Metody analizy długozasięgowej
|
|
- Daria Witkowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter Metody aalizy długozasięgowej Adrzej Zacharewicz Warsztat aalizy zależości długotermiowej jest wciąż rozwijay i udoskoalay. Od czasów Hursta (95) i jego aalizy R/S powstało wiele owych metod. Wiele z ich jest a tyle owych, że posiadają dopiero status sposobów pomociczych, przy pomocy których patrzymy a dae w owy sposób. Niektóre z ich ie są jeszcze do końca zbadae i sformalizowae, ale staowią doskoałe arzędzia obróbki szeregów czasowych. Oto metody zaimplemetowae w programie Log Memory Aalysis.. Aaliza R/S. Budowiczy tam rzeczych, hydrolog H.E. Hurst pracując ad projektem tamy a rzece Nil dyspoował 847-letim zapisem poziomu Nilu zostawioym przez Egipcja. Wielu hydrologów przypuszczało, że poziom rzeki jest procesem całkowicie losowym, iezależym od przeszłości. Jedak Hurst, aalizując zapisy Egipcja odkrył, że dae wcale ie reprezetują takiej losowości, chociaż stadardowe metody aalizy statystyczej a ic takiego ie wskazywały. Dlatego Hurst stworzył całkiem ową metodę aalizy daych. W roku 908 Eistei opublikował pracę a temat ruchu Browa. Udowodił w iej, że cząsteczka poruszająca się ruchem Browa pokouje w czasie t odległość R =. t Hurst przy pomocy przeskalowaego zasięgu (rescaled rage, R/S) rozszerzył te model a astępujący: R S = c H (.) gdzie S jest odchyleiem stadardowym przyrostów w czasie, c jest pewą dodatią stałą, ozacza ilość obserwacji (u as będzie to ilość elemetów szeregu czasowego), zaś H jest wykładikiem Hursta. Aby wyzaczyć H ależy ajpierw dla różych obliczyć wartości średie R/S, a astępie, przy pomocy regresji liiowej, rozwiązać rówaie l (R/S) = l c + H l. Wystarczy zatem wykreślić w skali podwójie logarytmiczej (R/S) względem. Nachyleie krzywej będzie wtedy estymować H. Hurst rozszerzył model Eisteia z t 0.5 do t H. Jeśli dae pochodzą z ciągu iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie, to otrzymujemy asymptotyczy wzór Hursta: E( R / S ) π = Sedo aalizy R/S tkwi w przeskalowaiu zasięgu. Zwrot te jest często używay w aalizie procesów samopodobych. Polega to a aalizowaiu zasięgu R jaki ma szereg czasowy w różych
2 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter odstępach czasu. Porówując go z podobym zasięgiem w przypadku iezależych zmieych losowych (i.i.d.) możemy wysuąć wioski, co do iezależości i ewetualej długości pamięci aszego procesu. Istieją trzy klasy wartości wykładika Hursta. Jeśli H=0,5 to proces zachowuje się tak jak błądzeie losowe, czyli i.i.d. Jeśli ie, szereg ie jest iezależy: H=0,5 - biały szum (white oise) - szereg i.i.d., 0<H<0.5 - proces pokouje miejszą drogę iż błądzeie losowe. Dlatego też ma tedecję do częstego,,zawracaia''. Gdy jest wzrastający, to zaczya szybko maleć i odwrotie, po spadku szybko astępuje wzrost. Niewiele empiryczych daych posiada tę własość, taką cechę ma p. zmieość procesów rykowych, 0.5<H< - takie szeregi czasowe pokoują większy dystas iż błądzeie losowe. Gdy proces ma tedecję wzrostową, to z dużym prawdopodobieństwem tą tedecję utrzyma i podobie w przypadku spadku. Nazywa się to zwykle efektem Josepha, przypomiającym am, że po siedmiu latach szczęścia przyjdzie astępe siedem lat iedoli. Podobe procesy rozpatruje się w ubezpieczeiach, gdzie agłe katastrofy wywołują lawię zgłoszeń. Istieje dokłady algorytm opisujący sposób liczeia średiej wartości (R/S), będącej estymatorem przeskalowaego zasięgu E(R/S). Z małymi modyfikacjami zastosowao go w pakiecie LMA. Ze względu a język programowaia, w którym powstał LMA (C++) iektóre fragmety zostały zoptymalizowae pod kątem szybkości wykoaia. Aaliza R/S jest jedą z bardziej czasochłoych metod aalizy długozasięgowej. Podczas badaia zwrotów giełdowych metodą aalizy R/S pojawia się problem zbyt małej liczby daych. Hurst zał historię zmia poziomu Nilu a przestrzei kilkuset lat, więc mógł z dużą dokładością obliczyć R/S dla dużych. Często jedak, tak jak w przypadku daych KGHM, dla dużych liczba podciągów jest zbyt mała, aby uśredioe wartości dawały dobre przybliżeie. Trzeba więc ograiczyć się do krótkich podciągów. Poza tym, że taka aaliza ie będzie już długozasięgowa, okazuje się, że dla małych ie moża sprawdzić, czy baday ciąg składa się z iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie, korzystając z asymptotyczego wzoru Hursta E( R / S ) π = (.) Iymi słowy, jeśli do wyzaczeia H zostały użyte zbyt małe wartości, to fakt, że wartość H jest róża od 0,5 wcale ie implikuje iezależości badaego procesu. W roku 976 Ais i Lloyd zapropoowali iy wzór, który modyfikował wzór Hursta dla małych : E( R / S) Γ( ) πγ( ) = π( ) i= i= i i i i dla 340, dla > 340. (.3) Dla >340 wzór te jest przybliżoy wzorem Stirliga, w celu skróceia obliczeń. Ta propozycja daje zaczie lepsze przybliżeie średich wartości (R/S) iż wzór Hursta. Jedak dla <40
3 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter istieje adal zacza różica pomiędzy wzorem (.3), a wyikiem symulacji komputerowej. Dopiero w roku 994 Peters wprowadził poprawkę, która zapewiła dostateczą zgodość przybliżeia z obserwowaymi w symulacjach wartościami: E( R / S) Γ( 0,5 ) πγ( ) = 0,5 π( ) i= i= i i i i dla dla 340, > 340. (.4) Badając dziee zwroty giełdowe, przyjmujemy, że efekt długiej pamięci występuje wtedy, gdy wartość H wyzaczoa empiryczie (przy pomocy algorytmu przedstawioego poiżej) różi się od wartości teoretyczej przyajmiej o / N. /N jest wariacją H, gdy ciąg składa się z N zmieych i.i.d. o rozkładzie N(0,). Algorytm wyzaczaia (R/S). Ciąg zwrotów o długości N podziel a d podciągów o długości, przy czym moża tego dokoać tylko dla tych, dla których d =N.. Dla każdego podciągu m =,..., d: a) wyzacz średie (arytmetycze) wartości zwrotów (E m ) oraz empirycze odchyleia stadardowe (S m ); b) przeskaluj wartości Z i,m przez odjęcie średiej wartości zwrotów w tym podciągu: X i,m =Z i,m - E m, dla i=,...,; c) skostruuj skumuloway ciąg przeskalowaych zwrotów: i Y i,m =, X j, m dla i=,...,; j = d) oblicz zasięg: R m = max {Y,m,..., Y,m } mi {Y,m,..., Y,m }; e) przeskaluj zasięg: R m /S m. 3. Średia wartość przeskalowaego zasięgu dla podciągów o długości wyosi więc d Rm ( R / S ) = d m = S m
4 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter Jako przykład iech posłuży aaliza ideksu miedziowego z giełdy w Johaesburgu (JOHCOP). W tabeli przedstawioo estymowae parametry wraz z odpowiadającymi im przedziałami. / N = 0,09. Tak więc dae wykazują zależość gdy różica pomiędzy H teoretyczym i H empiryczym będzie większa (co do modułu) od 0,09. H empirycze H teoretycze różica H ,638 0,579 0, ,573 0,579-0, ,4538 0,569-0,063 Na tym przykładzie możemy zaobserwować wszystkie trzy typy szumu. Choć powyżej 440 di wykładik Hursta ie jest zbyt dobrze zdefiioway, to a potrzeby przykładu