Wprowadzenie. metody elementów skończonych
|
|
- Agata Barańska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych
2 Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów skończoych w mechaice kostrukcji, Oficya Wydawicza Politechiki Warszawskiej, Warszawa 25. Błazik-Borowa E., Podgórski J.: Wprowadzeie do metody elemetów skończoych w statyce kostrukcji iżyierskich, IZT, Lubli 2 Metoda elemetów skończoych wybrae problemy, Oficya Wydawicza Politechiki Warszawskiej, Warszawa 996. Ciesielski R. i ii. Mechaika Budowli. Ujęcie komputerowe t. I i II Arkady. Warszawa, 99. Łodygowski T., ąkol W.: Metoda elemetów skończoych w wybraych zagadieiach mechaiki kostrukcji iżyierskich, Skrypt Politechiki Pozańskiej, 994; 2
3 Podstawowe pojęcia, założeia i twierdzeia mechaiki Liiowy model kostrukcji; Rówaia kostytutywe; Płaski sta apręŝeia i płaski sta odkształceia; Rówaia rówowagi; Zasada prac wirtualych; Twierdzeie Clapeyroa; Twierdzeia Bettiego i Maxwella. 3
4 Liiowy model kostrukcji Układ opisują liiowe rówaia róŝiczkowe: Małe przemieszczeia kostrukcji (duŝo miejsze od wymiarów kostrukcji); Małe odkształceia; Materiał liiowo-spręŝysty (moŝliwość stosowaia prawa Hooke a: E). Moduł Youga Etg(α) α 4
5 Nieliiowy model kostrukcji W rówaiach róŝiczkowych układu mogą być wprowadzoe: DuŜe przemieszczeia kostrukcji; Materiał z ieliiową zaleŝością. Obliczeia dla kostrukcji z ieliiowym modelem są wykoywae jak dla układów liiowych, ale obciąŝeie jest dzieloe a miejsze wartości tak, aby moŝa przy małej wartości obciąŝeia problem traktować jak liiowy. α β Moduł wzmocieia E w tg(β) Moduł Youga Etg(α) Przykład materiału ieliiowego 5
6 Naprężeia, działające a elemet o ieskończeie małych wymiarach, zestawia się w macierz, która osi azwę tesora stau aprężeń a wygląda w astępujący sposób: τ τ Tesor aprężeia i tesor odkształceia xx yx zx τ a aprężeia ii i τ ij są azywae składowymi tesora aprężeń. Powyższa macierz jest macierzą symetryczą czyli Τ oraz τ ij τji τ xy yy zy τ τ xz yz zz Odkształceia elemetu o ieskończeie małych wymiarach, zestawia się także w macierz, która osi azwę tesora stau odkształceia i wygląda w astępujący sposób: xx yx zx xy yy zy xz yz zz 6
7 Tesor aprężeia i tesor odkształceia Składowe tesorów aprężeń i odkształceń moża zapisać w formie wektorów: xx τxy τxz τ τ yx yy yz τzx τzy zz τxy τ yx xx yx zx xy yx τ yz yz τ xy yy zy zy zy τ xz yz zz xz xz τ zx zx τ τ τ xx yy zz xy xz yz xx yy zz xy xz yz 7
8 Tesor aprężeia Tesor aprężeia i tesor odkształceia i tesor odkształceia Składowe tesora apręŝeia (9) z uwagi a symetrię moŝa zapisać jako wektor: Podobie moŝa postąpić ze yz xz z y x τ τ Podobie moŝa postąpić ze składowymi tesora odkształceia: Składowe tesora odkształceia jako pochode przemieszczeń: 8 xy yz τ xy yz xz z y x x u x x y u y y z u z z x u y u y x xy + x u z u z x xz + y u z u z y yz +
9 Rówaia kostytutywe Rówaia kostytutywe Rówaia wiąŝące składowe tesorów apręŝeia i odkształceia: µ µ µ λ λ λ λ µ λ λ λ λ µ λ D odkształceia: 9 µ µ D D ( )( ) λ 2 + E ( ) µ 2 + E ) 2( ) 2( ) 2( E D
10 Rówaia kostytutywe Zestawieie odkształceń podłużych w przestrzeym staie aprężeń xx yy E xx xx E xx E xx zz aprężeia działają wzdłuż osi x xx E xx E xx yy xx yy E yy E yy E yy zz aprężeia działają wzdłuż osi y yy E yy E yy zz xx zz E zz E zz E zz aprężeia działają wzdłuż osi z zz yy zz zz E E
11 Rówaia kostytutywe Tak jak w przypadku odkształceń podłużych a podstawie badań stwierdzoo zakres pracy materiału, który azyway jest sprężystym i w odiesieiu do którego moża zapisać: W przypadku odkształceń postaciowych ie ma sprzężeia pomiędzy odkształceiami w staie przestrzeym. Odkształceia postaciowe ostatecze zależą tylko od aprężeń styczych, działających w płaszczyźie zmiay kąta odkształceia postaciowego xy yz xz τ xy G τ G yz τxz G
12 Rówaia kostytutywe W rówaiach kostytutywych występują stałe materiałowe: E moduł Youga, moduł sprężystości podłużej G moduł irchoffa, moduł sprężystości postaciowej współczyik Poissoa E 2 + Wszystkie powyższe parametry łączy zależość: 2 ( + ) G W przypadku zapisu rówań kostytutywych za pomocą rachuku tesorowego dochodzą dwie stałe λ i µ,, azywae stałymi Lamego. Pomiędzy stałymi Lamego a wyżej wymieioymi stałymi istieją zależości: µ G 2G λ 2 2
13 Rówaia kostytutywe Rówaia kostytutywe Zależość pomiędzy aprężeiami i odkształceiami moża zapisać w formie: gdzie: D 3 stałe Lamego τ τ τ yz xz xy zz yy xx yz xz xy zz yy xx µ µ µ µ λ λ λ λ µ λ λ λ λ µ λ D µ G λ 2 2 G
14 Płaski sta aprężeia Płaski elemet, którego grubość jest zaczie miejsza od dwóch pozostałych, obciążoy tylko w swojej płaszczyźie azyway jest tarczą. W takiej sytuacji a powierzchi elemetu ie ma obciążeń, a więc ie ma aprężeń czyli aprężeia, które mają jede z ideksów z, są rówe zero. Taki sta aprężeń azyway jest płaskim staem aprężeń (PSN). Tarcza obciążoa tylko w swojej płaszczyźie. 4
15 Płaski sta aprężeia Założeie upraszczające, które moża stosować p. w przypadku ciekich tarcz. z zx zy τ τ Otrzymujemy astępujące składowe tesora odkształceia: ( ) z x + y zx zy Zredukowae wektory aprężeń i odkształceń: x y τ xy x E y D 2 xy 2 5
16 Płaski sta odkształceia W przypadku budowli, których wymiary są we wszystkich kierukach podobe, moża wyciąć płaski elemet. Na te płaski elemet działają pozostałe części bryły, które ie pozwalają a odkształceia w kieruku prostopadłym do tarczy. W takiej sytuacji a powierzchi elemetu odkształceia są rówe zero. Taki sta aprężeń azyway jest płaskim staem odkształceń (PSO). Bryła Wycięta tarcza 6
17 Płaski sta odkształceia Założeie upraszczające w przypadku masywych budowli. z zx zy Otrzymujemy astępujące składowe tesora aprężeia: z ( ) + τ x y zx Związek między zredukowaymi wektorami aprężeia i odkształceia: D E ( + )( 2) 2 2 τ zy D E 2 2 7
18 Rówaia rówowagi Wektorowa suma sił i suma mometów są rówe : Zapis skalary w przestrzei: a płaszczyźie: P i i P Xi i M Xi i M i i P Yi i i P Zi i M Yi M Zi i P Xi i P Yi i M Zi i 8
19 Ciało sztywe i odkształcale Ciało doskoale sztywe (idealizacja): Brak zmia odległości puktów ciała pod działaiem obciąŝeń. Ciało odkształcale: Odkształceia są a tyle duŝe, Ŝe ie jest moŝliwe pomiięcie odkształceń ciała w aalizie, bez istotej utraty dokładości obliczeń. 9
20 Zasada prac wirtualych ciało sztywe Praca wykoywaa a przemieszczeiach wirtualych przez siły zewętrze (obciążeia, reakcje) rówa jest. i P i u i i Przemieszczeie wirtuale powio spełiać astępujące waruki: dowole, iezależe od sił działających a bryłę, zgode z więzami (kiematyczie dopuszczale), iezależe od czasu. 2
21 Zasada prac wirtualych przykład H A H A V A a P P b RB δ B P δ P RB δ B δ P a δ B a + b δ P a R B P P δ a + b δ B ( ) δ P H A δ A V A V A δ P P RB R B P δ δ P VA A δ P b δ A a + b δ P b V A P P δ a + b A ( ) 2
22 Zasada prac wirtualych ciało odkształcale Wzrost eergii potecjalej ciała, zajdującego się w rówowadze, rówy jest pracy sił zewętrzych wykoaych a przemieszczeiach wirtualych. i P u E i i Wzrost eergii potecjalej praca wykoywaa przez siły wewętrze a przemieszczeiach wirtualych. V T E dv 22
23 omplemetara zasada prac wirtualych Wzrost eergii potecjalej ciała, zajdującego się w rówowadze, rówy jest pracy wirtualych sił zewętrzych wykoaych a rzeczywistych przemieszczeiach. i P i ui Wzrost eergii potecjalej praca wykoywaa przez wirtulae siły wewętrze a przemieszczeiach rzeczywistych. V E E dv T 23
24 Twierdzeie Clapeyroa () Twierdzeia Clapeyroa mówi, że dla układu sprężystego, zajdującego się w rówowadze, praca sił zewętrzych L z rówa jest eergii potecjalej sił wewętrzych (eergii sprężystej): L z V 2 lub w iej wersji i P i u i 2 T dv T dv 2 V V Praca sił zewętrzych jest miarą eergii potecjalej obciążeia zewętrzego przekształcającej się w eergię sprężystą: L z V z V-L w 24
25 Twierdzeie Clapeyroa (2) Układ musi spełiać astępujące waruki: materiał zachowuje się zgodie z prawem Hooke a, ie ma takich waruków brzegowych, których istieie zaleŝy od odkształceia kostrukcji, temperatura układu jest stała, ie ma apręŝeń i odkształceń wstępych. 25
26 Twierdzeie Bettiego Układ sił P ik wykouje taką samą pracę a przemieszczeiach wywołaych układem sił P j jak układ sił P j a przemieszczeiach wywołaych przez siły P ik. k P ik u jk P j u i P i u j P j u i P i Ugięcie belki od siły Ugięcie belki od siły P j P i P j u ii u ji u ij u jj P j P i Praca siły P j Praca siły P i u ii u ji u ij u jj Pj u ji P u i ij 26
27 Twierdzeie Maxwella Jeżeli a kostrukcję działają dwie iezależe uogólioe siły jedostkowe P i i P j, wywołujące odpowiedio przemieszczeia w ji (przemieszczeie w pukcie j a kieruku siły P j wywołae siłą P i ) i w ij (przemieszczeie w pukcie i a kieruku siły P i wywołae siłą P j ), to te przemieszczeia są sobie rówe. P i P i w ij P j w ji oraz P i i P j w ij w ji Ugięcie belki od siły P i Ugięcie belki od siły P j P j w ii w ji w ij w jj P j Praca siły P j P i Praca siły P i w ii w ji w ij w jj 27
28 Metoda elemetów skończoych Aproksymacja układu rówań różiczkowych wraz z warukami brzegowymi, opisujących obiekt układem rówań algebraicczych, który jest łatwiejszy do rozwiązaia. Rozwiązaie przybliżoe dokładość zależy od metod aproksymacji. Metoda stosowaa w różych dziedziach: mechaika ciała stałego, budowli, płyów, elektryka itp. 28
29 Sposób poszukiwaia rozwiązaia przybliżoego () Podział a elemety skończoe połączoe w węzłach. Niewiadome: przemieszczeia w węzłach. Przybliżeie przemieszczeń puktów wewątrz elemetów za pomocą fukcji aproksymujących (fukcje kształtu) a podstawie przemieszczeń węzłowych. Siły w elemetach uzależioe od przemieszczeń węzłów za pomocą macierzy sztywości. 29
30 Sposób poszukiwaia rozwiązaia przybliżoego (2) Zapis układu rówań rówowagi dla wszystkich węzłów (stopi swobody) i wprowadzeie waruków brzegowych. Rozwiązaie układu rówań algebraiczych obliczeie przemieszczeń węzłów. Obliczeie pozostałych wielkości odkształceia, siły wewętrrze, apręŝeia. 3
31 Algorytm metody elemetów skończoych Dyskretyzacja (geeracja siatki); Tworzeie macierzy sztywości elemetów; Agregacja globalej macierzy sztywości; Budowa globalego wektora obciąŝeia; Wprowadzeie waruków brzegowych; Rozwiązaie układu rówań; Obliczeie sił wewętrzych i reakcji. 3
32 ostrukcje prętowe: kratowe i ramowe Często podział aturaly odciek prostoliiowy pręta jest elemetem skończoym; Tarcze, płyty i powłoki: Elemety prostokąte lub trójkąte; Dyskretyzacja () 32
33 Dyskretyzacja (2) ostrukcje bryłowe: Elemety czterowęzłowe (czworościee), sześciowęzłowe, ośmiowęzłowe. 33
34 Macierze sztywości elemetów Macierze sztywości elemetów Aaliza poszczególych elemetów; Zalezieie związków między parametrami statyczymi (obciążeiami) i odpowiadającymi im parametrami geometryczymi (przemieszczeiami). (przemieszczeiami). 34 jy jx iy ix jy jx iy ix e e e F F F F u u u u l EA l EA l EA l EA ' ' ' f u
35 Stopie swobody Rodzaj kostrukcji Ilość stopi swobody Przesuięcia Obroty N D u x u y u z ϕ x ϕ y ϕ z krata płaska 2 krata przestrzea 3 rama płaska 3 rama przestrzea 6 ruszt 3 tarcza 2 płyta 3 powłoka 6 bryła 3 35
36 Globala macierz sztywości Globala macierz sztywości i rozwiązaie układu rówań i rozwiązaie układu rówań Układ rówań metody elemetów skończoych: p u N N p p p u u u M M M M O M M Jako wyik otrzymujemy przemieszczeia w węzłach (a poszczególych stopiach swobody). Na ich podstawie wyliczae są siły odkształceia i aprężeia a astępie siły wewętrze, reakcje, itp. 36 N N N N N N N N p p u u M M M O M M M 2
37 Fukcje kształtu Do wyzaczeia przemieszczeń wewątrz elemetu a podstawie przemieszczeń węzłów służy fukcja kształtu. u( x, y) N ( x, y) u e e [ i j k l ] u ( x, y) N ( x, y) N ( x, y) N ( x, y) N ( x, y) Na podstawie fukcji przemieszczeń liczoe są odkształceia u x x x u x xz + z uz x y u u u u i j k l u y u z z y z u y uz yz + z y xy u y x + u y x I a tej podstawie aprężeia D 37
38 Moduły systemów MES (FEM) Preprocesor: Dyskretyzacja; Dae materiałowe; Opis obciążeia. Nowoczesy preprocesor pozwala a graficze wprowadzaie iformacji o modelu. Procesor: Macierze sztywości elemetów; Globala macierz sztywości; Wektor obciążeia; Waruki brzegowe; Rozwiązaie układu rówań. 38
39 Moduły systemów MES (FEM) Postprocesor: Obliczeie sił wewętrzych i reakcji; Wizualizacja wyików. 39
40 Moduły systemów MES (FEM) Postprocesor: (postaci drgań własych prostokątej płyty) 4
41 oiec
Defi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o wzajemności
Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoW wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch
Wykład 5 PŁASKI ZADANI TORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski sta arężeia W wielu rzyadkach zadaie teorii srężystości daje się zredukować do dwóch wymiarów Przykładem może być cieka tarcza obciążoa siłami działającymi
Bardziej szczegółowoUkłady liniowosprężyste Clapeyrona
Układy liiowosprężyste Clapeyroa Liiowosprężysty układ Clapeyroa zbiór połączoych ze sobą ciał odkształcalych, w których przemieszczeia są liiowymi fukcjami sił Układ rzeczywisty może być traktoway jako
Bardziej szczegółowo7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:
7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowoAutor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE
METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoMec Me han a ik i a a o gólna Wyp W a yp dko dk w o a w do d w o o w l o ne n g e o g o ukł uk a ł du du sił.
echaika ogóla Wkład r 2 Wpadkowa dowolego układu sił. ówowaga. odzaje sił i obciążeń. odzaje ustrojów prętowch. Wzaczaie reakcji. Wpadkowa układu sił rówoległch rzłożeie układu zerowego (układ sił rówoważącch
Bardziej szczegółowoOBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD
OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Laboratorium 5 Info
Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych
Bardziej szczegółowoALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział
Bardziej szczegółowo[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MEDYCYNIE (wyłącznie do celów dydaktycznych zakaz rozpowszechniania)
MATRIAŁY POMOCNICZ DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MDYCYNI (wyłączie do celów dydaktyczych zakaz rozpowszechiaia) 4. Drgaia brył prętów, membra i płyt. ****************************************************************
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoAnaliza płyt i powłok MES
Analiza płyt i powłok MES Jerzy Pamin e-mails: JPamin@L5.pk.edu.pl Podziękowania: M. Radwańska, A. Wosatko ANSYS, Inc. http://www.ansys.com Tematyka zajęć Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Elementy
Bardziej szczegółowo4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów
Bardziej szczegółowo1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych. Anna Stankiewicz
1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych Anna Stankiewicz e-mail: astankiewicz@l5.pk.edu.pl Tematyka zajęć Przykłady konstrukcji inżynierskich Klasyfikacja ustrojów powierzchniowych Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe
Bardziej szczegółowoAnaliza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych
a prawach rękopisu Istytut Iżyierii Lądowej Politechiki Wrocławskiej Aaliza drgań wybraych dźwigarów powierzchiowych metodą elemetów brzegowych Raport serii PRE r 5/ Praca doktorska autor mgr iż. Jacek
Bardziej szczegółowoANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU
Dr iż. Staisław NOGA oga@prz.edu.pl Politechika Rzeszowska ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Streszczeie: W publikacji
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoVII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.
KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski
Bardziej szczegółowoPrzykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu
Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,
PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA Ruch cząstki ieograiczoy z klasyczego puktu widzeia W tym przypadku V = cost, przejmiemy V ( x ) = 0, cząstka porusza się wzdłuż osi x. Rozwiązujemy
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do WK1 Stan naprężenia
Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowo4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości
4. lementy liniowej Teorii Sprężystości 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS. 4.2. Stan naprężenia w punkcie 4.3. Równania równowagi stanu naprężenia 4.4. Stan odkształcenia w punkcie 4.5.
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoWytrzymałość materiałów
Wtrzmałość materiałów IMiR - IA - Wkład Nr 8 Aaliza stau aprężeia Sta aprężeia w pukcie, tesor aprężeia, klasfikacja staów aprężeia, aaliza jedoosiowego stau aprężeia, aaliza płaskiego stau aprężeia, koło
Bardziej szczegółowoLaboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1
1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych
Bardziej szczegółowoZastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D
Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki
Bardziej szczegółowoPODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE
PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE Podstawy statyki budowli: Pojęcia podstawowe Model matematyczny, w odniesieniu do konstrukcji budowlanej, opisuje ją za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych
Bardziej szczegółowoPodstawy wytrzymałości materiałów
Podstaw wtrzmałości materiałów IMiR - MiBM - Wkład Nr 4 Aaliza stau aprężeia Sta aprężeia w pukcie, tesor aprężeia, klasfikacja staów aprężeia, aaliza jedoosiowego stau aprężeia, aaliza płaskiego stau
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoA A A A11 A12 A1. m m mn
DODTEK NR. GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy ajważiejsze defiicje rachuku macierzowego i omówimy iektóre fukcje i trasformacje macierzy ajbardziej przydate w zastosowaiach umeryczych a w szczególości w
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoDoświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Doświadczalne
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoChemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowoTwierdzeie Closa Problem: Jak duże musi być m, aby trzysekcye pole Closa ν(m,, r) )było ieblokowale w wąskim sesie? Twierdzeie Closa: Dwustroe trzysek
Sieci i Systemy z Itegracą Usług Trzysekcye pole Closa m r r m Własości kombiatorycze pól komutacyych Prof. dr hab. iż. Wociech Kabaciński r m Pole Closa est edozaczie defiiowae przez trókę m,, r i ozaczae
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Marek Lefik. Wykład 1 Studia doktoranckie
Metody umerycze Marek Lefik Wykład 1 Studia doktorackie 01-013 Metody umerycze: wstęp ogóly Czemu służą MN Rozwiązaia symbolicze zagadień brzegowych dla skomplikowaej geometrii ie jest możliwe Rozwiązaia
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] 2. Ustalenie stopnia statycznej
Bardziej szczegółowoTENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY
TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba
Bardziej szczegółowoWytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów Wykład 3 Analiza stanu naprężenia i odkształcenia w przekroju pręta Poznań 1 3.1. Podstawowe założenia Charakterystyka materiału Zakładamy na początek, że mamy do czynienia z ośrodkiem
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop
Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop. 2015 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego 7 Przedmowa do wydania drugiego 9
Bardziej szczegółowoPYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera
Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki
Bardziej szczegółowoTermodynamika defektów sieci krystalicznej
Termodyamika defektów sieci krystaliczej Defekty sieci krystaliczej puktowe (wakasje, atomy międzywęzłowe, obce atomy) jedowymiarowe (dyslokacje krawędziowe i śrubowe) dwuwymiarowe (graice międzyziarowe,
Bardziej szczegółowoStan odkształcenia i jego parametry (1)
Wprowadzenie nr * do ćwiczeń z przedmiotu Wytrzymałość materiałów przeznaczone dla studentów II roku studiów dziennych I stopnia w kierunku nergetyka na wydz. nergetyki i Paliw, w semestrze zimowym /.
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Przedmiot Mechanika teoretyczna Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Mechanika: ogólna, techniczna, teoretyczna. Dział fizyki zajmujący się badaniem
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 255-26, Gliwice 26 ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA RYSZARD KORYCKI DARIUSZ WITCZAK Katedra Mechaiki
Bardziej szczegółowoMetody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii
Metody energetyczne Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii dv 1 N dx Ndu EA dv dv S 1 M dx M sdϕ GI 1 M gdx M gdϑ EI S Energia sprężysta układu prętowego
Bardziej szczegółowoPolitechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2015/2016
Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu Wydział Mechaniczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 015/016 Kierunek studiów: Mechanika i Budowa Maszyn Forma
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 5
Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 5 ANALIZA WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH WYBRANEGO OBIEKTU FIZYCZNEGO 1. Opis właściwości dyamiczych obiektu Typowym
Bardziej szczegółowo3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń
3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie
Bardziej szczegółowoOBWODY LINIOWE PRĄDU STAŁEGO
Politechika Gdańska Wydział Elektrotechiki i Automatyki 1. Wstęp st. stacjoare I st. iżyierskie, Eergetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechiki i Elektroiki Ćwiczeie r 1 OBWODY LINIOWE PRĄDU STAŁEGO Obwód
Bardziej szczegółowoSzkic do wykładów z mechaniki analitycznej
Szkic do wykładów z mechaiki aalityczej prof. dr hab. Bogda Maruszewski pokój 408 BM e-mail: bogda.maruszewski@put.poza.pl www: http://tm.am.put.poza.pl kosultacje: poiedziałek 11 00 12 00 Politechika
Bardziej szczegółowoSzybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)
Szybka trasformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Trasform) Pla wykładu: 1 Trasformacja Fouriera, iloczy skalary 2 DFT - dyskreta trasformacja Fouriera 3 FFT szybka trasformacja Fouriera a) algorytm PFA b)
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych dla iewidomych POZIOM PODSTAWOWY Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 4 6 7
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoIntegralność konstrukcji w eksploatacji
1 Integralność konstrukcji w eksploatacji Wykład 0 PRZYPOMNINI PODSTAWOWYCH POJĘĆ Z WYTRZYMAŁOŚCI MATRIAŁÓW Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoModelowanie układów prętowych
Modelowanie kładów prętowych Elementy prętowe -definicja Elementami prętowymi można modelować - elementy konstrkcji o stosnk wymiarów poprzecznych do podłżnego poniżej 0.1, - elementy, które są wąskie
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:
1. Metor Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m] węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m] węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO
Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin Tematyka zajęć 1 Dyskretyzacja
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowoStateczność ramy - wersja komputerowa
Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych
Bardziej szczegółowo