Metody analizy długozasięgowej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody analizy długozasięgowej"

Transkrypt

1 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter Metody aalizy długozasięgowej Adrzej Zacharewicz Warsztat aalizy zależości długotermiowej jest wciąż rozwijay i udoskoalay. Od czasów Hursta (95) i jego aalizy R/S powstało wiele owych metod. Wiele z ich jest a tyle owych, że posiadają dopiero status sposobów pomociczych, przy pomocy których patrzymy a dae w owy sposób. Niektóre z ich ie są jeszcze do końca zbadae i sformalizowae, ale staowią doskoałe arzędzia obróbki szeregów czasowych. Oto metody zaimplemetowae w programie Log Memory Aalysis.. Aaliza R/S. Budowiczy tam rzeczych, hydrolog H.E. Hurst pracując ad projektem tamy a rzece Nil dyspoował 847-letim zapisem poziomu Nilu zostawioym przez Egipcja. Wielu hydrologów przypuszczało, że poziom rzeki jest procesem całkowicie losowym, iezależym od przeszłości. Jedak Hurst, aalizując zapisy Egipcja odkrył, że dae wcale ie reprezetują takiej losowości, chociaż stadardowe metody aalizy statystyczej a ic takiego ie wskazywały. Dlatego Hurst stworzył całkiem ową metodę aalizy daych. W roku 908 Eistei opublikował pracę a temat ruchu Browa. Udowodił w iej, że cząsteczka poruszająca się ruchem Browa pokouje w czasie t odległość R =. t Hurst przy pomocy przeskalowaego zasięgu (rescaled rage, R/S) rozszerzył te model a astępujący: R S = c H (.) gdzie S jest odchyleiem stadardowym przyrostów w czasie, c jest pewą dodatią stałą, ozacza ilość obserwacji (u as będzie to ilość elemetów szeregu czasowego), zaś H jest wykładikiem Hursta. Aby wyzaczyć H ależy ajpierw dla różych obliczyć wartości średie R/S, a astępie, przy pomocy regresji liiowej, rozwiązać rówaie l (R/S) = l c + H l. Wystarczy zatem wykreślić w skali podwójie logarytmiczej (R/S) względem. Nachyleie krzywej będzie wtedy estymować H. Hurst rozszerzył model Eisteia z t 0.5 do t H. Jeśli dae pochodzą z ciągu iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie, to otrzymujemy asymptotyczy wzór Hursta: E( R / S ) π = Sedo aalizy R/S tkwi w przeskalowaiu zasięgu. Zwrot te jest często używay w aalizie procesów samopodobych. Polega to a aalizowaiu zasięgu R jaki ma szereg czasowy w różych

