wskaże a drzewie właściwe gałęzie (p. pogrubieie gałęzi lub zapisaie prawdopodobieństw tylko a istotych gałęziach) arysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa a jego gałęziach i ie wskazuje a drzewie odpowiedich gałęzi, ale z dalszych obliczeń moża wywioskować, że wybiera właściwe gałęzie. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzeia A: PA. 6 0

15 Marzec 0 III sposób rozwiązaia: metoda tabeli Rysujemy tabelę i wybieramy zdarzeia elemetare sprzyjające zdarzeiu A. II kostka 4 6 X X I kostka X 4 X X 6 6 i A, zatem P A. 6 Schemat oceiaia III sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy arysuje tabelę i wypisze wszystkie zdarzeia sprzyjające lub zazaczy je w tabeli. Zdający otrzymuje... pkt gdy poda poprawą odpowiedź: PA. 6

16 Marzec 0 Zadaie 0. (4 pkt) Podstawą ostrosłupa ACDS jest romb ACD o boku długości 4. Kąt AC rombu ma miarę 0 oraz AS CS 0 i S DS. Oblicz sius kąta achyleia krawędzi S do płaszczyzy podstawy ostrosłupa. I sposób rozwiązaia S b D h c C D O a A f e O C A a a a Wprowadźmy ozaczeia: a długość boku rombu e, f długości przekątych rombu h wysokość ostrosłupa b AS CS c S DS. Obliczamy długości przekątych podstawy. Poieważ AC 0, to trójkąt AD jest rówoboczy. Zatem mamy: f a e D a i OC, f stąd e 4,. Korzystając z twierdzeia Pitagorasa w trójkącie AOS, obliczamy wysokość ostrosłupa: f h b 0 88 h 88 Obliczamy długość krawędzi boczej S: e c h 88 4 c 9

17 Marzec 0 Obliczamy sius kąta achyleia krawędzi boczej S ostrosłupa do płaszczyzy podstawy: h 06 si c si 0,9780. Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia... pkt e Obliczeie długości przekątych podstawy ostrosłupa: e 4 i f 4 (lub f i ). Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Obliczeie wysokości ostrosłupa h. Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... pkt Obliczeie długości krótszej krawędzi boczej ostrosłupa: c. Rozwiązaie pełe... 4 pkt Obliczeie si. II sposób rozwiązaia S b D h c C D O a A f e O C A a a a Wprowadźmy ozaczeia: a długość boku rombu e, f długości przekątych rombu h wysokość ostrosłupa b AS CS c S DS.

18 Marzec 0 Obliczamy długości przekątych podstawy. Poieważ AC 0, to trójkąt AD jest rówoboczy. Zatem mamy: a e D a i f OC, stąd e 4, f 4. Korzystając z twierdzeia Pitagorasa w trójkącie AOS, obliczamy wysokość ostrosłupa: f h b h. Obliczamy tages kąta achyleia krótszej krawędzi boczej ostrosłupa do płaszczyzy podstawy: h tg e Obliczamy si korzystając z tożsamości trygoometryczych: si si tg cos si h 0 88, stąd 88 si si si si si, zatemsi. Uwaga Jeżeli zdający, korzystając z przybliżoej wartości tagesa kąta (tg 4,6904 ), odczyta miarę kąta 78 i astępie zapisze si si 78 0,978, to za takie rozwiązaie otrzymuje 4 pukty. Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia... pkt Obliczeie długości przekątych podstawy ostrosłupa: e 4 i f 4 e f (lub i ). Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Obliczeie wysokości ostrosłupa: h. Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... pkt Obliczeie tagesa kąta achyleia krótszej krawędzi boczej ostrosłupa do płaszczyzy podstawy tg. Rozwiązaie pełe...4 pkt Obliczeie si albo si si 78 0,978. 4

19 Zadaie. (4 pkt) Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych Marzec 0 Wyzacz rówaie okręgu przechodzącego przez pukt, układu współrzędych. Rozważ wszystkie przypadki. Rozwiązaie y A i styczego do obu osi S, R R S r, r A, Poieważ okrąg jest styczy do obu osi układu współrzędych i przechodzi przez pukt A, leżący w I ćwiartce układu współrzędych, to jego środek rówież leży w I ćwiartce układu współrzędych. Stąd środek S tego okręgu ma współrzęde S r, r gdzie r jest promieiem tego okręgu. Rówaie okręgu ma zatem postać r yr r. Pukt A, leży a tym okręgu, więc r r r r,. Stąd otrzymujemy 6r 0. Rozwiązaiami tego rówaia są liczby: r, r. To ozacza, że są dwa okręgi spełiające waruki zadaia o rówaiach y i y. Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Zapisaie współrzędych środka S szukaego okręgu w zależości od promieia r tego S r, r lub zapisaie, że środek okręgu leży a prostej o rówaiu y. okręgu: Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... pkt Zapisaie rówaia kwadratowego z jedą iewiadomą: r r r czyli r 6r 0. Rozwiązaie zadaia do końca lecz z usterkami, które jedak ie przekreślają poprawości rozwiązaia (p. błędy rachukowe)... pkt Zadaie rozwiązae do końca, ale w trakcie rozwiązaia popełiao błędy rachukowe.

20 Marzec 0 Rozwiązaie pełe...4 pkt Zapisaie rówań obu okręgów: w postaci kaoiczej: y i y lub w postaci ogólej: y y 0 i y 00y 0. Uwagi. Jeżeli zdający zapisze rówaie jedego okręgu (ie wyprowadzając go), to otrzymuje pukt.. Jeżeli zdający zapisze rówaia obu okręgów (ie wyprowadzając ich), to otrzymuje pukty. Zadaie. ( pkt) Z dwóch miast A i, odległych od siebie o 8 kilometrów, wyruszyli aprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedą godzię wcześiej iż drugi z miasta. Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaiu pierwszy turysta szedł do miasta jeszcze, godziy, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziy do miasta A. Uwaga W poiżej zamieszczoym schemacie używamy iewiadomych v A, v,, t ozaczających odpowiedio: prędkość turysty z miasta A, prędkość turysty z miasta oraz drogę i czas do mometu spotkaia. Oczywiście iewiadome mogą być ozaczae w iy sposób. Nie wymagamy, by iewiadome były wyraźie opisae a początku rozwiązaia, o ile z postaci rówań jaso wyika ich zaczeie. Rozwiązaie Przyjmujemy ozaczeia, p.: v A, v,, t prędkość turysty z miasta A, prędkość turysty z miasta oraz droga i czas do mometu spotkaia. Zapisujemy zależość między drogą, prędkością v A i czasem t dla jedego z turystów, p.: 8 va (prędkość do chwili spotkaia) i va (prędkość od chwili spotkaia). t, Zapisujemy zależość między drogą, prędkością v i czasem t dla drugiego z turysty (wychodzącego z miasta ), p.: (prędkość od chwili spotkaia). v 8 (prędkość do chwili spotkaia), t v 4 Zapisujemy zależość między drogą a czasem w sytuacji opisaej w zadaiu za pomocą 8 układu rówań t, 8 t 4 6

21 Marzec 0 Rozwiązując układ rówań, doprowadzamy do rówaia z jedą iewiadomą, p.: Rozwiązujemy rówaia otrzymując kolejo: Z drugiego rówaia wyzaczamy 7 t 4 i wstawiamy do pierwszego rówaia 7 7, 8 t t4 t t 8 t t4 t4 t4 możymy obustroie przez t t t4 8 t4 7t 7 8t 8t08 0 dzielimy obustroie przez 8 t t6 0 4 t t t jest sprzecze z warukami zadaia 7 7 obliczamy, t 4 6 a astępie prędkość z jaką szedł każdy z turystów, p: va 4km/h t 8 6 v km/h t Z pierwszego rówaia wyzaczamy 8t 8 t, i wstawiamy do drugiego rówaia 8t8 8t8 t 4 8 t, t, 8 t 8 t t t, t, możymy obustroie przez t, t t t t 8 8 7, 7 7 8t 8t08 0 dzielimy obustroie przez 8 Z drugiego rówaia wyzaczamy t 7 4 t i wstawiamy do pierwszego rówaia 7 4, , , 4 możymy obustroie przez, 96 74, dzielimy obustroie przez, jest sprzecze z warukami zadaia obliczamy t, a astępie prędkość z jaką szedł każdy z turystów, p.: 8 6 va 4km/h,, v km/h 4 4 Z pierwszego rówaia wyzaczamy t, 8 t 8 i wstawiamy do drugiego rówaia, możymy obustroie przez , , 8, dzielimy obustroie przez,

