Piotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka

Transkrypt

1 Zchodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Piotr Stefnik Mteriły uzupełnijące do wykłdu Mtemtyk dl studentów Wydziłu Nuk o Żywności i Rybctwie Szczecin, 3 grudni 208

2 Spis treści Mcierze i ukłdy równń 4 Wyznczniki 6 2 Mcierz odwrotn 7 3 Rząd mcierzy 8 4 Ukłdy równń liniowych 8 2 Funkcje 2 2 Podstwowe definicje 2 22 Przegląd niektórych funkcji elementrnych 4 22 Funkcj wykłdnicz Funkcj logrytmiczn Funkcj potęgow Funkcje trygonometryczne Funkcje cyklometryczne 7 3 Ciągi liczbowe 9 3 Podstwowe definicje 9 32 Grnice ciągów Twierdzeni o grnicch 2 34 Liczb e i grnice specjlne 2 35 Symbole oznczone i nieoznczone Symbole oznczone Symbole nieoznczone Grnic i ciągłość funkcji Grnice jednostronne Ciągłość funkcji 26 4 Rchunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 27 4 Interpretcj pojęci pochodnej w punkcie 27 4 Geometri: styczn Interpretcj fizyczn Podstwowe pojęci Pochodne niektórych funkcji Różniczk funkcji 3 43 Zstosowni pochodnej 3 43 Równnie stycznej rz jeszcze Monotoniczność funkcji Ekstrem loklne funkcji Reguł de l Hospitl 33 5 Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej 35 5 Cłk nieoznczon Cłk oznczon Zstosowni cłki oznczonej 40

3 SPIS TREŚCI 2 6 Funkcje wielu zmiennych 42 6 Pochodne cząstkowe 43 6 Różniczk zupełn Ekstrem loklne funkcji dwóch zmiennych 45

4 SPIS TREŚCI 3 Oznczeni Zbiory Symbol znczenie A, B, C zbiory, b, c elementy zbiorów A element nleży do zbioru A A B zbiór A zwier się w zbiorze B A B sum zbiorów A i B A B iloczyn (przekrój) zbiorów A i B A \ B różnic zbiorów A i B zbiór pusty N zbiór liczb nturlnych Z zbiór liczb cłkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych R + = (0, + ) liczby rzeczywiste dodtnie (, b) odcinek otwrty o początku w i końcu w b [, b] odcinek domknięty o początku w i końcu w b N 0 zbiór liczb nturlnych z dołączonym 0 Logik Zpis znczenie p q koniunkcj zdń (p i q) p q lterntyw zdń (p lub q) p q implikcj (jeśli p, to q) p q równowżność zdń (p wtedy i tylko wtedy, gdy q) A φ() kwntyfiktor ogólny (dl kżdego A zchodzi φ()) A φ() kwntyfiktor szczegółowy (istnieje A tkie, że zchodzi φ()) Inne oznczeni Zpis znczenie n k = k sum elementów, 2,, n, k=

5 Rozdził Mcierze i ukłdy równń Mcierzą nzywmy tblicę liczb rzeczywistych A = 2 n n m m2 mn Rzędy poziome tej tblicy nzywmy wierszmi mcierzy A, rzędy pionowe kolumnmi Liczby ij, gdzie i =, 2,, m, j =, 2,, n, nzywmy elementmi mcierzy A Indeks i elementu ij jest numerem wiersz, zś indeks j numerem kolumny n przecięciu których element ij znjduje sie w mcierzy A Powiemy, że mcierz A jest wymiru m n, o ile posid m wierszy i n kolumn Czsmi zpisuje się wymir jko indeks dolny mcierzy, n przykłd mcierz A o m wierszch i n kolumnch zpiszemy A m n Dziłni n mcierzch Rozwżmy mcierze A = 2 n n, B = b b 2 b n b 2 b 22 b 2n m m2 mn m n b m b m2 b mn m n (Równość mcierzy) Powiemy, że mcierze A i B są równe (to znczy A = B) wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdych i =, 2,, m, j =, 2,, n zchodzi równość ij = b ij 2 (Trnspozycj mcierzy) Mcierz A T = 2 m 2 22 m2 n 2n mn n m nzywmy mcierzą trnsponowną mcierzy A 3 (Mnożenie mcierzy przez liczbę) Niech λ będzie liczbą rzeczywistą Wówczs określmy iloczyn liczby λ i mcierzy A wzorem: λ λ 2 λ n λ 2 λ 22 λ 2n λa = λ m λ m2 λ mn m n Przykłd Połóżmy λ = Wówczs otrzymujemy mcierz A = ( )A 4

6 ROZDZIAŁ MACIERZE I UKŁADY RÓWNAŃ 5 4 (Dodwnie mcierzy) Zdefiniujmy sumę mcierzy A i B wzorem A + B = + b 2 + b 2 n + b n 2 + b b 22 2n + b 2n m + b m m2 + b m2 mn + b mn m n 5 Różnicę mcierzy A i B definiujemy wzorem A B = A + ( B) Uwg Zuwżmy, że równość między mcierzmi może być spełnion tylko wtedy, gdy mcierze są tych smych wymirów Co więcej, jeśli mcierze nie mją tych smych wymirów, to nie możn ich do siebie dodć Mcierz wymiru m n, której wszystkie elementy są równe zeru nzywmy mcierzą zerową i oznczmy literą O m n lub krótko O Dl kżdych mcierzy A, B, C i O wymiru m n spełnione są nstępujące równości: A + (B + C) = (A + B) + C, 2 A + B = B + A, 3 A + O = A, 4 A + ( A) = O Zdefiniujemy terz dziłnie mnożeni mcierzy Niech 2 p p A =, B = m m2 mp m p b b 2 b n b 2 b 22 b 2n b p b p2 b pn, p n to znczy mcierz A jest wymiru m p, zś mcierz B wymiru p n, ztem mcierz A m tyle smo kolumn co mcierz B wierszy Iloczynem C = A B (lub krótko C = AB) mcierzy A i B nzywmy mcierz c c 2 c n c 2 c 22 c 2n C = c m c m2 c mn m n (wymiru m n), przy czym gdzie i =, 2,, m, j =, 2,, n c ij = i b j + i2 b 2j + + ip b pj, Uwg 2 Zuwżmy, że (i) iloczyn AB istnieje tylko wtedy gdy mcierz A m tyle smo kolumn co mcierz B wierszy, (ii) mnożenie mcierzy jest nieprzemienne Możn pokzć, że (AB) T = B T A T Mcierze kwdrtowe Mcierz A wymiru n n nzywmy mcierzą kwdrtową O mcierzy kwdrtowej mówimy, że jest stopni n Mcierz kwdrtową A nzywmy (i) symetryczną, jeżeli A T = A, (ii) skośnie symetryczną, jeżeli A T = A

7 ROZDZIAŁ MACIERZE I UKŁADY RÓWNAŃ 6 Ciąg (, 22,, nn) elementów mcierzy nzywmy główną przekątną mcierzy A Mcierz kwdrtową 2 n n A = n n2 nn A = 0 0 nn nzywmy mcierzą digonlną Mcierz digonlną nzywmy sklrną, jeżeli = 22 = = nn = Mcierzą jednostkową stopni n nzywmy mcierz kwdrtową Tką mcierz oznczmy I n lub krótko I Mcierz jednostkow to mcierz sklrn, w której = Dl kżdej mcierzy A wymiru m n zchodzi: () A m n I n = A m n, (2) I m A m n = A m n Wyznczniki Kżdej mcierzy kwdrtowej n n 2 n n A = n n2 nn przyporządkowujemy liczbę, którą nzywmy wyzncznikiem mcierzy A i oznczmy symbolem det A lub 2 n n n n2 nn Wyzncznik definiujemy w zleżności od wymiru mcierzy Jeśli n =, to = 2 Jeśli n = 2, to det A = = Złóżmy, że n > 2 Dopełnieniem lgebricznym elementu ij nzywmy liczbę A ij = ( ) i+j M ij, przy czym M ij to wyzncznik mcierzy, którą otrzymmy z mcierzy A, usuwjąc z niej i-ty wiersz orz j-tą kolumnę

