Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Transkrypt

1 Egzami, , godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo N). Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo + =. Za każde zadaie, w którym podasz bezbłędie oba kresy i poprawie określisz ich przyależość do zbioru, otrzymasz 2 pukty. Za każde zadaie, w którym podasz bezbłędie oba kresy, ale ie określisz poprawie ich przyależości do zbioru, otrzymasz 1 pukt. Za pozostałe zadaia ie otrzymasz puktów. Możesz otrzymać dodatkowe 2 pukty za wykazaie się kulturą matematyczą przy upraszczaiu wyików po jedym pukcie w zadaiach 1.3 i 1.4. N = {1,2,3,4,5,...} ozacza zbiór liczb aturalych (całkowitych dodatich). { } m 1.1. A = : m, N 252 m if A = 5 Czy kres doly ależy do zbioru A TAK { } m 1.2. B = : m, N 253 m sup A = 27 = 3 3 Czy kres góry ależy do zbioru A NIE if B = 3 25 sup B = 3 Czy kres doly ależy do zbioru B NIE { } m 1.3. C = : m, N 16 8 m 27 Czy kres góry ależy do zbioru B TAK if C = 4/3 sup C = log 8 27 = log 2 3 Czy kres doly ależy do zbioru C TAK { } m 1.4. D = : m, N 16 9 m 27 Czy kres góry ależy do zbioru C NIE if D = log 9 16 = log 3 4 = 2 log 3 2 sup D = 3/2 Czy kres doly ależy do zbioru D NIE Czy kres góry ależy do zbioru D TAK Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

2 1.5. E = {( 2 3 ) : N } if E = 0 sup E = 2 3 Czy kres doly ależy do zbioru E NIE 1.6. F = {( 2 5 ) : N } Czy kres góry ależy do zbioru E TAK if F = 2 5 sup F = ( 2 5 ) 2 = Czy kres doly ależy do zbioru F TAK Czy kres góry ależy do zbioru F TAK 1.7. G = {( ) } 50 : {0,1,2,3,...,49,50} if G = 1 ( ) 50 sup G = 25 Czy kres doly ależy do zbioru G TAK Czy kres góry ależy do zbioru G TAK 1.8. H = {( ) } 50 ( 1) : {0,1,2,3,...,49,50} ( ) 50 if H = 25 Czy kres doly ależy do zbioru H TAK ( ) ( ) sup H = = Czy kres góry ależy do zbioru H TAK 1.9. I = { x2 +2x+1 : x ( 5, 2) } if I = 0 sup I = 4 Czy kres doly ależy do zbioru I TAK Czy kres góry ależy do zbioru I NIE J = { 4 x 2 +2x+1 : x ( 5, 2) } if J = 0 sup J = 2 Czy kres doly ależy do zbioru J TAK Czy kres góry ależy do zbioru J NIE Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

3 Zadaie 2. (10 puktów) Dobrać odpowiedią liczbę wymierą dodatią C i udowodić, że dla dowolej liczby aturalej zachodzą ierówości C C. Rozwiązaie: Stosując wzór a różicę kwadratów w postaci a b = a2 b 2 a+b, prawdziwy w przypadku a+b 0, otrzymujemy = = Szacowaie od dołu (miaowika od góry, czyli od dołu przez 1) prowadzi do: = = 2 = C. Szacowaie od góry (miaowika od dołu, czyli 1/ przez 0) prowadzi do: = = 4 = 2C. Zatem udowodiliśmy podae w treści zadaia oszacowaia ze stałą C = 2.. Uwaga: Nietrudo zauważyć, że ciąg =1 jest rosący, jego pierwszy wyraz jest rówy 2, a graica 4. Wyika stąd, że uzyskae przez as oszacowaia są optymale, w związku z czym w każdym poprawym rozwiązaiu musi być C = 2. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

4 Zadaie 3. (10 puktów) Wyzaczyć takie liczby rzeczywiste p i A, że fukcja f określoa wzorem e px p e x +1 dla x 0 f(x) = x 2 A dla x = 0 jest różiczkowala w zerze. Obliczyć f (0) dla tych wartości parametrów p i A. Rozwiązaie: Korzystając z defiicji pochodej otrzymujemy f f(h) f(0) (0) = lim h 0 h Przy h 0 otrzymujemy iloraz 2 p e ph p e h +1 A h = lim 2 h 0 h = lim h 0 e ph p e h +1 Ah 2 h 3., co ma postać ieozaczoą 0 dla p = 2. Wówczas 0 0 możemy zastosować regułę de l Hospitala. f e 2h 2 e h +1 Ah 2 d H 2e 2h 2 e h 2Ah (0) = lim =. h 0 h 3 3h 2 Przy h 0 otrzymujemy wyrażeie ieozaczoe 0, możemy więc po raz drugi zastosować 0 regułę de l Hospitala. f 4e 2h 2 e h 2A (0) = lim. h 0 6h Przy h 0 otrzymujemy iloraz 2 2A, co ma postać ieozaczoą 0 dla A = 1. Wówczas 0 0 możemy po raz trzeci zastosować regułę de l Hospitala. f 8e 2h 2 e h (0) = lim = 6 h = 1. Odpowiedź: Fukcja f jest różiczkowala dla p = 2, A = 1 i wówczas f (0) = 1. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

