Planimetria czworokąty

Transkrypt

1 Plnimetri czworokąty Emili Ruszczyk kl. II, I LO im. Stefn Żeromskiego w Ełku pod kierunkiem Grżyny iernot-lendo Klsyfikcj czworokątów zworokąty dzielą się n niewypukłe i wypukłe, wypukłe n trpezy i trpezoidy, trpezoidy n deltoidy, trpezy zś n równoległooki, które z kolei dzielą się n prostokąty i romy, połączenie cec tyc dwóc dje nm kwdrty. Poniższy scemt orzuje ten podził: ZWOROKĄT niewypukły TRPEZ m prę oków równoległyc RÓWNOLEGŁOOK wypukły TRPEZOI nie m oków równoległyc m dwie pry oków równoległyc PROSTOKĄT m wszystkie kąty równe ROM m wszystkie oki równe ELTOI m oś symetrii, w której zwier się jedn z przekątnyc (deltoid nie jest romem) KWRT m wszystkie kąty i oki równe

2 ZWOROKĄTY WYPUKŁE zworokątem nzywmy wielokąt, który m cztery oki. Sum mir kątów wewnętrznyc kżdego czworokąt wynosi zworokąt wpisny w okrąg o zworokąt możn wpisć w okrąg ( n czworokącie opisć okrąg ) wtedy i tylko wtedy, gdy sum mir jego przeciwległyc kątów wewnętrznyc jest równ 80 stopni, czyli gdy Twierdzenie Ptolemeusz 80 c d = e, = f o Jeżeli czworokąt jest wpisny w okrąg, to iloczyn długości jego przekątnyc jest równy sumie iloczynów długości oków przeciwległyc ( ptrz rys. ) zworokąt opisny n okręgu ef = c + d o zworokąt wypukły możn opisć n okręgu ( lu w czworokąt wpisć okrąg ) wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległyc oków są równe + c = + d Pole czworokąt wypukłego P e f sin,

3 gdzie e i f oznczją długości przekątnyc czworokąt, jest mirą kąt między przekątnymi czworokąt ) wpisnego w okrąg ) opisnego n okręgu c d P ( p )( p )( p c)( p d) P r p r, gdzie c d p ( połow owodu czworokąt ). TRPEZ Trpezem nzywmy czworokąt, który m przynjmniej jedną prę oków równoległyc. Wysokością trpezu nzywmy odcinek zwrty między prostymi zwierjącymi jego podstwy i prostopdły do nic Wprowdzjąc nstępujące oznczeni możemy zdefiniowć dlsze zleżności i pojęci: M N N M - mir kąt przecięci się przekątnyc M, N środki rmion trpezu M, N środki przekątnyc trpezu

4 Lini środkow trpezu o o o Odcinek łączący środki rmion trpezu. MN MN Odcinek łączący środki przekątnyc trpezu o MN, gdy > TRPEZ PROSTOKĄTNY Jeżeli jedno z rmion trpezu jest prostopdłe do jego podstwy, to tki trpez nzywmy trpezem prostokątnym. Kwdrt i prostokąt są trpezmi prostokątnymi. d c TRPEZ RÓWNORMIENNY c c E F Punkty E i F są spodkmi wysokości poprowdzonyc z wierzcołków i. = = c i = = e

5 Trpez, którego rmion są równe, nzywmy trpezem równormiennym. Jeżeli trpez równormienny nie jest równoległookiem, to możn n nim opisć okrąg. W trpezie równormiennym o podstwc = i =, gdy >, to: E F POLE TRPEZU M N E ( ) P lu P m, gdzie m = MN, = E, M = M, N = N Uwg! Jeżeli trpez jest równormienny i m przekątne długości e, przecinjące się pod kątem, to jego pole określmy wzorem P e sin RÓWNOLEGŁOOK Równoległook jest czworokątem o dwóc prc oków równoległyc. W kżdym równoległooku o przekątne dzielą się n połowy, o przeciwległe kąty są równe, o sum mir dwóc kolejnyc kątów jest równ 80, o punkt S przecięci się przekątnyc jest środkiem symetrii tego równoległooku.

6 POLE RÓWNOLEGŁOOKU S P P sin P sin ROM Rom to czworokąt, którego wszystkie oki są równe. o Rom jest równoległookiem. o Punkt przecięci przekątnyc romu jest środkiem okręgu wpisnego, którego promień r jest połową jego wysokości r o W romie przekątne dzielą się n połowy i przecinją się pod kątem prostym. S r = d d S = S = = d d S = S =

7 POLE ROMU P P P r d d P sin, gdzie d, d długości przekątnyc. PROSTOKĄT Prostokąt jest czworokątem o wszystkic kątc równyc (prostyc). o Prostokąt jest równoległookiem. o W prostokącie przekątne są równe i dzielą się n połowy. o Punkt przecięci przekątnyc prostokąt jest jednocześnie środkiem okręgu opisnego n tym prostokącie. d długość przekątnej POLE PROSTOKĄT P lu P d sin lu P R sin R S d R d

8 KWRT Kwdrt jest prostokątem o wszystkic okc tkiej smej długości. o W kwdrcie przekątne mją równe długości i przecinją się pod kątem prostym, dzieląc się przy tym n połowy. o Punkt przecięci się przekątnyc kwdrtu jest jednocześnie środkiem okręgu opisnego o promieniu R, ędącego zrzem połową przekątnej kwdrtu. o Punkt przecięci się przekątnyc kwdrtu jest tkże środkiem okręgu wpisnego o promieniu r, który jest połową długości oku kwdrtu. S r R d (długość przekątnej), R d, r POLE KWRTU P lu d P lu P R lu P 4r ELTOI eltoid jest czworokątem wypukłym posidjącym oś symetrii, któr zwier jedną z jego przekątnyc. o W deltoidzie przekątne i są względem sieie prostopdłe. o Pole deltoidu = Połow iloczynu długości przekątnyc deltoidu

9 F F F POLE ELTOIU P Zdni do rozwiązni.. W romie przekątne mją długość 6 cm orz 8 cm. Olicz: ) owód i pole romu ) wysokość romu.. W kwdrcie o polu 0 cm połączono kolejne środki oków. Olicz pole wyznczonego w ten sposó czworokąt. iliogrfi: Tlice mtemtyczne licj ewe, Hlin Norsk, Iren Pncer Gdńsk 00