1.5. Iloczyn wektorowy. Definicja oraz k. Niech i

Transkrypt

1 .. Iloczyn ektoroy. Definicj. Niech i, j orz k. Iloczynem ektoroym ektoró = i j k orz = i j k nzymy ektor i j k.= ( )i ( )j ( )k Skrótoo możn iloczyn ektoroy zpisć postci yzncznik: i j k. Poniżej podno też metodę Srrus oliczeni tkiego yzncznik. Prktyczne zstosonie roziązniu zdni n str.. Przykłd.6 Znleźć jeśli = [, -, 6] t i = [-,, ] t. Roziąznie i j k 6 6 i 6 j k = (- )i - ( 8)j ( )k = -i j 7k = [-, -, 7] t. Metod Srrus Wyzncznik trzeciego stopni możn oliczyć stosując skróconą metodę zną metodą (regułą) Srrus. Metod t odnosi się tylko i yłącznie do yzncznikó stopni trzeciego. Poleg on n dopisniu pod odpoidjącą olicznemu yzncznikoi mcierzą pierszy, potem drugi iersz (lterntyą jest dopisnie po prej stronie pierszej, nstępnie drugiej kolumny), przez co otrzymujemy nstępujący schemt: =.

2 Tierdzenie. Wektor jest ortogonlny do ektoró i. Doód:Wystrczy ykzć, że ( ) = orz ( ) =. ( ) = ( ) - ( ) ( ) = = =. Podonie doodzimy, że ( ) =. W interpretcji geometrycznej, rys..6, tierdzenie. pokzuje, że jeśli ektory i zczepione są jednym punkcie, to iloczyn ektoroy jest ektorem prostopdłym do płszczyzny yznczonej przez i. Jego zrot yznczony jest z pomocą reguły śruy proskrętnej: orcjąc ektor stronę ektor zgodnie ze strzłką, yiermy zrot ektor skzny przez kręcnie się śruy proskrętnej. Iloczyn ektoroy, podonie jk sklrny, może yć użyty do yznczni kąt między ektormi. / Rys..6 / Tierdzenie.4 Jeśli jest kątem między dom niezeroymi ektormi i, to = sin Z poyższego tierdzeni orz z łsności sin = ynik nstępujący niosek. Wniosek. Niezeroe ektory i są rónoległe tedy i tylko tedy, gdy = Iloczyn ektoroy m nstępujące łsności. Tierdzenie. Jeśli, i c są doolnymi ektormi, jest ektorem zeroym, m jest sklrem, to: ) = =, ) = -, c) (m) = m( ) = (m), d) ( c) = ( ) ( c), e) ( ) c = ( c) ( c), f) ( ) c = ( c), g) ( c) = ( c) ( )c.

3 Zstosoni. Tierdzenie.6 Pole rónoległooku, którego przyległymi okmi są ektory i, jest róne P =. Doód. Niech i ędą przyległymi okmi rónoległooku, niech ędzie kątem między nimi, rys..7. Ze zoru n pole rónoległooku mmy: P = sin. Ztem zgodnie z tierdzeniem.4, y sin P =. Przykłd.6 Rys..7 x Oliczyć pole rónoległooku, którego kolejnymi ierzchołkmi są punkty o spółrzędnych (,, ), (, -, ) i (, 4, ). Roziąznie Mjąc trzy kolejne ierzchołki możemy utorzyć trzy rónoległooki. Ponież pole kżdego rónoległooku jest róne podojonemu polu trójkąt utorzonego przez trzy kolejne ierzchołki, ztem pol tych rónoległookó ędą jednkoe. Wystrczy yliczyć pole jednego z nich, np. rónoległooku, którego przyległymi okmi są ektory o początku punkcie (, -, ) i końcu punkcie (,, ) orz o początku punkcie (, -, ) i końcu punkcie (, 4, ). Wektory te mj nstępujące spółrzędne. = ( - )i ( )j ( - )k = i 6j, = ( - )i (4 )j ( - )k = 4i j k. Ztem i j k 6 6 i - j k = -6i j -9k. Ztem P = = ( 6) ( 9)

4 Zd. Czy ektory [,,], [,,] i [,,] są linioo niezleżne? Wektory,,... n są linioo niezleżne, jeśli żden z nich nie jest komincją linioą pozostłych, to znczy nie istnieje tki zest licz,,... n, że n j j j i gdziej i. Dl podnych trzech ektoró idć, że nie są one linioo niezleżne: pierszy ektor jest sumą drugiego i trzeciego. Wektory są linioo niezleżne, gdy yzncznik mcierzy z nich utorzonej jest różny od zer. Sprdźmy, że Przedst ektor =[,,] postci komincji linioej ektoró =[,,], =[,,] i c=[,,] Sprdźmy, czy podne trzy ektory są linioo niezleżne czyli te ektory są linioo niezleżne Szukmy licz,, c tkich, że cc = czyli c Jest to ukłd trzech rónń linioych z trzem nieidomymi,,, c. Możemy go zpisć jko c = = (*) =, skąd otrzymujemy =, =, c =. Sprdzmy: Z pomocą komincji linioej podnych tu ektoró,, c możn przedstić doolny ektor przestrzeni trójymiroej, mogą ięc one stnoić zę tkiej przestrzeni.

5 Zd. Dl ektor = [-,] znleźć skłdoą rónoległą i prostopdłą do ektor = [,4] Długość skłdoej rónoległej znjdziemy z definicji iloczynu sklrnego. Przypominmy φ = cos φ Zużmy, że cosφ to rzut ektor n ektor czyli cosφ= ( )/ (*) Oliczmy dl podnych ektoró długość ektor = ( 4 ) = Iloczyn sklrny ektor [-, ] i ektor [, 4] ynosi - = 9, czyli długość rzutu ektor n ektor ynosi ze zoru (*) =9/. Wektor znjdziemy mnożąc tę długość przez ersor (czyli ektor o długości ) rónoległy do ektor = / = 9/ [,4] = [7/, 6/] (porónj n rysunku) Ogólnie, zór n ektor, ędący skłdoą ektor rónoległą do ektor ynosi Skłdoą prostopdłą do ektor znjdziemy jko różnicę między ektorem i = - = [-, ] - [7/, 6/] = [ -/, 9/] (porónj n rysunku) Sprdźmy, jeszcze czy ektory i są prostopdłe, czyli = 7 6 9