8 ROZDZIAŁ MACIERZE I UKŁADY RÓWNAŃ 7 Wyzncznik mcierzy A wymiru n definiujemy wzorem: dl dowolnego i =, 2,, n lub równowżnie dl dowolnego j =, 2,, n det A = i A i + i2 A i2 + + in A in det A = j A j + 2j A 2j + + nj A nj Uwg 3 Dl n = 3 wygodnie jest stosowć regułę Srrus obliczni wyzncznik, to znczy wzór = ( ) ( ) Reguł Srrus nie przenosi się n wyznczniki wyższych stopni Twierdzenie 4 (Włsności wyznczników) Niech A będzie mcierzą kwdrtową Wówczs det A = det A T 2 Przestwienie dwóch wierszy (kolumn) w mcierzy A jest równowżne pomnożeniu wyzncznik tej mcierzy przez ( ) 3 Mnożąc wszystkie elementy wybrnego wiersz (kolumny) mcierzy A przez liczbę, mnożymy przez tę liczbę wyzncznik A 4 Jeżeli jest spełniony jeden z wrunków: () w mcierzy A wszystkie elementy pewnego wiersz (kolumny) są równe zeru, (b) mcierz A m dw wiersze (kolumny) identyczne, (c) mcierz A m dw wiersze (kolumny) proporcjonlne, to det A = 0 5 Wyzncznik mcierzy A nie zmieni swojej wrtości, jeżeli do wybrnego wiersz (kolumny) dodmy liniową kombincję pozostłych wierszy (odpowiednio: kolumn) Twierdzenie 5 (Cuchy ego) Dl kżdych mcierzy kwdrtowych A i B tego smego stopni zchodzi równość 2 Mcierz odwrotn det(a B) = (det A) (det B) Rozwżmy nstępującą mcierz kwdrtową: 2 n n A = n n2 nn n n Mcierz A nzywmy mcierzą nieosobliwą (lub niezdegenerowną), jeżeli det A 0 W przeciwnym przypdku mówimy, że mcierz A jest osobliw (zdegenerown) Niech A będzie mcierzą nieosobliwą Mcierz A A 2 A n A D A 2 A 22 A 2n = A n A n2 A nn gdzie A ij jest dopełnieniem lgebricznym elementu ij (i, j =, 2,, n) nzywmy mcierzą dopełnień mcierzy A Mcierz A = (A D) T det A nzywmy mcierzą odwrotną do mcierzy A n n

9 ROZDZIAŁ MACIERZE I UKŁADY RÓWNAŃ 8 Uwg 6 Dl kżdej mcierzy nieosobliwej A zchodzi równość 3 Rząd mcierzy AA = A A = I Rozwżmy mcierz 2 n n A = m m2 mn m n wymiru m n Minorem tkiej mcierzy nzywmy wyzncznik kżdej mcierzy kwdrtowej powstłej z tej mcierzy po wykreśleniu pewnej liczby wierszy i kolumn Definicj Rzędem mcierzy A nzywmy: (i) liczbę zero, gdy mcierz jest zerow, to znczy skłd się z smych zer, (ii) liczbę r(a) równą njwyższemu ze stopni jej różnych od zer minorów, gdy mcierz jest niezerow Zuwżmy, że 0 r(a) min{m, n} Pondto, jeśli n = m (mcierz A jest kwdrtow) orz det A 0, to r(a) = n Rząd mcierzy nie ulegnie zminie, gdy () wszystkie elementy wybrnego wiersz (kolumny), pomnożymy przez liczbę różną od zer, (2) skreślimy wiersz (kolumnę) zerową, (3) dodmy do wybrnego wiersz (kolumny) liniową kombincję pozostłych wierszy (kolumn) 4 Ukłdy równń liniowych Ukłdem m równń liniowych o n niewidomych x, x 2,, x n nzywmy ukłd postci: x + 2 x n x n = b, 2 x + 22 x n x n = b 2, m x + m2 x mn x n = b m, () przy czym, dl i =, 2,, m, j =, 2,, n, ij są ustlonymi liczbmi rzeczywistymi, zwnymi współczynnikmi przy niewidomych, zś b i są również ustlonymi liczbmi rzeczywistymi, zwnymi wyrzmi wolnymi Rozwiązniem ukłdu () jest kżdy ciąg liczb (c, c 2,, c n ) n liczb rzeczywistych, które, po podstwieniu w miejsce x i liczby c i, i =, 2,, n, kżde równnie tego ukłdu zmieniją w tożsmość Mcierz 2 n n A = m m2 mn nzywmy mcierzą główną ukłdu () Mcierz 2 n b n b 2 U = m m2 mn b m nzywmy mcierzą rozszerzoną ukłdu ()

10 ROZDZIAŁ MACIERZE I UKŁADY RÓWNAŃ 9 Twierdzenie 7 (Kronecker - Cpelliego) Ukłd () m rozwiąznie wtedy tylko wtedy, gdy r(a) = r(u), przy czym jeżeli r(a) = r(u) = n, to ukłd () m dokłdnie jedno rozwiąznie, 2 jeżeli r(a) = r(u) = k < n, to ukłd () m nieskończenie wiele rozwiązń zleżnych od (n k) prmetrów Jeżeli ukłd () m dokłdnie jedno rozwiąznie, to nzywmy go ukłdem oznczonym, jeżeli zś posid nieskończenie wiele rozwiązń, ukłdem nieoznczonym Wniosek 8 Jeżeli r(a) r(u), to ukłd () jest sprzeczny, to znczy nie m rozwiązń Przypuśćmy, że w ukłdzie () zchodzi równość m = n, to znczy liczb równń jest tk sm jk liczb niewidomych Wówczs ukłd przyjmuje postć x + 2 x n x n = b, 2 x + 22 x n x n = b 2, (2) n x + n2 x nn x n = b n Mcierz główn tego ukłdu 2 n n A = n n2 nn jest mcierzą kwdrtową Jeżeli det A 0, to ukłd (2) nzywmy ukłdem Crmer Twierdzenie 9 Jeżeli ukłd (2) jest ukłdem Crmer, to m dokłdnie jedno rozwiąznie dne wzormi przy czym x j = W j, dl j =, 2,, n, det A 2 b n 2 22 b 2 2n W j = det, n n2 b n nn to znczy W j jest wyzncznikiem mcierzy powstłej przez zstąpienie j-tej kolumny w mcierzy A kolumną wyrzów wolnych Wzory n rozwiązni w powyższym twierdzeniu noszą nzwę wzorów Crmer W dlszym ciągu tego rozdziłu będziemy zjmowć się dowolnymi ukłdmi m równń o n niewidomych, to znczy ukłdmi postci () Jedną z metod rozwiązywni tego typu ukłdów jest metod elimincji Guss Przypomnijmy, że przez U oznczyliśmy mcierz rozszerzoną tego ukłdu, to znczy mcierz U = x x 2 x n b 2 n b n b 2 m m2 mn b m Wiersze mcierzy U reprezentują równni ukłdu (), zś pierwsze n kolumn niewidome Dl ułtwieni, nd mcierzą podpisno któr kolumn odpowid której niewidomej (w powyższym zpisie pierwsz odpowid x, drug x 2, i tk dlej) Mcierz U możemy przedstwić w postci mcierzy blokowej U = [A B], gdzie A jest mcierzą główną ukłdu () orz B = Mcierz U przeksztłcmy, wykonując n jej wierszch (nigdy n kolumnch) nstępujące opercje elementrne: b b 2 b m

11 ROZDZIAŁ MACIERZE I UKŁADY RÓWNAŃ 0 () do wybrnego wiersz dodjemy liniową kombincję pozostłych wierszy, (b) mnożymy wybrny wiersz przez liczbę różną od zer, (c) wykreślmy wiersze zerowe, (d) wykreślmy jeden z dwóch wierszy jednkowych lbo proporcjonlnych, (e) przestwimy wiersze kolejnością Dodtkowo przestwimy kolumny le tylko w obrębie mcierzy A i z równoczesną zminą niewidomych W wyniku tych przeksztłceń otrzymujemy mcierz U równowżną z mcierzą U W wyniku przeksztłceń powinniśmy otrzymć mcierz, z której ntychmist możn odczytć rzędy mcierzy A i U, skorzystć z twierdzeni Kronecker - Cpelliego by sprwdzić ile rozwiązń m ukłd, nstępnie zpisć ukłd równń stowrzyszony z U i odczytć rozwiąznie W prktyce możn zstosowć nstępującą wersję lgorytmu Guss: () Wybiermy dowolną kolumnę z mcierzy uzupełnionej, inną niż odpowidjąc wyrzom wolnym Njefektywniej jest wybrć kolumnę, w której jest możliwie dużo zer (dzięki temu będzie mniej obliczeń) lub liczb lub - (z reguły pozwl to uniknąć ułmków w obliczenich) Czsem wygodnie jest podzielić wiersz przez liczbę, któr pozwoli uzyskć w nim przynjmniej jedną lub - (b) Wybiermy dowolny, różny od 0, element z wybrnej kolumny, njlepiej lub - (jeśli jest) (c) Wykonujemy tkie dziłni, by w wybrnej kolumnie pozostł wybrn liczb orz w pozostłych miejscch 0 Robimy to, dodjąc lub odejmując wielokrotności wiersz, w którym znjduje się wybrn liczb, do pozostłych wierszy (wiersz z wybrną nie zmieni się) Tk otrzymną kolumnę nzwijmy, n potrzeby lgorytmu, kolumną specjlną 2 W wyniku przeksztłceń możemy otrzymć: () Wiersz złożony z smych zer - tki wiesz możemy wykreślić (b) Proporcjonlne wiersze - wszystkie, poz jednym z nich, możemy wykreślić (c) Wiersz złożony z smych zer orz liczby różnej od zer Jeśli odpowid wyrzowi wolnemu (jest w osttniej kolumnie), to ukłd jest sprzeczny i kończymy lgorytm Jeżeli odpowid niewidomej x i, to ozncz to, że x i = 0 i kontynuujemy lgorytm (d) Nic z powyższych - kontynuujemy lgorytm 3 Wybiermy w otrzymnej mcierzy inną kolumnę i liczbę z innego wiersz, nstępnie powtrzmy powyższe kroki Kontynuujemy do momentu, gdy otrzymmy sprzeczność lbo mcierz złożoną z tkiej smej liczby wierszy co kolumn specjlnych 4 Odczytujemy z mcierzy ukłd równń 5 Przeksztłcmy ukłd w ten sposób, że po lewej stronie zostją niewidome z kolumn specjlnych, pozostłe wyrżeni przenosimy n prwą stronę Jeżeli lgorytm zostł zstosowny poprwnie, powinny zostć wyrżeni postci x i = 6 Jeżeli po prwej stronie zostły niewidome, to trktujemy je terz jko prmetry, to znczy po wstwieniu z nie dowolnych liczb rzeczywistych otrzymmy pewne rozwiąznie ukłdu Przykłdowo, jeśli wyjdzie x = 2t 3z, y =, to ozncz to, że jest to rozwiąznie ukłdu, które zleży od dwóch prmetrów rzeczywistych z, t (co zpisujemy w odpowiedzi x = 2t 3z, y =, z, t R) Liczb prmetrów od których zleży rozwiąznie to liczb niewidomych minus liczb kolumn specjlnych Powyższe rozumownie możn uściślić i odrobinę zmodyfikowć W wyniku przeksztłceń mcierz U sprowdzmy do jednej z trzech nstępujących postci: [ ] U E G = 0 0 b, gdzie b jest liczbą różną od zer, E jest mcierzą wymiru r n, G jest mcierzą wymiru r, przy czym r < m W tym przypdku ukłd równń () jest sprzeczny, to znczy nie m rozwiązni

12 ROZDZIAŁ MACIERZE I UKŁADY RÓWNAŃ 2 U = [ I C D ], gdzie I jest mcierzą jednostkową stopni k < n, C jest mcierzą wymiru k (n k), D jest mcierzą wymiru k W tkim przypdku ukłd () jest nieoznczony, to znczy m nieskończenie wiele rozwiązń zleżnych od (n k) prmetrów Niech U = [ I C D ] = x x 2 x k x k+ x n b 0 0 c k+ c n d 0 0 c 2k+ c 2n d 2, 0 0 c kk+ c kn d k przy czym jeżeli wykonując przeksztłceni mcierzy U, zmieniliśmy miejscmi n przykłd kolumnę pierwszą, któr reprezentuje niewidomą x z kolumną czwrtą, któr reprezentuje niewidomą x 4, to w mcierzy U niewidom x 4 zostł oznczon przez x, zś niewidom x przez x 4 Przy powyższych oznczenich x,, x k nzywmy niewidomymi bzowymi, zś x k+,, x n prmetrmi Rozwiązniem ukłdu () jest ciąg (x, x 2,, x k), przy czym dl j =, 2,, k x j = d j c jk+ x jk+ c jk+2 x jk+2 c jn x jn 3 U = [ I D ], gdzie I jest mcierzą jednostkową stopni n, D jest mcierzą wymiru n W tkim przypdku ukłd () jest oznczony, to znczy m dokłdnie jedno rozwiąznie Niech U = [ I D ] = x x 2 x n b 0 0 d 0 0 d 2, 0 0 d k Wówczs rozwiązniem ukłdu () jest ciąg (x, x 2,, x n), przy czym dl j =, 2,, n x j = d j Ukłd równń nzywmy ukłdem jednorodnym Tki ukłd nigdy nie jest sprzeczny x + 2x 2+ + nx n = 0 2x + 22x nx n = 0 mx + m2x 2+ + mnx n = 0, (3) Twierdzenie 0 Jeżeli ukłd (3) jest oznczony, to m tylko rozwiąznie zerowe, to znczy x = x 2 = = x n = 0

13 Rozdził 2 Funkcje 2 Podstwowe definicje Niech X, Y będą pewnymi zbiormi Definicj 2 Funkcją nzywmy jednoznczne przyporządkownie kżdemu elementowi zbioru X, zwnego dziedziną, dokłdnie jednego elementu zbioru Y, zwnego przeciwdziedziną Jeśli X, Y R, mówimy o funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej Zbiór tkich elementów przeciwdziedziny, które są przyporządkowne pewnym elementom dziedziny, nzywmy zbiorem wrtości (obrzem) funkcji i oznczmy Im f, Im f = {y Y : f(x) = y dl pewnego x X} Funkcję f o dziedzinie X orz przeciwdziedzinie Y będziemy zpisywć symbolicznie: Dziedzinę funkcji f oznczmy również symbolem D f f : X Y, Uwg 2 Definiując funkcję, często nie podje się dziedziny ni przeciwdziedziny funkcji, jedynie wzór ją opisujący W tkim przypdku z dziedzinę przyjmuje się njwiększy zbiór, dl którego wzór funkcji jest poprwnie określony, jko przeciwdziedzinę zbiór wrtości Przykłd 2 Funkcj może być zdn n różne sposoby, np z pomocą wzoru, f(x) = x 3 x 2 ; łtwo zuwżyć, że dziedziną orz zbiorem wrtości tej funkcji jest zbiór R (zbiór wszystkich liczb rzeczywistych); 2 z pomocą strzłek, f : x x; dziedziną jest zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych [0, ), zś zbiorem wrtości (, 0]; 3 z pomocą opisu, np funkcj przyporządkowuje liczbom wymiernym, niewymiernym 0; dziedziną jest zbiór R, zbiorem wrtości {0, }; 4 z pomocą tblicy, x f(x) Oczywiście dziedzin skłd się z liczb zpisnych w pierwszym wierszu (D f = {, 3, 5, 7}), zś zbiorem wrtości są liczby zpisne w drugim wierszu (Im f = { 2, 2, 4}) Wykresem funkcji f : X Y nzywmy wykres krzywej y = f(x) Uwg 22 Zpis y = f(x) ozncz pewną krzywą n płszczyźnie, często jest jednk utożsminy z funkcją f, przykłdowo zpis y = x 2 jest używny w celu zpisni funkcji dnej wzorem f(x) = x 2 (przy czym w domyśle dziedziną jest zbiór R 2, zś zbiorem wrtości [0, + )) Definicj 22 Miejscem zerowym funkcji nzywmy rgument, dl którego funkcj przyjmuje wrtość 0 2

14 ROZDZIAŁ 2 FUNKCJE 3 Przykłd 22 Znjdziemy miejsce zerowe funkcji f(x) = 2x + 3 W tym celu nleży rozwiązć równnie f(x) = 0: 2x + 3 = 0 2x = 3 x = 3 2 Miejscem zerowym tej funkcji jest ztem x = 3 2 Uwg 23 Dziedziną sumy, różnicy i iloczynu funkcji f i g jest przekrój ich dziedzin, to znczy zbiór D f D g W przypdku ich ilorzu f g z dziedziny usuwmy również wszystkie miejsc zerowe funkcji g, to znczy dziedziną tego ilorzu jest zbiór D f (D g \ {x D g : g(x) = 0}) Formlnie sumę, różnicę, iloczyn i ilorz funkcji możn zdefiniowć nstępując: Definicj 23 Niech dne będą funkcje f i g Wówczs sum f + g, różnic f g i iloczyn f g funkcji f i g są zdefiniowne n zbiorze D f D g jko (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), (f g)(x) = f(x) g(x) 2 Ilorz funkcji f g jest zdefiniowny n zbiorze D f D g \ {x D g : g(x) = 0} jko Definicj 24 Funkcję f nzywmy rosnącą, jeśli x 2 > x = f(x 2 ) > f(x ) 2 niemlejącą, jeśli x 2 > x = f(x 2 ) f(x ) 3 mlejącą, jeśli x 2 > x = f(x 2 ) < f(x ) 4 nierosnącą, jeśli x 2 > x = f(x 2 ) f(x ) ( f g ) (x) = f(x) g(x) 5 monotoniczną, jeśli jest rosnąc, mlejąc, nierosnąc lub niemlejąc Przykłd 23 Funkcj f(x) = x 3 jest rosnąc w cłej dziedzinie, funkcj f(x) = x 2 jest mlejąc w przedzile (, 0] i rosnąc w przedzile [0, ) Rozwżmy funkcje f i g i złóżmy, że przeciwdziedzin funkcji f zwier się w dziedzinie funkcji g Definicj 25 Złożeniem (superpozycją) funkcji f i g nzywmy (g f)(x) = g(f(x)) Funkcję g f nzywmy również funkcją złożoną (superponowną) Przy tym zpisie, funkcję g nzywmy funkcją zewnętrzną, funkcję f funkcją wewnętrzną funkcji złożonej Definicj 26 Niech X i Y będą pewnymi zbiormi Funkcj f : X Y jest odwrcln, jeśli istnieje funkcj f : Y X (zwn funkcją odwrotną do f) tk, że (f f)(x) = x dl wszystkich x X orz (f f )(y) = y dl wszystkich y Y Uwg 24 Możn pokzć, że funkcj f : X Y jest odwrcln wtedy i tylko wtedy, gdy kżdy element przeciwdziedziny Y jest przyporządkowny dokłdnie jednemu elementowi dziedziny X

15 ROZDZIAŁ 2 FUNKCJE 4 22 Przegląd niektórych funkcji elementrnych 22 Funkcj wykłdnicz Przypomnijmy nstępujące włsności rchunkowe potęg liczb rzeczywistych: ( b) c = c b c, ( ) c b = c b, b+c = b c, b c = c b, b =, b c = ( b ) c c b Definicj 27 Niech będzie liczbą większą od 0 i różną od Funkcję f : R (0, + ) dną wzorem f(x) = x nzywmy funkcją wykłdniczą Podstwowe włsności funkcji wykłdniczej: () dziedzin: zbiór liczb rzeczywistych; (2) zbiór wrtości: (0, + ) (wszystkie dodtnie liczby rzeczywiste); (3) miejsc zerowe: brk; (4) punkt przecięci z osią OY : (0, ) (bo f(0) = 0 = dl wszystkich ) (5) monotoniczność: jeśli >, to funkcj wykłdnicz jest rosnąc, jeśli <, to jest on mlejąc Szczególnym i brdzo wżnym przypdkiem jest funkcj wykłdnicz o podstwie e, to znczy dn wzorem f(x) = e x Funkcję wykłdniczą o podstwie e zpisuje się również jko exp(x), to znczy funkcj exp jest zdefiniown wzorem exp(x) = e x Zdnie 2 Nszkicowć wykres funkcji wykłdniczej dl kilku różnych wrtości Jk wygląd wykres funkcji wykłdniczej o podstwie e? 222 Funkcj logrytmiczn Definicj 28 Logrytm o podstwie (0, ) (, ) z b R + to liczb c R tk, że c = b Zpisujemy to jko c = log b Przykłd 24 log 3 27 = 3, poniewż 3 3 = 27, log 2 = 0, poniewż 2 0 =, log 4 4 =, poniewż 4 = 4, log 49 7 = 2, poniewż 49 2 = 7 Definicj 29 Logrytm nturlny to logrytm o podstwie e, oznczny symbolem ln Włsności logrytmu: Przykłd 25 log (b c) = log b + log c, log ( b c ) = log b log c, log ( b ) = log b, log (b c ) = c log b, log b = log b, log b log b c = log c log 2 2 = log 2 (2 2 3) = log log 2 3 = 2 + log 2 3, log = log = log 7 (7 7 /2 ) = log 7 (7 +/2 ) = log 7 7 3/2 = 3/2 = 2 3 Definicj 20 Funkcją logrytmiczną o podstwie (0, ) (, + ) nzywmy funkcję f : (0, + ) R dną wzorem f(x) = log x

16 ROZDZIAŁ 2 FUNKCJE 5 Podstwowe włsności funkcji logrytmicznej: () dziedzin: (0, + ); (2) zbiór wrtości: zbiór liczb rzeczywistych; (3) miejsc zerowe: x = (dl wszystkich ); (4) punkt przecięci z osią OY : brk; (5) monotoniczność: jeśli >, to funkcj logrytmiczn jest rosnąc, jeśli <, to jest on mlejąc Łtwo zuwżyć, że funkcj wykłdnicz i logrytmiczn o podstwie są funkcjmi do siebie odwrotnymi, to znczy log x = x, log x = x Zdnie 22 Nszkicowć wykres funkcji logrytmicznej dl kilku różnych wrtości Jk wygląd wykres funkcji logrytmicznej o podstwie e? 223 Funkcj potęgow Definicj 2 Niech będzie dowolną liczbą Funkcję dną wzorem f(x) = x nzywmy funkcją potęgową Rozwżmy nstępujące przypdki: = 0 Wówczs dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, zś zbiorem wrtości jest {} Oczywiście funkcj dn wzorem f(x) = x 0 = jest funkcją stłą N = {, 2,, } () Dziedzin: R; (2) zbiór wrtości: R, jeśli jest liczbą nieprzystą, [0, + ), jeśli jest liczbą przystą; (3) miejsc zerowe: x = 0 dl wszystkich N; (4) punkt przecięci z osią OY : (0, 0); (5) monotoniczność: jeśli jest liczbą nieprzystą, to funkcj jest rosnąc w cłej dziedzinie, jeśli jest liczbą przystą, to funkcj jest mlejąc dl x 0, rosnąc dl x 0 Z \ N 0 = {, 3, 2, } Wówczs x = x n, przy czym n = jest liczbą nturlną () Dziedzin: R \ {0}; (2) zbiór wrtości: R \ {0}, jeśli jest liczbą nieprzystą, [0, + ), jeśli jest liczbą przystą; (3) miejsc zerowe: x = 0 dl wszystkich N; (4) punkt przecięci z osią OY : (0, 0); (5) monotoniczność: jeśli jest liczbą nieprzystą, to funkcj jest rosnąc w cłej dziedzinie, jeśli jest liczbą przystą, to funkcj jest mlejąc dl x < 0, rosnąc dl x > 0 = n, przy czym n {, 2,, } Wówczs x = n x () Dziedzin: [0, + );

17 ROZDZIAŁ 2 FUNKCJE 6 (2) zbiór wrtości: [0, + ) (3) miejsc zerowe: x = 0 dl wszystkich n N; (4) punkt przecięci z osią OY : (0, 0); (5) monotoniczność: funkcj rosnąc dl wszystkich n N Poniżej opisujemy pozostłe możliwe przypdki funkcji potęgowej: jest liczbą wymierną postci m n, m, n N względnie pierwsze, n nieprzyste Wówczs x = n x m, dziedziną jest zbiór R, zbiór wrtości zleży od przystości m (R, jeśli m jest nieprzyste, [0, + ), jeśli m jest przyste) jest liczbą wymierną postci m n, m, n N względnie pierwsze, n przyste Wówczs dziedziną i zbiorem wrtości jest [0, ) jest liczbą wymierną postci m n, m, n N względnie pierwsze, n nieprzyste Wówczs dziedziną jest R \ {0}, zbiór wrtości zleży od przystości (R \ {0}, jeśli jest nieprzyste, (0, + ), jeśli jest przyste) jest liczbą wymierną postci m n, m, n N względnie pierwsze, n przyste Wówczs dziedziną i zbiorem wrtości jest (0, + ) R \ Q Wówczs funkcję potęgową definiujemy wzorem x = e ln x Wówczs dziedziną i zbiorem wrtości jest (0, + ) Przykłd 26 f(x) = x 2 3 = 3 x 2, f(x) = x 2 = e 2 ln x Funkcj potęgow jest n R + rosnąc dl > 0, stł dl = 0 i mlejąc dl < 0 Jest wypukł dl 0 orz dl, wklęsł dl [0, ] 224 Funkcje trygonometryczne Wprowdzenie do funkcji trygonometrycznych zczniemy od pojęci miry łukowej Tk mir jest wyrżon przez stosunek długości łuku okręgu oprtego n tym kącie do długości promieni okręgu W oznczenich z rysunku, r α = l r α l Tk określon mir wyrż się liczbą rzeczywistą i może przyjmowć wrtości z zkresu 0 do 2π Jednostkę miry łukowej nzywmy rdinem r Związek między mirą stopniową mirą łukową jest opisny wzorem: Rozwżmy nstępujący trójkąt prostokątny α[rd] = α[ ] π 80 [rd] c b Przypomnijmy, że dl kąt ostrego α mmy sin α = b (sinus), cos α = (cosinus), c c tg α = b (tngens), ctg α = b (cotngens) α Zdefiniujemy terz funkcje trygonometryczne bez złożeni, że kąt α jest ostry W tym celu rozwżmy kąt, którego jedno rmię jest położone n osi OX orz drugie łączy początek ukłdu z pewnym punktem (, b) Złóżmy, że kąt α jest pomiędzy tymi rmionmi Tę sytucję przedstwiliśmy n rysunku:

18 ROZDZIAŁ 2 FUNKCJE 7 (, b) (0, b) c (, 0) α (0, 0) Wówczs, dl dowolnego kąt α R, definiujemy sin α = b c, cos α = c Pondto tg α = b dl α π 2 + kπ, k Z, ctg α = b dl α kπ, k Z Funkcje trygonometryczne możemy ztem określić dl wszystkich liczb rzeczywistych (ewentulnie wykluczjąc pewne punkty, w celu uniknięci dzieleni przez 0) dziedzin zbiór wrtości miejsc zerowe f(x) = sin x f(x) = cos x { f(x) = tg x } f(x) = ctg x π R R R \ 2 + kπ : k Z R \ {kπ : k Z} [, ] [, ] R R x k = kπ, k Z x k = π 2 + kπ, k Z x k = kπ, k Z x k = π 2 + kπ, k Z punkt przecięci z osią OY (0, 0) (0, ) (0, 0) brk Funkcje trygonometryczne są okresowe: sin i cos mją okres równy 2π, zś tg i ctg mją okres równy π Zdnie 23 Nszkicowć wykresy funkcji trygonometrycznych Ze względu n okresowość, funkcje trygonometryczne nie są odwrclne Okzuje się jednk, że jeżeli rozwżymy je n pewnych podzbiorch, to możemy mówić o funkcjch do nich odwrotnych, które okzują się być użyteczne w różnych rozwżnich I tk, () funkcję sinus rozwżmy n zbiorze [ π/2, π/2], (2) funkcję cosinus rozwżmy n zbiorze [0, π], (3) funkcję tngens rozwżmy n zbiorze ( π/2, π/2), (4) funkcję cotngens rozwżmy n zbiorze [0, π] Wówczs zbiory wrtości pozostją te sme, rozwżne funkcje są odwrclne Zpisując to brdziej formlnie, rozwżmy funkcje trygonometryczne określone w nstępujący sposób: sin: [ π/2, π/2] [, ], cos: [0, π] [, ], tg : ( π/2, π/2) R, ctg : (0, π) R 225 Funkcje cyklometryczne Funkcje cyklometryczne (kołowe) to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ogrniczonych do pewnych przedziłów rcus sinus rc sin jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozptrywnej n przedzile [ π/2, π/2] Aby obliczyć wrtości tej funkcji korzystmy z zleżności: [ rc sin x = y sin y = x, x [, ] i y π 2, π ] 2

19 ROZDZIAŁ 2 FUNKCJE 8 2 rcus cosinus rc cos jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozptrywnej n przedzile [0, π] Aby obliczyć wrtości tej funkcji korzystmy z zleżności: rc cos x = y cos y = x, x [, ] i y [0, π] 3 rcus tngens rc tg jest funkcją odwrotną do funkcji tngens rozptrywnej n przedzile ( π/2, π/2) Aby obliczyć wrtości tej funkcji korzystmy z zleżności: ( rc tg x = y tg y = x, x R i y π 2, π ) 2 4 rcus cotngens rc ctg jest funkcją odwrotną do funkcji cotngens rozptrywnej n przedzile (0, π) Aby obliczyć wrtości tej funkcji korzystmy z zleżności: rc ctg x = y ctg y = x, x R i y (0, π) f(x) = rc sin x f(x) = rc cos x f(x) = rc tg x f(x) = rc ctg x dziedzin [, ] [, ] R R [ zbiór wrtości π 2, π ] ( [0, π] π 2 2, π ) (0, π) 2 miejsc zerowe x 0 = 0 x 0 = x 0 = 0 brk punkt przecięci z osią OY (0, 0) (0, π 2 ) (0, 0) (0, π 2 ) monotoniczność rosnąc mlejąc rosnąc mlejąc Zdnie 24 Nszkicowć wykresy funkcji cyklometrycznych

20 Rozdził 3 Ciągi liczbowe 3 Podstwowe definicje Definicj 3 Funkcje, któr kżdej liczbie nturlnej n przyporządkowuje dokłdnie jedną liczbę rzeczywistą n nzywmy ciągiem i oznczmy symbolem ( n ) Liczbę rzeczywistą n nzywmy n-tym wyrzem ciągu ( n ) Ciągi możn definiowć w nstępujący sposób: wypisując jego elementy, n przykłd, 2, 4, 8,, 2 n, ; 2 podjąc wzór n jego n-ty wyrz, n przykłd n = 2n 3 4n+5, n = ( ) n ; 3 rekurencyjnie, to znczy podjąc zleżność między n-tym wyrzem ciągu kilkom poprzednimi orz podjąc kilk pierwszych wyrzów, n przykłd F n = F n + F n 2, F 0 = 0, F = Zdefiniowny powyżej ciąg F n jest nzywny ciągiem Fiboncciego, wzór n n-ty wyrz tego ciągu to ( F n = ) n ( + 5 ) n Przykłd 3 Ciąg ( n) opisny wzorem n = +(n )r nzywmy ciągiem rytmetycznym, przy czym to pierwszy wyrz tego ciągu, zś r nzywmy różnicą Możn pokzć, że sum pierwszych n wyrzów tkiego ciągu wynosi S n = n = + n 2 Ciąg ( n) opisny wzorem n = q n nzywmy ciągiem geometrycznym, przy czym to pierwszy wyrz tego ciągu, zś q to jego ilorz Możn pokzć, że sum pierwszych n wyrzów tkiego ciągu dl q wynosi Co więcej, jeżeli q <, to sum wszystkich wyrzów tego ciągu wynosi Definicj 32 Ciąg ( n ) nzywmy mlejącym, jeśli n+ < n dl kżdego n N; 2 nierosnącym, jeśli n+ n dl kżdego n N; 3 rosnącym, jeśli n+ > n dl kżdego n N; n S n = n = qn q S = = 4 niemlejącym, jeśli n+ n dl kżdego n N; q 5 monotonicznym, jeśli jest rosnący, mlejący, nierosnący lub niemlejący Definicj 33 Ciąg ( n ) nzywmy ogrniczonym z góry, jeśli istnieje M R tkie, że n < M dl kżdego n N; 9

21 ROZDZIAŁ 3 CIĄGI LICZBOWE 20 2 ogrniczonym z dołu, jeśli istnieje M R tkie, że n > M dl kżdego n N; 3 ogrniczonym, jeśli jest ogrniczony z góry i z dołu Zuwżmy, że ciąg jest ogrniczny jeśli istnieje M > 0 tkie, że n < M dl kżdego n N Uwg 3 Kżdy ciąg stły, to znczy tki, że n = c dl kżdego n N, jest ogrniczony i monotoniczny Przykłd 32 Ciąg 2, 3, 6, 7, 0,, jest mlejący i ogrniczony z góry 2 Ciąg n = 3 n jest rosnący i ogrniczony 3 Ciąg n = ( ) n jest ogrniczony i nie jest monotoniczny 4 Ciąg 3, 3, 3, 3,,, 3, jest stły 32 Grnice ciągów Definicj 34 Ciąg ( n ) m grnicę (włściwą) równą, jeśli dl kżdego (dowolnie młego) ɛ > 0 istnieje indeks n 0 tki, że dl kżdego elementu ciągu n o indeksie n większym niż n 0 zchodzi nierówność n < ɛ (to znczy ɛ < n < + ɛ) Mówimy również: ciąg ( n ) dąży do (jest zbieżny do) grnicy i zpisujemy n dl n, Definicję grnicy włściwej ciągu zpisujemy z pomocą symboli nstępująco: n lub lim n = lim n = ɛ>0 n0 n>n0 n < ɛ Definicj 35 Ciąg ( n ) m grnicę (niewłściwą) równą, jeśli dl kżdego (dowolnie dużego) M > 0 istnieje indeks n 0 tki, że dl kżdego elementu ciągu n o indeksie n większym niż n 0 zchodzi nierówność n > M Mówimy również: ciąg ( n ) dąży do (jest rozbieżny do) plus nieskończoności i zpisujemy n + dl n, Powyższą definicję możemy zpisć symbolicznie w nstępujący sposób: n + lub lim n = + lim n = + M>0 n0 n>n0 n > M Definicj 36 Ciąg ( n ) n N m grnicę (niewłściwą) równą, jeśli dl kżdego (dowolnie dużego) M > 0 istnieje indeks n 0 tki, że dl kżdego elementu ciągu n o indeksie n większym niż n 0 zchodzi nierówność n < M Mówimy również: ciąg ( n ) dąży do (jest rozbieżny do) minus nieskończoności i zpisujemy n dl n, Powyższą definicję możemy zpisć symbolicznie w nstępujący sposób: n lub lim n = lim n = M>0 n0 n>n0 n < M Definicj 37 Ciągi o grnicy skończonej nzywmy zbieżnymi Wszystkie pozostłe ciągi nzywmy rozbieżnymi Spośród ciągów rozbieżnych wyróżnimy ciągi rozbieżne do plus nieskończoności i do minus nieskończoności Zuwżmy, że ciąg ( n ) m grnicę wtedy i tylko wtedy, gdy w dowolnie młym otoczeniu znjdują się prwie wszystkie (to znczy wszystkie poz skończoną ilością) elementy tego ciągu Przykłd 33 2 Ciąg dny wzorem n = n Ciąg, 2, 0,, 2, 0,, 2, 0,, nie m grnicy jest zbieżny do 0 [ Wynik to z tego, że dl kżdego ɛ > 0 możn wyznczyć indeks n 0 = ] ɛ, ztem n > ɛ Stąd wynik, że dl tych indeksów n mmy n > [ ɛ n 0 = n < /ɛ = ɛ 3 Ciąg dny wzorem n = n 2 jest rozbieżny do nieskończoności ] (część cłkowit liczby ɛ ), tki że dl kżdego n > n0 zchodzi Zuwżmy, że jeżeli dl dowolnego M > 0 wybierzemy n 0 = [M] +, to dl n > n 0 mmy n n > n 0 > M 4 lim =, przy czym jest dowolną liczbą rzeczywistą

22 ROZDZIAŁ 3 CIĄGI LICZBOWE 2 33 Twierdzeni o grnicch W poniższych twierdzenich zbiermy podstwowe włsności rchunkowe grnic ciągów Zuwżmy, że w pierwszym z tych twierdzeń zkłdmy, że rozptrywne ciągi mją skończone grnice Twierdzenie 32 Jeżeli lim n = orz lim b n = b, to lim ( n ± b n ) = ± b, 2 lim ( n b n ) = b, 3 lim n bn = b, jeśli b n 0 dl n N orz b 0 4 lim ( n) bn = b, jeśli n > 0 dl n N orz i b nie są jednocześnie równe 0 W powyższym twierdzeniu istotne jest złożenie istnieni skończonych grnic ciągów, w nstępnym twierdzeniu nie zkłdmy tego (ciągi mogą mieć grnice skończone, le nie muszą) Twierdzenie 33 lim c n = c lim n, 2 lim c n = ( lim n) c, jeśli n > 0 dl kżdego n i lim n > 0 Przykłd 34 2 lim n 2 = lim 2n+3 3 lim n = lim n 4 lim 2 +5n+ n 2 n+ = lim Dl ciągów n = n orz b n = n mmy lim ( n + b n ) = 0, choć grnice tych ciągów nie istnieją ( ) n n = lim n lim n = 0 0 = 0 ( ) n = 2 + lim 3 lim n = = n + n 2 n + n 2 ( ) = lim + 5 n + n ( 2 ) lim = +0+0 n + n = Twierdzenie 34 Jeżeli ciąg jest zbieżny, to m dokłdnie jedną grnicę 2 Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ogrniczony 3 Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ogrniczony, to jest zbieżny 34 Liczb e i grnice specjlne ( n Możn pokzć, że ciąg n = + n) jest rosnący i ogrniczony Stąd wynik, że jest on zbieżny Oznczmy jego grnicę literą e Dowodzi się, że jest to liczb niewymiern orz e 2, 78 Innymi słowy ( e = lim + n n) Możn również pokzć, że jeżeli dl kżdego n N zchodzi n 0 i lim n = 0, to Przykłd 35 ( ) lim + 3 n 3 n = e, ( n ( lim n) = lim + n ( ) n lim ( ( n = lim ) n = e, ) n 2 7 n 2 ) 7 = e 7 lim ( + n) n = e

23 ROZDZIAŁ 3 CIĄGI LICZBOWE 22 Łtwo zuwżyć, że Pondto lim n = lim (nk + b) = 0 dl <, dl =, + dl >, nie istnieje dl { dl < 0, + dl > 0, gdzie k jest liczbą nturlną, zś 0, b są liczbmi rzeczywistymi orz Możn pokzć również, że Przykłd 36 lim n 0 =, lim n 2 3 =, lim n e =, lim n π = lim n n =, dl > 0 lim n = dl > 0 Twierdzenie 35 (Twierdzenie o trzech ciągch) Jeżeli ciągi ( n), (b n) orz (c n) spełniją wrunki to n 0 n n 0 : n b n c n, 2 lim n = c = lim c n, lim b n = c Przykłd 37 Pokżemy, ze lim n 2n + 3 n + 4 n = 4 Zuwżmy, że n 4n n 2 n + 3 n + 4 n n 4 n + 4 n + 4 n = n 3 n 4 n Poniewż ztem lim n c = dl dowolnego c > 0 orz n 4 n = 4, mmy lim n 2n + 3 n + 4 n = 4 35 Symbole oznczone i nieoznczone 4 lim n 2n + 3 n + 4 n 4, Przy obliczniu grnic często pojwiją się wyrżeni, z którymi n gruncie rytmetyki liczb rzeczywistych nie możn nic zrobić Są to n przykłd wyrżeni zwierjące nieskończoność Tkie wyrżeni dzielimy n dwie ktegorie: symbole oznczone i symbole nieoznczone Zwyczjowo zpisuje się je w nwisch kwdrtowych w celu podkreśleni ich nierytmetycznego chrkteru 35 Symbole oznczone Symbole oznczone to tkie, w których wynik jest jednoznczny, to znczy nie zleży od ciągu, w którego grnicy się pojwiły [ ] = 0, przy czym R, [ + ] = +, [ + (+ )] = +, przy czym R, [ + ( )] =, przy czym R,

24 ROZDZIAŁ 3 CIĄGI LICZBOWE 23 [(+ ) (+ )] = +, [( ) ( )] = +, [(+ ) ( )] =, { dl < 0, [ (+ )] = + dl > 0, [ ( )] = [ (+ ) ] = { + dl < 0, dl > 0, { 0 dl <, + dl >, [(+ ) ] = +, przy czym > 0 Uwg 36 W przypdku symboli oznczonych wrtość grnicy jest zwsze tk sm, niezleżnie od tego jkimi wzormi opisne są ciągi Przykłd 38 [ 3 lim 3 2n+5 ] = 0, ln(2+ lim n ) [ ] ln 2 2 n = 0 lim (3n + 5 n ) [ + ] = +, lim ( n + n) [ + ] = + Pojęcie symboli oznczonych możn opisć w brdziej formlny sposób Pokżemy to n przykłdzie dwóch pierwszych symboli Rozwżmy ciągi ( n) i (b n) tkie, że lim n = orz grnic ciągu (b n) jest niewłściw Mówimy wówczs, że ilorz n b n m symbol oznczony [ ] [ W tkim wypdku zwsze zchodzi równość lim n bn = 0 Symbolicznie będziemy to zpisywć ] = 0 Złóżmy terz, że ciągi ( n) i (b n) mją grnice niewłściwe w + Wówczs sum ( n + b n) m symbol oznczony [ + ] W tkim przypdku zwsze ( n + b n) = + Symbolicznie będziemy to zpisywć nstępująco [ + ] = + lim 352 Symbole nieoznczone Symbole nieoznczone to tkie, w których wynik zleży od ciągu, którego grnicę dny symbol opisuje Ozncz to, że w przypdku wystąpieni tkiego wyrżeni, nie możemy n jego podstwie podć wrtości grnicy Wszystkich symboli nieoznczonych jest siedem Są to symbole: [ ], [ 0 0], [0 ], [ ], [ ], [ 0 0], [ 0] Przykłd 39 Aby obliczyć grnicę, w której występuje symbol nieoznczony, przeksztłc się ją tk by otrzymć w wyniku liczbę lub symbol oznczony W zleżności od rodzju symbolu i grnicy, metody postępowni różnią się Zobrzujemy to kilkom przykłdmi: n lim 2 [ 3n ] n+ = lim n 2( ) ( ) 3 n n 2 n n(+ n ) = lim 3 n [ n 2 ] + =, n

25 ROZDZIAŁ 3 CIĄGI LICZBOWE 24 n lim 2 [ 3n ] n 2 + = lim 3 n n 2 + n 2 [ 3n lim ] n 2 + = lim ( 3 [ n ) 3 n + ] = 0 n 2 = =, Podobnie jk w przypdku symboli oznczonych, symbole nieoznczone również możn opisć w brdziej formlny sposób Pokżemy to n przykłdzie dwóch pierwszych symboli Złóżmy terz, że ciągi ( n) i (b n) mją grnice niewłściwe w + lub w Mówimy wtedy, że ilorz n [ m symbol nieoznczony ] W tkim przypdku wrtość grnicy lim przykłd 6n 5 lim 2n+ = 3, 5n 4 lim 0n+ = 2 Złóżmy terz, ze ciągi ( n) i (b n) są tkie, że nieoznczony [ ] Podobnie jk wcześniej, w tym przypdku grnic lim ( lim + n n) = e, lim ( ) n n = e n bn lbo nie istnieje, lbo jej wrtość jest różn dl różnych ilorzów n b n, n lim n = orz lim b n = + Mówimy wtedy, że wyrżenie wykłdnicze ( n) bn m symbol ( n) bn nie istnieje lbo jest różn dl różnych wyrżeń ( n) bn, n przykłd Twierdzenie 37 Jeżeli licznik i minownik ułmk są wielominmi tego smego stopni względem zmiennej nturlnej n, to grnic ułmk przy n równ się stosunkowi współczynników przy njwyższych potęgch n 2 Jeżeli minownik ułmk jest wielominem względem zmiennej nturlnej n stopni wyższego niż licznik, to grnic tkiego ułmnk przy n równ się zeru 3 Jeżeli minownik ułmk jest wielominem względem zmiennej nturlnej n stopni niższego niż licznik, to grnic tkiego ułmnk przy n równ się plus lub minus nieskończoności w zleżności od znku ilorzu współczynników przy njwyższych potęgch n b n 36 Grnic i ciągłość funkcji Definicj 38 (Heine) Powiemy, że funkcj f m w punkcie x 0 grnicę równą g (włściwą lbo niewłściwą) i piszemy lim f(x) = g x x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu (x n ) tkiego, że x n x 0 orz lim x n = x 0 zchodzi równość lim f(x n) = g Zdnie 3 Obliczyć grnice () lim x x+2, (b) lim x 3 Zdnie 32 Udowodnić, że nie istnieją grnice lim x 0 x, x 3 x+3, (c) lim x 2 lim e x x 0 Definicj 39 (Heine) Mówimy, że funkcj f m w + ( ) grnicę równą g (włściwą lbo niewłściwą) i piszemy ( ) lim f(x) = g lim f(x) = g x + x wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu (x n ) tkiego, że lim x n = ( lim x n = ) zchodzi równość lim f(x n) = n + g Przykłd 30 Z wykresów funkcji elementrnych łtwo widć, że lim x + rctg x = π 2, 2 lim x ex = 0, 3 lim ln x = +, x + 4 lim x + x = { 0 dl 0 < <, + dl > W poniższym twierdzeniu zbiermy podstwowe włsności rchunkowe grnic funkcji Wrto zwrócić uwgę n to, że wzory są nlogiczne do odpowiednich wzorów dotyczących grnic ciągów x 2 x 2 4