2 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter odstępach czasu. Porówując go z podobym zasięgiem w przypadku iezależych zmieych losowych (i.i.d.) możemy wysuąć wioski, co do iezależości i ewetualej długości pamięci aszego procesu. Istieją trzy klasy wartości wykładika Hursta. Jeśli H=0,5 to proces zachowuje się tak jak błądzeie losowe, czyli i.i.d. Jeśli ie, szereg ie jest iezależy: H=0,5 - biały szum (white oise) - szereg i.i.d., 0<H<0.5 - proces pokouje miejszą drogę iż błądzeie losowe. Dlatego też ma tedecję do częstego,,zawracaia''. Gdy jest wzrastający, to zaczya szybko maleć i odwrotie, po spadku szybko astępuje wzrost. Niewiele empiryczych daych posiada tę własość, taką cechę ma p. zmieość procesów rykowych, 0.5<H< - takie szeregi czasowe pokoują większy dystas iż błądzeie losowe. Gdy proces ma tedecję wzrostową, to z dużym prawdopodobieństwem tą tedecję utrzyma i podobie w przypadku spadku. Nazywa się to zwykle efektem Josepha, przypomiającym am, że po siedmiu latach szczęścia przyjdzie astępe siedem lat iedoli. Podobe procesy rozpatruje się w ubezpieczeiach, gdzie agłe katastrofy wywołują lawię zgłoszeń. Istieje dokłady algorytm opisujący sposób liczeia średiej wartości (R/S), będącej estymatorem przeskalowaego zasięgu E(R/S). Z małymi modyfikacjami zastosowao go w pakiecie LMA. Ze względu a język programowaia, w którym powstał LMA (C++) iektóre fragmety zostały zoptymalizowae pod kątem szybkości wykoaia. Aaliza R/S jest jedą z bardziej czasochłoych metod aalizy długozasięgowej. Podczas badaia zwrotów giełdowych metodą aalizy R/S pojawia się problem zbyt małej liczby daych. Hurst zał historię zmia poziomu Nilu a przestrzei kilkuset lat, więc mógł z dużą dokładością obliczyć R/S dla dużych. Często jedak, tak jak w przypadku daych KGHM, dla dużych liczba podciągów jest zbyt mała, aby uśredioe wartości dawały dobre przybliżeie. Trzeba więc ograiczyć się do krótkich podciągów. Poza tym, że taka aaliza ie będzie już długozasięgowa, okazuje się, że dla małych ie moża sprawdzić, czy baday ciąg składa się z iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie, korzystając z asymptotyczego wzoru Hursta E( R / S ) π = (.) Iymi słowy, jeśli do wyzaczeia H zostały użyte zbyt małe wartości, to fakt, że wartość H jest róża od 0,5 wcale ie implikuje iezależości badaego procesu. W roku 976 Ais i Lloyd zapropoowali iy wzór, który modyfikował wzór Hursta dla małych : E( R / S) Γ( ) πγ( ) = π( ) i= i= i i i i dla 340, dla > 340. (.3) Dla >340 wzór te jest przybliżoy wzorem Stirliga, w celu skróceia obliczeń. Ta propozycja daje zaczie lepsze przybliżeie średich wartości (R/S) iż wzór Hursta. Jedak dla <40

3 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter istieje adal zacza różica pomiędzy wzorem (.3), a wyikiem symulacji komputerowej. Dopiero w roku 994 Peters wprowadził poprawkę, która zapewiła dostateczą zgodość przybliżeia z obserwowaymi w symulacjach wartościami: E( R / S) Γ( 0,5 ) πγ( ) = 0,5 π( ) i= i= i i i i dla dla 340, > 340. (.4) Badając dziee zwroty giełdowe, przyjmujemy, że efekt długiej pamięci występuje wtedy, gdy wartość H wyzaczoa empiryczie (przy pomocy algorytmu przedstawioego poiżej) różi się od wartości teoretyczej przyajmiej o / N. /N jest wariacją H, gdy ciąg składa się z N zmieych i.i.d. o rozkładzie N(0,). Algorytm wyzaczaia (R/S). Ciąg zwrotów o długości N podziel a d podciągów o długości, przy czym moża tego dokoać tylko dla tych, dla których d =N.. Dla każdego podciągu m =,..., d: a) wyzacz średie (arytmetycze) wartości zwrotów (E m ) oraz empirycze odchyleia stadardowe (S m ); b) przeskaluj wartości Z i,m przez odjęcie średiej wartości zwrotów w tym podciągu: X i,m =Z i,m - E m, dla i=,...,; c) skostruuj skumuloway ciąg przeskalowaych zwrotów: i Y i,m =, X j, m dla i=,...,; j = d) oblicz zasięg: R m = max {Y,m,..., Y,m } mi {Y,m,..., Y,m }; e) przeskaluj zasięg: R m /S m. 3. Średia wartość przeskalowaego zasięgu dla podciągów o długości wyosi więc d Rm ( R / S ) = d m = S m

4 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter Jako przykład iech posłuży aaliza ideksu miedziowego z giełdy w Johaesburgu (JOHCOP). W tabeli przedstawioo estymowae parametry wraz z odpowiadającymi im przedziałami. / N = 0,09. Tak więc dae wykazują zależość gdy różica pomiędzy H teoretyczym i H empiryczym będzie większa (co do modułu) od 0,09. H empirycze H teoretycze różica H ,638 0,579 0, ,573 0,579-0, ,4538 0,569-0,063 Na tym przykładzie możemy zaobserwować wszystkie trzy typy szumu. Choć powyżej 440 di wykładik Hursta ie jest zbyt dobrze zdefiioway, to a potrzeby przykładu możemy przyjąć, że istieje. Na przedziale krótkotermiowym, do 76 di obserwujemy długozasięgową zależość daych. Proces zwrotów ideksu ma więc pamięć sięgającą poad pół roku (ajczęściej przyjmuje się 50 di roboczych w roku). Na tym odciku H=0,63. Jest to wyik zaczie miejszy od otrzymaego przez Hursta podczas badaia poziomu Nilu, ale jest zaczący. Aalizując zakres di ie stwierdzamy żadej zależości. Obliczoy wykładik Hursta jest ieco miejszy iż teoretyczy, ale różica mieści się w dopuszczalym przedziale. W zakresie powyżej 440 di wykładik Hursta jest miejszy od 0,5. Ozacza to sytuację, w której szereg te ogląday z perspektywy poad 440 di (iterwał czasowy szeregu = 440 di) będzie pokoywał miejszą drogę iż szereg iezależych daych. W przypadku wielkich wzrostów astępować będzie dążeie do spadków i odwrotie. Następuje swoista autostabilizacja procesu.. Aaliza V. Aaliza V powstała jako uzupełieie i modyfikacja aalizy R/S. Jest oa szczególie przydata w szukaiu cykli ieokresowych. Cykle ieokresowe (operiodic cycles) są aturalym rozszerzeiem pojęcia cyklu okresowego. Siusoida ma ustaloy okres: π. W przypadku procesów losowych okresy jedak ie są a ogół stałe, są losowe. Rówież wahaie takiego okresu wokół jakiegoś okresu główego ie jest zerowe i może zmieiać się zgodie z jakimś rozkładem prawdopodobieństwa. W iektórych przypadkach rozkład te ma dobrze zdefiiowaą średią i wariację. Takie procesy azywamy procesami z cyklami ieokresowymi. Używając aalizy R/S łatwo moża pokazać, że procesy rykowe, w zakresie krótkotermiowym, mają dobrze zdefiioway wykładik Hursta, stąd trudo jest określić ich główy okres. Ale patrząc a strukturę długotermiową ryek zachowuje się iaczej. Aby zaobserwować tę różicę stworzoo statystykę V: V ( R / S) =

5 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter Postępowaie jest podobe jak w przypadku aalizy R/S. Różice polegają a rysowaiu a osi y statystyki V, a ie jej logarytmu, oraz a dzieleiu statystyki przez pierwiastek z. W praktyce aaliza V pozwala a uwydatieie a wykresie tych miejsc (zakresów), w których pojawiają się cykle zależości. Na przykładzie (rys. ), który jest odpowiedikiem aalizy z rys., dokładie to powiększeie widać. Poieważ próbka ma długość tylko 640 di roboczych, więc z dwóch wyróżiających się okresów odrzucamy te drugi (660 di). Dla =660 ilość podciągów, a podstawie których liczymy zasięg wyosi 4, więc jest zbyt mała, aby z zadowalającą dokładością wyliczyć średi zasięg. Pomijając te pukt otrzymujemy główy okres procesu rówy 40 di. Jest to iecały rok bizesowy. Na wykresie przerywaą liią zazaczoa jest statystyka V dla ciągu iezależych zmieych losowych. Jak widać ie mamy tu żadych okresów, ai puktów charakterystyczych. Jest to typowa cecha błądzeia losowego brak główego okresu. 3. Korelacja opóźioa (partial correlatio). Aalizując długość pamięci daego procesu możemy skorzystać ze stadardowej metody a badaie liiowej zależości. Jest ią korelacja pomiędzy dwoma procesami, z tym, że jede z szeregów zostaje przesuięty w czasie o pewą stałą (lag). Jeśli porówujemy w te sposób dwa róże procesy, to mówimy o korelacji opóźioej lub częściowej (lagged correlatio bądź partial correlatio). Gdy zaś takiej aalizie poddajemy jede proces, porówując dwa idetycze, ale wzajemie przesuięte szeregi, mówimy o autokorelacji (autocorrelatio). Oto przykład estymatora korelacji opóźioej dla dwóch szeregów czasowych o długości : ρ( τ ) = t = [ X x][ Y y] t = τ t τ [ X x] [ Y y] t t t = t (.5) Wykresy autokorelacji iosą ze sobą wiele iformacji. Dokładie widzimy prędkość utraty pamięci. Często jedak wyiki otrzymae przy pomocy autokorelacji ie pokrywają się z wyikami aalizy R/S czy aalizy V. Jest tak dlatego, że metoda korelacji opóźioej jest bardzo czuła a krótkie odległości, więc łatwiej jest ią badać krótkotermiowe zależości a ryku. W miarę wzrastaia opóźieia (lag) przedmiotem aalizy są coraz miejsze fragmety procesu, więc dokładość obliczeń się zmiejsza. Jako rozsądy przedział opóźieia przyjmuje się więc N/5. Chcąc więc aalizować korelację w perspektywie roku musimy dyspoować aż pięcioletim zbiorem daych. Na rys. 3 przedstawioy jest przykład zastosowaia autokorelacji w praktyce. Zay już ideks miedziowy wykazuje zależość pomiędzy ostatimi dwoma, czterema i sześcioma miesiącami. Piki malejące w odległościach dwóch miesięcy świadczą o tym, że proces kwadratów zwrotów ideksu JOHCOP jest skoreloway z daymi sprzed dwóch miesięcy. Same zwroty giełdowe ie wykazują autokorelacji. Już dla przesuięcia kilku di korelacja wpada w przedział ufości ruchu Browa. Iaczej dzieje się z wartościami bezwzględymi oraz z kwadratami zwrotów. Oto trzy wykresy ilustrujące autokorelację odpowiedio zwrotów, ich modułów oraz ich kwadratów (rys. 4). Na wykresie autokorelacji samych zwrotów ie widać żadej zależości długotermiowej. Pojawia się oa dopiero przy aalizie wartości bezwzględej zwrotów. Krzywa wolo opada, co ozacza, że proces dla coraz większych odległości traci pamięć. Aaliza kwadratów zwrotów daje jeszcze iy obraz autokorelacji. Wyraźiej zazaczają się kokrete wartości, dla których proces

6 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter wykazuje zależość długotermiową. Szum losowy, czyli korelacja mieszcząca się w przedziale ufości błądzeia losowego, jest też tutaj odpowiedio zduszoy do zera. Dlatego też w aalizie zależości liiowej ajczęściej wybiera się autokorelację kwadratów zwrotów. 4. Wykres wariacji (variace plot). Główą cechą procesów z długą pamięcią jest to, że wariacja średiej z próbki zbiega do zera woliej iż /. Wyraża się to wzorem: Var( X ) c H, (.6) gdzie c>0, a H jest zaym już wykładikiem Hursta. Oto prosty algorytm wykreślaia variace plot oraz estymacji parametru H.. Ciąg zwrotów {Z t } o długości podziel a jedakowe podciągi o długości k0(;/). Otrzymamy w te sposób m k podciągów.. Dla każdego podciągu m=,..., m k oblicz jego empiryczą średią ( k ) = oraz średią z całości Z( k ) = m Z k m Z k j j= m k k j= Z ( k ) j 3. Oblicz empiryczą wariację średich Z m ( k ) s ( k ) = m k m k j= ( Z ( k ) Z( k )) j 4. Powtórz pukty -3 dla k0(;/). 5. Wykreśl (jako pukty) l(s (k)) względem l(k). Dla dużych wartości k, pukty a wykresie powiy układać się w liię prostą, o ujemym współczyiku achyleia rówym H-. W przypadku zależości krótkotermiowej, lub daych iezależych prostą graiczą będzie prosta o achyleiu. Natomiast w przypadku zależości długotermiowej dae ułożą się w prostą o miejszym (co do wartości bezwzględej) współczyiku achyleia. Tak więc variace plot daje am zgrubą iformację o istieiu zależości długozasięgowej w daym procesie, pod warukiem, że zależość ta jest wystarczająco sila. Małe odchyłki od H=0,5 są trude do zweryfikowaia awet dla długich próbek. Mimo tych wad metoda ta jest prosta w użyciu, a variace plot czytely i łatwy w iterpretacji.

7 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter Oto przykłady dwóch procesów: modelu ARCH() (dobraego tak, aby ie wykazywał zależości długotermiowej) oraz ideksu S&P500 a przestrzei lat Variace plot pierwszego procesu (rys. 5) obrazuje dokładie to, co jest główą cechą modelu ARCH: brak zależości długotermiowej. Pukty układają się dokładie wokół liii H=0,5. W takim przypadku ie ma wątpliwości co do braku pamięci takiego szeregu. Na rys. 6 sytuacja wygląda ciekawiej. Po pierwsze, dae ie tworzą prostej. Możemy jedak odrzucić pierwsze pukty obserwacji (do około 0) i otrzymamy już prostą odpowiadającą H=0,8. Jest to co prawda zgruba aproksymacja, ale daje ogóly wgląd w zależości długotermiowe tego procesu. 5. Variogram. Variogramy są często używae w geostatystyce. Na przykład w procesach przestrzeych są wykorzystywae razem z metodologią azywaą krigig. Variogram o opóźieiu k (lag) jest zdefiioway astępująco: V( k ) = E[ ( Xt Xt k ) ]. (.7) Jeśli X t jest procesem stacjoarym z kowariacją γ ( k ) i korelacją ρ( k ), to V(k) zbiega do graicy: V( k ) = γ( 0 )( ρ( k )) = V( )( ρ( k )). Istieje alteratywą metoda wyzaczaia variogramów. Wystarczy po prosty wykreślić średie wartości (X i -X j ) względem i-j dla i<j (i,j=,...,). Otrzymamy wtedy rozrzucoe pukty. Taki algorytm został zastosoway w LMA. Oś y została jedak odpowiedio przeskalowaa, tz. wartości (X i -X j ) zostały jeszcze poddae stadaryzacji, czyli podzieloe przez empiryczą wariację z próby. W te sposób otrzymujemy liię referecyją a poziomie. Procesom bez pamięci będą odpowiadać variogramy złożoe z puktów oscylujących wokół tej prostej. Odczyt variogramu ie jest tak ituicyjy jak w przypadku variace plot. Ma o jedak tę zaletę, że jest dobrze zdefiioway dla procesów iestacjoarych. Na przykład dla ARIMA(0,,0) X t =X t- +0 t z szumem losowym 0 t, V(k) jest rówe kσ, atomiast dla procesu iestacjoarego z ε tredem liiowym X t =at+0 t mamy: V( k ) a = k + σε Jako przykład iech posłużą dwa variogramy, będące wyikiem aalizy szeregu ARCH() oraz ideksu giełdowego DIJA a przełomie prawie całego XX wieku. Rys. 7 obrazuje proces krótkotermiowy. Tutaj wariacja oscyluje wokół wariacji całego szeregu co widać w rówomierym jej rozłożeiu. Świadczy to o braku pamięci, gdyż w takim przypadku, wariacja modelu w miejscach, gdzie zależości długotermiowe mają duży wpływ, byłaby odpowiedio zaburzoa. Tutaj jedak już dla lag=3 proces zdaje się być pozbawioy takich cech. Na rys. 8 przedstawioo variogram z bardzo długiej próbki ideksu Dow Joesa. Tutaj proces wykazuje wspomiae wcześiej zaburzeia wariacji. Dla małych opóźień jest oa iewielka, co może świadczyć o długotermiowej zależości wartości bez-względej zwrotów tego ideksu. Zależość ta sięga aż 00 di bizesowych, czyli poad 4 lata. Wyik te został zaprezetoway przez Petersa, jedak przy pomocy całkiem iej metody, aalizy R/S. Tam zależość obejmowała 044 di. a k.

