Przestrzenie liniowe w zadaniach

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Przestrzenie liniowe w zadaniach"

Transkrypt

1 Przestrzenie linioe zadaniach Zadanie 1. Cz ektor [3, 4, 4 jest kombinacja linioa ektoró [1, 1, 1, [1, 0, 1, [1, 3, 5 przestrzeni R 3? Roziazanie. Szukam x,, z R takich, że [3, 4, 4 x [1, 1, 1 + [1, 0, 1 + z [1, 3, 5. Ale x [1, 1, 1 + [1, 0, 1 + z [1, 3, 5 [x + + z, x + 3z, x + 5z, iec z arunku róności ektoró otrzmujem, że szukane liczb x,, z spe lniaja uk lad rónań: x + + z 3 x + 3z 4. x + 5z 4 Stosujem metode eliminacji Gaussa: x z x Zatem nasz uk lad jest sprzeczn i obec tego ektor [3, 4, 4 nie jest kombinacja linioa ektoró [1, 1, 1, [1, 0, 1, [1, 3, 5. Zadanie 2. W przestrzeni R 4 zbadać prost z definicji linioa [1, 2, 1, 2, [2, 3, 1, 0, [1, 2, 2, 3. Roziazanie. Weźm doolne liczb rzecziste a, b, c takie, że a [1, 2, 1, 2 + b [2, 3, 1, 0 + c [1, 2, 2, 3 [0, 0, 0, 0. (1) Wted [a + 2b + c, 2a + 3b + 2c, a + b + 2c, 2a 3c [0, 0, 0, 0, i ec otrzmujem uk lad rónań: któr roziażem metoda eliminacji Gaussa: , 3 1, ( 1) 2, 4+ 3 a + 2b + c 0 2a + 3b + 2c 0 a + b + 2c 0 2a 3c , (2) 3 2, Zatem uk lad (2) ma dok ladnie jedno roziazanie: a 0, b 0, c 0. Stad jeśli liczb rzecziste a, b, c spe lniaja róność (1), to a b c 0. Zatem ektor [1, 2, 1, 2, [2, 3, 1, 0, [1, 2, 2, 3 sa linioo niezależne. Zadanie 3. W przestrzeni R 3 zbadać linioa [1, 1, 2, [ 1, 3, 0, [2, 0, 3. Roziazanie. Macierza tego uk ladu ektoró jest A

2 I Sposób. Ponieaż det(a) [1, 1, 2, [ 1, 3, 0, [2, 0, 3 sa linioo zależne. II Sposób. Obliczam rzad macierz A: [ r(a) 2 31 r r r(a) < 3, iec ektor [1, 1, 2, [ 1, 3, 0, [2, 0, 3 s ( ) 0, i ec ektor r [ 0 0 a linioo zależne. Zadanie 4. W przestrzeni R 5 zbadać linioa [5, 3, 2, 1, 10, [ 1, 8, 1, 4, 7, [2, 1, 9, 3, 6, [1, 3, 5, 9, 11. Roziazanie. Macierza tego uk ladu ektoró jest A rzad macierz A: r(a) r 1 54, 2+4, r Ponieaż Obliczam k3+k [ 1+172, r r r [ , bo macierz ma rzad , gdż posiada niezero minor > 0 stopnia 2. Zatem rzad macierz uk ladu czterech ektoró [5, 3, 2, 1, 10, [ 1, 8, 1, 4, 7, [2, 1, 9, 3, 6, [1, 3, 5, 9, 11 jest rón 4, czli te ektor sa linioo niezależne. Zadanie 5. W przestrzeni R 4 zbadać linioa [1, 4, 7, 10, [2, 5, 8, 11, [2, 6, 9, Roziazanie. Macierza tego uk ladu ektoró jest A Ale r(a) r [ r , 2 23 r r [ < 3, iec ektor [1, 4, 7, 10, [2, 5, 8, 11, [2, 6, 9, 12 sa linioo zależne. Zadanie 6. Dla jakich a R ektor [1, 1, 1, [1, a, 2, [2, 3, 4 torza baze przestrzeni R 3? Roziazanie. Macierza tego uk ladu ektoró jest A 1 a 2. Zatem 4 det(a) a a 4a a 6 4 2a 3. Stad det(a) 0 a 3 2 i ektor [1, 1, 1, [1, a, 2, [2, 3, 4 torza baze przestrzeni R 3 ted i tlko ted, gd a 3 2. Zadanie 7. Pokazać, że V {[x,, z R 3 : x + + z 0} jest podprzestrzenia przestrzeni R 3. Wznaczć baze i miar V. 2

3 Roziazanie. Zauażm, że V {[x,, x : x, R} {[x, 0, x + [0,, : x, R} {x [1, 0, 1 + [0, 1, 1 : x, R} L([1, 0, 1, [01, 1), iec V jest podprzestrzenia przestrzeni [ R 3. Ponadto ektor [1, 0, 1, [0, 1, 1 generuja V oraz sa linioo niezależne, bo r 2, iec ektor [1, 0, 1, [0, 1, 1 torza baze podprzestrzeni V i miar V jest rón 2. Zadanie 8. Wektor [2, 3, 4, 5, [3, 4, 8, 9 uzupe lnić do baz przestrzeni R 4. Roziazanie. Oznaczm przez V podprzestrzeń generoana przez ektor [2, 3, 4, 5, [3, 4, 8, 9. Stosujac metode eliminacji Gaussa na ierszach macierz tego uk ladu ektoró znajdziem taka baze [ podprzestrzeni V, która [ lato bedzie uzupe lnić [ do baz ca lej przestrzeni [ R Stad baza V jest {[1, 1, 4, 4, [0, 1, 4, 3}. Zatem dim(v ) 2 i obec tego ektor [2, 3, 4, 5, [3, 4, 8, 9 sa linioo niezależne. Ponadto ektor [1, 1, 4, 4, [0, 1, 4, 3, [0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 1 torza baze przestrzeni R 4, bo r Zatem ektor [2, 3, 4, 5, [3, 4, 8, 9, [0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 1 torz a szukana baze przestrzeni R 4. Zadanie 9. Znaleźć baze i miar podprzestrzeni V przestrzeni R 4 generoanej przez ektor: [ 1, 4, 3, 2, [3, 7, 5, 3, [3, 2, 1, 0, [ 4, 1, 0, 1. Roziazanie. Baze podprzestrzeni V znajdziem tosujac metode eliminacji Gaussa na ierszach macierz A danego uk ladu ektoró. Rónoażności dotcza teraz zachoania podprzestrzeni generoanch , 3+3 1, , [. Stad ektor [ 1, 4, 3, 2, [0, 5, 4, 3 generuja podprzestrzeń V i sa linioo niezależne (bo macierz z nich utorzona ma rzad 2). Zatem baza V jest {[ 1, 4, 3, 2, [0, 5, 4, 3} oraz dim(v ) 2. Zadanie 10. Znajdź baze i miar podprzestrzeni V przestrzeni R 5 generoanej przez ektor: [ 3, 1, 5, 3, 2, [2, 3, 0, 1, 0, [1, 2, 3, 2, 1, [3, 5, 1, 3, 1, [3, 0, 1, 0, 0. Uzupe lnij znaleziona baze podprzestrzeni V do baz ca lej przestrzeni R 5. Roziazanie. Baze podprzestrzeni V znajdziem tosujac metode eliminacji Gaussa na ierszach macierz A danego uk ladu ektoró. Rónoażności dotcza teraz zachoania podprzestrzeni generoanch , , 3 2 2, , 4 2 5,

4 [0, 0,, 12, 9, skad dim(v ) Zatem baze podprzestrzeni V torza ektor [ 1, 3, 1, 1, 0, [0, 1, 6, 3, 2, Ponieaż r , iec szukana baza przestrzeni R 5 jest {[ 1, 3, 1, 1, 0, [0, 1, 6, 3, 2, [0, 0,, 12, 9, [0, 0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 0, 1}. Zadanie 11. Znajdź uk lad jednorodn rónań linioch, którego zbiorem roziazań jest podprzestrzeń V przestrzeni R 5 generoana przez ektor: [ 3, 1, 5, 3, 2, [2, 3, 0, 1, 0, [1, 2, 3, 2, 1, [3, 5, 1, 3, 1, [3, 0, 1, 0, 0. Roziazanie. Z roziazania zadania 10 mam, że ektor [ 1, 3, 1, 1, 0, [0, 1, 6, 3, 2, [0, 0,, 12, 9 torza beze V oraz ektor [ 1, 3, 1, 1, 0,[0, 1, 6, 3, 2,[0, 0,, 12, 9,[0, 0, 0, 1, 0,[0, 0, 0, 0, 1 torza baze przestrzeni R 5. Istnieje zatem przekszta lcenie linioe f : R 5 R 2 takie, że f([ 1, 3, 1, 1, 0) [0, 0, (3) f([0, 1, 6, 3, 2) [0, 0, (4) f([0, 0,, 12, 9) [0, 0, (5) f([0, 0, 0, 1, 0) [1, 0, (6) f([0, 0, 0, 0, 1) [0, 1. (7) Wted f(r 5 ) L([1, 0, [0, 1) R 2, iec dim f(r 5 ) 2. Ale dim Ker(f) + dim f(r 5 ) dim R 5, iec dim Ker(f) Ponadto V Ker(f) i dim V 3, iec V Ker(f). Pozostaje zatem znaleźć zór analitczn na przekszta lcenie f. W tm celu zaś starcz znaczć f(ɛ k ) dla k 1, 2, 3, 4, 5, gdzie ɛ 1 [1, 0, 0, 0, 0, ɛ 2 [0, 1, 0, 0, 0, ɛ 3 [0, 0, 1, 0, 0, ɛ 4 [0, 0, 0, 1, 0, ɛ 5 [0, 0, 0, 0, 1. Ze zoró (6) i (7) mam od razu, że f(ɛ 4 [1, 0 oraz f(ɛ 5 [0, 1. Z linioości przekszta lcenia f oraz ze zoru (5) otrzmujem, że f(ɛ 3 ) + 12 f(ɛ 4 ) + 9 f(ɛ 5 ) [0, 0, czli f(ɛ 3 ) + 12 [1, [0, 1 [0, 0, skad f(ɛ 3 ) [ 12, 9, iec f(ɛ 3 ) [ 12, 9. Z linioości f i ze zoru (4) mam, że f(ɛ 2 )+6 f(ɛ 3 )+3 f(ɛ 4 )+2 f(ɛ 5 ) [0, 0. Zatem f(ɛ 2 )+6 [ 12, 9 +3 [1, 0+2 [0, 1 [0, 0, czli f(ɛ 2 )+[ 72, 54 +[84 56, 0+[0, [0, 0, iec f(ɛ 2) [ 12, 2. Z linioości f i ze zoru (3) mam, że f(ɛ 1 ) + 3 f(ɛ 2 ) f(ɛ 3 ) + f(ɛ 4 ) [0, 0. Zatem f(ɛ 1 ) + 3 [ 12, 2 12 [, 9 + [1, 0 [0, 0, czli f(ɛ 1 ) [ 36, 6 + [ 12, 9 + [, 0, sk ad f(ɛ 1 ) [ 4, 3. Ale f([x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) f(x 1 ɛ 1 + x 2 ɛ 2 + x 3 ɛ 3 + x 4 ɛ 4 + x 5 ɛ 5 ) x 1 f(ɛ 1 ) + x 2 f(ɛ 2 ) + x 3 f(ɛ 3 ) + x 4 f(ɛ 4 ) + x 5 f(ɛ 5 ) x 1 [ 4, 3 + x 2 [ 12, 2 + x 3 [ 12, 9 + x 4 [, 0 + x 5 [0, [ 1 7 x x x 3 + x 4, 3 x 1 2 x 2 9 x 3 + x 5. Zatem V Ker(f) jest zbiorem roziazań uk ladu rónań: { 1 7 x x x 3 + x x 1 2 x 2 9 x x 5 0, 4

5 któr możem też zapisać postaci: { x1 3x 2 3x 3 + 7x 4 0 3x 1 2x 2 9x x 5 0. Zadanie 12. Niech przestrzeni linioej R 4 : V L([1, 1, 1, 1, [1, 1, 1, 1, [1, 1, 1, 1) oraz W L([1, 1, 1, 1, [2, 2, 0, 0, [3, 1, 1, 1). Wznaczć baze i miar podprzestrzeni: V, W, V +W, V W. Roziazanie. Znajdujem baze podprzestrzeni V : 2 1, ( 1 2 )2, ( 1 2 ) dim V Znajdujem baze podprzestrzeni W : Zatem baza V jest {[1, 1, 0, 0, [0, 1, 0, 1, [0, 0, 1, 1}, skad , , ( 1)3 1+2 Zatem baza W jest {[1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1}, skad dim W 3. Ponadto V + W L([1, 1, 0, 0, [0, 1, 0, 1, [0, 0, 1, 1, [1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1) L([1, 1, 0, 0, [0, 1, 0, 1, [0, 0, 1, 1, [1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0) L([1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 1, 0, 1, [0, 0, 1, 1) L([1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 1) R 4, iec baza V +W jest {[1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 1} oraz dim(v + W ) 4. Ze zoru dim(v + W ) dim V + dim W dim(v W ) liczam dim(v W ) , czli dim(v W ) 2. Ponadto [0, 0, 1, 1 V W, [1, 1, 0, 0 [1, 0, 0, 0+[0, 1, 0, 0 W i [1, 1, 0, 0 V, iec [1, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1 V W. Ale ektor [1, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1 sa linioo niezależne i dim(v W ) 2, iec baza V W jest {[1, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1}. 5

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 10.

Zadania do rozdziału 10. Zadania do rozdziału 0. Zad.0.. Jaką wsokość musi mieć pionowe zwierciadło ab osoba o wzroście.80 m mogła się w nim zobaczć cała. Załóżm, że ocz znajdują się 0 cm poniżej czubka głow. Ab prawidłowo rozwiązać

Bardziej szczegółowo

X Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów. Etap II

X Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów. Etap II X rocławski Konkurs Matematczn dla uczniów klas I-III gimnazjów rok szkoln 04/05 Etap II Zadanie Uczniowie otrzmali z prac klasowej ocen,, 4 i 5. Ocen, i 5 ło tle samo, a czwórek ło więcej niż wszstkich

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Wstęp do matematki Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Ś Ń ź Ś ź Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ą Ś Ż ż ż Ż ć ć ź ź ÓĆ ć Ż Ą ć Ż ż ć Ą Ł Ś Ń ć Ś Ą Ą ż Ż Ą ź Ą ź Ą ż Ś Ń Ł Ś Ś Ó Ą ż ż Ś Ń Ł Ś ż ź ź Ą ć ż ż ć ć ż ć ż Ą ż Ł ż ć ż ż Ż ż ż ż ć Ąć ż ż ż Ż Ż ż ż ć ż ć ż ż ż Ż ż ż

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Fizyka laboratorium 1

Fizyka laboratorium 1 Rozdzia l Fizyka laboratorium.. Elementy analizy matematycznej Funkcje Zmienna y nazywa sie zmienna zależna albo funkcja zmiennej x, jeżeli przyjmuje ona określone wartości dla każdej wartości zmiennej

Bardziej szczegółowo

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 Zmiana baz Jacek Jędrzejewski 2014 Spis treści 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 2 Wektory a zmiana baz 2 21 Współrzędne wektora względem różnych baz 2 22 Wektory o tych samych współrzędnych względem

Bardziej szczegółowo

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny 5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi: Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych

1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych 1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych Niech X i Y bȩd a zbiorami Iloczynem kartezjańskim tych zbiorów nazywamy zbiór X Y = {(x, y) : x X, y Y } Dwuargumentowym dzia laniem na zbiorze

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe

Bardziej szczegółowo

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2015/2016. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 11.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2015/2016. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 11. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Techniczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 201/2016 Kierunek studiów: Informatyka Profil: Ogólnoakademicki

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2012/2013. Forma studiów: Niestacjonarne Kod kierunku: 12.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2012/2013. Forma studiów: Niestacjonarne Kod kierunku: 12. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Zdrowia obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2012/2013 Kierunek studiów: Pielęgniarstwo Profil: Praktyczny

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2013/2014

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2013/2014 Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Ekonomiczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 201/201 Kierunek studiów: Ekonomia Forma studiów:

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji Zwierciadła i obrazy w zwierciadłach

Scenariusz lekcji Zwierciadła i obrazy w zwierciadłach Scenariusz lekcji. Temat lekcji: Zwierciadła i obraz w zwierciadłach 2. Cele: a) Cele poznawcze: Uczeń wie: - co to jest promień świetln, - Ŝe światło rozchodzi się prostoliniowo, - na czm polega zjawisko

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 06.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 06. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Techniczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 201/201 Kierunek studiów: Zarządzanie i inżynieria

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Kultury Fizycznej obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 01/01 Kierunek studiów: Fizjoterapia Profil:

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe Rozdzia l 1 Przestrzenie wektorowe Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje pojęciami abstrakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów technicznych,

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 16.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 16. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Kultury Fizycznej obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 01/01 Kierunek studiów: Wychowanie fizyczne

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2013/2014. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2013/2014. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Instytut Kultury Fizycznej Karta przedmiotu obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 01/01 Kierunek studiów: Fizjoterapia Profil:

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania obiektowego

Podstawy programowania obiektowego Podstaw programowania obiektowego wkład 5 klas i obiekt namespace ConsoleApplication1 // współrzędne punktu int, ; Jak, korzstając z dotchczasowej wiedz, zdefiniować w programie punkt? = 3; = 2; Może tak?

Bardziej szczegółowo

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym . Rodzaj poiaru.. Poiar bezpośredni (prost) W przpadku poiaru pojednczej wielkości przrząde wskalowan w jej jednostkach wartość niedokładności ± określa graniczn błąd przrządu analogowego lub cfrowego

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja biortogonalnych baz dyskryminacyjnych dla problemu klasyfikacji sygnałów. Wit Jakuczun

Konstrukcja biortogonalnych baz dyskryminacyjnych dla problemu klasyfikacji sygnałów. Wit Jakuczun Konstrukcja biortogonalnych baz dyskryminacyjnych dla problemu klasyfikacji sygnałów Politechnika Warszawska Strona 1 Podstawowe definicje Politechnika Warszawska Strona 2 Podstawowe definicje Zbiór treningowy

Bardziej szczegółowo

TEMAT ĆWICZENIA. Wyznaczanie entalpii parowania (skraplaniu) wody

TEMAT ĆWICZENIA. Wyznaczanie entalpii parowania (skraplaniu) wody TEMAT ĆIZEIA znaczanie entalpii parowania (kraplani wod PODSTAY TEORETYZE DO SAMODZIELEGO OPRAOAIA Para nacona cha i para okra, para przegrzana, topień chości, taone ciepło parowania (taona entalpia parowania,

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2015/2016. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2015/2016. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Kultury Fizycznej obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 201/2016 Kierunek studiów: Fizjoterapia Profil:

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Instytut Kultury Fizycznej Karta przedmiotu obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 01/01 Kierunek studiów: Fizjoterapia Profil:

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Kultury Fizycznej obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 201/201 Kierunek studiów: Fizjoterapia Profil:

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2015/2016. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 06.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2015/2016. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 06. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Techniczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 01/016 Kierunek studiów: Zarządzanie i inżynieria produkcji

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2013/2014. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2013/2014. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Kultury Fizycznej obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 201/201 Kierunek studiów: Fizjoterapia Profil:

Bardziej szczegółowo

Zasady budowania prognoz ekonometrycznych

Zasady budowania prognoz ekonometrycznych Zasad budowania prognoz ekonometrcznch Klasczne założenia teorii predkcji 1. Znajomość modelu kształtowania się zmiennej prognozowanej Znajomość postaci analitcznej wstępującch zależności międz zmiennmi

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka

Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka INSTYTUT MATEMATYKI UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka Pytania kierunkowe Wstęp do matematyki 1. Relacja równoważności, przykłady relacji równoważności.

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Kultury Fizycznej obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 201/201 Kierunek studiów: Fizjoterapia Profil:

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD : GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Schemat gry. Początek gry. 2. Ciąg kolejnych posunięć

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2015/2016. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2015/2016. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Kultury Fizycznej obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 01/016 Kierunek studiów: Fizjoterapia Profil:

Bardziej szczegółowo

Temat ćwiczenia: Optyczne podstawy fotografii.

Temat ćwiczenia: Optyczne podstawy fotografii. Uiwerstet Rolicz w Krakowie Wdział Iżierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat ćwiczeia: Otcze odstaw otograii. Podział układów otczch Pojęcie układów otczch Podział układów

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Przedmioty specjalnościowe

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Przedmioty specjalnościowe Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Ekonomiczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 201/201 Kierunek studiów: Ekonomia Forma studiów:

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

PWSZ w Nowym Sa czu. Karta przedmiotu. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu. 1 Przedmiot. 2 Rodzaj zaje ć, liczba godzin w planie studiów

PWSZ w Nowym Sa czu. Karta przedmiotu. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu. 1 Przedmiot. 2 Rodzaj zaje ć, liczba godzin w planie studiów Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Kultury Fizycznej obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 201/201 Kierunek studiów: Fizjoterapia Profil:

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2012/2013. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 16.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2012/2013. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 16. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Instytut Kultury Fizycznej Karta przedmiotu obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2012/201 Kierunek studiów: Wychowanie fizyczne

Bardziej szczegółowo

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia. Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2012/2013. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 06.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2012/2013. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 06. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Techniczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2012/2013 Kierunek studiów: Mechatronika Profil: Ogólnoakademicki

Bardziej szczegółowo

SMath Studio - podstawowe operacje

SMath Studio - podstawowe operacje Opracował: Artur Borowiec; Politechnika Rzeszowska 0 SMath Studio - podstawowe operacje SMath Studio to program do sekwencjnch obliczeń numercznch i smbolicznch z wkorzstaniem jednostek fizcznch. I. Region.

Bardziej szczegółowo

Stosując II zasadę dynamiki Newtona dla ruchu postępowego otrzymujemy

Stosując II zasadę dynamiki Newtona dla ruchu postępowego otrzymujemy Zadania do rozdziału 6 Zad.6.. Wprowadzić równanie ruchu drgań wahadła matematcznego. Obicz okres wahadła matematcznego o długości =0 m. Wahadło matematczne jest to punkt materian (np. w postaci kuki K

Bardziej szczegółowo

Ł Ę Ć Ż ć Ć Ł Ł Ó Ź Ń Ż Ś Ó Ó ć Ę Ś Ź Ś Ó Ż Ź ź Ć Ź Ś Ź Ę Ż Ł Ó Ć Ś Ć Ć Ę Ł Ś ć Óć Ó Ę Ń ć Ę Ó Ź Ż Ź Ź ć ź Ó Ę Ę Ę Ź Ę Ź Ę Ś Ź ć Ć Ć Ł Ó Ó Ń ź Ę Ę Ń Ł Ź Ń Ż ć Ę ź Ę ź Ę Ł ć Ł Ź ź ź Ł Ę Ó ź ć Ż Ś ć Ł Ł

Bardziej szczegółowo

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Optka Projekt współinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funuszu Społecznego Optka II Promień świetln paając na powierzchnię zwierciała obija się zgonie z prawem obicia omówionm w poprzeniej

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2013/2014. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 022

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2013/2014. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 022 Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Języków Obcych obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 201/201 Kierunek studiów: Filologia Profil: Ogólnoakademicki

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 12. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Kultury Fizycznej obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015 Kierunek studiów: Fizjoterapia Profil:

Bardziej szczegółowo

Metoda podziału zbioru obiektów na wielokryterialne klastry jakościowe

Metoda podziału zbioru obiektów na wielokryterialne klastry jakościowe BIULET ISTTUTU SSTEMÓW IFOMATCZCH (03) Metoda podziału zbioru obietów na wielorterialne lastr jaościowe A. AMELJAŃCZK aameljancz@wat.edu.pl Insttut Sstemów Informatcznch Wdział Cberneti WAT ul. S. Kalisiego,

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN PO KLASIE 1. ROZSZERZENIE

SPRAWDZIAN PO KLASIE 1. ROZSZERZENIE SPRWZIN PO KLSIE. ROZSZERZENIE ZNIE ( PKT) Liczbę 5 7 zaokr aglamy do liczby,6. ład względny tego przybliżenia jest równy ) 0,8% ) 0,008% ) 8% ) 00 5 % ZNIE ( PKT) Wyrażenie x + x dla x > ma wartość )

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Liczby zespolone

Rozdzia l 1. Liczby zespolone Rozdzia l 1. Liczby zespolone 1.1. Definicja i podstawowe własności. Oznaczmy przez R 2 iloczyn (produkt) kartezjański zbioru liczb rzeczywistych R przez siebie, t.j., zbiór par uporządkowanych (a, b),

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo