Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Transkrypt

1 Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość jest współfinnsowny przez Unię Europejską w rmch Europejskiego Funduszu Społecznego

2 17. Plnimetri i stereometri Figury n płszczyźnie Oznczeni: P pole powierzchni, L obwód. Figur Rysunek Wzory trójkąt P = 1 2 h długość podstwy, h wysokość P = 1 2b sin α α mir kąt pomiędzy bokmi i b równoległobok P = h długość podstwy, h wysokość jeśli równoległobok jest rombem, to P = 1 2 d 1 d 2 d 1, d 2 długości przekątnych trpez P = 1 2 ( + b)h, b długości podstw, h wysokość koło P = πr 2 L = 2πr r długość promieni elips P = πb, b długości półosi (ognisk) twierdzenie Tles: b = c d twierdzenie sinusów: sin α = b sin β = c sin γ twierdzenie cosinusów: c 2 = 2 + b 2 2b cos γ okrąg wpisny w trójkąt r = 2P +b+c P pole trójkąt 90

3 okrąg opisny n trójkącie R = bc 2 sin α lub R = 4P P pole trójkąt Bryły Oznczeni: V objętość, P p pole powierzchni. Brył Rysunek Wzory grnistosłup V = P h P pole podstwy, h wysokość ostrosłup V = 1 3 P h P pole podstwy, h wysokość kul V = 4 3 πr3 P p = 4πR 2 R długość promieni wlec V = πr 2 h P p = 2πr 2 + 2πrh r promień podstwy, h wysokość stożek V = 1 3 πr2 h P p = πr 2 + πrl r promień podstwy, h wysokość, l tworząc 91

4 17.3. Zdni 1. O ile procent wzrośnie pole koł, jeśli jego obwód zwiększymy o 10%. 2. Obliczyć pole trpezu równormiennego o podstwch o długości 10 i 4 orz kącie przy podstwie Obliczyć pole trpezu prostokątnego o wysokości 3 cm, w którym przekątne mją długość 3 3 cm i 4 cm. 4. Obliczyć pole trójkąt prostokątnego wpisnego w okrąg o promieniu 5 cm, w którym stosunek przyprostokątnych wynosi 3:4. 5. Obliczyć pole trójkąt równormiennego ABC, w którym kąt przy wierzchołku C wynosi 120 o, bok BC m długość 4 cm. 6. N pewnym kole opisno kwdrt i w to koło wpisno kwdrt. Różnic pól tych kwdrtów jest równ 5cm 2. Obliczyć pole koł. 7. Wysokość dzieli podstwę trójkąt n odcinki o długościch 14 cm i 36 cm. Prostopdle do podstwy poprowdzono prostą, któr dzieli trójkąt n figury o równych polch. Jkie są długości odcinków, n które dzieli t prost podstwę trójkąt? 8. Obliczyć pole trójkąt równobocznego mjąc dną różnicę d między bokiem i wysokością tego trójkąt. 9. Pole trójkąt prostokątnego wynosi 600 cm 2, zś stosunek przeciwprostokątnej do jednej z przyprostokątnych 5 : 4. Obliczyć obwód trójkąt. 10. Bok rombu m długość 4 cm, jeden z kątów m mirę π 3. Obliczyć pole i długości przekątnych rombu. 11. Stojące n brzegu rzeki drzewo o wysokości 12 metrów rzuc cień równy szerokości rzeki. W tym smym czsie ptyk o wysokości 20 cm rzuc cień o długości 35 cm. Jk jest szerokość rzeki? 12. W trpezie krótsz podstw wynosi 2, zś rmion mją długość 6 i 9. Rmion trpezu przedłużono tk, iż powstł trójkąt. Oblicz obwód trójkąt wiedząc, że rmię trpezu o długości 6 zostło przedłużone o odcinek długości Boki trójkąt mją długości 3, 5 i 7. Obliczyć wrtości sinusów kątów wewnętrznych tego trójkąt. 14. Koło, kwdrt i trójkąt foremny mją równe pol. Znleźć stosunek ich obwodów. 15. W pewnym wielokącie jest o 13 przekątnych więcej niż w wielokącie, który m o 2 boki mniej. Ile boków m ten wielokąt? 16. Przekrój osiowy stożk jest trójkątem równobocznym, którego pole jest równe 16 3 cm 2. Obliczyć pole powierzchni cłkowitej stożk. 17. Obliczyć pole powierzchni kuli, której objętość jest równ 36π cm Obliczyć pole powierzchni wlc, którego promień podstwy r i wysokość h są równe promieniowi kuli o objętości π cm Obliczyć objętość grnistosłup trójkątnego prwidłowego, którego wszystkie krwędzie są równe 6 3. Wynik przedstwić w njprostszej postci. 92

5 20. Njdłuższ przekątn prwidłowego grnistosłup sześciokątnego m długość d i tworzy z krwędzią boczną kąt α. Obliczyć objętość grnistosłup. 21. Przekątn przekroju osiowego wlc m długość 5, stosunek promieni podstwy wlc do jego wysokości wynosi 2 3. Obliczyć objętość i pole powierzchni cłkowitej wlc. 22. Obliczyć objętość wlc o promieniu podstwy r = cm i wysokości h = 3 3 cm. 23. Obliczyć długość przekątnej sześcinu o boku Podstwą ostrosłup jest trójkąt równoboczny o boku. Jedn z krwędzi bocznych jest prostopdł do płszczyzny podstwy, pozostłe dwie tworzą z płszczyzną podstwy kąt β. Któr ze ścin bocznych m njwiększe pole? Obliczyć to pole. 25. W prwidłowym ostrosłupie trójkątnym krwędź podstwy m długość i tworzy z krwędzią boczną kąt α. Obliczyć objętość i pole powierzchni cłkowitej ostrosłup. 26. Prwidłowy ostrosłup czworokątny przecięto płszczyzną zwierjącą przekątną podstwy i wysokość ostrosłup. W przekroju otrzymno trójkąt prostokątny. Obliczyć pole powierzchni bocznej ostrosłup, jeśli krwędź podstwy m długość. 27. Podstwą ostrosłup jest trójkąt równormienny prostokątny o przyprostokątnej. Wszystkie krwędzie boczne są równe b. Obliczyć objętość ostrosłup. 28. Jk zmieni się objętość stożk, gdy: ) wysokość zwiększymy 2 rzy, b) promień podstwy zwiększymy 3 rzy, wysokość zmniejszymy 9 rzy? 29. Obliczyć objętość i pole powierzchni bocznej wlc o promieniu podstwy r = 3 cm i wysokości h = 4 cm. 30. Obliczyć objętość pni drzew w ksztłcie wlc o promieniu 50 cm i wysokości 10 m. 31. Wyznczyć wysokość stożk o promieniu 3 cm, którego objętość jest równ 24π cm Obliczyć pole powierzchni i objętość kuli opisnej n sześcinie o boku Wysokość ostrosłup prwidłowego czworokątnego m długość 5 6, krwędź podstwy 10. Obliczyć długość krwędzi bocznej i znleźć mirę kąt jki tworzy krwędź boczn z płszczyzną podstwy. 34. W ostrosłupie prwidłowym czworokątnym krwędź boczn m długość 5, przekątn podstwy m długość 2. Obliczyć jego objętość i pole powierzchni cłkowitej. 35. Wlec o promieniu podstwy 4 i wysokości 6 przecięto płszczyzną prostopdłą do podstwy, przechodzącą przez środki podstw. Obliczyć pole koł opisnego n otrzymnym przekroju. 93