Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?

Transkrypt

1 Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć potrzebowć rozwżć nieskończone sumy. Stndrdowy przykłd, to Jest jsne, że wynik tego sumowni to. Reltywnie łtwo sumowć też tk zwne sumy geometryczne, czyli sumy postci: + q + q + q , gdzie to dowoln liczb, q <. Zuwż, że orz Ztem sum pierwszych n wyrzów tej sumy, to Skoro q <, to q n jest corz bliższe 0, to mmy Postulty dotyczące miry + q = ( q ) q + q + q = ( q3 ). q + q + q +... q n = ( qn ). q + q + q + q = Wprowdziliśmy nstępujące postulty dotyczące miry.. Odcinek [, b] (dl b) m długość b.. Przesunięcie zbioru nie zmieni jego długości. q. 3. Długość sumy skończenie wielu rozłącznych zbiorów jest sumą ich długości.. Długość sumy przeliczlnie wielu rozłącznych zbiorów jest sumą (nieskończoną) ich długości. Infimum Infimum pewnego zbioru liczb to njwiększ liczb rzeczywist mniejsz równ od wszystkich liczb w tym zbiorze. N przykłd inf{, /, /3, /,...} = 0.

2 Mir Lebesgue Mir (długość) Lebesgue, czyli długość zbioru n prostej to infimum wszystkich mir (sum długości odcinków) pokryć tego zbioru przeliczlną liczbą odcinków. N przykłd, mir zbioru Cntor, który powstje z odcink przez itercyjne nieskończone powtrznie kroków: usuwmy środkową jedną trzecią z kżdego odcink, wynosi zero. Rzeczywiście, możemy go pokryć odcinkiem o długości, możemy go pokryć dwom odcinkmi o długości /3, czterem odcinkmi o długości /9, itd., le inf{, /3, /9,...} = 0. Zbiory niemierzlne Pokzliśmy, że złożenie, że możn zmierzyć kżdy zbiór jest nieco n wyrost przy złożeniu ksjomtu wyboru, możemy zuwżyć, że istnienie miry dl pewnych zbiorów prowdzi do sprzeczności z złożonymi przez ns postultmi. Jeśli jednk weźmiemy pod uwgę tylko tkie zbiory A, że dl kżdego zbioru E, m(e) = m(a E) + m(e A), to dl tych zbiorów wszystkie nsze postulty są spełnione. Te zbiory nzywne są mierzlnymi. Pole i cłk Anlogicznie do długości zbiorów n prostej możemy liczyć pol powierzchni skomplikownych figur. Tym rzem zmist pokryć odcinkmi, będę pokrywć prostokątmi. Czyli pole obszru to infimum wszystkich pól powierzchni pokryć tego zbioru przeliczlną liczbą prostokątów. Cłką b f(x) dx nzywmy pole pod wykresem dnej funkcji f między zdnymi punktmi (, b), np. 0 x dx =, poniewż obszr pod wykresem y = x od punktu x = 0 do punktu x = to równormienny trójkąt prostokątny o boku (i wysokości), pole tego trójkąt to / =. Brdzo często pol pod wykresmi funkcji (zgodnie z definicją pol podną wyżej) będziemy liczyć przybliżjąc je prostokątnymi cienkimi słupkmi. Łtwe. Policz nstępujące nieskończone sumy: ) b) c) d) e) Policz nstępujące nieskończone sumy: ) b) c) Spróbujmy zsumowć szereg Mmy ( ) + ( ) +... = 0, jednocześnie + ( + ) + ( + ) +... =. Ze wzoru n sumę szeregu geometrycznego mmy: S =. Który wynik jest prwdziwy? Jkie wnioski możesz wyciągnąć z tego zdni?. Jkie jest infimum nstępujących zbiorów. Który z nich m minimum (njmniejszy element)? ) {,, 3,,...},

3 b) (0, ), c) [0, ], d) R, e) {,, 9,...}, f) długości odcinków [ n, 5 + n ], g) pól prostokątów o bokch długości, n, h) pól prostokątów o bokch długości n, n, i) pól prostokątów o bokch długości n, n, j) pól prostokątów o bokch długości n, n, k) wyrzów ciągu n = ( ) n, l) wyrzów ciągu n = ( )n. 5. Dyzio zczął chodzić n zjęci dl Ciekwych Świt. Po pierwszym trzech zjęcich doszedł do wniosku, że pol wszystkich trójkątów s równe 0. Kżdy z nich jest bowiem zbudowny z tej smej ilości odcinków o tkim smym polu. Równym oczywiście 0. Określ dw błędy, które popełnił Dyzio. 6. Przypomnij, dlczego zbiory: liczb nturlnych i liczb wymiernych mją mirę Oblicz mirę zbioru wszystkich liczb niewymiernych. 8. Oblicz mirę zbioru [, ] [, ] [3, 3 3 ] [, ].... Wskzówk: Zsumuj odpowiedni szereg. 9. Oblicz b f(x) dx, czyli pole pod wykresem funkcji y = f(x) między x = orz x = b (przypisz znk ujemny polu poniżej osi X), dl: ) y = x, =, b = 3, b) y = x +, = 0, b = 5, c) y = x, = 08, b = 08, d) y = x, =, b =. 0. Nszkicuj n krtce w krtkę wykres funkcji y = x 3 i nstępnie oszcuj 3 0 x3 dx (pole pod wykresem) licząc: ) pol odpowiednich prostokątnych słupków ogrniczjących wykres od góry, b) pol odpowiednich prostokątnych słupków ogrniczjących wykres od dołu, c) przybliżjąc wykres funkcji łmną i licząc pol słupków w ksztłcie trpezów, d) pol odpowiednich prostokątnych słupków ogrniczjących wykres od góry, le dw rzy cieńszych niż w pierwszym podpunkcie. Trochę mniej łtwe niż łtwe. Wielominem nzywmy wyrżenie tkie jk x + 3x 5, lbo 0x 3 x + x + 0. Wielominy możn zpisywć w różnych postcich: ˆ potęgowej: np. x 3 + 3x x + 5, ˆ postci Horner: 5 + x( + x(3 + x)), ˆ postci Newton dl punktów x = 0,, : 5 + 5(x 0) + 5(x 0)(x ) + (x 0)(x )(x ). Sprwdź, licząc wrtość dl x = 0,,, 3, że przykłdy wielominu w tych trzech postcich to tk nprwdę ten sm wielomin. Licząc zwróć szczególną uwgę n postć Newton zuwż, że jest zpisny tk, żeby reltywnie łtwo było wyliczyć jego wrtość w punktch 0, orz.. Zpisz wielomin 3

4 ) w postci potęgowej i w postci Horner, jeśli ten wielomin jest dny w postci Newton dl punktów, i jest to + (x ( )) 3(x ( ))(x ), Wskzówk: Zuwż, że żeby otrzymć postć potęgową, wystrczy wymnożyć i uporządkowć wyrzy w postci Netwon, ntomist przejście z postci potęgowej do postci Horner jest prwie utomtyczne. b) w postci Horner i w postci Netwon dl punktów,, jeśli ten wielomin jest dny w postci potęgowej jko x x +. Wskzówk: Ztem w postci Netwon dl punktów, będzie to + b(x ( )) + c(x ( ))(x ). Zcznij od wyliczeni wyliczjąc wrtość dnego wydrzeni dl x =, potem wylicz b korzystjąc z wrtości dl x =. N koniec wylicz c wyliczjąc wrtość wielominu dl dowolnego innego x, np. x = 0. c) w postci potęgowej i w postci Newton dl punktów, 0,, jeśli ten wielomin dny jest w postci Horner jko + x( + x( + x)). 3. Oblicz mirę zbioru wszystkich liczb będących pierwistkiem jkiegoś równni kwdrtowego o wymiernych współczynnikch. Wskzówk: Jk brdzo nieskończenie wiele elementów m ten zbiór?. Oblicz mirę zbioru skonstruownego tk, jk zbiór Cntor, le z wycinniem środkowej odcinków, zmist środkowej 3. Wskzówk: Postępuj podobnie jk w przypdku zbioru Cntor, czyli policz miry kolejnych corz dokłdniejszych pokryć. 5. Niech A, A,... będą zbiormi miry zero (niekoniecznie rozłącznymi). Udowodnij, korzystjąc z jednego z nszych postultów dotyczących miry, że ich sum teoriomnogościow n>0 A n też jest miry zero. 6. Niech x będzie liczbą rzeczywistą. Wykż (korzystjąc tylko z definicji miry Lebesgue ), że m({x}) = Niech A, B [0, ] będą zbiormi mierzlnymi. Udowodnij, że jeśli m(a) + m(b) >, to A B. Wskzówk: N przykłd dowód nie wprost. 8. Oblicz mirę zbioru [, ] [3, 3 3 ] [, ] [5, 5 5 ].... Wskzówk: Oczywiście trzeb spróbowć zsumowć odpowiedni szereg. Nie jest to niestety szereg geometryczny, więc zdnie jest utrudnione. Aby spróbowć go policzyć zblokuj kolejne wyrzy: pierwszy sm, drugi z trzecim, czwrty do siódmego, itd. Porównj kżdy blok z liczbą. 9. Oblicz mirę zbioru Smith-Volterr-Cntor, który konstruowny jest nstępująco: z odcink [0, ] usuwmy środkowy odcinek o długości. Z powstłych odcinków usuwmy ich środkowe frgmenty o długości 6, itd., czyli w kroku, w którym mmy n odcinków usuwmy z kżdego z nich środkowy frgment o długości n+. 0. Niech A, A,... będą zbiormi miry zero (niekoniecznie rozłącznymi). Udowodnij, nie korzystjąc z nszego postultu, tylko z definicji miry Lebesgue, że ich sum teoriomnogościow n>0 A n też jest miry zero. Wskzówk: Skonstruuj pokrycie cłej sumy, biorąc corz mniejsze pokryci poszczególnych zbiorów. Np. jeśli wezmę pokrycie A długości, A długości itd. sum tych pokryć pokryje sumę wszystkich zbiorów i będzie mił długość nie większą niż. Postępuj podobnie by pokryć sumę pokryciem nie dłuższym niż, potem, itd. Infimum tych długości to 0.. Oblicz pole trójkąt Sierpińskiego. Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się nstępująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób n cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuw się, wobec trzech pozostłych trójkątów opercję się powtrz, dzieląc kżdy z nich n cztery mniejsze trójkąty, usuwjąc środkowy, wobec pozostłych czynności się powtrzją. Punkty pozostjące po nieskończenie wielu powtórzenich tej opercji tworzą trójkąt Sierpińskiego. Wskzówk: Jest intuicyjne i dje dobry wynik pokrywnie tego zbioru trójkątmi, nie prostokątmi. Niestety, rozumując tk, nie korzystmy z definicji, z fktu, który nie zostł zprezentowny. Tkie rozwiąznie jest więc dobre, le nie idelne w nszym stnie wiedzy. Aby ominąć tę trudność (i sporządzić brdzo dobre rozwiąznie), wrto zuwżyć, że trójkąt Sierpińskiego nie zmieni pol, jeśli będzie trójkątem prostokątnym o odpowiednich bokch. I rozwżyć równocześnie dw tkie trójkąty.. Niech A będzie mierzlnym podzbiorem odcink [0, ], tkim, że m(a) > 0 orz pewną liczbą rzeczywistą, tką że 0 < <. Udowodnij, że istnieje przedził I, tki że m(a I) m(i).

5 3. Udowodnij, korzystjąc z odpowiedniego nszego postultu dotyczącego miry, że jeśli A, B są zbiormi mierzlnymi, to m(a) + m(b) = m(a B) + m(a B).. Niech A będzie zbiorem mierzlnym orz B będzie zbiorem miry zero. Udowodnij, że m(a B) = m(a B) = m(a). 5. Skonstruuj tki zbiór A [0, ], by ten zbiór był dziurwy, tzn. w kżdy przedzile (p, q) dl 0 < p < q < istnieje x (p, q) A orz m(a) = Wiedząc, że: n + + n n + n n oblicz pole obszru ogrniczonego prostymi y = 0, x = 0, x = orz krzywą y = +x. Wskzówk: Postępuj podobnie jk w przypdku pol pod prbolą, które policzyliśmy n wykłdzie 7. Oblicz b f(x) dx, czyli pole pod wykresem funkcji y = f(x) między x = orz x = b (przypisz znk ujemny polu poniżej osi X), dl: ) y = sin x, = 90, b = 90, b) y = /x 3, =, b =. 3 Trudniejsze. Jk jest moc zbioru wszystkich podzbiorów prostej o mierze 0? Wskzówk: Pomyśl n przykłd o podzbiorch zbioru Cntor.. Czy istnieje tki podzbiór A prostej rzeczywistej, tki że m(a) = orz Q A? Wskzówk: Ustw liczby wymierne w ciąg (możn, bo są przeliczlne) nstępnie weź wokół kolejnych liczb corz mniejsze odcinki. 3. Niech A będzie zbiorem leżącym n prostej, tkim że m(a) > 0. Udowodnij, że istnieje tk liczb ε > 0, że dl kżdego r ( ε, ε) istnieją punkty x, y A, tkie że x y = r.. Udowodnij, że pole koł o promieniu r wynosi πr, wiedząc, że obwód tego koł wynosi πr. Wskzówk: Przybliż koło trójkątmi. ln 5