Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Transkrypt

1 Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla daych idywidualych d d 1 D = x ld + h d d d 1 d+1 gdzie d umer ajlicziejszego przedziału x ld lewy koiec d-tego przedziału h d długość d-tego przedziału Mediaa i kwartyle Dla daych idywidualych x +1/ dla ieparzystego x /+x /+1 dla parzystego Pierwszy kwartyl Q 1 : jeśli 4 jest liczbą całkowitą to Q 1 = x /4 jeśli k < 4 < k + 1 to Q 1 = x k+x k+1 Trzeci kwartyl Q 3 : jeśli 3 4 jest liczbą całkowitą to Q 1 = x 3/4 jeśli k < 3 4 < k + 1 to Q 1 = x k+x k+1 Są też w użyciu ie wzory a kwartyle dla szeregu idywidualego Kwartyle dla szeregów idywidualych stosuje się rzadko! Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi gdzie m i umer grupy zawierającej daą o umerze i 4 ; m i 1 j suma liczebości od pierwszego przedziału klasowego do przedziału poprzedzającego przedział kwartyla; mi liczebość przedziału w którym zajduje się kwartyl Dla i = 1 otrzymujemy kwartyl Q 1 dla i = kwartyla Q czyli mediaę dla i = 3 kwartyl Q 3 Miary rozproszeia Wariacja Dla daych idywidualych: s = 1 x i x s = 1 i ẋ i x gdzie ẋ i - środek i-tego przedziału Rówie często w literaturze wariację defiiuje się dzieląc przez 1 zamiast przez Odchyleie stadardowe: s = s Odchyleie przecięte od średiej: Dla daych idywidualych: d = 1 x i x d = 1 i ẋ i x gdzie ẋ i - środek i-tego przedziału Typowy klasyczy obszar zmieości Rozstęp Odchyleie ćwiartkowe x s x x + s R = x max x mi Q = Q 3 Q 1 Typowy pozycyjy obszar zmieości M Q x M + Q Współczyik zmieości klasyczy V x = s x Współczyik zmieości pozycyjy V x = Q M 1

2 Momet cetraly rzędu l Dla daych idywidualych M l = 1 M l = x i x l i ẋ i x l Klasyczy współczyik asymetrii A x = M 3 s 3 Współczyik skośości asymetrii A s = x D s A s > 0 asymetria prawostroa A s < 0 asymetria lewostroa A s = 0 symetria Pozycyjy współczyik asymetrii Kurtoza A p = Q 3 + Q 1 M Q K = M 4 s 4 DYNAMIKA ZJAWISK Agregatowy ideks ce Laspeyresa I L p = q i0 p i1 Agregatowy ideks ilości Paaschego I P q = q i0 p i1 Agregatowy ideks ce Paaschego I P p = q i1 p i0 Agregatowy ideks ilości Fishera Iq F = Iq L Iq P Agregatowy ideks ce Fishera Ip F = Ip L Ip P p i0 cea i-tego produktu w okresie podstawowym p i1 cea i-tego produktu w okresie badaym q i0 produkcja i-tego produktu w okresie podstawowym q i1 produkcja i-tego produktu w okresie badaym Ideksy jedopodstawowe o podstawie y 0 J P i = y i y 0 Ideksy łańcuchowe J L i = y i y i 1 Agregatowy ideks wartości I w = Agregatowy ideks ilości Laspeyresa I L q = q i1 p i0

3 Aaliza szeregów czasowych Metoda mechaicza Day jest ciąg y t t = 1 t czas dyskrety Średie ruchome - ieparzysta liczba p podokresów ŷ k = 1 p y k p y k+ p 1 k = p + 1 p 1 błędy średie szacuku Da = t t Db = t t t - parzysta liczba podokresów ŷ k = 1 p 1 y k p + y k p y k+ p y k+ p k = p + 1 p Metoda aalitycza liiowa fukcja tredu wyzaczoa metodą ajmiejszych kwadratów gdzie t = 1 a = ŷ t = at + b t ty t t t b = y at t = + 1 y = 1 y t Odchyleie stadardowe składika losowego y t ŷ t = współczyik zmieości losowej współczyik zgodości v u = y 100% φ = y t ŷ t y t y współczyik determiacji R = 1 φ Model uważa się za dopuszczaly jeśli φ < 0 Ocey parametrów uzajemy za precyzyje jeśli a Da > Wahaia sezoowe b Db > Day jest ciąg y t t = 1 = d m gdzie m - liczba okresów d - liczba sezoów w każdym okresie Krok 1 Wyliczamy ŷ t metodą średich ruchomych albo aalityczą przy średich ruchomych brakuje kilku skrajych daych Niech N j j = 1 d ozacza zbiór zawierający wskaźiki dotyczące j-tego sezou oraz p j liczość zbioru N j Zwykle N j = {mj mj 1 + mj} - wtedy p j = d; przy średich ruchomych zbiory N 1 oraz N m są pomiejszoe o skraje liczby i p 1 oraz p m są miejsze Krok Wyliczamy Krok 3 Liczymy średie S t = y t ŷ t S s j = 1 S i j = 1 d p j i N j zwae surowymi wskaźikami sezoowości Krok 4 opcjoaly Liczymy oczyszczoe wskaźiki sezoowości: gdzie k = 1 m d S s j S o j = Ss j k Współzależość zjawisk Tablica korelacyja y j x i y 1 y y l i x l 1 x 1 l x k k1 k kl k j 1 l 3

4 x i - wartości pierwszej cechy y j - wartości drugiej cechy ij - liczość zbioru z warością cechy pierwszej x i i drugiej y j i = j = = l ip p=1 k pj p=1 l ij Cechy mierzale s x = 1 x = 1 x i i y = 1 x j j x i x i s y = 1 Kowariacja Cxy = Cyx = 1 Współczyik korelacji r xy = r yx = x j = 1 j y i = 1 i s jx = 1 j y j y j x i y j ij xy Cxy SxSy x i ij x j ij j=l x i x j ij χ = ij ij i j Współczyik kotygecji C xy χ C xy = χ + Współczyik Czuprowa T xy T xy = χ k 1l 1 Model korelacji i regresji liiowej dwóch zmieych: Współczyik korelacji rag Spearmaa Numerujemy dae x i oraz y i wg kolejości rosącej p odpowiedio liczbami a i oraz b i Wtedy s x = 1 Rxy = Ryx = 1 x = 1 ŷx = ax + b x i y = 1 Cxy = 1 6 a i b i 1 y i x i xy i y x i x s y = 1 r xy = r yx = Cxy sxsy y i y s i y = 1 i y j x i ij Dla cechy ciągłej zastępujemy wartości x i y i środkami przedziałów klasowych Cechy iemierzale x i i y j są wtedy pewymi charakterystykami własościami Defiiujemy: a = Cxy s x b = y ax ŷ i = yx i Odchyleie stadardowe składika losowego 4

5 y i ŷ i = Współczyik zgodości φ = y i ŷ i y i y Współczyik determiacji R = 1 φ Błędy średie szacuku parametrów fukcji regresji Da = x i x Db = x i x i x Uzaje się że parametry są oszacowae precyzyjie jeśli a Da > oraz Progoza i błąd progozy przy czym b Db > yx = ax + b ± Sy Sy = x x + x i x 5