26 ROZDZIAŁ 3 CIĄGI LICZBOWE 25 Twierdzenie 38 Jeżeli istnieją grnice lim f(x) = orz lim g(x) = b, przy czym x 0 R, x 0 = + lub x 0 =, x x 0 x x 0 to lim x x 0 (cf(x)) = c dl dowolnej liczby rzeczywistej c, 2 lim x x 0 (f(x) ± g(x)) = ± b, 3 lim x x 0 (f(x) g(x)) = b, f(x) 4 lim x x 0 g(x) = b, o ile g(x) 0 i b 0, 5 lim x x 0 (f(x)) g(x) = b, o ile f(x) > 0 orz i b nie są jednocześnie równe zero Zwróćmy uwgę n to, że by zstosowć powyższe twierdzenie, musimy się upewnić, że obie grnice istnieją (tzn są skończone) ( lim + ) ( =, lim x = +, le lim + x = e x + x x + x + x) Zdnie 33 Obliczyć () (b) (c) (d) lim x x Poniżej wypisujemy kilk grnic specjlnych: sin x lim x =, x 0 lim x x = ln dl > 0, x 0 lim ( + x )x = e, x + sin x Przykłd 3 lim x = 0, x + tg 2x 2 lim tg 3x = lim sin 2x cos 3x sin 3x cos 2x 3x 2x 2 3 = lim sin 2x 2x x 0 x 0 x 0 3 lim x + ( x 3 ) x x = lim x + ( ) + 3 x x = e 3 36 Grnice jednostronne 3x cos 3x sin 3x cos 2x 2 3 = 2 3 = 2 3, Definicj 30 (Heine) Powiemy, że funkcj f m w punkcie x 0 grnicę lewostronną równą g i piszemy lim f(x) = g x x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu (x n ) tkiego, że x n < x 0 orz lim x n = x 0 zchodzi równość lim f(x n) = g Powiemy, że funkcj f m w punkcie x 0 grnicę prwostronną równą g i piszemy lim f(x) = g x x + 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu (x n ) tkiego, że x n > x 0 orz lim x n = x 0 zchodzi równość lim f(x n) = g Przykłd 32 Z wykresu funkcji dnej wzorem f(x) = x łtwo widć, że: lim x 0 x =, lim x 0 + x = + Uwg 39 Grnic lim f(x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją grnice jednostronne x x 0 orz lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) x x 0 x x 0 x x + 0 lim f(x) i x x 0 Przykłd 33 Poniewż grnice lim x 0 x = orz lim x 0 + x = + są różne, nie istnieje grnic lim x 0 x Przykłd 34 Mmy: lim f(x) x x + 0

27 ROZDZIAŁ 3 CIĄGI LICZBOWE 26 lim x 0 + e x = +, 2 lim x 0 e x = 0, 3 lim x + e x = e 0 =, 4 lim x e x = e 0 =, 5 lim cos x + x = cos 0 = 362 Ciągłość funkcji Definicj 3 Funkcję f nzywmy ciągłą w punkcie x 0, jeżeli jest w tym punkcie zdefiniown, 2 posid obustronną grnicę, 3 wrtość funkcji i grnic funkcji są sobie równe f(x 0 ) = lim x x 0 f(x) Definicj 32 Funkcję nzywmy ciągłą, jeżeli jest ciągł w cłej swojej dziedzinie Uwg 30 Wszystkie wprowdzone wcześniej funkcje elementrne są ciągłe Twierdzenie 3 Niech f i g będą funkcjmi ciągłymi (w swoich dziedzinch) Wówczs Sum f + g, różnic f g iloczyn f g ilorz f g są ciągłe w swoich dziedzinch Uwg 32 Ilorz dwóch funkcji nie jest określony w tych punktch dziedziny, gdzie minownik m wrtość zero Zdnie 34 Zbdć ciągłość funkcji x 2 x dl x <, f(x) = 2 dl x =, 2 + e x dl x > w punkcie x 0 =, sin 3x x dl x < 0, f(x) = 3 dl x = 0, ( 2x) 2 x dl x > 0 w punkcie x 0 = 0 Zdnie 35 Zbdć ciągłość funkcji f(x) = x 2 dl x 2, 4 x 2 dl x ( 2, 2), x 2 dl x 2 Twierdzenie 33 Jeżeli f jest funkcją ciągłą, grnic lim x x 0 g(x) istnieje, to ( ) lim f g(x) = f lim g(x) x x 0 x x 0 Dotyczy to również grnic jednostronnych orz w nieskończoności

28 Rozdził 4 Rchunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Rozwżmy funkcję rzeczywistą zmiennej rzeczywistej f, to znczy tką, że D f, Im f R Definicj 4 Ustlmy x 0 D f tkie, że (x 0 ε, x 0 + ε) D f dl pewnego ε > 0 Jeśli grnic f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h istnieje i jest skończon, to nzywmy ją pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznczmy f (x 0 ) Ilorz f(x 0 + h) f(x 0 ) h nzywmy ilorzem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 Przykłd 4 Niech f(x) = 2 i x 0 = Wówczs f(x 0 + h) f(x 0 ) h 2 Niech f(x) = 2x i x 0 = 2 Wówczs = f( + h) f() h = 2 2 h = 0 = 0 0 dl h 0 h f(x 0 + h) f(x 0 ) h 3 Niech f(x) = x i x 0 = Wówczs = = f( 2 + h) f( 2) 2( 2 + h) 2( 2) = h h 2( 2 + h + 2) = 2h = 2 2 dl h 0 h h f(x 0 + h) f(x 0 ) h f( + h) f() = h = h h = +h h ln dl h 0 = h h 4 Niech f(x) = x i x 0 = 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h = f(h) f(0) h = h 0 h = h { h h = h =, dl h > 0, =, dl h < 0, czyli nie istnieje obustronn grnic Ozncz to, że nie istnieje pochodn tej funkcji w punkcie 0 4 Interpretcj pojęci pochodnej w punkcie 4 Geometri: styczn Rozwżmy wykres pewnej funkcji, to znczy krzywą postci y = f(x) Aby znleźć równnie stycznej do tej krzywej w punkcie P (x 0, f(x 0 )), weźmy pod uwgę punkt położony n krzywej w bliskiej odległości Q(x 0 + h, f(x 0 + h)) Współczynnik kierunkowy siecznej przechodzącej przez te dw punkty równy jest ilorzowi różnicowemu f(x 0 + h) f(x 0 ) h 27 h h

29 ROZDZIAŁ 4 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 28 Gdy punkt Q zbliż się do punktu P, co odpowid zmniejszniu się odstępu h, wrtość ilorzu różnicowego zbliż się do wrtości pochodnej f (x 0 ), któr jest nchyłem stycznej w punkcie P Jeśli f (x 0 ) jest znne, równnie stycznej jest dne jko: y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Zdnie 4 Wiedząc, że prost przechodząc przez punkty (x, y ), (x 2, y 2 ) dn jest wzorem (y y )(x 2 x ) = (y 2 y )(x x ), wyprowdzić powyższy wzór 42 Interpretcj fizyczn Jeśli dne ciło porusz się i przebyt przez nie drog jest opisn funkcją s(t), to pochodn tej funkcji w punkcie t 0 jest interpretown jko prędkość (szybkość) chwilow po upływie czsu t 0 Sprecyzujmy to Szybkość chwilową możemy interpretowć jko średnią szybkość w brdzo krótkim czsie Złóżmy, że s(t) ozncz pozycję w czsie t, którą rozumiemy jko pewną wrtość (odległość od punktu 0) n linii W pewnym momencie t chcielibyśmy poznć chwilową szybkość v(t) Niech ztem t będzie krótkim odcinkiem czsu Wówczs s(t) jest pozycją w momencie t, s(t + t) jest pozycją w momencie t + t Przejechliśmy dystns s(t + t) s(t) w czsie t Ztem nszą średnią szybkością w czsie t jest s(t + t) s(t) t Nie chcemy jednk znć średniej szybkości w brdzo krótkim odcinku czsu, szybkość chwilową, w dnym momencie Bierzemy szybkość średnią dl przedziłów czsu kurczących się do zer: s(t + t) s(t) v(t) = lim t 0 t W podobny sposób rgumentujemy, że pochodn szybkości, czyli drug pochodn pozycji, jest przyspieszeniem Uwg 4 W fizyce rozróżnimy szybkość i prędkość T pierwsz jest wielkością sklrną, czyli bez wyróżnionego kierunku Prędkość ntomist jest wielkością wektorową i jest pochdną położeni (wektorowego) po czsie 42 Podstwowe pojęci Definicj 42 Funkcję nzywmy różniczkowlną w punkcie x 0, jeśli m w tym punkcie pochodną Funkcję nzywmy różniczkowlną, jeśli jest różniczkowln w kżdym punkcie swojej dziedziny Twierdzenie 42 Jeśli funkcj jest różniczkowln w punkcie, jest w tym punkcie ciągł Uwg 43 Sm ciągłość nie wystrcz do tego, by funkcj był różniczkowln - przykłdem funkcji ciągłej jest funkcj dn wzorem f(x) = x jest ciągł, le nie jest różniczkowln poniewż pochodn w zerze nie istnieje Definicj 43 Niech f będzie funkcją różniczkowlną Pochodną funkcji f nzywmy funkcję, któr przyporządkowuje dowolnemu x D f wrtość pochodnej w tym punkcie f (x 0 ) Innymi słowy, mmy dną funkcję f zdefiniowną wzorem: f : x f (x Uwg 44 Pochodn funkcji w punkcie jest liczbą, ntomist pochodn funkcji jest również funkcją Kżdemu punktowi swojej dziedziny przyporządkowuje wrtość pochodnej funkcji wyjściowej w tym punkcie Uwg 45 Dl oznczeni pochodnej używ się również zpisu df dx Uwg 46 Stosunkowo trudno jest obliczć wrtość pochodnej funkcji w punkcie, ntomist łtwo jest znleźć pochodną jko funkcję Ztem by obliczyć wrtość pochodnej funkcji w punkcie, znjdujemy njpierw pochodną jko funkcję, nstępnie podstwimy wrtość rgumentu

30 ROZDZIAŁ 4 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Pochodne niektórych funkcji f(x) f (x) uwgi c 0 c R x - x x n 0 x x ln > 0 n e x e x n n log x x > 0, > 0, x ln 0 n ln x x > 0 x 0 sin x cos x - cos x sin x - tg x cos 2 x π n x 2 + kπ, k Z 0 ctg x n sin 2 x kπ, k Z x 0 n rc sin x < x < x 2 0 n rc cos x < x < x 2 rc tg x + x 2 - rc ctg x + x 2 - n 0 n 0 Twierdzenie 47 Niech f i g będą funkcjmi różniczkowlnymi Wówczs (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x), 2 (f(x) g(x)) = f (x) g (x), 3 (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x), 4 dl x tkich, że g(x) 0: Wniosek 48 2 Niech f(x) 0 Wtedy 0 0 ( ) f(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) [g(x)] 2 Niech c będzie liczbą rzeczywistą, f funkcją różniczkowlną Wówczs 3 Różniczkownie wielominów: ( 0 x 0 + x + 2 x n x n) [(cf)(x)] = (c) f(x) + c f (x) = 0 f(x) + c f (x) = c f (x) ( ) = f(x) f (x) f(x) [f(x)] 2 = f (x) [f(x)] 2 Możemy to również zpisć używjąc symbolu sumy: ( n ) n n k x k = ( k x k ) = k (x k ) = k=0 k=0 = ( 0 x 0) + ( x ) + ( 2 x 2) + + (n x n ) = = x x n n x n k=0 n k kx k = k= n k k x k k=

31 ROZDZIAŁ 4 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 30 Przykłd 42 Dl x (0, + ): ( ln x e x ) = (ln x ex ) 2x 2 (ln x e x ) (2x 2 ) 2x 2 [2x 2 ] 2 = [(ln x) e x + ln x (e x ) ] 2x 2 (ln x e x ) (2 2x) ( 4x 4 x ex + ln x e x) 2x 2 4x ln x e x = 4x 4 = e x 2x + 2x x ln x 4x ln x 4x 4 = e x + x ln x 2 ln x 2x 3 2 Pochodn funkcji tngens: ( ) sin x (tg x) = = sin x cos x sin x cos x cos x cos x + sin x sin x cos x cos 2 = x cos 2 x = cos 2 x, x π 2 + kπ, k Z Twierdzenie 49 (Pochodn funkcji złożonej) Jeżeli funkcj f m pochodną w punkcie x, zś funkcj g m pochodną w punkcie y = f(x), to funkcj złożon g f m pochodną w punkcie x, przy czym (g f) (x) = g (f(x)) f (x) = g (y) f (x) Przykłd 43 ( e f(x)) = e f(x) f (x) W szczególności, jeżeli f(x) = x, ( ) e x = e x x 2 = e x x 2, x 0 Zdnie 42 Zpisć pochodne pozostłych funkcji elementrnych postci (g f), przy czym g jest funkcją elementrną, zś f dowolną funkcją (to znczy funkcji postci tkiej jk w powyższym przykłdzie (e f(x) ), (sin f(x)), ((f(x)) ), itd) Twierdzenie 40 (Pochodn funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcj różniczkowln f m funkcję odwrotną f, to pochodn funkcji odwrotnej równ się odwrtoności pochodnej: ( f (x) ) = f (f (x)) Przykłd 44 Pochodn logrytmu: (ln x) = (e y ) = e y = y=ln x e = ln x x y=ln x Definicj 44 Jeżeli pochodn dnej funkcji f m w pewnym punkcie x 0 pochodną, to nzywmy ją drugą pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznczmy symbolem f (x 0 ) Przypisując kżdemu punktowi x, w którym f m drugą pochodną, wrtość tejże, mmy funkcję f (x), to znczy f : x f (x), nzywną również drugą pochodną funkcji f Oznczmy ją również przez d2 f dx 2 Uwg 4 Podobnie określmy trzecią i dlsze pochodne Przykłd 45 f(x) = 4x 3 + 2x, f (x) = 2x 2 + 2, f (x) = 24x, f (x) = 24, f (4) (x) = 0

32 ROZDZIAŁ 4 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Różniczk funkcji f(x) = cos (ln x), x R +, f (x) = sin (ln x) sin (ln x) =, ( x x cos (ln x) x f (x) = = f(x) x 2 f (x) x, ) x ( sin (ln x)) sin (ln x) cos (ln x) x 2 = x 2 f (x) = f (x) x 2 f(x) 2x x 4 f (x) x f (x) x 2 = xf (x) + 2f(x) x 3 = 2f(x) ( f(x) xf (x)) = x 3 3 cos (ln x) sin (ln x) x 3 + x2 f (x) + xf (x) x 3 = 3f(x) + xf (x) x 3 = 2f(x) x2 f (x) x 3 Definicj 45 Złóżmy, że funkcj f m pochodną w punkcie x 0 Różniczką funkcji f w punkcie x 0 nzywmy funkcję df zmiennej x = x x 0 określoną wzorem df( x) = f (x 0 ) x Możn pokzć, że dl brdzo młego przyrostu x = x x 0 zchodzi f(x) f(x 0 ) + df( x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Powyższy wzór służy do obliczni przybliżonych wrtości funkcji f z pomocą różniczki 43 Zstosowni pochodnej 43 Równnie stycznej rz jeszcze Przypomnijmy, że równnie stycznej funkcji f w punkcie x 0 dne jest wzorem y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Przykłd 46 Aby wyznczyć równnie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x 2 w punkcie o odciętej x 0 = wykonujemy nstępujące kroki: Znjdujemy drugą współrzędną punktu styczności: dl x 0 = mmy y 0 = f(x 0 ) = 2 = Ztem (x 0, y 0 ) = (, ) 2 Obliczmy pochodną funkcji: f (x) = 2x 3 Podstwimy x 0 = do pochodnej, by znleźć współczynnik kierunkowy stycznej: f (x 0 ) = 2 = 2 4 Podstwimy wrtość x 0, f(x 0 ) orz f (x 0 ) do równni stycznej: y = 2(x ) orz uprszczmy: y = 2x Uwg 42 Funkcj jest odwzorowniem, mszyną, któr zmieni liczby w inne liczby Jej wykres jest obiektem geometrycznym Podobnie styczn jest obiektem geometrycznym W powyższym przykłdzie f(x) = x 2 jest wzorem funkcji, y = x 2 jest równniem jej wykresu, y = 2x jest równniem stycznej, g(x) = 2x byłoby równniem funkcji, której wykres jest styczny z wykresem funkcji f