8 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter 6. Zmieość krótko- i długotermiowa (fie & coarse volatilities). Ią własością szeregów czasowych jest zależość między zmieością krótkotermiową (fie) i długotermiową (coarse). Dla daego procesu zmieość krótkotermiowa została zdefiiowaa jako średia wartości bezwzględych pięciu ostatich zwrotów (dla daych dzieych odpowiada to jedemu tygodiowi): σ + 4 m i = Z t 5 t= m atomiast zmieość długotermiowa jako wartość bezwzględa z sumy pięciu ostatich zwrotów: m + 4 t= m ςi = Z t (.9) Oczywiście podział a przedziały o długości 5 jest umowy i zależy od typu daych. Mogą to być odciki zawierające 6, 0 bądź 0 sąsiedich zwrotów. Np. dla badaego co 30 miut kursu wymiay USD/DEM (Olse), zmieość krótkotermiowa została zdefiiowaa jako średia z wartości bezwzględych sześciu ostatich zwrotów, co odpowiada 3-godziemu przedziałowi czasowemu. Dzięki takiej defiicji otrzymujemy róże pukty obserwacyje ryku. Zmieość krótkotermiowa będzie odpowiadała horyzotowi graczy krótkotermiowych, zwracających uwagę a małe i krótkie wahaia a ryku oraz czerpiących z tego korzyści. Natomiast zmieość długotermiowa będzie odzwierciedleiem hadlarzy długotermiowych, stosujących ią strategię polegającą a obserwacji ryku w szerszej skali czasowej. (.8) Oto przykład zastosowaia metody fie&coarse volatilities. Na rysuku 9 przedstawioo wykres korelacji między zmieością krótko- i długotermiową dla modelu GARCH(4,4). Parametry zostały tak dobrae, aby proces miał charakter długotermiowy. GARCH(4,4) i b i c i , 0, 0, 0, 3 0, 0, 4 0, 0, Objawia się to wolym opadaiem krzywej auto-korelacji. Mimo tego różica pomiędzy lewą i prawą stroą jest zikoma (mieści się w 95% przedziale ufości ruchu Browa). Nie moża więc mówić o wpływie jedej zmieości a drugą. Rys. 0 jest odpowiedikiem rys. 9 z tym, że tutaj aalizoway jest szereg HARCH(4096). Oto wartości jego współczyików:

9 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter HARCH(4096) i c i , , , ,0 Parametry modelu zostały tak dobrae, aby przedstawić właśie tę cechę daych fiasowych wpływ zmieości długotermiowej a krótkotermiową zmieość długotermiowa pozwala lepiej przewidzieć zmieość krótkotermiową iż odwrotie. Wykres różicy między korelacją lewej i prawej stroy przedstawia te wpływ sięgający aż ośmiu ostatich tygodi (zakładając, że dae są daymi dzieymi). Dla daych fiasowych, zwłaszcza kursów wymiay walutowej, istieje makrorykowe uzasadieie tego faktu. Zmieość długotermiowa ma wpływ a krótkotermiową poieważ poziom zmieości długotermiowej odzwierciedla oczekiwae rozmiary tredów a ryku. Z jedej stroy ma to istoty wpływ a zachowaie się hadlarzy krótkotermiowych, którzy w reakcji a zmiaę poziomu tej zmieości zmieiają sposób hadlu, powodując zmiaę zmieości krótkotermiowej. Z drugiej stroy, wahaia poziomu zmieości krótkotermiowej ie maja wpływu a strategię hadlarzy długotermiowych, którzy kierują się raczej wiadomościami fudametalymi. Z rysuków 9-0 widać, że modele HARCH przejawiają tę własość, atomiast modele GARCH już ie. 7. Gęstość empirycza (frequecy distributio). Wyzaczaie empiryczej gęstości rozkładu szeregu czasowego jest rzeczą prostą. Zbiór wartości procesu ależy podzielić a jedakowych odcików. Następie zlicza się ile puktów z szeregu wpada do poszczególych przedziałów. Istoty jest przy tym odpowiedi dobór stałej. Przy zbyt małej ilości przedziałów będą oe odpowiedio szerokie, co da iezbyt precyzyje wyiki. Za duże może przy zbyt małej długości procesu powodować efekt dziur, gdyż ie starczy daych do poprawego zapełieia wszystkich przedziałów. Z wykresu gęstości empiryczej (frequecy distributio) zwaego czasem histogramem moża wyczytać wiele iteresujących własości. W prosty sposób możemy porówać asz proces z procesem gaussowskim. Możemy zobaczyć grubość ogoów, a przede wszystkim skośość daych (skewess). Oto dwa rysuki obrazujące to zagadieie. Na rys. przedstawioo histogram zwrotów błądzeia losowego (realizacja zmieej losowej o rozkładzie ormalym N(0,)). Skośość dla rozkładu ormalego jest zerowa, więc wykres gęstości jest symetryczy względem średiej (badaie skośości jest jedym ze sposobów testowaia zgodości próbki z rozkładem ormalym). Rys. jest histogramem trajektorii modelu TARCH(,,). Oto parametry tego modelu: i a i a i` c i 0 0,0007-0,000 0,000 0, 0, 0,0 0, -0, 0,0

10 Copyright (c) by Hugo Steihaus Ceter Zostały oe odpowiedio dobrae do potrzeb tego przykładu. Trajektoria procesu, po obliczeiu jej z szeregu zwrotów, ma prawie liiowy wzrost i byłaby kiepskim estymatorem realego procesu, ale właśie dzięki temu, że większość zwrotów ma zak dodati uzyskujemy prawostroą skośość. Ta iesymetryczość odzwierciedla zachowaie się iwestorów w zależości od tego, czy poprzediego dia cey spadły, czy wzrosły. Współczyiki a i odpowiedziale za zachowaie się iwestorów w czasie, gdy cey spadają, przyjmują wartości ujeme co ozacza, że reakcją a spadek ce jest sprzedaż papierów i odwrotie, w przypadku hossy iwestorzy chętie kupują obiecujące papiery. Z drugiej stroy taka sytuacja prowadzi do efektu umocieia się tredów. Występują wtedy w modelu grupy zbyt moco skorelowaych ze sobą wzrostów i spadków.

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG Tomasz ŚWIĘTOŃ 1 TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A ROBLEM ZGODNOŚCI Z RG Na mocy rozporządzeia Rady Miistrów w sprawie aństwowego Systemu Odiesień rzestrzeych już 31 grudia 2009 roku upływa termi wykoaia

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,. Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii. TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej 1 Artykuł techiczy Joatha Azañó Dział ds. Zarządzaia Eergią i Jakości Sieci CVM-ET4+ Zgody z ormami dotyczącymi efektywości eergetyczej owy wielokaałowy aalizator sieci i poboru eergii Obeca sytuacja Obece

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

Miary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Miary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i. Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla

Bardziej szczegółowo

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12 Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu

Bardziej szczegółowo

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i. Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla

Bardziej szczegółowo

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne D o u ż y t k u w e w ę t r z e g o Katedra Iżyierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego POMIARY WARSZTATOWE Ćwiczeia laboratoryje Opracowaie: Urszula Goik, Maciej Kabziński Kraków, 2015 1 SUWMIARKI Suwmiarka

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15 Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW . ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej). Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

Punktowe procesy niejednorodne

Punktowe procesy niejednorodne Modelowaie i Aaliza Daych Przestrzeych Wykład 5 Adrzej Leśiak Katedra Geoiformatyki i Iformatyki Stosowaej Akademia Góriczo-Huticza w Krakowie Puktowe procesy iejedorode Jak wcześiej wspomiao, dla procesów

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Mirosław Wójciak

Ekonometria Mirosław Wójciak Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła

Bardziej szczegółowo

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n Badaie efektu alla w ółrzewodiku tyu 35.. Zasada ćwiczeia W ćwiczeiu baday jest oór elektryczy i aięcie alla w rostoadłościeej róbce kryształu germau w fukcji atężeia rądu, ola magetyczego i temeratury.

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

2. Schemat ideowy układu pomiarowego

2. Schemat ideowy układu pomiarowego 1. Wiadomości ogóle o prostowikach sterowaych Układy prostowikowe sterowae są przekształtikami sterowaymi fazowo. UmoŜliwiają płya regulację średiej wartości apięcia wyprostowaego, a tym samym średiej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Influence of financial crisis on Hurst exponent estimates - fractal analysis of selected metals prices

Influence of financial crisis on Hurst exponent estimates - fractal analysis of selected metals prices MPRA Muich Persoal RePEc Archive Ifluece of fiacial crisis o Hurst expoet estimates - fractal aalysis of selected metals prices Rafa l Bu la Uiversity of Ecoomics i Katowice 0 Olie at http://mpra.ub.ui-mueche.de/5970/

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SKORELOWANIA WYNIKÓW POMIAROWYCH W OCENACH STANU ZAGROŻEŃ HAŁASOWYCH ŚRODOWISKA

ANALIZA SKORELOWANIA WYNIKÓW POMIAROWYCH W OCENACH STANU ZAGROŻEŃ HAŁASOWYCH ŚRODOWISKA SYSTEMY WSPOMAGANIA W INŻYNIERII PRODUKCJI Środowisko i Bezpieczeństwo w Iżyierii Produkcji 2013 5 ANALIZA SKORELOWANIA WYNIKÓW POMIAROWYCH W OCENACH STANU ZAGROŻEŃ HAŁASOWYCH ŚRODOWISKA 5.1 WPROWADZENIE

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA NIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORT ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E13 BADANIE ELEMENTÓW

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0 7. Testowaie hipotez statystyczych 7. Populacja ma rozkład ciągły opisay fukcją gęstości f ( x) ( + ) x dla x [,]. Testowaa jest hipoteza, Ŝe wobec hipotezy alteratywej, Ŝe. Wioskujemy a podstawie jedoelemetowej

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu

Bardziej szczegółowo

Metoda badań terenów poprzemysłowych owych w celu weryfikacji hipotezy o zanieczyszczeniu terenu poprzemysłowego. owego.

Metoda badań terenów poprzemysłowych owych w celu weryfikacji hipotezy o zanieczyszczeniu terenu poprzemysłowego. owego. Metoda badań tereów poprzemysłowych owych w celu weryfikacji hipotezy o zaieczyszczeiu tereu poprzemysłowego owego Joachim Broder 009--9 Pla prezetacji. Prezetacja algorytmu badań tereów poprzemysłowych

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszy Istrukcja do zajęć laboratoryjych z przedmiotu: EKSPLOATACJA MASZYN Wpływ waruków eksploatacji pojazdu a charakterystyki

Bardziej szczegółowo

1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów

1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów 1 Testy statystycze Podczas sprawdzaia hipotez statystyczych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ a odrzuceiu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest oa prawdziwa, czyli

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.

Bardziej szczegółowo

COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871

COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH Kieruek: Fiase i rachukowość Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 Projekt: Badaie statystycze cey baryłki ropy aftowej i wartości dolara

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS Ekoomia Meedżerska 2011, r 10, s. 161 172 Jacek Wolak *, Grzegorz Pociejewski ** Aaliza popytu a alkohol w Polsce z zastosowaiem modelu korekty błędem AIDS 1. Wprowadzeie Okres trasformacji, zapoczątkoway

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.

Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna. Wykład 8. Przedziały ufości dla średiej Średia a mediaa Mediaa dzieli powierzchię histogramu a połowy. Jest odpora ie mają a ią wpływu obserwacje odstające. Obserwacje odstające mają duży wpływ a średią

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N OBWODY SYGNAŁY 1 5. OBWODY NELNOWE 5.1. WOWADZENE Defiicja 1. Obwodem elektryczym ieliiowym azywamy taki obwód, w którym występuje co ajmiej jede elemet ieliiowy bądź więcej elemetów ieliiowych wzajemie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)

Bardziej szczegółowo

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna 3 MAŁGORZATA STEC Dr Małgorzata Stec Zakład Statystyki i Ekoometrii Uiwersytet Rzeszowski Uwarukowaia rozwojowe województw w Polsce aaliza statystyczo-ekoometrycza WPROWADZENIE Rozwój społeczo-gospodarczy

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

Statystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk

Statystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk Statystyka powtórzeie (I semestr) Rafał M. Frąk TEORIA Statystyka Statystyka zajmuje się badaiem procesu zbieraia oraz iterpretacji daych liczbowych lub jakościowych. Przedmiotem statystyki są metody badaia

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

Jak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne

Jak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne K Stowarzyszeie Kosumetów Polskich Jak skuteczie reklamować towary kosumpcyje HALO, KONSUMENT! Chcesz pozać swoje praw a? Szukasz pomoc y? ZADZWOŃ DO INFOLINII KONSUMENCKIEJ BEZPŁATNY TELEFON 0 800 800

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś

STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś 1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.

Bardziej szczegółowo