Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Transkrypt

1 Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri Środowisk w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość jest współfinnsowny przez Unię Europejską w rmch Europejskiego Funduszu Społecznego

2 16. Plnimetri i stereometri 1. Figury n płszczyźnie trójkąt pole P = 1 2 h długość podstwy, h wysokość P = 1 2b sin α α to kąt pomiędzy bokmi i b równoległobok trpez pole P = h długość boku, h wysokość jeśli równoległobok jest rombem, to P = 1 2 d 1 d 2, d 1, d 2 długości przekątnych pole P = 1 2 ( + b)h, b podstwy, h wysokość koło pole P = πr 2 obwód L = 2πr r długość promieni elips pole P = πb, b długości półosi 2. Bryły grnistosłup objętość V = P h P pole podstwy, h wysokość 79

3 ostrosłup objętość V = 1 3 P h P pole podstwy, h wysokość kul objętość V = 4 3 πr3 pole P = 4πr 2 r promień wlec objętość V = πr 2 h pole P = 2πr 2 + 2πrh r promień podstwy, h wysokość stożek objętość V = 1 3 πr2 h pole P = πr 2 + πrl r promień podstwy, h wysokość, l tworząc 3. Twierdzeni twierdzenie Tles: b = c d twierdzenie sinusów: sin α = b sin β = c sin γ twierdzenie cosinusów: c 2 = 2 + b 2 2b cos γ 80

4 promień okręgu opisnego n trójkącie: R = 2 sin α, gdzie α leży nprzeciw boku o długości R = bc 4P, gdzie P pole trójkąt promień okręgu wpisnego w trójkąt: r = P pole trójkąt 2P +b+c, Zdni 1. W pewnym wielokącie jest o 13 przekątnych więcej niż w wielokącie, który m o 2 boki mniej. Ile boków m ten wielokąt? 2. Bok rombu m długość 4, jeden z kątów m mirę π 3. Obliczyć pole i długości przekątnych rombu. 3. N pewnym kole opisno kwdrt i w to koło wpisno kwdrt. Różnic pól tych kwdrtów jest równ 5. Obliczyć pole koł. 4. W okrąg wpisno kwdrt i n tym smym okręgu opisno trójkąt równoboczny. Sum długości boków kwdrtu i trójkąt wynosi 12. Obliczyć długość promieni okręgu. 5. W trójkącie ABC dne są długości boków AB = 4, BC = 3, AC = 3. Obliczyć: ) cos( BAC), b) pole trójkąt ABC, c) długość odcink łączącego wierzchołek C ze środkiem boku AB. 6. Boki trójkąt mją długości 3, 5 i 7. Obliczyć wrtości sinusów kątów wewnętrznych tego trójkąt. 7. Sum długości boków AC i BC trójkąt ABC jest równ 10. Miry kątów wewnętrznych o wierzchołkch A i B są równe odpowiednio π 6 i π 4. Obliczyć długości boków AC i BC orz pole trójkąt. 8. N okręgu o promieniu 2 opisno trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątn m długość 10. Obliczyć pole i obwód tego trójkąt. 9. Sum długości krwędzi dwóch sześcinów równ jest 12, sum ich objętości 468. Obliczyć długości krwędzi. 10. Jeśli kżdy bok kwdrtu zwiększymy o 10, to jego pole wzrośnie 9-krotnie. Obliczyć długość boku kwdrtu. 11. W ostrosłupie prwidłowym czworokątnym krwędź boczn m długość 5, przekątn podstwy m długość 2. Obliczyć jego objętość i pole powierzchni cłkowitej. 12. Wlec o promieniu podstwy 4 i wysokości 6 przecięto płszczyzną prostopdłą do podstwy, przechodzącą przez środki podstw. Obliczyć pole koł opisnego n otrzymnym przekroju. 13. Obliczyć objętość czworościnu foremnego o długości krwędzi 6. 81

5 14. Wyznczyć cosinus kąt nchyleni przekątnej sześcinu do: ) powierzchni podstwy, b) krwędzi podstwy. 15. Stożek o promieniu podstwy 5 i wysokości 10 zostł przecięty powierzchnią równoległą do podstwy w odległości 2 od szczytu. Obliczyć objętość dolnej części. 16. Wysokość ostrosłup prwidłowego czworokątnego m długość 5 6, krwędź podstwy 10. Obliczyć długość krwędzi bocznej i znleźć mirę kąt, jki tworzy krwędź boczn z płszczyzną podstwy. 17. Bok ostrosłup prwidłowego sześciokątnego jest trójkątem równormiennym o podstwie 2 3 i wysokości 5. Obliczyć jego objętość i pole powierzchni. 18. Znleźć objętość wlc wpisnego w grnistosłup prwidłowy sześciokątny, którego wszystkie krwędzie są równe. 19. Przekątn przekroju osiowego wlc m długość 5, stosunek promieni podstwy wlc do jego wysokości wynosi 2 3. Obliczyć objętość i pole powierzchni cłkowitej wlc. 20. W kulę wpisno stożek. Stosunek pol podstwy stożk do pol powierzchni kuli jest równy Wyznczyć stosunek objętości stożk do objętości kuli. 21. Promienie większej i mniejszej podstwy stożk ściętego mją długości odpowiednio równe R i r. Znleźć pole powierzchni bocznej tego stożk wiedząc, że jego tworząc jest nchylon do podstwy pod kątem π Jk zmieni się objętość stożk, gdy: ) wysokość zwiększymy 2 rzy, b) promień podstwy zwiększymy 3 rzy, wysokość zmniejszymy 9 rzy? 82