możemy przyjąć, że istieje. Na przedziale krótkotermiowym, do 76 di obserwujemy długozasięgową zależość daych. Proces zwrotów ideksu ma więc pamięć sięgającą poad pół roku (ajczęściej przyjmuje się 50 di roboczych w roku). Na tym odciku H=0,63. Jest to wyik zaczie miejszy od otrzymaego przez Hursta podczas badaia poziomu Nilu, ale jest zaczący. Aalizując zakres di ie stwierdzamy żadej zależości. Obliczoy wykładik Hursta jest ieco miejszy iż teoretyczy, ale różica mieści się w dopuszczalym przedziale. W zakresie powyżej 440 di wykładik Hursta jest miejszy od 0,5. Ozacza to sytuację, w której szereg te ogląday z perspektywy poad 440 di (iterwał czasowy szeregu = 440 di) będzie pokoywał miejszą drogę iż szereg iezależych daych. W przypadku wielkich wzrostów astępować będzie dążeie do spadków i odwrotie. Następuje swoista autostabilizacja procesu.. Aaliza V. Aaliza V powstała jako uzupełieie i modyfikacja aalizy R/S. Jest oa szczególie przydata w szukaiu cykli ieokresowych. Cykle ieokresowe (operiodic cycles) są aturalym rozszerzeiem pojęcia cyklu okresowego. Siusoida ma ustaloy okres: π. W przypadku procesów losowych okresy jedak ie są a ogół stałe, są losowe. Rówież wahaie takiego okresu wokół jakiegoś okresu główego ie jest zerowe i może zmieiać się zgodie z jakimś rozkładem prawdopodobieństwa. W iektórych przypadkach rozkład te ma dobrze zdefiiowaą średią i wariację. Takie procesy azywamy procesami z cyklami ieokresowymi. Używając aalizy R/S łatwo moża pokazać, że procesy rykowe, w zakresie krótkotermiowym, mają dobrze zdefiioway wykładik Hursta, stąd trudo jest określić ich główy okres. Ale patrząc a strukturę długotermiową ryek zachowuje się iaczej. Aby zaobserwować tę różicę stworzoo statystykę V: V ( R / S) =
5 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter Postępowaie jest podobe jak w przypadku aalizy R/S. Różice polegają a rysowaiu a osi y statystyki V, a ie jej logarytmu, oraz a dzieleiu statystyki przez pierwiastek z. W praktyce aaliza V pozwala a uwydatieie a wykresie tych miejsc (zakresów), w których pojawiają się cykle zależości. Na przykładzie (rys. ), który jest odpowiedikiem aalizy z rys., dokładie to powiększeie widać. Poieważ próbka ma długość tylko 640 di roboczych, więc z dwóch wyróżiających się okresów odrzucamy te drugi (660 di). Dla =660 ilość podciągów, a podstawie których liczymy zasięg wyosi 4, więc jest zbyt mała, aby z zadowalającą dokładością wyliczyć średi zasięg. Pomijając te pukt otrzymujemy główy okres procesu rówy 40 di. Jest to iecały rok bizesowy. Na wykresie przerywaą liią zazaczoa jest statystyka V dla ciągu iezależych zmieych losowych. Jak widać ie mamy tu żadych okresów, ai puktów charakterystyczych. Jest to typowa cecha błądzeia losowego brak główego okresu. 3. Korelacja opóźioa (partial correlatio). Aalizując długość pamięci daego procesu możemy skorzystać ze stadardowej metody a badaie liiowej zależości. Jest ią korelacja pomiędzy dwoma procesami, z tym, że jede z szeregów zostaje przesuięty w czasie o pewą stałą (lag). Jeśli porówujemy w te sposób dwa róże procesy, to mówimy o korelacji opóźioej lub częściowej (lagged correlatio bądź partial correlatio). Gdy zaś takiej aalizie poddajemy jede proces, porówując dwa idetycze, ale wzajemie przesuięte szeregi, mówimy o autokorelacji (autocorrelatio). Oto przykład estymatora korelacji opóźioej dla dwóch szeregów czasowych o