5 Zadaie 4. (10 puktów) Wyzaczyć ajmiejszą i ajwiększą wartość fukcji f określoej wzorem f(x) = 16x 2 16x+4 x 2 a przedziale [ 1, 3] oraz podać, w których puktach te wartości są osiągae. Rozwiązaie: Zauważmy, że f(x) = 16x 2 16x+4 x 2 = (4x 2) 2 x 2 = 4x 2 x 2 a zatem wzór a fukcję f możemy zapisać w postaci 4x 2 x 2 dla x [1/2, 3] f(x) = 4x+2 x 2 dla x [ 1, 1/2) W kosekwecji pochoda fukcji f wewątrz przedziału [ 1, 3] jest daa wzorem 4 2x dla x (1/2, 3) f (x) = 4 2x dla x ( 1, 1/2) W pukcie 1/2 pochoda może ie istieć, jedak ie ma potrzeby rozstrzygać jej istieia wystarczy dołączyć te pukt do listy puktów, w których obliczymy wartość fukcji f. Wyzaczamy miejsca zerowe pochodej: 1 W przypadku x (1/2, 3) rówaie f (x) = 0 sprowadza się do 4 2x = 0, co ma rozwiązaie x = 2, które ależy do rozważaego przedziału (1/2, 3). 2 W przypadku x ( 1, 1/2) rówaie f (x)=0 sprowadza się do 4 2x=0, co ma rozwiązaie x = 2, które ie ależy do rozważaego przedziału ( 1, 1/2). Porówamy wartości fukcji f w czterech puktach: końce przedziału: 1 i 3, miejsce zerowe pochodej: 2, pukt, w którym podejrzewamy, że pochoda ie istieje: 1/2. f( 1) = 5, f(1/2) = 1/4, f(2) = 2, f(3) = 1. Odpowiedź: Daa fukcja a podaym przedziale osiąga wartość ajmiejszą rówą 1/4 w pukcie 1/2, a wartość ajwiększą rówą 5 w pukcie 1. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

6 Zadaie 5. (10 puktów) Dowieść, że liczba log jest iewymiera. Rozwiązaie: Przeprowadzimy dowód ie wprost. Załóżmy, że liczba log jest wymiera i iech m/ będzie jej przedstawieiem w postaci ilorazu liczb aturalych (zauważmy, że jest to liczba dodatia). Wówczas otrzymujemy kolejo log = m 30 m/ = m = Rozkładając obie stroy powyższej rówości a iloczyy potęg liczb pierwszych otrzymujemy 2 m 3 m 5 m = Z twierdzeia o jedozaczości rozkładu a czyiki pierwsze wyika, że wykładiki przy odpowiedich potęgach liczb pierwszych po obu stroach rówości są rówe, co prowadzi do astępującego układu rówań: m = 3 m = 4 m = 3 Jedak powyższy układ rówań ie ma rozwiązaia w liczbach dodatich m,, gdyż wówczas mielibyśmy m = 4 > 3 = m. Możliwa jest też ia argumetacja: rozwiązujemy powyższy układ rówań w liczbach rzeczywistych otrzymując jedye rozwiązaie m = = 0 i stwierdzamy, że ie jest to rozwiązaie w liczbach aturalych. Doszliśmy więc do sprzeczości z założeiem, że liczba log jest wymiera. Otrzymaa sprzeczość dowodzi, że liczba log jest iewymiera. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

7 Zadaie 6. (28 puktów) a) (18 puktów) Dobrać takie liczby całkowite A > 0 i B > 1, aby zadaie b) miało ses. b) (10 puktów) Obliczyć graicę ciągu ( lim (+1) 2 + (+1) (+1) (+1) (+A) 2 6 (+B) (+A) 2 3 (+B) k (+1) 2 +2k (+A) 2 (+B) 2 dla A i B dobraych w zadaiu a). Rozwiązaie: Poieważ ostati składik sumy występującej w zadaiu może być zapisay jako (+A) 2 (+B) 2 = cała suma przybiera postać gdzie 2 +2A+A B+B 2 = N() k= A+A (B 1)+B k (+1) 2 +2k, (1) N() = 2A+A2 = 2(B 1)+B2 1, (2) 3 2 i w kosekwecji ma N()+1 składików. Aby zadaie miało ses, dla każdego obie wartości N() określoe rówaiami (2) muszą być rówe i całkowite. W celu zalezieia takich A i B, aby prawe rówaie (2) było spełioe dla każdej liczby aturalej, dokoujemy astępujących jego przekształceń: 2 ( 2A+A 2) = 3 (2(B 1)+B 2 1 ), 4A+2A 2 = 6(B 1)+3 ( B 2 1 ). (3) Aby rówość (3) zachodziła dla każdej liczby aturalej, odpowiedie współczyiki po obu jej stroach muszą być rówe, co prowadzi do astępującego układu rówań: { 4A = 6(B 1) 2A 2 = 3(B 2 1) { 2A = 3(B 1) 2A 2 = 3(B 1)(B +1) Dzieląc drugie rówaie przez pierwsze otrzymujemy A = B +1, co po podstawieiu do rówaia pierwszego daje 2B +2 = 3B 3, skąd B = 5 i A = 6. Wstawiając te wartości do rówości (2) otrzymujemy N() = Wobec tego suma występująca pod zakiem graicy ma składików. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia,

8 Przystępując do rozwiązaia właściwej części zadaia szacujemy sumę (1) obustroie możąc liczbę składików przez ułamek, w którym wykoao iezależe szacowaia a poziomie liczików i miaowików: k (+6) 2 (4+13) (+5) 2 k=0 (+1) 2 (4+13), +2k (+1) 2 a astępie kolejo obliczamy graice oszacowań dolego i górego przy +. Otrzymujemy oraz (4+13) (4+13) (+6) 2 (+1) 2 2 (+5) 2 = (4+13) (+5) 2 = = (4+13) (+6) (+1) 2 = ( 1+ 3 ) 2 4 ( ) ( ) ( ) Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach wioskujemy, że graica daego w zadaiu wyrażeia jest rówa 4. Odpowiedź: Zadaie ma ses dla A = 6, B = 5 i wówczas daa w zadaiu graica jest rówa 4. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia