Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011"

Transkrypt

1 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY

2 Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad Odp. D B A B C B A B D B C D C A A C B D C B A D Zadaie 3. ( pkt) Rozwiąż ierówość Schemat oceiaia do zadań otwartych x + x Rozwiązaie Rozwiązaie ierówości kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap może być realizoway a sposoby: I sposób rozwiązaia (realizacja pierwszego etapu) Zajdujemy pierwiastki trójmiau kwadratowego x + x+ 4 obliczamy wyróżik tego trójmiau: Δ= = 9 i stąd x = = 4 oraz x = = stosujemy wzory Viète a: x+ x = oraz x x = i stąd x = 4 oraz x = 3 podajemy je bezpośredio (explicite lub zapisując postać iloczyową trójmiau lub zazaczając a wykresie) x = 4, x = 3 lub ( x 4)( x+ 3) 0 lub y 3 4 x

3 Poziom podstawowy czerwiec 0 II sposób rozwiązaia (realizacja pierwszego etapu) Wyzaczamy postać kaoiczą trójmiau kwadratowego 49 x + 0 a astępie przekształcamy ierówość, tak by jej lewa stroa była zapisaa w postaci iloczyowej 7 7 x x + 0 x 4 x+ 3 0 ( ) ( ) Drugi etap rozwiązaia: Podajemy zbiór rozwiązań ierówości 3, 4. Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązaia i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości, p. o obliczy lub poda pierwiastki trójmiau kwadratowego x = 4, x = 3 i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości o zazaczy a wykresie miejsca zerowe fukcji f ( x) = x + x+ 4 i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości o rozłoży trójmia kwadratowy a czyiki liiowe, p. ( x 4) ( x+ 3) i a tym poprzestaie lub błędie rozwiąże ierówość realizując pierwszy etap popełi błąd (ale otrzyma dwa róże pierwiastki) i kosekwetie do tego rozwiąże ierówość, p. o popełi błąd rachukowy przy obliczaiu wyróżika lub pierwiastków trójmiau kwadratowego i kosekwetie do popełioego błędu rozwiąże ierówość o błędie zapisze rówaia wyikające ze wzorów Viète a: x+ x = i x x = lub x + x = i x x = i kosekwetie do tego rozwiąże ierówość, Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań ierówości : 3, 4 lub x 3, 4 lub 3 x 4, sporządzi ilustrację geometryczą (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań ierówości w postaci x 3, x 4, poda zbiór rozwiązań ierówości w postaci graficzej z poprawie zazaczoymi końcami przedziałów

4 Poziom podstawowy czerwiec Uwagi. Jeżeli zdający poprawie obliczy pierwiastki trójmiau x = 3 i x = 4 i zapisze x 3, 4, popełiając tym samym błąd przy przepisywaiu jedego z pierwiastków, to za takie rozwiązaie otrzymuje pukty.. W związku z rozbieżością w rozumieiu i używaiu spójików w języku potoczym i formalym języku matematyczym akceptujemy zapis x 3, x Jeżeli błąd zdającego w obliczeiu pierwiastków trójmiau ie wyika z wykoywaych przez iego czyości (zdający rozwiązuje swoje zadaie ), to otrzymuje 0 puktów za całe zadaie. Zadaie 4. ( pkt) Fukcja f jest określoa wzorem f ( x) współczyik b. x b =, dla 9 x 9 x oraz ( ) f 4 = 5. Oblicz Rozwiązaie Waruek f ( 4) = 5 zapisujemy w postaci rówaia z iewiadomą b: Rozwiązujemy to rówaie i obliczamy współczyik b: b = 3. 4 b 5 =. 4 9 Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt 4 b gdy poprawie zapisze rówaie z iewiadomą b, p. 5 = 4 9 lub 5 5= 8 b. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy współczyik b =

5 Poziom podstawowy czerwiec 0 Zadaie 5. ( pkt) Na poiższym rysuku trójkąt ABC jest rówoboczy, a pukty B, C, N są współliiowe. Na boku AC wybrao pukt M, tak że AM = CN. Udowodij, że BM = MN. N C M A B I sposób rozwiązaia N C M D A B Rysujemy odciek MD rówoległy do odcika AB. Uzasadiamy, że trójkąty BDM i MCN są przystające a podstawie cechy bkb: BD = CN, bo BD = AM MD = CM, bo trójkąt MDC jest rówoboczy BDM = 0 = NCM. Zatem BM = MN

6 Poziom podstawowy czerwiec 0 Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy apisze, że trójkąty BDM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wiosek, że BM = MN Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, że trójkąty ACD i BCE są przystające i wyprowadzi stąd wiosek, że BM = MN. Uwaga Zdający może też dorysować odciek MD BC i aalogiczie pokazać, że trójkąty BMD i MNC są przystające. II sposób rozwiązaia Z twierdzeia cosiusów dla trójkąta ABM obliczamy BM = AM + AB AM AB cos 0 = = AM + AB AM AB = = AM + AB AM AB. Z twierdzeia cosiusów dla trójkąta MCN obliczamy MN = MC + CN MC CN cos0 = = MC + CN MC CN =. = MC + CN + MC CN Poieważ AM = CN i MC = AB AM, więc ( ) ( ) MN = AB AM + AM + AB AM AM = BM : MN : = AB + AM AB AM + AM + AB AM AM = Zatem BM = MN, czyli BM = MN Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia AB + AM AB AM Zdający otrzymuje... pkt gdy korzystając z twierdzeia cosiusów obliczy kwadraty długości odcików BM i MN. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, że BM = MN

7 Zadaie. ( pkt) Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych Poziom podstawowy czerwiec 0 3 Dae są wielomiay P ( x) = x + 3x, Q ( x) = x x oraz W ( x) ax + b współczyiki a i b tak, by wielomia P( x ) był rówy iloczyowi W ( x) Q( x). =. Wyzacz I sposób rozwiązaia Wyzaczamy iloczy W ( x) Q( x) : W ( x) Q( x) = ( x x )( ax+ b) 3 W ( x) Q( x) = ax + bx ax bx ax b 3 W ( x) Q( x) = ax + ( b a) x ( a+ b) x b Porówujemy współczyiki wielomiaów P( x ) i W ( x) Q( x) i zapisujemy układ rówań: a = b a= 3 a + b = 0 b = Z pierwszego rówaia otrzymujemy a =, z ostatiego b =. Sprawdzamy, że obliczoe a oraz b spełiają pozostałe dwa rówaia. Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt 3 gdy zapisze wielomia W ( x) Q( x) w postaci ( ) ( ) ax + b a x a + b x b i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy a = i b = W x = x+ zapisze ( ) II sposób rozwiązaia 3 Sprawdzamy, że liczba jest jedym z miejsc zerowych wielomiau P ( x) = x + 3x i dzielimy wielomia ( ) + = ( x 3x ): x x x x x 3 x + x x x x + = = 3 x + 3x przez dwumia x

8 Poziom podstawowy czerwiec 0 Następie zapisujemy P( x) = ( x + x+ ) ( x ), czyli P( x) ( x x ) ( x ) Porówując współczyiki wielomiaów W ( x) ax + b a =, b=. = +. = oraz x + otrzymujemy Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt 3 gdy podzieli wielomia ( x) = x + 3x ( ) ( ) ( ) P x x x x P przez dwumia x i zapisze = + + lub P( x) = ( x ) x+ ( x ) i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy a = i b = zapisze W ( x) = x+. Uwaga Jeżeli zdający sprawdzi, że liczba P 3 ( x) = x + 3x ( ) ( 4 ), podzieli wielomia jest jedym z miejsc zerowych wielomiau 3 x + 3x przez dwumia lub ( ) ( ) ( ) x + i zapisze P x = x + x x+ P x = x x x+ i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy, to otrzymuje pukt. III sposób rozwiązaia 3 Dzielimy wielomia P ( x) = x + 3x przez wielomia Q ( x) = x x ( ) + = + 3 ( x 3x ): x x x 3 x x x = x x x + x+ = = = i zapisujemy P( x) ( x x ) ( x ) = +. Z porówaia odpowiedich współczyików, otrzymujemy a =, b=

9 Poziom podstawowy czerwiec 0 Schemat oceiaia III sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt 3 gdy podzieli wielomia P ( x) = x + 3x przez wielomia Q ( x) = x x i zapisze = + lub P( x) = ( x ) x+ ( x ) w postaci P( x) ( x x ) ( x ) poprzestaie lub dalej popełia błędy i a tym Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy a = i b = W x = x+ zapisze ( ) Zadaie 7. ( pkt) Uzasadij, że dla każdej dodatiej liczby całkowitej liczba wielokrotością liczby jest Rozwiązaie + + Liczbę przedstawiamy w postaci = = = 03 5 = ( ) = 0 3 = 0k, gdzie k Zatem liczba ( ) ( ) 3 = jest liczbą całkowitą. jest wielokrotością liczby 0. Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt + + gdy zapisze liczbę w postaci i ie uzasadi, że liczba 5 jest podziela przez 0 Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełe rozumowaie, p.: przekształci liczbę jest liczbą całkowitą przekształci liczbę do postaci ( ) do postaci 0( 3 ) 0 3 = 0k, gdzie i zapisze, że liczbą całkowitą zapisze liczbę w postaci i uzasadi, że jest podziela przez 0 k = 3 3 jest

10 Uwaga Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych Poziom podstawowy czerwiec 0 Jeśli zdający zapisuje kolejo: = 0x = 0x ( ) ( ) = 0x, 53 = 0x ( ) 3 = x i uzasadia, że 3 jest liczbą podzielą przez, to otrzymuje pukty. Zadaie 8. ( pkt) Tabela przedstawia wyiki uzyskae a sprawdziaie przez ucziów klasy III. Ocey Liczba ucziów 5 4 Oblicz mediaę i średią arytmetyczą uzyskaych oce. Rozwiązaie Obliczamy średią arytmetyczą oce uzyskaych przez ucziów klasy III = = 3, Mediaa 0 uzyskaych oce to średia arytmetycza dziesiątego i jedeastego wyrazu uporządkowaego w kolejości iemalejącej ciągu oce. Dziesiąty i jedeasty wyraz tego ciągu to 3, zatem mediaa jest rówa 3. Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy średią arytmetyczą oce uzyskaych przez ucziów klasy III i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy, obliczy mediaę uzyskaych oce i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy średią arytmetyczą i mediaę uzyskaych oce: odpowiedio3,5 i

11 Poziom podstawowy czerwiec 0 Zadaie 9. ( pkt) Rzucamy dwa razy symetryczą sześcieą kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeia A polegającego a tym, że liczba oczek w pierwszym rzucie jest o miejsza od liczby oczek w drugim rzucie. I sposób rozwiązaia Ω jest zbiorem wszystkich par ( ab, ) takich, że ab, {,,3,4,5,} w którym Ω= 3. Zdarzeiu A sprzyjają astępujące zdarzeia elemetare: (,, ) (,3,3,4, ) ( ) ( 4,5,5, ) ( ) Zatem 5 A = i stąd ( ) A P A = = Ω 5 3. Mamy model klasyczy, Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze, że 3 { } Ω= i A = (,, ) (,3,3,4,4,5,5, ) ( ) ( ) ( ) Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzeia A: ( ) 5 P A =. 3 II sposób rozwiązaia: metoda drzewa Rysujemy drzewo i pogrubiamy istote dla rozwiązaia zadaia gałęzie tego drzewa. Zapisujemy prawdopodobieństwa tylko a tych gałęziach Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzeia A: ( ) 5 P A = 5 = 3 Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy

12 Poziom podstawowy czerwiec 0 arysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa a jego gałęziach i wskaże a drzewie właściwe gałęzie (p. pogrubieie gałęzi lub zapisaie prawdopodobieństw tylko a istotych gałęziach) arysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa a jego gałęziach i ie wskazuje a drzewie odpowiedich gałęzi, ale z dalszych obliczeń moża wywioskować, że wybiera właściwe gałęzie Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzeia A: ( ) 5 P A =. 3 III sposób rozwiązaia: metoda tabeli Rysujemy tabelą i wybieramy zdarzeia elemetare sprzyjające zdarzeiu A. II kostka X X I kostka 3 X 4 X 5 X Ω= 3 i 5 A =, zatem ( ) 5 P A =. 3 Schemat oceiaia III sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy arysuje tabelę i wypisze wszystkie zdarzeia sprzyjające lub zazaczy je w tabeli. Zdający otrzymuje... pkt gdy poda poprawą odpowiedź: ( ) 5 P A =. 3 Uwaga Jeżeli zdający popełił błąd przy zliczaiu par spełiających waruki zadaia i kosekwetie do popełioego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to przyzajemy pukt

13 Poziom podstawowy czerwiec 0 Zadaie 30. ( pkt) Liczby 7, x,3 są odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometryczego. Oblicz ósmy wyraz tego ciągu. I sposób rozwiązaia Korzystając ze wzoru a trzeci wyraz ciągu geometryczego obliczamy q iloraz ciągu: 3= 7 q q = 9 q = lub 3 q =. 3 Poieważ ciąg jest malejący, to q =. 3 Obliczamy koleje wyrazy ciągu: rówy 8. II sposób rozwiązaia Z własości ciągu geometryczego wyika, że 7,9,3,,,,,, zatem ósmy wyraz ciągu jest x = 7 3. Stąd x = 8, czyli x = 9 lub x = 9. Poieważ ciąg jest malejący, to x = 9, a iloraz tego ciągu q jest rówy 3. Obliczamy koleje wyrazy ciągu: rówy 8. 7,9,3,,,,,, zatem ósmy wyraz ciągu jest Uwaga Zdający może obliczyć ósmy wyraz ciągu korzystając ze wzoru: = = = Schemat oceiaia I i II sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy q iloraz ciągu: q =. 3 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy ósmy wyraz ciągu:

14 Poziom podstawowy czerwiec 0 Zadaie 3. (4 pkt) Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisaych wyłączie za pomocą cyfr,, 3, 4 (cyfry mogą się powtarzać). I sposób rozwiązaia (wypisaie wszystkich liczb): Zauważamy, że istieją 4 liczby trzycyfrowe, których cyfry wybrae są ze zbioru {,, 3, 4 }. Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 4 sposoby spośród cyfr,, 3 i 4, drugą rówież a 4 sposoby (cyfry mogą się powtarzać) i trzecią także a 4 sposoby. Wypisujemy wszystkie liczby spełiające waruki zadaia i dodajemy je, p.: = = = = 840 Suma wszystkich liczb jest rówa: = 770. Uwaga Sumę 4 liczb trzycyfrowych spełiających waruki zadaia możemy obliczyć zauważając, że we wszystkich dodawaiach zmieiają się tylko sumy setek: 00 + ( ) = = ( ) = = ( ) = = ( ) = = 840 Suma wszystkich liczb jest rówa: = 770. II sposób rozwiązaia Zauważamy, że istieją 4 liczby trzycyfrowe, których cyfry wybrae są ze zbioru {,, 3, 4 } (przy czym cyfry mogą się powtarzać)

15 Poziom podstawowy czerwiec 0 Każdą z tych liczb moża zapisać w postaci a 00 + b 0 + c, gdzie a, b, c to cyfry wybrae ze zbioru liczb {,, 3, 4 }. Sumę tych 4 liczb obliczamy dodając oddzielie wielokrotości 00, oddzielie wielokrotości 0 i oddzielie cyfry jedości. Obliczamy, ile razy jedyka występuje jako cyfra setek. Cyfrą dziesiątek może wówczas być jeda z 4 cyfr spośród,,3, 4 i cyfrą jedości też jeda z tych 4 cyfr. Zatem jedyka jako cyfra setek występuje w liczbach. W sumie 4 liczb spełiających waruki zadaia. składik 00 wystąpi razy. Podobie razy wystąpi składik 00, razy wystąpi składik 300 i razy składik 400. Zatem składiki postaci a 00 dają sumę = 00 ( ) = 000. Tak samo pokazujemy, że każda cyfra spośród,,3,4 wystąpi razy jako cyfra dziesiątek. Zatem składiki postaci b 0 dają sumę = 0 ( ) = 00. Postępując aalogiczie obliczamy sumę cyfr jedości: = ( ) = 0. Suma wszystkich 4 liczb jest zatem rówa = 770. Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Zapisaie, że istieją 4 liczby trzycyfrowe zapisae wyłączie za pomocą cyfr,, 3 i 4 (przy czym cyfry mogą się powtarzać). Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... pkt wypisaie wszystkich liczb trzycyfrowych, które moża zapisać wyłączie za pomocą cyfr,,3 i 4 (przy czym cyfry mogą się powtarzać). zapisaie sum setek, dziesiątek i jedości. Uwaga Jeżeli zdający wypisze liczby spełiające waruki zadaia z pomiięciem co ajwyżej trzech liczb i ie obliczy ich sumy zapisze sumy setek lub dziesiątek lub jedości z jedym błędem rachukowym i ie obliczy ich sumy, to za takie rozwiązaie przyzajemy pukty. Rozwiązaie zadaia do końca lecz z usterkami, które jedak ie przekreślają poprawości rozwiązaia (p. błędy rachukowe)... 3 pkt wypisaie liczb spełiających waruki zadaia z pomiięciem co ajwyżej trzech liczb i obliczeie ich sumy zapisaie sumy setek lub dziesiątek lub jedości z jedym błędem rachukowym i obliczeie ich sumy. Rozwiązaie bezbłęde... 4 pkt Obliczeie sumy wszystkich liczb trzycyfrowych zapisaych wyłączie za pomocą cyfr,,3,4 (przy czym cyfry mogą się powtarzać):

16 Poziom podstawowy czerwiec 0 Zadaie 3. (4 pkt) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę 0 oraz AS = CS = 0 i BS = DS. Oblicz sius kąta achyleia krawędzi BS do płaszczyzy podstawy ostrosłupa. I sposób rozwiązaia S b D h c C α D O β a A f e O C A a B a a B Wprowadźmy ozaczeia: a długość boku rombu, e, f długości przekątych rombu, h wysokość ostrosłupa, b= AS = CS, c= BS = DS. Obliczamy długości przekątych podstawy. Z własości trójkąta rówoboczego BCD mamy: a 3 e= BD = a i f = OC =, zatem e = 4, f = 4 3 Korzystając z twierdzeia Pitagorasa w trójkącie AOS obliczamy wysokość ostrosłupa: f h = b ( ) h = 0 3 = 88, h = 88 = Obliczamy długość krótszej krawędzi boczej BS:

17 Poziom podstawowy czerwiec 0 c e = h + c = = 9 = 3 Obliczamy sius kąta achyleia krawędzi boczej BS ostrosłupa do płaszczyzy podstawy: si β = h c 50 si β = = = si β 0,9780. Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia... pkt Obliczeie długości przekątych podstawy ostrosłupa: e = 4 i f = 4 3. Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Obliczeie wysokości ostrosłupa h =. Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... 3 pkt Obliczeie długości krótszej krawędzi boczej ostrosłupa: c = 3. Rozwiązaie pełe... 4 pkt Obliczeie si β =

18 Poziom podstawowy czerwiec 0 II sposób rozwiązaia S b D h c C α D O β a A f e O C A a B a a B Wprowadźmy ozaczeia: a długość boku rombu, e, f długości przekątych rombu, h wysokość ostrosłupa, b= AS = CS, c= BS = DS. Obliczamy długości przekątych podstawy. Z własości trójkąta rówoboczego BCD mamy: a 3 e= BD = a i f = OC =, zatem e = 4, f = 4 3 Korzystając z twierdzeia Pitagorasa w trójkącie AOS obliczamy wysokość ostrosłupa: f h = b ( ) h = 0 3 = 88, h = 88 = Obliczamy tages kąta achyleia krótszej krawędzi boczej ostrosłupa do płaszczyzy podstawy: h tgβ = e

19 tgβ =. Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych Poziom podstawowy czerwiec 0 Obliczamy si β korzystając z tożsamości trygoometryczych: si β si β tgβ = = cos β si β si β = si β si β = si β Zatemsi β =. 3 Uwaga Jeżeli zdający korzystając z przybliżoej wartości tagesa kąta β (tgβ = 4,904 ) odczyta miarę kąta β 78 i astępie zapisze si β si 78 0,978, to za takie rozwiązaie otrzymuje 4 pukty. Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia... pkt Obliczeie długości przekątych podstawy ostrosłupa: e = 4 i f = 4 3. Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Obliczeie wysokości ostrosłupa: h =. Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... 3 pkt Obliczeie tagesa kąta achyleia krótszej krawędzi boczej ostrosłupa do płaszczyzy podstawy tg β =. Rozwiązaie pełe... 4 pkt Obliczeie si β = si β si 78 0,

20 Zadaie 33. (4 pkt) Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych Poziom podstawowy czerwiec 0 Wyzacz rówaie okręgu przechodzącego przez pukt = (, 8) układu współrzędych. Rozważ wszystkie przypadki. A i styczego do obu osi Rozwiązaie y 3 S=(R,R) 8 5 A=(,8) S=(r,r) x Poieważ okrąg jest styczy do obu osi układu współrzędych i jego środek leży S = r, r, w I ćwiartce układu współrzędych, więc środek S tego okręgu ma współrzęde ( ) gdzie r jest promieiem tego okręgu. Rówaie okręgu ma zatem postać ( x r) + ( y r) = r. Pukt A = (, 8) leży a tym okręgu, więc ( r) ( 8 r) r r + =. Stąd otrzymujemy 8r+ 5 = 0. Rozwiązaiami tego rówaia są liczby: r = 5, r = 3. To ozacza, że są dwa okręgi spełiające waruki zadaia o rówaiach ( x ) ( y ) i ( x 3) + ( y 3) = =

21 Poziom podstawowy czerwiec 0 Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Zapisaie współrzędych środka S szukaego okręgu w zależości od promieia r tego S = r, r lub zapisaie, że środek okręgu leży a prostej o rówaiu y = x. okręgu: ( ) Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... pkt Zapisaie rówaia kwadratowego z jedą iewiadomą: r + 8 r = r czyli r 8r+ 5 = 0. ( ) ( ) Rozwiązaie zadaia do końca lecz z usterkami, które jedak ie przekreślają poprawości rozwiązaia (p. błędy rachukowe)... 3 pkt Zadaie rozwiązae do końca, ale w trakcie rozwiązaia popełiao błędy rachukowe. Rozwiązaie pełe... 4 pkt Zapisaie rówań obu okręgów: w postaci kaoiczej: ( x 5) + ( y 5) = 5 i ( x 3) + ( y 3) = 9 lub w postaci ogólej: x + y 0x 0y+ 5 = 0 i x + y x y+ 9 = 0. Uwagi. Jeżeli zdający zapisze rówaie jedego okręgu, to otrzymuje pukt.. Jeżeli zdający zapisze rówaia obu okręgów, to otrzymuje pukty. 3. Jeżeli zdający zapisze rówaia obu okręgów i stwierdzi, że ie ma iych okręgów spełiających waruki zadaia, to otrzymuje 4 pukty

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek. FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz puktowaia

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 06/07 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Zasady oceiaia rozwiązań zadań Copyright by Nowa Era Sp z oo Próby egzami maturaly z Nową Erą Uwaga: Akceptowae są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Centralna Komisja Egzaminacyjna ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 01 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz ćwiczeniowy zawiera strony (zadania 1 ).. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń: PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzoy ZBIÓR ZADAŃ Materiały pomocicze dla ucziów i auczycieli Cetrala Komisja Egzamiacyja 05 Zadaia 5 Zadaia Liczby rzeczywiste i wyrażeia algebraicze Rówaia i

Bardziej szczegółowo

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013 /7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać Przeczytaj, zaim zacziesz rozwiązywać Maturzysto! Zaim rozpocziesz rozwiązywaie zadań z aszych arkuszy: Przygotuj: u Arkusz I 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; Arkusz II 5

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. są podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 008 Czas pracy 0 minut Instrukcja dla

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

Tytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała

Tytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Szkoła Odkrywców Taletów Tytuł zajęć: Fukcja liiowa zajęcia dodatkowe dla gimazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Opis zajęć: Ucziowie w gimazjum dobrze pozają własości fukcji Ucziowie przygotowujący

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi MATURA PRÓBNA - odpowiedzi Zadanie 1. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji = + 6 7 jest przedział: A., B., C., D., Zadanie. (1pkt) Objętość kuli wpisanej w sześcian o krawędzi długości 6 jest równa: A. B. 4

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A2) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z

Bardziej szczegółowo

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony). Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 8 MAJA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 8 MAJA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony

Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony Przykładowy arkusz z rozwiązaiai Arkusz II pozio rozszerzoy ( pkt) Pukt A( -, -) jest wierzchołkie robu, którego jede z boków zawiera się w prostej k o rówaiu x - y - 0 Środkie syetrii tego robu jest pukt

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

MATURA probna listopad 2010

MATURA probna listopad 2010 MATURA probna listopad 00 ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od. do 5. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) - 4 $ 4 Liczba 0 jest równa 4-0, 5 A. B. C. D. 4 Zadanie. ( pkt) Liczba log 6 - log

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: czerwca

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo