Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Transkrypt

1 Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew

2 Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae w serii wydawiczej Ćwiczeia z matematyki, a obece ich wydaie zostało dostosowae do potrzeb kursu e-learigowego Matematyka przygotowaego dla studetów kieruku zarządzaie. Prace ad wykorzystaiem komputerów i Iteretu w dydaktyce zostały uruchomioe w aszej Uczeli praktyczie od mometu jej utworzeia. Początkowo było to realizowae główie poprzez przygotowywaie przez wykładowców różego rodzaju materiałów dydaktyczych w wersji cyfrowej (pokazy PowerPoit, dokumety Worda czy Ecela), które były i są udostępiae w zakładce dowload. Kolejy krok to przygotowaie autorskiej platformy testów iteretowych (zakładka Testy). Od roku została uruchomioa w pełi profesjoala platforma e- learigowa, w której do weryfikacji wiedzy przekazywaej w kolejych modułach zaadaptowae zostały wspomiae wcześiej testy iteretowe. Treści zawarte w tym materiale zostały tak przygotowae, aby ułatwić tym z Was, którzy z różych powodów mają problemy z matematyką, przypomieie i zrozumieie szeregu podstawowych pojęć z matematyki elemetarej. Jak korzystać z tych materiałów? Sądzę, że dobrym rozwiązaiem będzie spokoje przeczytaie poszczególych tematów, prześledzeie przykładowych zadań, a astępie trzeba je samemu rozwiązać. Weryfikatorem przyswojoej wiedzy jest w pewym stopiu iteraktywy test komputerowy. W ramach każdego modułu użytkowik dostaje pewą liczbę pytań pokrywających materiał modułu. W pierwszym podejściu próg zaliczeia ustawiay jest z reguły a 5% pozytywych odpowiedzi, a w przypadku iezaliczeia testu próg jest podoszoy o 5% w każdej kolejej próbie. Jausz Górczyński

3 Spis treści GRANICA FUNKCJI.... GRANICA FUNKCJI W PUNKCIE.... GRANICE JEDNOSTRONNE GRANICA W NIESKOŃCZONOŚCI CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI ASYMPTOTY FUNKCJI....6 GRANICE FUNKCJI A SZKIC JEJ WYKRESU... ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA... 6 ROZWIĄZANIA ZADAŃ... 7 LITERATURA...

4 Graica fukcji Rozważaia o graicy fukcji zacziemy od wprowadzeia pojęcia sąsiedztwa puktu. Określeie: Przedział liczbowy { r ; ) ( ; )} ozaczamy symbolem S ( ; r). ( r azywamy sąsiedztwem puktu o promieiu r i Proszę zauważyć, że zgodie z podaym określeiem sam pukt ie ależy do sąsiedztwa puktu.. Graica fukcji w pukcie Powiedzmy, że iteresuje as fukcja y f () określoa w pewym sąsiedztwie puktu. W samym pukcie fukcja f () może być określoa lub ie. Określeie: Fukcja y f () ma w pukcie graicę g, jeżeli dla każdego ciągu ( ) o wyrazach ależących do sąsiedztwa S ( ; r) i zbieżego do, ciąg ( f ( )) jest zbieży do liczby g. Podaa w określeiu defiicja jest tzw. defiicją Heiego graicy fukcji w pukcie. Przykład. Wyzaczmy z defiicji Heiego graicę fukcji f ( ) w pukcie. Zauważmy, że rozpatrywaa fukcja ie jest określoa w pukcie, jest atomiast określoa w dowolym sąsiedztwie tego puktu. Zgodie z defiicją Heiego bierzemy dowoly ciąg ) taki, że oraz. Obliczamy teraz graicę ciągu: ( ) ( ) ( ) Uproszczeie liczika z miaowikiem (czyli podzieleie liczika i miaowika przez wyrażeie ( ) ) było dopuszczale, poieważ z założeia. Ostateczie więc:. (. Przykład. Wyzaczmy graicę fukcji f ( ) Dziedzią tej fukcji jest zbiór R { } i. Obliczamy teraz graicę ciągu: w pukcie. X, bierzemy więc dowoly ciąg ) spełiający waruki: X, ( Ostateczie więc: ( ) 7 6. ( )

5 5. Określeie: Liczba g jest graica fukcji f () w pukcie wtedy i tylko wtedy, jeżeli dla dowolego ε > istieje takie sąsiedztwo S ( ; r), że dla wszystkich S spełioy jest waruek f ( ) g < ε. Defiicja powyższa jest tzw. defiicją Cauchy ego graicy fukcji w pukcie. Określeie powyższe moża także zapisać w rówoważej postaci: f ( ) g ε > r S f ( ) g < ε. Przykład. Korzystając z defiicji Cauche go graicy fukcji w pukcie wykażemy, że fukcja w pukcie graicę rówą. Dla dowolego ε > i rozwiązujemy ierówość: f ( ) ma f ( ) g < ε < ε < ( ) < ε ε < ε ε < < ε ε < < ε ε < < ε. Widzimy z tego, że waruek f ( ) g < ε jest spełioy wtedy, gdy ależy do sąsiedztwa S ( ; ε ). Określeie: Jeżeli przy obliczaiu graicy fukcji f () otrzymamy, że g lub g ma w tym pukcie graicę iewłaściwą. Przykład. Obliczmy, korzystając z defiicji Heiego, graicę fukcji f ( ) w pukcie., to mówimy, że fukcja Dziedzią rozpatrywaej fukcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeiem liczby zero, czyli R { }. Zgodie z defiicją Heie go bierzemy dowoly ciąg ( ) zbieży do zera i taki, że. Obliczamy teraz graicę ciągu: Ostateczie mamy, że. (korzystamy z implikacji a ). a Określeie: Jeżeli f ( ) a i g( ) b, to prawdziwe są astępujące graice: ( f ( ) ± g( ) ) f ( ) ± g( ) a ± b ( f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) a b

6 6 f ( ) f ( ) g( ) g( ) a b, pod warukiem, że b i g ( ) w otoczeiu. Wzory powyższe są prawdziwe także wtedy, gdy rozpatrujemy graicę fukcji w plus lub mius ieskończoości, a także wtedy, gdy graice a lub b są iewłaściwe (postaci ± ), przy czym ie dotyczy to sytuacji ieokreśloych typu: " ", " ", " ". Przykład 5. Obliczmy graicę fukcji f ( ) ( 6) Korzystając z podaych wyżej reguł mamy: w pukcie. ( ( 6) ) ( 6) ( 6) 56 Przykład 6. Obliczmy graicę fukcji si f ( ) w pukcie. si Przy obliczaiu graicy fukcji tego typu skorzystamy z podstawowego w teorii graicy wzoru. Mamy kolejo: si si si. Przykład 7. Czy istieje graica fukcji f ( ) w pukcie? Rozpatrywaa fukcja ie jest określoa w pukcie, z uwagi a postać fukcji musimy rozpatrzyć dwa ciągi ( ) zbieże do zera, ale oddzielie o wyrazach miejszych od zera i oddzielie o wyrazach większych od zera. Ozaczmy te ciągi i waruki zbieżości odpowiedio przez: ( ) ; taki, że < i (p. ) ( ) ; taki, że > i (p. ). Dla tak zdefiiowaych ciągów mamy astępującą graicę: Widzimy z tego, że graice jedostroe (odpowiedio lewostroa i prawostroa) ie są jedakowe, tym samym fukcja f ( ) ie ma graicy w pukcie. Przejdziemy teraz do bardziej formalego określeia graic jedostroych..

7 7. Graice jedostroe Określeie: Liczba g jest graicą lewostroą fukcji f () w pukcie wtedy i tylko wtedy, jeżeli dla każdego ciągu ( ) ależącego do dziedziy fukcji i takiego, że jest liczba g : i <, graicą ciągu f ) ( f ( ) g Określeie: Liczba g jest graicą prawostroą fukcji f () w pukcie wtedy i tylko wtedy, jeżeli dla każdego ciągu ( ) ależącego do dziedziy fukcji i takiego, że jest liczba g : i >, graicą ciągu f ( ) f ( ) g Przykład 8. Obliczmy graice jedostroe fukcji f ( ) w puktach ieokreśloości tej fukcji. Dziedzią fukcji f ( ) jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeiem puktów i, czyli. Naszym zadaiem jest więc obliczeie czterech graic jedostroych: R { ; } " " " " " " " " "" " " "" " " symbol " " ozacza, że liczik jest prawie rówy, a symbol " " ozacza, że miaowik jest prawie rówy zero, ale po stroie wartości dodatich; tak będzie, jeżeli za przyjmiemy p.,. Kometarz jak wyżej. Dla ułatwieia proszę sobie podstawić p., Kometarz jak wyżej. Dla ułatwieia proszę sobie podstawić p., Kometarz jak wyżej. Dla ułatwieia proszę sobie podstawić p.,. Określeie: Jeżeli istieją graice jedostroe fukcji f () w pukcie i są sobie rówe, to istieje także graica fukcji w tym pukcie: f ( ) f ( ) g f ( ) g. Zależość powyższa prawdziwa jest także w drugą stroę: jeżeli fukcja f () ma graicę w daym pukcie, to istieją i są sobie rówe graice jedostroe w tym pukcie.

8 8. Graica w ieskończoości Określeie: Fukcja y f () ma w ( ) graicę g, jeżeli dla każdego ciągu ) o wyrazach ależących do dziedziy fukcji i zbieżego do ( ), ciąg ( ( )) Przykład 9. Wyzaczmy graicę fukcji ( f jest zbieży do liczby g. f ( ) w plus ieskończoości. Bierzemy dowoly ciąg ( ) taki, że i obliczamy graicę ciągu (stosujemy dokładie te same techiki, co przy obliczaiu graic ciągu liczbowego): Ostateczie mamy, że. Przykład. Obliczmy graice fukcji f ( ) ep( ) a krańcach dziedziy. Jak wiemy fukcja f ( ) ep( ) lub iaczej f ( ) e jest fukcją wykładiczą, a jej dziedzią jest zbiór liczb rzeczywistych. Tym samym asze zadaie sprowadza się do obliczeia graicy tej fukcji odpowiedio w mius i plus ieskończoości. Bierzemy więc ciąg ( ) taki, że i obliczamy graicę: e e e. Aalogiczie dla ciągu ( ) rozbieżego do plus ieskończoości otrzymamy: e e e. Przy obliczaiu tych graic warto przypomieć sobie wykres fukcji wykładiczej rosącej.

9 9 Przykład. Obliczmy graice fukcji f ( ) l( ) a krańcach dziedziy. D ( ; ) Zaczyamy od wyzaczeia dziedziy fukcji f ( ) l( ). Jak pamiętamy logarytmy istieją wyłączie z liczb dodatich, stąd dziedzią będzie zbiór R l( ) Bierzemy więc ciąg ) taki, że i obliczamy graicę l( ) ( l( ) Bierzemy więc ciąg ) taki, że i obliczamy graicę l( ) ( Podobie jak w przypadku graicy fukcji wykładiczej warto pamiętać wykres fukcji logarytmiczej przy podstawie większej od (a tak jest w przypadku logarytmu aturalego). Ciągłość fukcji Określeie. Jeżeli fukcja f () jest określoa w pukcie, jeżeli istieje graica fukcji w tym pukcie i jeżeli graica ta jest rówa wartości fukcji w tym pukcie, to fukcja f () jest ciągła w pukcie : f () jest ciągła w pukcie f ( ) f ( ). Przykład. Sprawdzimy, czy fukcja f ( ) jest ciągła w pukcie. Zauważmy, że pukt ależy do dziedziy tej fukcji (zobacz przykład 9). Obliczamy więc wartość fukcji w tym pukcie: f ( ). Obliczamy graicę fukcji w pukcie (bierzemy dowoly ciąg ( ) taki, że i ), stąd. Jak widzimy wszystkie trzy waruki ciągłości fukcji w pukcie są spełioe: Fukcja jest określoa w pukcie Istieje graica fukcji w tym pukcie: Graica fukcji rówa jest wartości fukcji w tym pukcie: f () tym samym fukcja f ( ) jest ciągła w pukcie.

10 Określeie: Fukcje f () ciągłą w każdym pukcie X azywamy fukcją ciągłą w zbiorze X. Potoczie pod pojęciem fukcji ciągłej (w pewym przedziale) rozumie się taką fukcję, której wykres (w tym przedziale) moża arysować bez odrywaia ołówka. Przykładowo fukcja f ( ) ep( ) jest fukcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych, zaś fukcja f jest ciągła w przedziałach ( ), ( ; ), ( ; ) ( ) ;. Określeie: Fukcję f ( ) azywamy ciągłą lewostroie (prawostroie) w pukcie wtedy i tylko wtedy, jeżeli: Istieje wartość fukcji w tym pukcie, Istieje graica lewostroa (prawostroa) w tym pukcie, Graica lewostroa (prawostroa) rówa jest wartości fukcji w tym pukcie. Przykład. Sprawdzimy, czy fukcja f ( ) 8 jest ciągła w pukcie. dla dla > Obliczamy wartość fukcji w pukcie : f ( ) 5. Przejdziemy teraz do obliczeia graicy tej fukcji w pukcie, ale poieważ fukcja zdefiiowaa jest dwoma różymi wzorami po obu stroach tego puktu, to musimy obliczać graice jedostroe. Mamy kolejo: f ( ) f ( ) Jak widzimy ( ) 5 ( f ( ) f ( ), 8) 8. tym samym ie istieje graica tej fukcji w pukcie, a to ozacza, że fukcja ta ie jest ciągła w tym pukcie. Proszę jedak zauważyć, że spełioy jest waruek: f () f ( ) a to ozacza, że rozpatrywaa fukcja jest ciągła lewostroie w pukcie.

11 .5 Asymptoty fukcji Określeie: Jeżeli fukcja f () ie istieje w pukcie i przyajmiej jeda z graic jedostroych w tym pukcie jest graicą iewłaściwą (czyli ± ), to prosta jest asymptotą pioową tej fukcji: jest asymptotą pioową f () f ( ) ± lub f ( ) ±. Przykład. Wyzaczmy, jeżeli istieją, asymptoty pioowe fukcji Fukcja f ( ). f ( ) jest fukcją wymierą określoą w zbiorze liczb rzeczywistych z wyłączeiem tych puktów, które są miejscami zerowymi wielomiau w miaowiku, czyli i. W puktach tych mogą istieć asymptoty pioowe, żeby tak było, to co ajmiej jeda z graic jedostroych w tych puktach musi być graicą iewłaściwą. Obliczamy graice (zobacz przykład 8): " " " " " " " " " " " " " ". " " Waruki istieia asymptot pioowych są spełioe, w takim razie badaa fukcja asymptoty pioowe o rówaiach i. f ( ) posiada dwie Określeie: Jeżeli fukcja f () ma graicę rówą g w lub, to prosta f ( ) g jest asymptotą poziomą fukcji f () : f ( ) g jest asymptotą poziomą f () f ( ) g lub f ( ) g. Przykład 5. Ustalmy, czy fukcja f ( ) ma asymptotę poziomą? Zgodie z podaym wyżej określeiem fukcja f ( ) będzie miała asymptotę poziomą wtedy i tylko wtedy, jeżeli co ajmiej jeda z graic tej fukcji w mius lub plus ieskończoości będzie graicą właściwą. W aszym przypadku mamy:. Jak widzimy graica w mius ieskończoości jest właściwa, tym samy prosta o rówaiu y (lub f ( ) ) jest asymptotą poziomą fukcji f ( ). Określeie: Jeżeli fukcja f () ma w ieskończoości obie graice iewłaściwe, to ie istieje asymptota pozioma tej fukcji. Nie wyklucza to jedak istieia asymptoty ukośej.

12 Określeie: Prosta o rówaiu y a b (gdzie a ) jest asymptotą ukośą fukcji f () wtedy i tylko wtedy, jeżeli istieją właściwe graice postaci: a ± ± f ( ) [ f ( ) a] b. Przykład 6. Sprawdźmy, czy fukcja f ( ) ma asymptotę ukośą. Zgodie z podaym określeiem wyzaczamy kolejo graice: ± f ( ) ± ± ( ) ± ± ± 8 8 [ f ( ) a] ± ± ±. Obie graice są właściwe, tym samym prosta y,5 jest asymptotą ukośą fukcji f ( ). Przykład 7. Zbadajmy, czy fukcja y ma asymptotę ukośą. 5 Z uwagi a postać fukcji łatwo zauważyć, że w ± ieskończoości graice są iewłaściwe, tym samym fukcja ta ie posiada asymptoty poziomej. Nie wyklucza to, jak wiemy, istieia asymptoty ukośej. Zacziemy od sprawdzeia, czy istieje skończoa (właściwa) i róża od zera graica określająca współczyik kierukowy potecjalej asymptoty ukośej: f ( ) 5 ±. ± ± ± ( 5) ± ± 5 5 Jak widzimy z powyższego waruek te ie jest spełioy, tym samym fukcja ukośej. y ie posiada asymptoty 5

13 .6 Graice fukcji a szkic jej wykresu Przykład 8. Daa jest fukcja y ( )( ). Wyzaczmy jej graice a krańcach dziedziy, jej asymptoty (jeżeli istieją), jej miejsca zerowe oraz aszkicujmy wykres tej fukcji a krańcach dziedziy. { ; } {( ; ) ( ; ) (; ) } D R lub w iym zapisie D Zaczyamy od wyzaczeia dziedziy tej fukcji. Jedye ograiczeie, które musimy uwzględić dotyczy jej miaowika, który musi być róży od zera. Ozacza to, że ze zbioru liczb rzeczywistych R musimy wykluczyć - oraz. y Miejsce zerowe to Dziedzią jest suma trzech przedziałów, a więc musimy wyzaczyć graice badaej fukcji a sześciu jej krańcach. Zaczyamy od wyzaczeia graicy przy, przy czym zrobimy to zgodie z defiicją Heie go. Zakładamy, że mamy ( )( ) taki ciąg ( ), którego wyrazy ależą do dziedziy fukcji i który jest rozbieży do mius ieskończoości:. ( )( ) Pozwala am to a skorzystaie z rówości f ( ) f ( ). Graice fukcji f ) obliczamy ( )( ) " " " " " " " " " " ( )( ) " " " " " " " " " " ( )( ) ( )( ) ( )( ) Rówaia asymptot pioowych: oraz tak, jak graice ciągów. Obliczamy graicę lewostroą w pukcie (wyobraźmy sobie, że, ), wtedy w licziku mamy liczbę trochę miejszą iż -, w pierwszym awiasie w miaowiku liczbę ujemą trochę miejszą od, a drugim liczbę ujemą trochę miejszą od mius. W efekcie liczik dąży do -, a miaowik do liczby dodatiej bliskiej zera. W takim razie całość jest rozbieża do. Obliczamy graicę prawostroą w pukcie (wyobraźmy sobie, że, 99 ), wtedy w licziku mamy liczbę trochę większą iż -, w pierwszym awiasie w miaowiku liczbę dodatią trochę większą od, a drugim liczbę ujemą trochę większą od mius. W efekcie liczik dąży do -, a miaowik do liczby ujemej bliskiej zera. W takim razie całość jest rozbieża do. Rozumowaie aalogicze jak w przypadku graicy lewostroej w pukcie Rozumowaie aalogicze jak w przypadku graicy prawostroej w pukcie ( Aalogiczie jak graica w mius ieskończoości Poieważ co ajmiej jeda z graic jedostroych w puktach oraz jest iewłaściwa, to fukcja ma dwie asymptoty pioowe.

14 a ( )( ) m m ( )( ) b m [ f ( ) a ] [ ] m ( )( ) Sprawdzamy, czy istieje asymptota ukośa? Będzie istieć, jeżeli graica f ( ) m będzie graicą właściwą (a ie mius czy plus ieskończoość). Jak widzimy, waruek te jest spełioy (skorzystałem z faktu, że w licziku i miaowiku są te same potęgi argumetu ). Obliczmy [ ] ( b ( )( ) m m m m Asymptota ukośa y Obie graice są właściwe, a więc fukcja ma asymptotę ukośą o rówaiu podaym obok. Robimy szkic wykresu zaczyając od układu współrzędych i asymptot pioowych oraz ukośych (liie przerywae). ) Na kolejym wykresie zostaą dodae krótkie pogrubioe kreski odpowiadające zachowaiom fukcji a krańcach dziedziy. Prześledzimy astępie zmiay wartości fukcji przy zmiaie argumetów od lewej do prawej stroy jej dziedziy. Jeżeli dąży do mius ieskończoości, to wartości fukcji także dążą do mius ieskończoości, a przy wzroście argumetów wartości fukcji będą się zwiększać (A). Przy zbliżaiu się do puktu ieciągłości (-) wartości fukcji będą zowu dążyć do mius ieskończoości (B). Oczywiście wykres fukcji ie może przeciąć liii asymptoty ukośej (czyli fukcja będzie ajpierw rosąć do maksimum, a późiej maleć). Po drugiej stroie asymptoty - fukcja dąży do plus ieskończoości (C), czyli przy wzroście argumetu (w stroę zera) musi maleć do wartości zero (D) i dalej maleje do mius ieskończoości wzdłuż asymptoty (E). Po drugiej stroie asymptoty fukcja dąży do plus ieskończoości (F), a przy wartości fukcji też dążą do plus ieskończoości (G). Stąd wiosek, że w przedziale ( ; ) fukcja będzie ajpierw maleć z plus ieskończoości do pewej wartości (miimum), a astępie rosąć do plus ieskończoości.

15 5 Przykład 9. Daa jest fukcja y jej miejsca zerowe oraz aszkicujmy wykres tej fukcji a krańcach dziedziy. { } {( ; ) (; ) } D R lub w postaci sumy przedziałów D " " " "6 " " " " " " " "6 " " " " Rówaie asymptoty pioowej a f ( ) m m b [ f ( ) a] m m ( ) m. Wyzaczmy jej graice a krańcach dziedziy, jej asymptoty (jeżeli istieją), Zaczyamy od wyzaczeia dziedziy, będzie ią zbiór R z wykluczeiem (bo mielibyśmy dzieleie przez zero). Miejsce zerowe to (bo y ) Kolejo wyzaczamy graice a krańcach dziedziy: Fukcja ma asymptotę pioową w pukcie, bo co ajmiej jeda z graic jedostroych jest iewłaściwa Badamy, czy istieje asymptota ukośa. Poieważ a to rówaie asymptoty ukośej przyjmuje postać y (tzw. asymptota pozioma). Robimy szkic pokazujący zachowaie fukcji a krańcach dziedziy. W mius ieskończoości wartości fukcji dążą do, rysujemy strzałkę poiżej asymptoty y (A). Poiżej dlatego, że dla mamy miejsce zerowe (B), a wykres fukcji ie może przeciąć asymptoty poziomej. Przy zbliżaiu się -ów do wartości (pukt ieciągłości) wartości fukcji uciekają do mius ieskończoości (C), Po drugiej stroie asymptoty pioowej wartości fukcji dążą do plus ieskończoości (D), w miarę wzrostu argumetu fukcji jej wartości będą dążyły do wartości, ale tak, aby ie przeciąć asymptoty poziomej (E). Reasumując z tego szkicu już widać, że rozpatrywaa fukcja jest malejąca w całej swojej dziedziie.

16 6 Zadaia do samodzielego rozwiązaia Zadaie. Proszę wyzaczyć graicę fukcji Zadaie. Proszę wyzaczyć graicę fukcji Zadaie. Proszę wyzaczyć graicę fukcji f ( ) w pukcie Odp. f ( ) w pukcie Odp. ie istieje f ( ) w plus ieskończoości. Odp. Zadaie. Oblicz graicę fukcji Zadaie 5. Oblicz graicę fukcji Zadaie 6. Oblicz graicę fukcji Zadaie 7. Oblicz graicę fukcji Zadaie 8. Oblicz graicę fukcji Zadaie 9. Oblicz graicę fukcji Zadaie. Oblicz graicę fukcji Zadaie. Oblicz graicę fukcji Zadaie. Oblicz graicę fukcji Zadaie. Oblicz graicę fukcji Zadaie. Oblicz graicę fukcji Zadaie 5. Oblicz graicę fukcji f ( ) w plus ieskończoości. Odp. f ( ) 6 5 w plus ieskończoości. Odp. 6 8 _ 5 f ( ) w plus ieskończoości. Odp. f ( ) w pukcie. Odp. si f ( ) cos w pukcie π. Odp. f ( ) w pukcie. Odp. tg f ( ) w pukcie. Odp. tg si f ) ( w pukcie. Odp. si f ( ) w pukcie. Odp. si f ( ) w plus ieskończoości. Odp. si( ) f ( ) w pukcie. Odp. si( 6) f ( ) w pukcie. Odp. Zadaie 6. Oblicz graicę fukcji f ( ) w pukcie Odp. ie istieje Zadaie 7. Czy fukcja f ( ) ma asymptotę pioową? Jeżeli tak, to podaj jej rówaie. Odp. Zadaie 8. Czy fukcja f ( ) ma asymptotę ukośą? Jeżeli tak, to podaj jej rówaie. Odp. y Zadaie 9. Czy fukcja dla f ( ) jest ciągła w zbiorze R? Odp. ie jest dla >

17 7 Rozwiązaia zadań Zadaie. Proszę wyzaczyć graicę fukcji { ; } f ( ) w pukcie D R Dziedzią tej fukcji jest zbiór R z wykluczeiem tych wartości, dla których miaowik staje się zerem Pukt ależy do dziedziy, a wiec możemy obliczyć f ) Zadaie. Proszę wyzaczyć graicę fukcji { ; } " " "5 " (" ") " " f ( ) w pukcie D R Dziedzią tej fukcji jest zbiór R z wykluczeiem tych wartości, dla których miaowik staje się zerem " " Pukt ie ależy do dziedziy, a wiec musimy obliczyć graice (" ") jedostroe w tym pukcie. Przy (p., 9999 ) w licziku mamy "5 " "5 " " " " " prawie 5, a w miaowiku prawie zero, ale jest to liczba ujema. Stąd graica lewostroa to mius ieskończoość. Podobie liczymy graicę prawostroą. Poieważ graice jedostroe ie są sobie rówe, to fukcja ie ma graicy w pukcie ( f ( ) Zadaie. Proszę wyzaczyć graicę fukcji f ( ) w plus ieskończoości ( ( ) ) Korzystamy z defiicji Heie go. Niech będzie ciąg ( ), którego wyrazy ależą do dziedziy fukcji i który jest rozbieży do plus ieskończoości. Korzystamy z rówości f ( ) f ( ), a astępie graicę po prawej stroie rówości obliczamy tak, jak graice ciągu. Zadaie. Oblicz graicę fukcji f ( ) w plus ieskończoości Korzystamy z defiicji Heie go, graicą fukcji w ieskończoości jest ieskończoość. W praktyce często będziemy rezygować z formalego wprowadzaia ciągu ). Tym samym rozwiązaie postaci ( ( ) będzie uzawae za poprawe. Zadaie 5. Oblicz graicę fukcji f ( ) 6 5 w plus ieskończoości. Postępujemy tak jak w przykładzie poprzedim: pod pierwiastkiem wyciągamy przed awias w ajwyższej potędze. Korzystamy z faktu, że ( ) ( )

18 8 Zadaie 6. Oblicz graicę fukcji 6 8 _ 5 f ( ) w plus ieskończoości Postępujemy podobie jak w przykładzie poprzedim: w licziku i w miaowiku wyciągamy przed awias w ajwiększej potędze miaowika. Po uproszczeiach korzystamy z faktu, że liczik dąży do, a miaowik do 6, tym samym fukcja dąży do. Oczywiście dążą do zera.,, 8 5, przy Zadaie 7. Oblicz graicę fukcji ( )( ) Zadaie 8. Oblicz graicę fukcji si π cos cos π ( cos )( cos cos ) ( cos )( cos ) π ( cos )( cos cos ) cos π cos cos ( ) ( ) ( ) f ( ) w pukcie. Bezpośredie podstawieie w miejsce wartości ie wchodzi w rachubę, poieważ pukt te ie ależy do dziedziy daej fukcji (byłoby dzieleie przez zero). Obliczeie graic jedostroych też ic ie da, bo dostaiemy wyrażeie ieozaczoe typu. Rozwiązaiem będzie takie przekształceie fukcji tak, aby f ( moża było obliczyć ). si f ( ) cos w pukcie π. Bezpośredie podstawieie w miejsce wartości π ie wchodzi w rachubę, poieważ pukt te ie ależy do dziedziy daej fukcji ( cosπ, byłoby dzieleie przez zero). Obliczeie graic jedostroych też ic ie da, bo dostaiemy wyrażeie ieozaczoe typu. Rozwiązaiem będzie takie przekształceie fukcji tak, aby moża było obliczyć f ( ). Korzystamy z wzoru a jedykę trygoometryczą, a różicę kwadratów oraz a sumę sześciaów. Zadaie 9. Oblicz graicę fukcji ( ( ) ) ( ) ( )( ( ) ( ) ) Zadaie. Oblicz graicę fukcji f ( ) w pukcie. Bezpośredie podstawieie w miejsce wartości ie wchodzi w rachubę, poieważ pukt te ie ależy do dziedziy daej fukcji. Obliczeie graic jedostroych też ic ie da, bo dostaiemy wyrażeie ieozaczoe typu. Rozwiązaiem będzie takie przekształceie fukcji tak, aby moża było obliczyć f ( ). Usuwamy iewymierość z liczika i podstawiamy. tg f ( ) w pukcie. tg tg tg tg ( tg ) ( tg ) tg ( tg ) tg tg ( ( tg ) ( tg ) tg ( tg ) tg tg tg ) Poieważ tg, to bezpośredie podstawieie w miejsce wartości ie wchodzi w rachubę. Rozwiązaiem będzie takie przekształceie fukcji tak, aby moża było obliczyć f ( ). Usuwamy iewymierość z miaowika i podstawiamy.

19 9 Zadaie. Oblicz graicę fukcji si si si Zadaie. Oblicz graicę fukcji si si si Zadaie. Oblicz graicę fukcji si si Zadaie. Oblicz graicę fukcji si( ) Zadaie 5. Oblicz graicę fukcji si( 6) si( 6) 6 si( 6) ( ) si f ) ( w pukcie. Musimy skorzystać z wzoru. Aby moża było to zrobić w si si miaowiku musimy mieć ie, ale. Wtedy. si f ( ) w pukcie. Musimy skorzystać z wzoru. Aby moża było to zrobić w si si miaowiku musimy mieć ie, ale. Wtedy si f ( ) w plus ieskończoości. Nie możemy skorzystać z wzoru, to ie te przypadek!. Ale si możemy skorzystać z wzoru a graicę ilorazu ciągów. Proszę zauważyć, że gdy, to wartości fukcji si zmieiają się w zakresie od mius do, a miaowik dąży do ieskończoości, dlatego graicą daej fukcji w ieskończoości jest liczba. si( ) f ( ) w pukcie. Proszę zauważyć, że argumetem fukcji sius jest, dokłade to samo wyrażeie występuje w miaowiku, a dodatkowo mamy, że przy wyrażeie. To am pozwala a skorzystaie z wzoru si. si( 6) f ( ) w pukcie. Zobacz przykład.. Zadaie 6. Oblicz graicę fukcji f ( ) w pukcie " " " " " " " " Pukt ie ależy do dziedziy fukcji, ie widać także takiego przekształceia tej fukcji, aby było możliwe obliczeie f ( ). W tej sytuacji musimy obliczyć graice jedostroe fukcji w tym pukcie. Przy graicy lewostroej dąży do przez wartości miejsze od (p.,99), tym samym miaowik wykładika potęgi dąży do zera, ale poprzez wartości ujeme. Ostateczie graicą lewostroą jest. W przypadku graicy prawostroej fukcja jest rozbieża do plus ieskończoości. Poieważ obie graice jedostroe są róże, to fukcja f ( ) ie posiada graicy w pukcie.

20 Zadaie 7. Czy fukcja f ( ) ma asymptotę pioową? Jeżeli tak, to podaj jej rówaie. " " " " " " " " Dziedzią tej fukcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeiem, czyli D R { }. Fukcja będzie miała asymptotę pioową o rówaiu, jeżeli co ajmiej jeda z graic jedostroych w tym pukcie będzie graicą iewłaściwą. Jak widzimy waruek jest spełioy, tym samym prosta jest asymptotą pioową rozpatrywaej fukcji. Zadaie 8. Czy fukcja f ( ) ma asymptotę ukośą? Jeżeli tak, to podaj jej rówaie. a m m m ± b m m Prosta y a b będzie asymptotą ukośą wtedy i tylko wtedy, jeżeli f ( ) istieją właściwe graice: a b f ( ) a. m oraz [ ] m Obliczamy oba parametry, ostateczie y jest asymptotą ukośą (dokładiej poziomą) fukcji f ( ) Zadaie 9. Czy fukcja dla f ( ) jest ciągłą w zbiorze R? dla > Wyzaczamy wartość fukcji w f ( ) Wyzaczamy graice jedostroe f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) Fukcja określoa jest dwoma różymi wzorami dla argumetów z przedziałów ( ; > oraz ( ; ). W każdym z tych przedziałów odpowiedie fukcje są ciągłe. Jedyy podejrzay pukt, to. Fukcja będzie ciągła w tym pukcie wtedy, gdy będzie spełioy waruek: f ( ) f ( ). Poieważ graice jedostroe są róże, czyli ie ma graicy, to fukcja ie jest ciągła w pukcie. Zauważmy, że waruek te jest spełioy dla graicy lewostroej, tym samym fukcja jest ciągła lewostroie w pukcie.

21 Literatura. E. Bańkowska i i. Egzami wstępy a wyższe uczelie. Zbiór zadań. Wydawictwo Podkowa, Gdańsk 99. B. Gdowski, E. Pluciński. Zbiór zadań z matematyki dla kadydatów a wyższe uczelie. Wydawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa 98. J. Górczyński. Ćwiczeia z matematyki. Zeszyt. Fukcje i ciągi liczbowe. WSZiM w Sochaczewie, Sochaczew. J. Kłopotowski i i. Matematyka dla studiów zaoczych (pod red. I. Nykowskiego). Oficya Wydawicza SGH, Warszawa J. Laszuk. Matematyka. Studium podstawowe. Oficya Wydawicza SGH, Warszawa J. Laszuk. Matematyka. Rozwiązaia zadań. Wskazówki i odpowiedzi. Studium podstawowe. Oficya Wydawicza SGH, Warszawa R. Leiter, W. Żakowski. Matematyka dla kadydatów a wyższe uczelie techicze. Część I. Wydawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa R. Leiter, W. Żakowski. Matematyka dla kadydatów a wyższe uczelie techicze. Część II. Wydawictwo Naukowo-Techicze, Warszawa 98