długości : ρ( τ ) = t = [ X x][ Y y] t = τ t τ [ X x] [ Y y] t t t = t (.5) Wykresy autokorelacji iosą ze sobą wiele iformacji. Dokładie widzimy prędkość utraty pamięci. Często jedak wyiki otrzymae przy pomocy autokorelacji ie pokrywają się z wyikami aalizy R/S czy aalizy V. Jest tak dlatego, że metoda korelacji opóźioej jest bardzo czuła a krótkie odległości, więc łatwiej jest ią badać krótkotermiowe zależości a ryku. W miarę wzrastaia opóźieia (lag) przedmiotem aalizy są coraz miejsze fragmety procesu, więc dokładość obliczeń się zmiejsza. Jako rozsądy przedział opóźieia przyjmuje się więc N/5. Chcąc więc aalizować korelację w perspektywie roku musimy dyspoować aż pięcioletim zbiorem daych. Na rys. 3 przedstawioy jest przykład zastosowaia autokorelacji w praktyce. Zay już ideks miedziowy wykazuje zależość pomiędzy ostatimi dwoma, czterema i sześcioma miesiącami. Piki malejące w odległościach dwóch miesięcy świadczą o tym, że proces kwadratów zwrotów ideksu JOHCOP jest skoreloway z daymi sprzed dwóch miesięcy. Same zwroty giełdowe ie wykazują autokorelacji. Już dla przesuięcia kilku di korelacja wpada w przedział ufości ruchu Browa. Iaczej dzieje się z wartościami bezwzględymi oraz z kwadratami zwrotów. Oto trzy wykresy ilustrujące autokorelację odpowiedio zwrotów, ich modułów oraz ich kwadratów (rys. 4). Na wykresie autokorelacji samych zwrotów ie widać żadej zależości długotermiowej. Pojawia się oa dopiero przy aalizie wartości bezwzględej zwrotów. Krzywa wolo opada, co ozacza, że proces dla coraz większych odległości traci pamięć. Aaliza kwadratów zwrotów daje jeszcze iy obraz autokorelacji. Wyraźiej zazaczają się kokrete wartości, dla których proces
6 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter wykazuje zależość długotermiową. Szum losowy, czyli korelacja mieszcząca się w przedziale ufości błądzeia losowego, jest też tutaj odpowiedio zduszoy do zera. Dlatego też w aalizie zależości liiowej ajczęściej wybiera się autokorelację kwadratów zwrotów. 4. Wykres wariacji (variace plot). Główą cechą procesów z długą pamięcią jest to, że wariacja średiej z próbki zbiega do zera woliej iż /. Wyraża się to wzorem: Var( X ) c H, (.6) gdzie c>0, a H jest zaym już wykładikiem Hursta. Oto prosty algorytm wykreślaia variace plot oraz estymacji parametru H.. Ciąg zwrotów {Z t } o długości podziel a jedakowe podciągi o długości k0(;/). Otrzymamy w te sposób m k podciągów.. Dla każdego podciągu m=,..., m k oblicz jego empiryczą średią ( k ) = oraz średią z całości Z( k ) = m Z k m Z k j j= m k k j= Z ( k ) j 3. Oblicz empiryczą wariację średich Z m ( k ) s ( k ) = m k m k j= ( Z ( k ) Z( k )) j 4. Powtórz pukty -3 dla k0(;/). 5. Wykreśl (jako pukty) l(s (k)) względem l(k). Dla dużych wartości k, pukty a wykresie powiy układać się w liię prostą, o ujemym współczyiku achyleia rówym H-. W przypadku zależości krótkotermiowej, lub daych iezależych prostą graiczą będzie prosta o achyleiu. Natomiast w przypadku zależości długotermiowej dae ułożą się w prostą o miejszym (co do wartości bezwzględej) współczyiku achyleia. Tak więc variace plot daje am zgrubą iformację o istieiu zależości długozasięgowej w daym procesie, pod warukiem, że zależość ta jest wystarczająco sila. Małe odchyłki od H=0,5 są trude do zweryfikowaia awet dla długich próbek. Mimo tych wad metoda ta jest prosta w użyciu, a variace plot czytely i łatwy w iterpretacji.
7 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter Oto przykłady dwóch procesów: modelu ARCH() (dobraego tak, aby ie wykazywał zależości długotermiowej) oraz ideksu S&P500 a przestrzei lat Variace plot pierwszego procesu (rys. 5) obrazuje dokładie to, co jest główą cechą modelu ARCH: brak zależości długotermiowej. Pukty układają się dokładie wokół liii H=0,5. W takim przypadku ie ma wątpliwości co do braku pamięci takiego szeregu. Na rys. 6 sytuacja wygląda ciekawiej. Po pierwsze, dae ie tworzą prostej. Możemy jedak odrzucić pierwsze pukty obserwacji (do około 0) i otrzymamy już prostą odpowiadającą H=0,8. Jest to co prawda zgruba aproksymacja, ale daje ogóly wgląd w zależości długotermiowe tego procesu. 5. Variogram. Variogramy są często używae w geostatystyce. Na przykład w procesach przestrzeych są wykorzystywae razem z metodologią azywaą krigig. Variogram o opóźieiu k (lag) jest zdefiioway astępująco: V( k ) = E[ ( Xt Xt k ) ]. (.7) Jeśli X t jest procesem stacjoarym z kowariacją γ ( k ) i korelacją ρ( k ), to V(k) zbiega do graicy: V( k ) = γ( 0 )( ρ( k )) = V( )( ρ( k )). Istieje alteratywą metoda wyzaczaia variogramów. Wystarczy po prosty wykreślić średie wartości (X i -X j ) względem i-j dla i<j (i,j=,...,). Otrzymamy wtedy rozrzucoe pukty. Taki algorytm został zastosoway w LMA. Oś y została jedak odpowiedio przeskalowaa, tz. wartości (X i -X j ) zostały jeszcze poddae stadaryzacji, czyli podzieloe przez empiryczą wariację z próby. W te sposób otrzymujemy liię referecyją a poziomie. Procesom bez pamięci będą odpowiadać variogramy złożoe z puktów oscylujących wokół tej prostej. Odczyt variogramu ie jest tak ituicyjy jak w przypadku variace plot. Ma o jedak tę zaletę, że jest dobrze zdefiioway dla procesów iestacjoarych. Na przykład dla ARIMA(0,,0) X t =X t- +0 t z szumem losowym 0 t, V(k) jest rówe kσ, atomiast dla procesu iestacjoarego z ε tredem liiowym X t =at+0 t mamy: V( k ) a = k + σε Jako przykład iech posłużą dwa variogramy, będące wyikiem aalizy szeregu ARCH() oraz ideksu giełdowego DIJA a przełomie prawie całego XX wieku. Rys. 7 obrazuje proces krótkotermiowy. Tutaj wariacja oscyluje wokół wariacji całego szeregu co widać w rówomierym jej rozłożeiu. Świadczy to o braku pamięci, gdyż w takim przypadku, wariacja modelu w miejscach, gdzie zależości długotermiowe mają duży wpływ, byłaby odpowiedio zaburzoa. Tutaj jedak już dla lag=3 proces zdaje się być pozbawioy takich cech. Na rys. 8 przedstawioo variogram z bardzo długiej próbki ideksu Dow Joesa. Tutaj proces wykazuje wspomiae wcześiej zaburzeia wariacji. Dla małych opóźień jest oa iewielka, co może świadczyć o długotermiowej zależości wartości bez-względej zwrotów tego ideksu. Zależość ta sięga aż 00 di bizesowych, czyli poad 4 lata. Wyik te został zaprezetoway przez Petersa, jedak przy pomocy całkiem iej metody, aalizy R/S. Tam zależość obejmowała 044 di. a k.