22 Marzec 0 t t t t jest sprzecze z warukami zadaia t jest sprzecze z warukami zadaia obliczamy t, 7 7 obliczamy, t 4 6 a astępie prędkość z jaką szedł każdy a astępie prędkość z jaką szedł każdy z turystów, p.: z turystów, p: 8 6 va 4km/h,, va 4km/h t v 8 6 km/h v km/h 4 4 t Zapisujemy odpowiedź: Turyści szli z prędkościami: v 4 km/h, v km/h. A Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym postęp jest wprawdzie iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia... pkt Zapisaie zależości między prędkością v A, prędkością v, drogą i czasem t dla jedego 8 z turystów, p.: lub 8 lub 8 va t, lub 8 v t 4. t, t 4 Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Zapisaie układu rówań z dwiema iewiadomymi, p.: 8 t, 8 t 4 Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... pkt Zapisaie rówaia z jedą iewiadomą, p.: , 8 t lub, 8 t4 t4 Zdający ie musi zapisywać układu rówań, może bezpośredio zapisać rówaie z jedą iewiadomą. Uwaga: Jeżeli zdający przy pokoywaiu zasadiczych trudości zadaia popełi błędy rachukowe, usterki i a tym zakończy to otrzymuje pukty. Rozwiązaie zadaia do końca lecz z usterkami, które jedak ie przekreślają poprawości rozwiązaia (p. błędy rachukowe)...4 pkt rozwiązaie rówaia z iewiadomą t bezbłędie: t h i ie obliczeie prędkości turystów 8

23 Marzec 0 albo rozwiązaie rówaia z iewiadomą bezbłędie: i ie obliczeie prędkości turystów albo obliczeie t lub z błędem rachukowym i kosekwete obliczeie prędkości. Rozwiązaie pełe... pkt va 4km/h Obliczeie szukaych prędkości: v km/h 9

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Centralna Komisja Egzaminacyjna ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 01 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz ćwiczeniowy zawiera strony (zadania 1 ).. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek. FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz puktowaia

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń: PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 06/07 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Zasady oceiaia rozwiązań zadań Copyright by Nowa Era Sp z oo Próby egzami maturaly z Nową Erą Uwaga: Akceptowae są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. są podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013 /7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać Przeczytaj, zaim zacziesz rozwiązywać Maturzysto! Zaim rozpocziesz rozwiązywaie zadań z aszych arkuszy: Przygotuj: u Arkusz I 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; Arkusz II 5

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A2) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony

Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony Przykładowy arkusz z rozwiązaiai Arkusz II pozio rozszerzoy ( pkt) Pukt A( -, -) jest wierzchołkie robu, którego jede z boków zawiera się w prostej k o rówaiu x - y - 0 Środkie syetrii tego robu jest pukt

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 03 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 0 stron (zadania 30).. Arkusz zawiera 0 zadań zamkniętych i 0 zadań

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZED MATURĄ MAJ 015 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzoy ZBIÓR ZADAŃ Materiały pomocicze dla ucziów i auczycieli Cetrala Komisja Egzamiacyja 05 Zadaia 5 Zadaia Liczby rzeczywiste i wyrażeia algebraicze Rówaia i

Bardziej szczegółowo

Materiał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi

Materiał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi Materiał powtarzay w II etapie II. Ciągi 3 1, dla parzystych 1. Wyzacz sześć początkowych wyrazów ciągu a = { +1, dla ieparzystych. Które wyrazy ciągu a = są rówe 1? 3. Pomiędzy liczby 7 i 5 wstaw 5 liczb

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 008 Czas pracy 0 minut Instrukcja dla

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

MATURA probna listopad 2010

MATURA probna listopad 2010 MATURA probna listopad 00 ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od. do 5. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) - 4 $ 4 Liczba 0 jest równa 4-0, 5 A. B. C. D. 4 Zadanie. ( pkt) Liczba log 6 - log

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź D C B A C B C C D C C D A

Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź D C B A C B C C D C C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 01 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n = /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I. Trygonometria. 1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 2. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 1 MAJA 2010 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Rozwiazaniem nierówności

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P3 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo