Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty"

Transkrypt

1 Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew

2 Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae w serii wydawiczej Ćwiczeia z matematyki, a obece ich wydaie zostało dostosowae do potrzeb kursu e-learigowego Matematyka przygotowaego dla studetów kieruku zarządzaie. Prace ad wykorzystaiem komputerów i Iteretu w dydaktyce zostały uruchomioe w aszej Uczeli praktyczie od mometu jej utworzeia. Początkowo było to realizowae główie poprzez przygotowywaie przez wykładowców różego rodzaju materiałów dydaktyczych w wersji cyfrowej (pokazy PowerPoit, dokumety Worda czy Ecela), które były i są udostępiae w zakładce dowload. Kolejy krok to przygotowaie autorskiej platformy testów iteretowych (zakładka Testy). Od roku została uruchomioa w pełi profesjoala platforma e- learigowa, w której do weryfikacji wiedzy przekazywaej w kolejych modułach zaadaptowae zostały wspomiae wcześiej testy iteretowe. Treści zawarte w tym materiale zostały tak przygotowae, aby ułatwić tym z Was, którzy z różych powodów mają problemy z matematyką, przypomieie i zrozumieie szeregu podstawowych pojęć z matematyki elemetarej. Jak korzystać z tych materiałów? Sądzę, że dobrym rozwiązaiem będzie spokoje przeczytaie poszczególych tematów, prześledzeie przykładowych zadań, a astępie trzeba je samemu rozwiązać. Weryfikatorem przyswojoej wiedzy jest w pewym stopiu iteraktywy test komputerowy. W ramach każdego modułu użytkowik dostaje pewą liczbę pytań pokrywających materiał modułu. W pierwszym podejściu próg zaliczeia ustawiay jest z reguły a 5% pozytywych odpowiedzi, a w przypadku iezaliczeia testu próg jest podoszoy o 5% w każdej kolejej próbie. Jausz Górczyński

3 Spis treści GRANICA FUNKCJI.... GRANICA FUNKCJI W PUNKCIE.... GRANICE JEDNOSTRONNE GRANICA W NIESKOŃCZONOŚCI CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ASYMPTOTY FUNKCJI....6 GRANICE FUNKCJI A SZKIC JEJ WYKRESU... ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA... 6 ROZWIĄZANIA ZADAŃ... 7 LITERATURA...

4 Graica fukcji Rozważaia o graicy fukcji zacziemy od wprowadzeia pojęcia sąsiedztwa puktu. Określeie: Przedział liczbowy { r ; ) ( ; )} ozaczamy symbolem S ( ; r). ( r azywamy sąsiedztwem puktu o promieiu r i Proszę zauważyć, że zgodie z podaym określeiem sam pukt ie ależy do sąsiedztwa puktu.. Graica fukcji w pukcie Powiedzmy, że iteresuje as fukcja y f () określoa w pewym sąsiedztwie puktu. W samym pukcie fukcja f () może być określoa lub ie. Określeie: Fukcja y f () ma w pukcie graicę g, jeżeli dla każdego ciągu ( ) o wyrazach ależących do sąsiedztwa S ( ; r) i zbieżego do, ciąg ( f ( )) jest zbieży do liczby g. Podaa w określeiu defiicja jest tzw. defiicją Heiego graicy fukcji w pukcie. Przykład. Wyzaczmy z defiicji Heiego graicę fukcji f ( ) w pukcie. Zauważmy, że rozpatrywaa fukcja ie jest określoa w pukcie, jest atomiast określoa w dowolym sąsiedztwie tego puktu. Zgodie z defiicją Heiego bierzemy dowoly ciąg ) taki, że oraz. Obliczamy teraz graicę ciągu: ( ) ( ) ( ) Uproszczeie liczika z miaowikiem (czyli podzieleie liczika i miaowika przez wyrażeie ( ) ) było dopuszczale, poieważ z założeia. Ostateczie więc:. (. Przykład. Wyzaczmy graicę fukcji f ( ) Dziedzią tej fukcji jest zbiór R { } i. Obliczamy teraz graicę ciągu: w pukcie. X, bierzemy więc dowoly ciąg ) spełiający waruki: X, ( Ostateczie więc: ( ) 7 6. ( )

5 5. Określeie: Liczba g jest graica fukcji f () w pukcie wtedy i tylko wtedy, jeżeli dla dowolego ε > istieje takie sąsiedztwo S ( ; r), że dla wszystkich S spełioy jest waruek f ( ) g < ε. Defiicja powyższa jest tzw. defiicją Cauchy ego graicy fukcji w pukcie. Określeie powyższe moża także zapisać w rówoważej postaci: f ( ) g ε > r S f ( ) g < ε. Przykład. Korzystając z defiicji Cauche go graicy fukcji w pukcie wykażemy, że fukcja w pukcie graicę rówą. Dla dowolego ε > i rozwiązujemy ierówość: f ( ) ma f ( ) g < ε < ε < ( ) < ε ε < ε ε < < ε ε < < ε ε < < ε. Widzimy z tego, że waruek f ( ) g < ε jest spełioy wtedy, gdy ależy do sąsiedztwa S ( ; ε ). Określeie: Jeżeli przy obliczaiu graicy fukcji f () otrzymamy, że g lub g ma w tym pukcie graicę iewłaściwą. Przykład. Obliczmy, korzystając z defiicji Heiego, graicę fukcji f ( ) w pukcie., to mówimy, że fukcja Dziedzią rozpatrywaej fukcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeiem liczby zero, czyli R { }. Zgodie z defiicją Heie go bierzemy dowoly ciąg ( ) zbieży do zera i taki, że. Obliczamy teraz graicę ciągu: Ostateczie mamy, że. (korzystamy z implikacji a ). a Określeie: Jeżeli f ( ) a i g( ) b, to prawdziwe są astępujące graice: ( f ( ) ± g( ) ) f ( ) ± g( ) a ± b ( f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) a b

6 6 f ( ) f ( ) g( ) g( ) a b, pod warukiem, że b i g ( ) w otoczeiu. Wzory powyższe są prawdziwe także wtedy, gdy rozpatrujemy graicę fukcji w plus lub mius ieskończoości, a także wtedy, gdy graice a lub b są iewłaściwe (postaci ± ), przy czym ie dotyczy to sytuacji ieokreśloych typu: " ", " ", " ". Przykład 5. Obliczmy graicę fukcji f ( ) ( 6) Korzystając z podaych wyżej reguł mamy: w pukcie. ( ( 6) ) ( 6) ( 6) 56 Przykład 6. Obliczmy graicę fukcji si f ( ) w pukcie. si Przy obliczaiu graicy fukcji tego typu skorzystamy z podstawowego w teorii graicy wzoru. Mamy kolejo: si si si. Przykład 7. Czy istieje graica fukcji f ( ) w pukcie? Rozpatrywaa fukcja ie jest określoa w pukcie, z uwagi a postać fukcji musimy rozpatrzyć dwa ciągi ( ) zbieże do zera, ale oddzielie o wyrazach miejszych od zera i oddzielie o wyrazach większych od zera. Ozaczmy te ciągi i waruki zbieżości odpowiedio przez: ( ) ; taki, że < i (p. ) ( ) ; taki, że > i (p. ). Dla tak zdefiiowaych ciągów mamy astępującą graicę: Widzimy z tego, że graice jedostroe (odpowiedio lewostroa i prawostroa) ie są jedakowe, tym samym fukcja f ( ) ie ma graicy w pukcie. Przejdziemy teraz do bardziej formalego określeia graic jedostroych..

7 7. Graice jedostroe Określeie: Liczba g jest graicą lewostroą fukcji f () w pukcie wtedy i tylko wtedy, jeżeli dla każdego ciągu ( ) ależącego do dziedziy fukcji i takiego, że jest liczba g : i <, graicą ciągu f ) ( f ( ) g Określeie: Liczba g jest graicą prawostroą fukcji f () w pukcie wtedy i tylko wtedy, jeżeli dla każdego ciągu ( ) ależącego do dziedziy fukcji i takiego, że jest liczba g : i >, graicą ciągu f ( ) f ( ) g Przykład 8. Obliczmy graice jedostroe fukcji f ( ) w puktach ieokreśloości tej fukcji. Dziedzią fukcji f ( ) jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeiem puktów i, czyli. Naszym zadaiem jest więc obliczeie czterech graic jedostroych: R { ; } " " " " " " " " "" " " "" " " symbol " " ozacza, że liczik jest prawie rówy, a symbol " " ozacza, że miaowik jest prawie rówy zero, ale po stroie wartości dodatich; tak będzie, jeżeli za przyjmiemy p.,. Kometarz jak wyżej. Dla ułatwieia proszę sobie podstawić p., Kometarz jak wyżej. Dla ułatwieia proszę sobie podstawić p., Kometarz jak wyżej. Dla ułatwieia proszę sobie podstawić p.,. Określeie: Jeżeli istieją graice jedostroe fukcji f () w pukcie i są sobie rówe, to istieje także graica fukcji w tym pukcie: f ( ) f ( ) g f ( ) g. Zależość powyższa prawdziwa jest także w drugą stroę: jeżeli fukcja f () ma graicę w daym pukcie, to istieją i są sobie rówe graice jedostroe w tym pukcie.

8 8. Graica w ieskończoości Określeie: Fukcja y f () ma w ( ) graicę g, jeżeli dla każdego ciągu ) o wyrazach ależących do dziedziy fukcji i zbieżego do ( ), ciąg ( ( )) Przykład 9. Wyzaczmy graicę fukcji ( f jest zbieży do liczby g. f ( ) w plus ieskończoości. Bierzemy dowoly ciąg ( ) taki, że i obliczamy graicę ciągu (stosujemy dokładie te same techiki, co przy obliczaiu graic ciągu liczbowego): Ostateczie mamy, że. Przykład. Obliczmy graice fukcji f ( ) ep( ) a krańcach dziedziy. Jak wiemy fukcja f ( ) ep( ) lub iaczej f ( ) e jest fukcją wykładiczą, a jej dziedzią jest zbiór liczb rzeczywistych. Tym samym asze zadaie sprowadza się do obliczeia graicy tej fukcji odpowiedio w mius i plus ieskończoości. Bierzemy więc ciąg ( ) taki, że i obliczamy graicę: e e e. Aalogiczie dla ciągu ( ) rozbieżego do plus ieskończoości otrzymamy: e e e. Przy obliczaiu tych graic warto przypomieć sobie wykres fukcji wykładiczej rosącej.

9 9 Przykład. Obliczmy graice fukcji f ( ) l( ) a krańcach dziedziy. D ( ; ) Zaczyamy od wyzaczeia dziedziy fukcji f ( ) l( ). Jak pamiętamy logarytmy istieją wyłączie z liczb dodatich, stąd dziedzią będzie zbiór R l( ) Bierzemy więc ciąg ) taki, że i obliczamy graicę l( ) ( l( ) Bierzemy więc ciąg ) taki, że i obliczamy graicę l( ) ( Podobie jak w przypadku graicy fukcji wykładiczej warto pamiętać wykres fukcji logarytmiczej przy podstawie większej od (a tak jest w przypadku logarytmu aturalego). Ciągłość fukcji Określeie. Jeżeli fukcja f () jest określoa w pukcie, jeżeli istieje graica fukcji w tym pukcie i jeżeli graica ta jest rówa wartości fukcji w tym pukcie, to fukcja f () jest ciągła w pukcie : f () jest ciągła w pukcie f ( ) f ( ). Przykład. Sprawdzimy, czy fukcja f ( ) jest ciągła w pukcie. Zauważmy, że pukt ależy do dziedziy tej fukcji (zobacz przykład 9). Obliczamy więc wartość fukcji w tym pukcie: f ( ). Obliczamy graicę fukcji w pukcie (bierzemy dowoly ciąg ( ) taki, że i ), stąd. Jak widzimy wszystkie trzy waruki ciągłości fukcji w pukcie są spełioe: Fukcja jest określoa w pukcie Istieje graica fukcji w tym pukcie: Graica fukcji rówa jest wartości fukcji w tym pukcie: f () tym samym fukcja f ( ) jest ciągła w pukcie.

10 Określeie: Fukcje f () ciągłą w każdym pukcie X azywamy fukcją ciągłą w zbiorze X. Potoczie pod pojęciem fukcji ciągłej (w pewym przedziale) rozumie się taką fukcję, której wykres (w tym przedziale) moża arysować bez odrywaia ołówka. Przykładowo fukcja f ( ) ep( ) jest fukcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych, zaś fukcja f jest ciągła w przedziałach ( ), ( ; ), ( ; ) ( ) ;. Określeie: Fukcję f ( ) azywamy ciągłą lewostroie (prawostroie) w pukcie wtedy i tylko wtedy, jeżeli: Istieje wartość fukcji w tym pukcie, Istieje graica lewostroa (prawostroa) w tym pukcie, Graica lewostroa (prawostroa) rówa jest wartości fukcji w tym pukcie. Przykład. Sprawdzimy, czy fukcja f ( ) 8 jest ciągła w pukcie. dla dla > Obliczamy wartość fukcji w pukcie : f ( ) 5. Przejdziemy teraz do obliczeia graicy tej fukcji w pukcie, ale poieważ fukcja zdefiiowaa jest dwoma różymi wzorami po obu stroach tego puktu, to musimy obliczać graice jedostroe. Mamy kolejo: f ( ) f ( ) Jak widzimy ( ) 5 ( f ( ) f ( ), 8) 8. tym samym ie istieje graica tej fukcji w pukcie, a to ozacza, że fukcja ta ie jest ciągła w tym pukcie. Proszę jedak zauważyć, że spełioy jest waruek: f () f ( ) a to ozacza, że rozpatrywaa fukcja jest ciągła lewostroie w pukcie.

11 .5 Asymptoty fukcji Określeie: Jeżeli fukcja f () ie istieje w pukcie i przyajmiej jeda z graic jedostroych w tym pukcie jest graicą iewłaściwą (czyli ± ), to prosta jest asymptotą pioową tej fukcji: jest asymptotą pioową f () f ( ) ± lub f ( ) ±. Przykład. Wyzaczmy, jeżeli istieją, asymptoty pioowe fukcji Fukcja f ( ). f ( ) jest fukcją wymierą określoą w zbiorze liczb rzeczywistych z wyłączeiem tych puktów, które są miejscami zerowymi wielomiau w miaowiku, czyli i. W puktach tych mogą istieć asymptoty pioowe, żeby tak było, to co ajmiej jeda z graic jedostroych w tych puktach musi być graicą iewłaściwą. Obliczamy graice (zobacz przykład 8): " " " " " " " " " " " " " ". " " Waruki istieia asymptot pioowych są spełioe, w takim razie badaa fukcja asymptoty pioowe o rówaiach i. f ( ) posiada dwie Określeie: Jeżeli fukcja f () ma graicę rówą g w lub, to prosta f ( ) g jest asymptotą poziomą fukcji f () : f ( ) g jest asymptotą poziomą f () f ( ) g lub f ( ) g. Przykład 5. Ustalmy, czy fukcja f ( ) ma asymptotę poziomą? Zgodie z podaym wyżej określeiem fukcja f ( ) będzie miała asymptotę poziomą wtedy i tylko wtedy, jeżeli co ajmiej jeda z graic tej fukcji w mius lub plus ieskończoości będzie graicą właściwą. W aszym przypadku mamy:. Jak widzimy graica w mius ieskończoości jest właściwa, tym samy prosta o rówaiu y (lub f ( ) ) jest asymptotą poziomą fukcji f ( ). Określeie: Jeżeli fukcja f () ma w ieskończoości obie graice iewłaściwe, to ie istieje asymptota pozioma tej fukcji. Nie wyklucza to jedak istieia asymptoty ukośej.

12 Określeie: Prosta o rówaiu y a b (gdzie a ) jest asymptotą ukośą fukcji f () wtedy i tylko wtedy, jeżeli istieją właściwe graice postaci: a ± ± f ( ) [ f ( ) a] b. Przykład 6. Sprawdźmy, czy fukcja f ( ) ma asymptotę ukośą. Zgodie z podaym określeiem wyzaczamy kolejo graice: ± f ( ) ± ± ( ) ± ± ± 8 8 [ f ( ) a] ± ± ±. Obie graice są właściwe, tym samym prosta y,5 jest asymptotą ukośą fukcji f ( ). Przykład 7. Zbadajmy, czy fukcja y ma asymptotę ukośą. 5 Z uwagi a postać fukcji łatwo zauważyć, że w ± ieskończoości graice są iewłaściwe, tym samym fukcja ta ie posiada asymptoty poziomej. Nie wyklucza to, jak wiemy, istieia asymptoty ukośej. Zacziemy od sprawdzeia, czy istieje skończoa (właściwa) i róża od zera graica określająca współczyik kierukowy potecjalej asymptoty ukośej: f ( ) 5 ±. ± ± ± ( 5) ± ± 5 5 Jak widzimy z powyższego waruek te ie jest spełioy, tym samym fukcja ukośej. y ie posiada asymptoty 5

13 .6 Graice fukcji a szkic jej wykresu Przykład 8. Daa jest fukcja y ( )( ). Wyzaczmy jej graice a krańcach dziedziy, jej asymptoty (jeżeli istieją), jej miejsca zerowe oraz aszkicujmy wykres tej fukcji a krańcach dziedziy. { ; } {( ; ) ( ; ) (; ) } D R lub w iym zapisie D Zaczyamy od wyzaczeia dziedziy tej fukcji. Jedye ograiczeie, które musimy uwzględić dotyczy jej miaowika, który musi być róży od zera. Ozacza to, że ze zbioru liczb rzeczywistych R musimy wykluczyć - oraz. y Miejsce zerowe to Dziedzią jest suma trzech przedziałów, a więc musimy wyzaczyć graice badaej fukcji a sześciu jej krańcach. Zaczyamy od wyzaczeia graicy przy, przy czym zrobimy to zgodie z defiicją Heie go. Zakładamy, że mamy ( )( ) taki ciąg ( ), którego wyrazy ależą do dziedziy fukcji i który jest rozbieży do mius ieskończoości:. ( )( ) Pozwala am to a skorzystaie z rówości f ( ) f ( ). Graice fukcji f ) obliczamy ( )( ) " " " " " " " " " " ( )( ) " " " " " " " " " " ( )( ) ( )( ) ( )( ) Rówaia asymptot pioowych: oraz tak, jak graice ciągów. Obliczamy graicę lewostroą w pukcie (wyobraźmy sobie, że, ), wtedy w licziku mamy liczbę trochę miejszą iż -, w pierwszym awiasie w miaowiku liczbę ujemą trochę miejszą od, a drugim liczbę ujemą trochę miejszą od mius. W efekcie liczik dąży do -, a miaowik do liczby dodatiej bliskiej zera. W takim razie całość jest rozbieża do. Obliczamy graicę prawostroą w pukcie (wyobraźmy sobie, że, 99 ), wtedy w licziku mamy liczbę trochę większą iż -, w pierwszym awiasie w miaowiku liczbę dodatią trochę większą od, a drugim liczbę ujemą trochę większą od mius. W efekcie liczik dąży do -, a miaowik do liczby ujemej bliskiej zera. W takim razie całość jest rozbieża do. Rozumowaie aalogicze jak w przypadku graicy lewostroej w pukcie Rozumowaie aalogicze jak w przypadku graicy prawostroej w pukcie ( Aalogiczie jak graica w mius ieskończoości Poieważ co ajmiej jeda z graic jedostroych w puktach oraz jest iewłaściwa, to fukcja ma dwie asymptoty pioowe.

14 a ( )( ) m m ( )( ) b m [ f ( ) a ] [ ] m ( )( ) Sprawdzamy, czy istieje asymptota ukośa? Będzie istieć, jeżeli graica f ( ) m będzie graicą właściwą (a ie mius czy plus ieskończoość). Jak widzimy, waruek te jest spełioy (skorzystałem z faktu, że w licziku i miaowiku są te same potęgi argumetu ). Obliczmy [ ] ( b ( )( ) m m m m Asymptota ukośa y Obie graice są właściwe, a więc fukcja ma asymptotę ukośą o rówaiu podaym obok. Robimy szkic wykresu zaczyając od układu współrzędych i asymptot pioowych oraz ukośych (liie przerywae). ) Na kolejym wykresie zostaą dodae krótkie pogrubioe kreski odpowiadające zachowaiom fukcji a krańcach dziedziy. Prześledzimy astępie zmiay wartości fukcji przy zmiaie argumetów od lewej do prawej stroy jej dziedziy. Jeżeli dąży do mius ieskończoości, to wartości fukcji także dążą do mius ieskończoości, a przy wzroście argumetów wartości fukcji będą się zwiększać (A). Przy zbliżaiu się do puktu ieciągłości (-) wartości fukcji będą zowu dążyć do mius ieskończoości (B). Oczywiście wykres fukcji ie może przeciąć liii asymptoty ukośej (czyli fukcja będzie ajpierw rosąć do maksimum, a późiej maleć). Po drugiej stroie asymptoty - fukcja dąży do plus ieskończoości (C), czyli przy wzroście argumetu (w stroę zera) musi maleć do wartości zero (D) i dalej maleje do mius ieskończoości wzdłuż asymptoty (E). Po drugiej stroie asymptoty fukcja dąży do plus ieskończoości (F), a przy wartości fukcji też dążą do plus ieskończoości (G). Stąd wiosek, że w przedziale ( ; ) fukcja będzie ajpierw maleć z plus ieskończoości do pewej wartości (miimum), a astępie rosąć do plus ieskończoości.

15 5 Przykład 9. Daa jest fukcja y jej miejsca zerowe oraz aszkicujmy wykres tej fukcji a krańcach dziedziy. { } {( ; ) (; ) } D R lub w postaci sumy przedziałów D " " " "6 " " " " " " " "6 " " " " Rówaie asymptoty pioowej a f ( ) m m b [ f ( ) a] m m ( ) m. Wyzaczmy jej graice a krańcach dziedziy, jej asymptoty (jeżeli istieją), Zaczyamy od wyzaczeia dziedziy, będzie ią zbiór R z wykluczeiem (bo mielibyśmy dzieleie przez zero). Miejsce zerowe to (bo y ) Kolejo wyzaczamy graice a krańcach dziedziy: Fukcja ma asymptotę pioową w pukcie, bo co ajmiej jeda z graic jedostroych jest iewłaściwa Badamy, czy istieje asymptota ukośa. Poieważ a to rówaie asymptoty ukośej przyjmuje postać y (tzw. asymptota pozioma). Robimy szkic pokazujący zachowaie fukcji a krańcach dziedziy. W mius ieskończoości wartości fukcji dążą do, rysujemy strzałkę poiżej asymptoty y (A). Poiżej dlatego, że dla mamy miejsce zerowe (B), a wykres fukcji ie może przeciąć asymptoty poziomej. Przy zbliżaiu się -ów do wartości (pukt ieciągłości) wartości fukcji uciekają do mius ieskończoości (C), Po drugiej stroie asymptoty pioowej wartości fukcji dążą do plus ieskończoości (D), w miarę wzrostu argumetu fukcji jej wartości będą dążyły do wartości, ale tak, aby ie przeciąć asymptoty poziomej (E). Reasumując z tego szkicu już widać, że rozpatrywaa fukcja jest malejąca w całej swojej dziedziie.

16 6 Zadaia do samodzielego rozwiązaia Zadaie. Proszę wyzaczyć graicę fukcji Zadaie. Proszę wyzaczyć graicę fukcji Zadaie. Proszę wyzaczyć graicę fukcji f ( ) w pukcie Odp. f ( ) w pukcie Odp. ie istieje f ( ) w plus ieskończoości. Odp. Zadaie. Oblicz graicę fukcji Zadaie 5. Oblicz graicę fukcji Zadaie 6. Oblicz graicę fukcji Zadaie 7. Oblicz graicę fukcji Zadaie 8. Oblicz graicę fukcji Zadaie 9. Oblicz graicę fukcji Zadaie. Oblicz graicę fukcji Zadaie. Oblicz graicę fukcji Zadaie. Oblicz graicę fukcji Zadaie. Oblicz graicę fukcji Zadaie. Oblicz graicę fukcji Zadaie 5. Oblicz graicę fukcji f ( ) w plus ieskończoości. Odp. f ( ) 6 5 w plus ieskończoości. Odp. 6 8 _ 5 f ( ) w plus ieskończoości. Odp. f ( ) w pukcie. Odp. si f ( ) cos w pukcie π. Odp. f ( ) w pukcie. Odp. tg f ( ) w pukcie. Odp. tg si f ) ( w pukcie. Odp. si f ( ) w pukcie. Odp. si f ( ) w plus ieskończoości. Odp. si( ) f ( ) w pukcie. Odp. si( 6) f ( ) w pukcie. Odp. Zadaie 6. Oblicz graicę fukcji f ( ) w pukcie Odp. ie istieje Zadaie 7. Czy fukcja f ( ) ma asymptotę pioową? Jeżeli tak, to podaj jej rówaie. Odp. Zadaie 8. Czy fukcja f ( ) ma asymptotę ukośą? Jeżeli tak, to podaj jej rówaie. Odp. y Zadaie 9. Czy fukcja dla f ( ) jest ciągła w zbiorze R? Odp. ie jest dla >

17 7 Rozwiązaia zadań Zadaie. Proszę wyzaczyć graicę fukcji { ; } f ( ) w pukcie D R Dziedzią tej fukcji jest zbiór R z wykluczeiem tych wartości, dla których miaowik staje się zerem Pukt ależy do dziedziy, a wiec możemy obliczyć f ) Zadaie. Proszę wyzaczyć graicę fukcji { ; } " " "5 " (" ") " " f ( ) w pukcie D R Dziedzią tej fukcji jest zbiór R z wykluczeiem tych wartości, dla których miaowik staje się zerem " " Pukt ie ależy do dziedziy, a wiec musimy obliczyć graice (" ") jedostroe w tym pukcie. Przy (p., 9999 ) w licziku mamy "5 " "5 " " " " " prawie 5, a w miaowiku prawie zero, ale jest to liczba ujema. Stąd graica lewostroa to mius ieskończoość. Podobie liczymy graicę prawostroą. Poieważ graice jedostroe ie są sobie rówe, to fukcja ie ma graicy w pukcie ( f ( ) Zadaie. Proszę wyzaczyć graicę fukcji f ( ) w plus ieskończoości ( ( ) ) Korzystamy z defiicji Heie go. Niech będzie ciąg ( ), którego wyrazy ależą do dziedziy fukcji i który jest rozbieży do plus ieskończoości. Korzystamy z rówości f ( ) f ( ), a astępie graicę po prawej stroie rówości obliczamy tak, jak graice ciągu. Zadaie. Oblicz graicę fukcji f ( ) w plus ieskończoości Korzystamy z defiicji Heie go, graicą fukcji w ieskończoości jest ieskończoość. W praktyce często będziemy rezygować z formalego wprowadzaia ciągu ). Tym samym rozwiązaie postaci ( ( ) będzie uzawae za poprawe. Zadaie 5. Oblicz graicę fukcji f ( ) 6 5 w plus ieskończoości. Postępujemy tak jak w przykładzie poprzedim: pod pierwiastkiem wyciągamy przed awias w ajwyższej potędze. Korzystamy z faktu, że ( ) ( )

18 8 Zadaie 6. Oblicz graicę fukcji 6 8 _ 5 f ( ) w plus ieskończoości Postępujemy podobie jak w przykładzie poprzedim: w licziku i w miaowiku wyciągamy przed awias w ajwiększej potędze miaowika. Po uproszczeiach korzystamy z faktu, że liczik dąży do, a miaowik do 6, tym samym fukcja dąży do. Oczywiście dążą do zera.,, 8 5, przy Zadaie 7. Oblicz graicę fukcji ( )( ) Zadaie 8. Oblicz graicę fukcji si π cos cos π ( cos )( cos cos ) ( cos )( cos ) π ( cos )( cos cos ) cos π cos cos ( ) ( ) ( ) f ( ) w pukcie. Bezpośredie podstawieie w miejsce wartości ie wchodzi w rachubę, poieważ pukt te ie ależy do dziedziy daej fukcji (byłoby dzieleie przez zero). Obliczeie graic jedostroych też ic ie da, bo dostaiemy wyrażeie ieozaczoe typu. Rozwiązaiem będzie takie przekształceie fukcji tak, aby f ( moża było obliczyć ). si f ( ) cos w pukcie π. Bezpośredie podstawieie w miejsce wartości π ie wchodzi w rachubę, poieważ pukt te ie ależy do dziedziy daej fukcji ( cosπ, byłoby dzieleie przez zero). Obliczeie graic jedostroych też ic ie da, bo dostaiemy wyrażeie ieozaczoe typu. Rozwiązaiem będzie takie przekształceie fukcji tak, aby moża było obliczyć f ( ). Korzystamy z wzoru a jedykę trygoometryczą, a różicę kwadratów oraz a sumę sześciaów. Zadaie 9. Oblicz graicę fukcji ( ( ) ) ( ) ( )( ( ) ( ) ) Zadaie. Oblicz graicę fukcji f ( ) w pukcie. Bezpośredie podstawieie w miejsce wartości ie wchodzi w rachubę, poieważ pukt te ie ależy do dziedziy daej fukcji. Obliczeie graic jedostroych też ic ie da, bo dostaiemy wyrażeie ieozaczoe typu. Rozwiązaiem będzie takie przekształceie fukcji tak, aby moża było obliczyć f ( ). Usuwamy iewymierość z liczika i podstawiamy. tg f ( ) w pukcie. tg tg tg tg ( tg ) ( tg ) tg ( tg ) tg tg ( ( tg ) ( tg ) tg ( tg ) tg tg tg ) Poieważ tg, to bezpośredie podstawieie w miejsce wartości ie wchodzi w rachubę. Rozwiązaiem będzie takie przekształceie fukcji tak, aby moża było obliczyć f ( ). Usuwamy iewymierość z miaowika i podstawiamy.

19 9 Zadaie. Oblicz graicę fukcji si si si Zadaie. Oblicz graicę fukcji si si si Zadaie. Oblicz graicę fukcji si si Zadaie. Oblicz graicę fukcji si( ) Zadaie 5. Oblicz graicę fukcji si( 6) si( 6) 6 si( 6) ( ) si f ) ( w pukcie. Musimy skorzystać z wzoru. Aby moża było to zrobić w si si miaowiku musimy mieć ie, ale. Wtedy. si f ( ) w pukcie. Musimy skorzystać z wzoru. Aby moża było to zrobić w si si miaowiku musimy mieć ie, ale. Wtedy si f ( ) w plus ieskończoości. Nie możemy skorzystać z wzoru, to ie te przypadek!. Ale si możemy skorzystać z wzoru a graicę ilorazu ciągów. Proszę zauważyć, że gdy, to wartości fukcji si zmieiają się w zakresie od mius do, a miaowik dąży do ieskończoości, dlatego graicą daej fukcji w ieskończoości jest liczba. si( ) f ( ) w pukcie. Proszę zauważyć, że argumetem fukcji sius jest, dokłade to samo wyrażeie występuje w miaowiku, a dodatkowo mamy, że przy wyrażeie. To am pozwala a skorzystaie z wzoru si. si( 6) f ( ) w pukcie. Zobacz przykład.. Zadaie 6. Oblicz graicę fukcji f ( ) w pukcie " " " " " " " " Pukt ie ależy do dziedziy fukcji, ie widać także takiego przekształceia tej fukcji, aby było możliwe obliczeie f ( ). W tej sytuacji musimy obliczyć graice jedostroe fukcji w tym pukcie. Przy graicy lewostroej dąży do przez wartości miejsze od (p.,99), tym samym miaowik wykładika potęgi dąży do zera, ale poprzez wartości ujeme. Ostateczie graicą lewostroą jest. W przypadku graicy prawostroej fukcja jest rozbieża do plus ieskończoości. Poieważ obie graice jedostroe są róże, to fukcja f ( ) ie posiada graicy w pukcie.

20 Zadaie 7. Czy fukcja f ( ) ma asymptotę pioową? Jeżeli tak, to podaj jej rówaie. " " " " " " " " Dziedzią tej fukcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeiem, czyli D R { }. Fukcja będzie miała asymptotę pioową o rówaiu, jeżeli co ajmiej jeda z graic jedostroych w tym pukcie będzie graicą iewłaściwą. Jak widzimy waruek jest spełioy, tym samym prosta jest asymptotą pioową rozpatrywaej fukcji. Zadaie 8. Czy fukcja f ( ) ma asymptotę ukośą? Jeżeli tak, to podaj jej rówaie. a m m m ± b m m Prosta y a b będzie asymptotą ukośą wtedy i tylko wtedy, jeżeli f ( ) istieją właściwe graice: a b f ( ) a. m oraz [ ] m Obliczamy oba parametry, ostateczie y jest asymptotą ukośą (dokładiej poziomą) fukcji f ( ) Zadaie 9. Czy fukcja dla f ( ) jest ciągłą w zbiorze R? dla > Wyzaczamy wartość fukcji w f ( ) Wyzaczamy graice jedostroe f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) Fukcja określoa jest dwoma różymi wzorami dla argumetów z przedziałów ( ; > oraz ( ; ). W każdym z tych przedziałów odpowiedie fukcje są ciągłe. Jedyy podejrzay pukt, to. Fukcja będzie ciągła w tym pukcie wtedy, gdy będzie spełioy waruek: f ( ) f ( ). Poieważ graice jedostroe są róże, czyli ie ma graicy, to fukcja ie jest ciągła w pukcie. Zauważmy, że waruek te jest spełioy dla graicy lewostroej, tym samym fukcja jest ciągła lewostroie w pukcie.

21 Literatura. E. Bańkowska i i. Egzami wstępy a wyższe uczelie. Zbiór zadań. Wydawictwo Podkowa, Gdańsk 99. B. Gdowski, E. Pluciński. Zbiór zadań z matematyki dla kadydatów a wyższe uczelie. Wydawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa 98. J. Górczyński. Ćwiczeia z matematyki. Zeszyt. Fukcje i ciągi liczbowe. WSZiM w Sochaczewie, Sochaczew. J. Kłopotowski i i. Matematyka dla studiów zaoczych (pod red. I. Nykowskiego). Oficya Wydawicza SGH, Warszawa J. Laszuk. Matematyka. Studium podstawowe. Oficya Wydawicza SGH, Warszawa J. Laszuk. Matematyka. Rozwiązaia zadań. Wskazówki i odpowiedzi. Studium podstawowe. Oficya Wydawicza SGH, Warszawa R. Leiter, W. Żakowski. Matematyka dla kadydatów a wyższe uczelie techicze. Część I. Wydawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa R. Leiter, W. Żakowski. Matematyka dla kadydatów a wyższe uczelie techicze. Część II. Wydawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa 98

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń: PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)

Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-) Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C

Bardziej szczegółowo

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję

Bardziej szczegółowo

D:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora.

D:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora. D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: 89 Obliczaie graic fukcji w pukcie przy pomocy wzoru Taylora Wróćmy do wierdzeia Taylora (wzory (-( Tw Szczególie waża dla dalszych R rozważań

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza i logarytm

Funkcja wykładnicza i logarytm Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f

Bardziej szczegółowo

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone. Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w

Bardziej szczegółowo

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim. Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

lim a n Cigi liczbowe i ich granice Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )

Bardziej szczegółowo

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie

Bardziej szczegółowo

MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty

MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

2. Nieskończone ciągi liczbowe

2. Nieskończone ciągi liczbowe Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Twierdzenia o funkcjach ciągłych Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek. FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x

Bardziej szczegółowo

Geometrycznie o liczbach

Geometrycznie o liczbach Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18

ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18 dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze

Bardziej szczegółowo

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.

Bardziej szczegółowo

Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)

Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych) Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać

Bardziej szczegółowo

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.1

Ekonomia matematyczna - 1.1 Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna 2-2

Ekonomia matematyczna 2-2 Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Ku chwale nierówności. XXVII Ogólnopolski Sejmik Matematyków

Ku chwale nierówności. XXVII Ogólnopolski Sejmik Matematyków Ku chwale ierówości Sebastia Lisiewski 25 lutego 200 XXVII Ogólopolski Sejmik Matematyków VIII Liceum Ogólokształcące im. Marii Skłodowskiej- Curie w Katowicach ul. 3-go Maja 42 40-097 Katowice Opiekuowie

Bardziej szczegółowo

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013 /7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Uczeń: Wymagaia kl. 2 Zakres podstawowy i rozszerzoy Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i defiicja jedomiau, dwumiau, wielomiau współczyiki pojęcie stopia jedomiau i stopia wielomiau

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Łukasz WOJCIECHOWSKI, Tadeusz CISOWSKI, Piotr GRZEGORCZYK ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Streszczeie W artykule zaprezetowao algorytm wyzaczaia optymalych parametrów

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia

Bardziej szczegółowo

Ciąg liczbowy. Granica ciągu

Ciąg liczbowy. Granica ciągu Temat wykładu: Ciąg liczbowy. Graica ciągu Kody kolorów: Ŝółty owe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa kometarz * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW 1 Zagadieia 1. Przykłady

Bardziej szczegółowo

K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Ozaczeia: *OZNACZONE ZOSTAŁY TEMATY REALIZOWANE NA OZIOMIE ROZSZERZONYM wymagaia koiecze; wymagaia podstawowe; R wymagaia rozszerzające; D wymagaia dopełiające; W wymagaia wykraczające Temat lekcji Zakres

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów. Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby

Bardziej szczegółowo