8 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter 6. Zmieość krótko- i długotermiowa (fie & coarse volatilities). Ią własością szeregów czasowych jest zależość między zmieością krótkotermiową (fie) i długotermiową (coarse). Dla daego procesu zmieość krótkotermiowa została zdefiiowaa jako średia wartości bezwzględych pięciu ostatich zwrotów (dla daych dzieych odpowiada to jedemu tygodiowi): σ + 4 m i = Z t 5 t= m atomiast zmieość długotermiowa jako wartość bezwzględa z sumy pięciu ostatich zwrotów: m + 4 t= m ςi = Z t (.9) Oczywiście podział a przedziały o długości 5 jest umowy i zależy od typu daych. Mogą to być odciki zawierające 6, 0 bądź 0 sąsiedich zwrotów. Np. dla badaego co 30 miut kursu wymiay USD/DEM (Olse), zmieość krótkotermiowa została zdefiiowaa jako średia z wartości bezwzględych sześciu ostatich zwrotów, co odpowiada 3-godziemu przedziałowi czasowemu. Dzięki takiej defiicji otrzymujemy róże pukty obserwacyje ryku. Zmieość krótkotermiowa będzie odpowiadała horyzotowi graczy krótkotermiowych, zwracających uwagę a małe i krótkie wahaia a ryku oraz czerpiących z tego korzyści. Natomiast zmieość długotermiowa będzie odzwierciedleiem hadlarzy długotermiowych, stosujących ią strategię polegającą a obserwacji ryku w szerszej skali czasowej. (.8) Oto przykład zastosowaia metody fie&coarse volatilities. Na rysuku 9 przedstawioo wykres korelacji między zmieością krótko- i długotermiową dla modelu GARCH(4,4). Parametry zostały tak dobrae, aby proces miał charakter długotermiowy. GARCH(4,4) i b i c i , 0, 0, 0, 3 0, 0, 4 0, 0, Objawia się to wolym opadaiem krzywej auto-korelacji. Mimo tego różica pomiędzy lewą i prawą stroą jest zikoma (mieści się w 95% przedziale ufości ruchu Browa). Nie moża więc mówić o wpływie jedej zmieości a drugą. Rys. 0 jest odpowiedikiem rys. 9 z tym, że tutaj aalizoway jest szereg HARCH(4096). Oto wartości jego współczyików:
9 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter HARCH(4096) i c i , , , ,0 Parametry modelu zostały tak dobrae, aby przedstawić właśie tę cechę daych fiasowych wpływ zmieości długotermiowej a krótkotermiową zmieość długotermiowa pozwala lepiej przewidzieć zmieość krótkotermiową iż odwrotie. Wykres różicy między korelacją lewej i prawej stroy przedstawia te wpływ sięgający aż ośmiu ostatich tygodi (zakładając, że dae są daymi dzieymi). Dla daych fiasowych, zwłaszcza kursów wymiay walutowej, istieje makrorykowe uzasadieie tego faktu. Zmieość długotermiowa ma wpływ a krótkotermiową poieważ poziom zmieości długotermiowej odzwierciedla oczekiwae rozmiary tredów a ryku. Z jedej stroy ma to istoty wpływ a zachowaie się hadlarzy krótkotermiowych, którzy w reakcji a zmiaę poziomu tej zmieości zmieiają sposób hadlu, powodując zmiaę zmieości krótkotermiowej. Z drugiej stroy, wahaia poziomu zmieości krótkotermiowej ie maja wpływu a strategię hadlarzy długotermiowych, którzy kierują się raczej wiadomościami fudametalymi. Z rysuków 9-0 widać, że modele HARCH przejawiają tę własość, atomiast modele GARCH już ie. 7. Gęstość empirycza (frequecy distributio). Wyzaczaie empiryczej gęstości rozkładu szeregu czasowego jest rzeczą prostą. Zbiór wartości procesu ależy podzielić a jedakowych odcików. Następie zlicza się ile puktów z szeregu wpada do poszczególych przedziałów. Istoty jest przy tym odpowiedi dobór stałej. Przy zbyt małej ilości przedziałów będą oe odpowiedio szerokie, co da iezbyt precyzyje wyiki. Za duże może przy zbyt małej długości procesu powodować efekt dziur, gdyż ie starczy daych do poprawego zapełieia wszystkich przedziałów. Z wykresu gęstości empiryczej (frequecy distributio) zwaego czasem histogramem moża wyczytać wiele iteresujących własości. W prosty sposób możemy porówać asz proces z procesem gaussowskim. Możemy zobaczyć grubość ogoów, a przede wszystkim skośość daych (skewess). Oto dwa rysuki obrazujące to zagadieie. Na rys. przedstawioo histogram zwrotów błądzeia losowego (realizacja zmieej losowej o rozkładzie ormalym N(0,)). Skośość dla rozkładu ormalego jest zerowa, więc wykres gęstości jest symetryczy względem średiej (badaie skośości jest jedym ze sposobów testowaia zgodości próbki z rozkładem ormalym). Rys. jest histogramem trajektorii modelu TARCH(,,). Oto parametry tego modelu: i a i a i` c i 0 0,0007-0,000 0,000 0, 0, 0,0 0, -0, 0,0
10 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter Zostały oe odpowiedio dobrae do potrzeb tego przykładu. Trajektoria procesu, po obliczeiu jej z szeregu zwrotów, ma prawie liiowy wzrost i byłaby kiepskim estymatorem realego procesu, ale właśie dzięki temu, że większość zwrotów ma zak dodati uzyskujemy prawostroą skośość. Ta iesymetryczość odzwierciedla zachowaie się iwestorów w zależości od tego, czy poprzediego dia cey spadły, czy wzrosły. Współczyiki a i odpowiedziale za zachowaie się iwestorów w czasie, gdy cey spadają, przyjmują wartości ujeme co ozacza, że reakcją a spadek ce jest sprzedaż papierów i odwrotie, w przypadku hossy iwestorzy chętie kupują obiecujące papiery. Z drugiej stroy taka sytuacja prowadzi do efektu umocieia się tredów. Występują wtedy w modelu grupy zbyt moco skorelowaych ze sobą wzrostów i spadków.
Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowoJak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?
Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoZeszyty naukowe nr 9
Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoTRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG
Tomasz ŚWIĘTOŃ 1 TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A ROBLEM ZGODNOŚCI Z RG Na mocy rozporządzeia Rady Miistrów w sprawie aństwowego Systemu Odiesień rzestrzeych już 31 grudia 2009 roku upływa termi wykoaia
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoBADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI
StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoMetoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona) n2 2
Wykład 7 Dwie iezależe próby Często porówujemy wartości pewej zmieej w dwóch populacjach. Przykłady: Grupa zabiegowa i kotrola Lekarstwo a placebo Pacjeci biorący dwa podobe lekarstwa Mężczyźi a kobiety
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału
Bardziej szczegółowoArtykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej
1 Artykuł techiczy Joatha Azañó Dział ds. Zarządzaia Eergią i Jakości Sieci CVM-ET4+ Zgody z ormami dotyczącymi efektywości eergetyczej owy wielokaałowy aalizator sieci i poboru eergii Obeca sytuacja Obece
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: x = 1 STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału Domiata (moda Liczba ajczęściej
Bardziej szczegółowoMiary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia
Pla wykładu Aaliza daych Wykład : Statystyka opisowa. Małgorzata Krętowska Wydział Iformatyki Politechika Białostocka. Statystyka opisowa.. Estymacja puktowa. Własości estymatorów.. Rozkłady statystyk
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowoSIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą
Bardziej szczegółowoMiary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa - dodatek
Statystyka opisowa - dodatek. *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? Liczeie statystyk opisowych w dużych daych może sprawiać problemy. Dla przykładu zauważmy, że aiwa implemetacja średiej arytmetyczej
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoINWESTYCJE MATERIALNE
OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowoModuł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoPOMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne
D o u ż y t k u w e w ę t r z e g o Katedra Iżyierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego POMIARY WARSZTATOWE Ćwiczeia laboratoryje Opracowaie: Urszula Goik, Maciej Kabziński Kraków, 2015 1 SUWMIARKI Suwmiarka
Bardziej szczegółowo40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowo14. RACHUNEK BŁĘDÓW *
4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,
Bardziej szczegółowoStruktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowo2.1. Studium przypadku 1
Uogóliaie wyików Filip Chybalski.. Studium przypadku Opis problemu Przedsiębiorstwo ŚRUBEX zajmuje się produkcją wyrobów metalowych i w jego szerokim asortymecie domiują różego rodzaju śrubki i wkręty.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowoChemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowoStatystyczny opis danych - parametry
Statystyczy opis daych - parametry Ozaczeia żółty owe pojęcie czerwoy, podkreśleie uwaga * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW Zagadieia. Idea
Bardziej szczegółowo2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW
. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik
Bardziej szczegółowoOBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD
OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoHistogram: Dystrybuanta:
Zadaie. Szereg rozdzielczy (przyjmujemy przedziały klasowe o długości 0): x0 xi i środek i*środek i_sk częstości częstości skumulowae 5 5 8 0 60 8 0,6 0,6 5 5 9 0 70 7 0,8 0, 5 5 5 0 600 0, 0,6 5 55 8
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA
Bardziej szczegółowoMetoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.
Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU
Bardziej szczegółowoEkonometria Mirosław Wójciak
Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowo