STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY

Transkrypt

1 MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału Domiata (moda Liczba ajczęściej występująca (jeśli taka istieje dla daych idywidualych d d 1 D = x ld + h d d d 1 d+1 gdzie d umer ajlicziejszego przedziału x ld lewy koiec d-tego przedziału h d długość d-tego przedziału Mediaa i kwartyle Dla daych idywidualych x (+1/ dla ieparzystego x /+x /+1 dla parzystego Pierwszy kwartyl Q 1 : jeśli 4 jest liczbą całkowitą to Q 1 = x /4 jeśli k < 4 < k + 1 to Q 1 = x k+x k+1 3 Trzeci kwartyl Q 3 : jeśli 4 jest liczbą całkowitą to Q 1 = x 3/4 jeśli k < 3 4 < k + 1 to Q 1 = x k+x k+1 gdzie m i umer grupy zawierającej daą o u- suma liczebości od pierwsze- merze i 4 ; m i 1 j go przedziału klasowego do przedziału poprzedzającego przedział kwartyla; mi liczebość przedziału w którym zajduje się kwartyl Dla i = 1 otrzymujemy kwartyl Q 1 dla i = kwartyl Q czyli mediaę dla i = 3 kwartyl Q 3 MIARY ROZPROSZENIA (ZMIENNO- ŚCI Wariacja Dla daych idywidualych: s = 1 ( (x i x s = 1 ( i (ẋ i x gdzie ẋ i środek i-tego przedziału 1 Odchyleie stadardowe: s = s Odchyleie przecięte od średiej: Dla daych idywidualych: d = 1 ( x i x Są też w użyciu ie wzory a kwartyle dla szeregu idywidualego Kwartyle dla szeregów idywidualych stosuje się rzadko! d = 1 ( i ẋ i x 1 W statystyce matematyczej wariację defiiuje się dzieląc przez 1 zamiast przez W szczególości w arkuszu kalkulacyjym fukcja WARIANCJA określa wariację ze statystyki matematyczej Wariację omawiaą tutaj określa fukcja WARIANCJAPOPUL 1

2 gdzie ẋ i - środek i-tego przedziału Typowy klasyczy obszar zmieości Rozstęp x s x x + s R = x max x mi Odchyleie ćwiartkowe Q = Q 3 Q 1 Typowy pozycyjy obszar zmieości M Q x M + Q Współczyik zmieości klasyczy V x = s x Współczyik zmieości pozycyjy V x = Q M Momet cetraly rzędu l Dla daych idywidualych M l = 1 (x i x l M l = i (ẋ i x l Klasyczy współczyik asymetrii Pozycyjy współczyik asymetrii Kurtoza A p = Q 3 + Q 1 M Q K = M 4 s 4 DYNAMIKA ZJAWISK = Q 3 + Q 1 M Q 3 Q 1 Ideksy jedopodstawowe o podstawie y 0 J P i Ideksy łańcuchowe = y i y 0 J L i = y i y i 1 Agregatowy ideks wartości I w = Agregatowy ideks ilości Laspeyresa q i1 p i0 Iq L = Agregatowy ideks ce Laspeyresa q i0 p i1 Ip L = Agregatowy ideks ilości Paaschego A x = M 3 s 3 Współczyik skośości (asymetrii I P q = q i0 p i1 A s = x D s A s > 0 asymetria prawostroa A s < 0 asymetria lewostroa A s = 0 symetria Agregatowy ideks ce Paaschego Ip P = q i1 p i0

3 Agregatowy ideks ilości Fishera I F q = I L q I P q Agregatowy ideks ce Fishera I F p = I L p I P p p i0 cea i-tego produktu w okresie podstawowym p i1 cea i-tego produktu w okresie badaym q i0 produkcja i-tego produktu w okresie podstawowym q i1 produkcja i-tego produktu w okresie badaym ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH Metoda mechaicza Day jest ciąg (y t t = 1 (t czas dyskrety Średie ruchome ieparzysta liczba p podokresów ŷ k = 1 p ( y k p 1 k = p+1 p y k+ p 1 - parzysta liczba podokresów ŷ k = 1 ( 1 p y k p + y k p y k+ p y k+ p k = p + 1 p Metoda aalitycza liiowa fukcja tredu wyzaczoa metodą ajmiejszych kwadratów gdzie t = 1 ŷ t = at + b (t ty t a = (t t b = y at t = + 1 y = 1 y t Odchyleie stadardowe składika losowego (y t ŷ t s u = współczyik zmieości losowej v u = s u y 100% współczyik zgodości (y t ŷ t φ = (y t y współczyik determiacji R = 1 φ Model uważa się za dopuszczaly jeśli φ < 0 błędy średie szacuku D(a = s u (t t s u t D(b = (t t Ocey parametrów uzajemy za precyzyje jeśli a D(a > WAHANIA SEZONOWE b D(b > Day jest ciąg y t t = 1 = d m gdzie m - liczba okresów d - liczba sezoów w każdym okresie Krok 1 Wyliczamy ŷ t metodą średich ruchomych albo aalityczą (przy średich ruchomych brakuje kilku skrajych daych Niech N j (j = 1 d ozacza zbiór zawierający wskaźiki dotyczące j-tego sezou oraz p j liczość zbioru N j Zwykle N j = {m(j m(j 1 + mj} - wtedy p j = d; przy średich ruchomych zbiory N 1 oraz N m są pomiejszoe o skraje liczby i p 1 oraz p m są miejsze Krok Wyliczamy surowe wskaźiki sezoowości: S t = y t ŷ t 3

4 Krok 3 Liczymy średie czyli oczyszczoe wskaźiki sezoowości: S s j = 1 S i j = 1 d p j i N j Krok 4 (opcjoaly Korektujemy oczyszczoe wskaiki: gdzie k = 1 d m S s j S o j = Ss j k WSPÓŁZALEŻNOŚĆ ZJAWISK Tablica korelacyja x i y j y 1 y y l i x l 1 x 1 l x k k1 k kl k j 1 l x i wartości pierwszej cechy y j wartości drugiej cechy ij liczość zbioru z warością cechy pierwszej x i i drugiej y j i = j = = l ip p=1 k pj p=1 l ij Cechy mierzale x = 1 x i i y = 1 l x j j s (x = 1 (x i x i s (y = 1 l (y j y j Kowariacja C(xy = C(yx = 1 l x i y j ij xy W szczegłości jeśli mamy obiektow przyjmujących dwie wartoci x i i y i i = 1 (tz = k ii = 1 i ij = 0 dla i j to wzor przybiera postać C(xy = 1 (x i x(y i y Współczyik korelacji r xy = r yx = x j = 1 j y i = 1 i s j(x = 1 j s i (y = 1 i C(xy S(xS(y x i ij x j ij j=l (x i x j ij l (y j x i ij Dla cechy ciągłej zastępujemy wartości x i (y i środkami przedziałów klasowych Cechy iemierzale x i i y j są wtedy pewymi charakterystykami (własościami ( l χ ij i j = i j Współczyik χ moża podać w wersji literackiej χ = (wartość zaobs wartość oczek wartość oczek gdzie przez wartość oczekiwaą rozumiemy wartość która by była gdyby cechy były całkowicie iezależe Współczyik kotygecji C xy χ C xy = χ + Współczyik Czuprowa T xy χ T xy = (k 1(l 1 4

5 Modele korelacji i regresji liiowej dwóch zmieych: Defiiujemy: ŷ i = y(x i Współczyik korelacji rag Spearmaa Numerujemy dae x i oraz y i wg kolejości rosącej p odpowiedio liczbami a i oraz b i Wtedy R(xy = R(yx = 1 6 (a i b i ( 1 Odchyleie stadardowe składika losowego (y i ŷ i s u = Współczyik zgodości (y i ŷ i φ = (y i y Współczyik determiacji R = 1 φ Regresja liiowa ŷ(x = ax + b x = 1 x i y = 1 y i C(xy = 1 (x i x(y i y s (x = 1 (x i x s (y = 1 (y i y r xy = r yx = a = C(xy s (x b = y ax C(xy s(xs(y Błędy średie szacuku parametrów fukcji regresji s u D(a = (x i x D(b = s u x i (x i x Uzaje się że parametry są oszacowae precyzyjie jeśli a D(a > oraz b D(b > Progoza i błąd progozy przy czym y(x = ax + b ± S(y S(y = s u (x x + (x i x 5