Przekształcenia liniowe

Transkrypt

1 Przeksztłceni liniowe Niech V i W ędą przestrzenimi liniowymi określonymi nd tym smym ciłem K. Przeksztłcenie f :V W nzyw się liniowe, gdy dl kżdych wektorów u, v V i wszystkich sklrów K jest f (u+v) f (u) + f (v) f ( v) f (v)

2 Przeksztłcenie liniowe f : V W Funkcj ddytywn, to tk, któr spełni pierwszy z tych wrunków : f (u+v) f (u) + f (v) f ( v) f (v) Wrunkiem koniecznym i dosttecznym n to, y f yło przeksztłceniem liniowym jest, y dl kżdych wektorów u, v V i wszystkich sklrów, K yło /f ( u + v ) f (u) + f (v) Dowód konieczności. Jeżeli spełnione są wrunki, to f ( u + v ) f ( u) + f ( v) f (u) + f (v). Dowód dostteczności. Jeśli w wrunku / podstwimy,, to otrzymmy pierwszy z wrunków, jeśli podstwimy, 0, to otrzymmy drugi.

3 Przeksztłcenie wyznczone przez mcierz Niech A ędzie mcierzą o m wierszch i n kolumnch. Przeksztłcenie o mcierzy A to funkcj K n K m dn wzorem v A v. Jest to przeksztłcenie liniowe, o z prw rchunku n mcierzch mmy A (u + v) A u +A v, A ( v ) A v Przykłd: + + y x y x y x 3 3

4 Przeksztłcenie liniowe o mcierzy{{,},{0,}} Przeksztłcenie liniowe przeksztłc odcinki równoległe n odcinki równoległe

5 Mcierze n giełdzie A study of the London stock mrket, using the London Finncil Times over period of 097 trding dys ws found to fit the following trnsition mtrix P: Mcierz przejści

6 Jk dziłją przeksztłceni liniowe? Przeksztłcenie o mcierzy

7 Przeksztłcenie o mcierzy złożenie

8 Przeksztłcenie o mcierzy Symetri względem prostej y x 0 0

9 Jk dziłją prz. liniowe? Symetri względem osi x Orót o +90 stopni

10 Jednokłdność (homoteti) o skli N płszczyźnie: f ( x, y) (x, y). Ogólnie: f ( x, x,..., x n ) (x, x,..., x n ). Mcierz jednokłdności Jednokłdność o skli Jednokłdność o skli -

11 Przeksztłcenie nożycowe f (x,y) (x + y, y) ,5 Nie zmieni się współrzędn y

12 Orót płszczyzny o kąt α Mcierz orotu płszczyzny o kąt α cos sin α α sin cos α α Orót o 60 stopni Orz wektor [,0] m współrzędne [cos α, sin α]. Orz wektor [0,] m współrzędne [-sin α, cos α]

13 Włsności przeksztłceń liniowych f (0) 0 ; f zchowuje proste i środki odcinków. Orzem podprzestrzeni jest podprzestrzeń. Njwżniejsz włsność: Przeksztłcenie liniowe jest wyznczone przez swoje wrtości n zie przestrzeni. Niech v, v, v 3,..., v n ędą zą, v dowolnym wektorem przestrzeni. Wtedy v v + v + 3 v n v n Ztem f ( v ) f ( v + v + 3 v n v n ) f ( v ) + f ( v ) + 3 f ( v 3 ) n f ( v n ).

14 Mcierz przeksztłceni liniowego w zie (zch) Niech f ędzie przeksztłceniem liniowym f : V W, Niech v, v, v 3,..., v n ędzie zą V, Niech w, w, w 3,..., w m ędzie zą W Mcierz przeksztłceni liniowego m w kolumnch współrzędne orzów wektorów zy.

15 W kolumnch mcierzy są współrzędne orzów wektorów zy. Niech v [,], w [,]. Wyznczmy ich orzy. f (v) [ +, 3 ] [ 5, 8 ], f (w) [ +, 3 ] [ 4, 7 ]. Terz musimy wyrzić wektory [ 5, 8 ] i [ 4, 7 ] przez wektory zy v [,], w [,]. [ 5, 8 ] [,] + [,] [ 4, 7 ] c [,] + d [,] , c 6, d 5 W kolumnch mcierzy są współrzędne orzów wektorów zy.

16 Mcierzą f w zie stndrdowej jest {{,}, {-,,-3}} - -3 Orzem [,0] jest [, ], pierwsz kolumn mcierzy Orzem [,-] jest [-,] [, ] [,0] + [, ] [, ] 0 [,0] [, ] Ztem mcierzą przeksztłceni w tej zie jest

17 A 3 Posłużmy się tym, że w zie [, 0], [, ] m ono niezłą mcierz. Orzem [, 0] jest [, ], orzem [, ] jest [, ]. Jk soie wyorzić dziłnie tego przeksztłceni?

18 Orz płszczyzny przy przeksztłceniu o zerowym wyznczniku Zdnie. Wyznczyć orz płszczyzny przy przeksztłceniu liniowym o mcierzy 3 6

19 Jedno zdnie potrójn treść Znleźć liniową zleżność między funkcjmi f(x) x + x +, g(x) x + 3x +, h(x) x x + Znleźć liniową zleżność między wektormi α [,, ], β [, 3, ], γ [,, ] Wyznczyć orz przestrzeni R 3 przy przeksztłceniu o mcierzy Rozwiąznie: szukmy zleżności między wektormi [,,], [,3,], [,-,]. Znjdujemy: 4 [,,] 3 [,3,] [,-,] 0. Odpowiedź: orzem jest płszczyzn o równniu 4x 3y z 0

20 Mnożenie mcierzy skłdnie przeksztłceń Mcierz złożeni przeksztłceń to iloczyn ich mcierzy. Tożsmość m mcierz jednostkową. Ztem przeksztłcenie odwrotne m mcierz odwrotną.

21 3-0 Jk wyrć njlepszą zę (jeśli się d)? Niech f ędzie przeksztłceniem płszczyzny o mcierzy {{3,},{, 0}} w zie stndrdowej. Wyznczymy mcierz w zie α [, 3], β [, ]

22 Jk wyrć njlepszą zę (przykłd )? Niech f ędzie przeksztłceniem płszczyzny o mcierzy {{,},{, }} w zie stndrdowej. Wyznczymy mcierz w zie α [, ], β [, ]

23 W zie [,0] 0 To smo przeksztłcenie liniowe f w różnych zch [,0], [0,] W zie α [, ], β [, ] Powinowctwo osiowe: w kierunku wektor α [, ] rozciągnięcie (jednokłdność) ze współczynnikiem 3, W kierunku wektor β [, ] ez zmin. Wektory α orz β nzywją się wektormi włsnymi dl f.

24 Wrtość włsn, wektor włsny: f(v) λv, gdzie λ jest liczą, v nie jest zerowy. Wyzncznie wrtości i wektorów włsnych det (A λi) 0 Niech A ędzie mcierzą przeksztłceni. Wektor włsny v odpowidjący wrtości włsnej λ spełni równnie Av λv, tj. (A λi)v 0, I jednostkow. A ztem mcierz (A λi) m zerowy wyzncznik, swój wielomin chrkterystyczny. Równniem, z którego wyznczmy wrtości włsne jest det (A λi) 0

25 Wyznczyć wrtości, wektory i podprzestrzenie włsne Oliczmy wielomin chrkterystyczny: ( λ) λ λ ( λ) ( λ λ + ) Po przyrównniu tego wielominu do zer otrzymujemy równnie chrkterystyczne, z którego wyznczmy wrtości włsne. Jest tylko jedn wrtość włsn λ. Szukmy odpowidjących jej wektorów włsnych.

26 Wyzncznie wrtości, wektorów i podprzestrzeni włsnych Wyznczmy wrtości włsne Jest tylko jedn wrtość włsn λ. Szukmy odpowidjących wektorów włsnych. Odpowiednim równniem jest

27 Wyzncznie wrtości, wektorów i podprzestrzeni włsnych Wyznczmy wrtości włsne. Są dwie wrtości włsne λ, λ 4 Szukmy odpowidjących wektorów włsnych. Odpowiednim ukłdem równń dl λ 4 jest

28 Mcierze n giełdzie A study of the London stock mrket, using the London Finncil Times over period of 097 trding dys ws found to fit the following trnsition mtrix P : Zdć, czy istnieje stn stilny, tj. czy mcierz P m wektory włsne o dodtnich współrzędnych. P x x [0,57, 0,54, 0,689]

29 Alger Przestrzenie liniowe

30 Dodwnie różnych oiektów Wektory: [,,3,4] + [5,6,7,8] [6,8,0,] Mcierze: Funkcje: y sin (x) + 4 cos(x) + x

31 :0 + 3:50 :0 Dodwnie Pęk prostych generowny przez dwie, l, l to wszystkie proste postci l +l, gdzie, R

32 Liner spce, vector spce Addition is commuttive: v + v v + v Addition is ssocitive; v + (v + v 3 ) (v + v ) + v 3 There exists neutrl element O v + O v For ech v there is negtive : v + ( - v ) O Multipliction: (v + v ) v + v (+) v v + v ( ) v ( v) v v This vector spce (liner spce) The most importnt exmple: R n

33 Komincj liniow Do kżdego wiersz mcierzy możn dodć komincję liniową innych wierszy, nie zmienijąc jej wyzncznik: w w + w n j j v j

34 Liniow zleżność wektorów [,0], [,] i [,-]

35 Liniow (nie)zleżność Czwrty wiersz jest zleżny od trzech pierwszych, o w w w w n j j v j

36 Liniow (nie)zleżność Czy wiersze (wektory) są liniowo zleżne? w w w w n j j v j c c c c

37 [, ] + [3,] + c[,3] [0,0] , c 5 5

38 Bzy Niech v [,-], w [,3] yw xv + ], [ 3, y x y x y x

39 Generownie Płszczyzn jest rozpięt (generown) przez dowolne dw wektory niezleżne, przestrzeń R 3 przez trzy.

40 Współrzędne wektor w zie Jeżeli v, v,..., v n tworzą zę przestrzeni, wektor w jest ich komincją liniową, więc w Σ i v i, to sklry,..., n nzywją się współrzędnymi wektor w w zie v, v,..., v n. Zwykłe współrzędne krtezjńskie to współrzędne w zie stndrdowej R n. Wektor x m w zie u, t współrzędne, w zie v, w współrzędne,.

41 Wyznczyć współrzędne wektor w [, 5, 6] w zie v [,,], v [0,,], v 3 [-,0,] Sprwdzenie, że są zą: wyzncznik 0. [, 5, 6 ] x [,, ] + y [0,, ] + z [-,0,] Stąd ukłd równń: x -z, x +y 5, x +y + z z którego wyznczmy x 3, y -, z. Współrzędnymi wektor w [, 5, 6] w zie v [,,], v [0,,], v 3 [-,0,] są 3, -,. Sprwdzenie: 3 [,,] - [0,,] + [-,0,] [,5,6].

42 Przestrzeń liniow i podprzestrzeń Podprzestrzeń liniow przestrzeni V to podziór W tki, że 0 W orz v_, v_ W v_ + v_ W, v W v W, dl kżdego sklr. Njwżniejszy przykłd: ziór rozwiązń ukłdu równń liniowych jednorodnych od n niewidomych jest podprzestrzenią liniową w przestrzeni R n. Njwżniejsze zdnie: znleźć zę tej podprzestrzeni (gdy dny jest ukłd równń).

43 Przestrzeń liniow i podprzestrzeń Podprzestrzeń liniow przestrzeni V to podziór W tki, że 0 W orz v_, v_ W v_ + v_ W, v W v W, dl kżdego sklr. Njwżniejsze zdnie lgery liniowej: wyznczyć zę (pod)przestrzeni. Przykłd: prost x + y 0 jest podprzestrzenią liniową, proste x + y c, nzywmy podprzestrzenimi finicznymi. Prmetryczne przedstwienie prostej. Prost x + y + 0 Przykłd. Funkcje tkie, że f(005) 0 tworzą podprzestrzeń,...o (rysunek):

44 Przestrzeń rozwiązń ukłdu równń Ziór rozwiązń jednorodnego ukłdu równń liniowych o n niewidomych o współczynnikch z cił K jest podprzestrzenią liniową K n. Dowód. Wektor zerowy jest rozwiązniem. Sum rozwiązń jest rozwiązniem. Iloczyn rozwiązni przez liczę jest rozwiązniem. Bz to ukłd lnz i generujący. Kżdy wektor d się jednozn. wyrzić przez wektory zy! n mn m m n n n n n n x x x x x x x x x x x x K K K K

45 Przestrzeń rozwiązń ukłdu równń Dlczego sum rozwiązń ukłdu jednorodnego jest rozwiązniem? Jeżeli np. x + 3y + 4z 0 i x` + 3y` + 4z` 0 to (x+x`) + 3(y+y`) + 4(z+z`) Rozwiąznie: x+y z, więc rozwiązni to trójki (x,y, x y) x [,0, ] + y [0,, ]. Bz p-ni rozwiązń to np. [,0, ], [0,, ]. Kżde inne rozwiąznie jest ich komincją. Geometrycznie: znleźliśmy dw wektory w R 3 rozpinjące płszczyznę o równniu x + y + z 0.

46 Jk się zorientowć w ntłoku informcji? x + 4 y + 7 z + 3 t + 5 u 3 x + 5 y + 8z + 5 t + 3 u - x + y + z + t u -3 4 x + 6 y + 9 z + 7t + u -4 5 x + 9 y + 5 y + 8 t + 8u

47 Wyzncznik mcierzy niezleżność wierszy/kolumn Wiersze i kolumny trktujemy jko wektory. Które z nich są niezleżne? 3 4 Det{{,3,4},{,,},{4,0,}} 0, 3 więc trzy pierwsze są niezleżne Wyznczniki te to minory (podwyznczniki) mcierzy. W tej mcierzy jest 5 minorów 4x4. Wszystkie są równe 0. Ztem nie m czterech liniowo niezleżnych wierszy. Nie m też 4 niezleżnych kolumn. Rząd mcierzy 3. Rz d mcierzy 3.

48 Rząd mcierzy Nstępujące liczy są równe: Licz liniowo niezleżnych kolumn, Licz liniowo niezleżnych wierszy, Rozmir njwiększego niezerowego minor (podwyzncznik). Tę liczę nzywmy rzędem mcierzy. Wyznczmy ją przez przeksztłceni elementrne i/lu olicznie wyznczników. x + y + z x + 4y + 5z 5x + 0y + 3z c K.-C.

49 Twierdzenie (Kronecker, Cpelli) Ukłd równń liniowych AX B m rozwiązni wtedy i tylko wtedy, gdy rząd mcierzy A jest równy rzędowi mcierzy rozszerzonej A B. Wtedy wymir przestrzeni rozwiązń jest równy liczie liczie odjąć niewidomych odj rząd mcierzy.

50 Jednorodny ukłd równń liniowych...to tki ukłd, w którym wyrzy wolne są 0 Twierdzenie. Jednorodny ukłd kwdrtowy o niezerowym wyznczniku m tylko rozwiąznie zerowe x 0, x 0,..., x n 0. Dowód. Jeśli wyzncznik jest 0, to możemy stosowć wzory Crmer. Widzimy, że wszystkie liczniki są równe n nn n n n n n n n x x x x x x x x x , , , x x x x

51 Jednorodny ukłd o zerowym wyznczniku... m zwsze rozwiąznie niezerowe, tj. tkie, że nie wszystkie niewidome są równe zero. x + y 3z t 0 x + z t 0 x + y + z t 0 x + 3y 4z 4t 0 Wyzncznik jest 0, o czwrty wiersz jest sumą trzech pierwszych. Wyierzmy podwyzncznik Rozwiązujmy normlnie : x + y 3z t x + z t x + y + z t t z y x t z t y t x 4 9, 5, 4

52 Przestrzeń rozwiązń ukłdu równń x + y + z + t + u 7 3x + 3y + z + t + u y + z + t + 6u 3 5x + 4y + 3z + 3t u Oliczmy rząd mcierzy ukłdu i uzupełnionej, wykonując opercje elementrne n wierszch, njlepiej: sprowdzjąc do postci schodkowej

53 Rozwiązywnie ogólnego ukłdu równń liniowych, c.d. Stosując przeksztłceni elementrne, doprowdzmy do prostej postci x + y + z + t + u 7 x + y 4u

54 Przedstwienie prmetryczne przestrzeni rozwiązń x + y + z + t + u 7 3x + 3y + z + t + u y + z + t + 6u 3 5x + 4y + 3z + 3t u Przestrzeń rozwiązń: m wymir 3; m ogólną postć (-6,3,0,0,0) + +z[,-,,0,0] + +t[,-6,0,,0] + +u[,-,0,0,]

55 Bz (ukłd fundmentlny) przestrzeni rozwiązń x + y + z + t + u 0 3x + 3y + z + t + u 0 y + z + t + 6u 0 5x + 4y + 3z + 3t u 0 Przestrzeń rozwiązń: m wymir 3; m ogólną postć +z[,-,,0,0] + +t[,-6,0,,0] + +u[,-,0,0,] B A Z A przestrzeni rozwiąz zń

56 Płszczyzn w przestrzeni Zdnie. Wyznczyć wektory rozpinjące płszczyznę x + y + 3z 0 Podone zdnie już rozptrywliśmy, tylko miło inne, lgericzne sformułownie: Wyznczyć zę przestrzeni rozwiązń równni x + y + z 0. Rozwiąznie. Szukmy zy przestrzeni rozwiązń ukłdu ( jednego równni) x + y + 3z 0. Mcierz współczynników [ 3] m rząd. Z tw. Kronecker-Cpellego wiemy, że wymir przestrzeni rozwiązń jest równy. Bzą może yć yć [O,-3, ], [ 3,O,-] lo np. [,-, O], [,,-] lo np. [,4,-3], [-5,,]...

57 Bzę przestrzeni rozwiązń ukłdu x + y + t + 4u v 0 x + 4y + 3t + u v 0 x + t + 6u v 0 dopełnić do zy cłej przestrzeni. Rząd?

58 Bzę przestrzeni rozwiązń ukłdu x + y + t + 4u v 0 x + 4y + 3t + u v 0 x + t + 6u v 0 dopełnić do zy cłej przestrzeni. x + 4y 3t u + v, x t 6u + v y t / + u t, u, v są prmetrmi Dopełnić do zy cłej przestrzeni możn n wiele sposoów... Rząd Bz przestrzeni rozwiązń: [-,- /,,0, 0] [-6,, 0,, 0] [, 0, 0, 0, ]

59 Ukłd liniowo niezleżny dopełnić do zy [-,- /,,0, 0] [-6,, 0,, 0] [, 0, 0, 0, ] Jest to mcierz trójkątn ( o postci schodkowej) Wyzncznik jest równy iloczynowi elementów n przekątnej, tj.. Pięć wektorów niezleżnych w R 5 tworzy zę. Poniższy ukłd jest liniowo niezleżny i tworzy zę: [, 0, 0, 0, 0] [0,, 0, 0, 0 ] [-,- /,,0, 0] [-6,, 0,, 0] [, 0, 0, 0, ]

60 Jedno zdnie podwójn treść Znleźć liniową zleżność między wierszmi mcierzy Znleźć jedno z równń, które jest spełnione przez wektory przestrzeni generownej przez [,,, 4, ] [, 4, 3,, ] [, 0,, 6, ]

61 Jedno zdnie podwójn treść Znleźć liniową zleżność między funkcjmi f(x) x + x + g(x) x + 3x + h(x) x x + Wspólne rozwiąznie: szukmy zleżności liniowej Znleźć liniową zleżność między wektormi α [,, ] β [, 3, ] γ [,, ] pierwszy + drugi + c trzeci. Prowdzi to do ukłdu równń + + c 0, + 3 c 0, + + c 0. Wyznczmy stąd , c --. Rozwiązniem ukłdu są trójki postci (,-3/ /4, -/ /4) To jest ogóln postć szuknej zleżności. N przykłd może yć 4, -3, c -. Łtwo sprwdzić, że 4f(x) 3g(x) h(x) jest funkcją zerową, zś 4α 3β γ jest wektorem zerowym.

62 [,] to 3, 3, - Współrzędne wektor [,- ] w zie strej [,], Współrzędne wektor [,- ] w zie nowej [-,0], [3,-] to, Zmin zy Mcierz zminy zy... Przelicznie współrzędnych (mcierz przejści od jednej z jednej zy n drugą zy do drugiej). Str: [, ], [, ] Now: [-, O], [3, -]. [-, O] -[, ] + [, ] 7 4 [3, -] 7[, ] -4[, ] Otrzymliśmy mcierz 3 zminy zy (mcierz przejści) 7 4

63 Zmin zy 7 4 Współrzędne wektor [,-] ] w strej [,], [,] to 3, - Współrzędne wektor [,-] ] w nowej [-,0], [3,-] to, Jeżeli M jest mcierzą zminy zy, to współrzędne w strej zie są równe iloczynowi mcierzy M T przez współrzędne w nowej. Inczej: nowe (M T ) stre

64 Wyprowdzenie ogólnego wzoru n zminę współrzędnych przy zminie zy W zie nowej : w, w,..., w n W zie strej : v, v,..., v n

65 Alger Wyznczniki, równni liniowe, przestrzenie liniowe

66 Równni liniowe x + 3 y 8 Jk nrysowć tką linię prostą? N przykłd tk: dl x mmy y, Dl y 0 mmy x 4.

67 Ukłdy równń liniowych x + 3y 8 x y

68 { Metod elimincji (Guss) doprowdzenie do postci schodkowej... trójkątnej x 3 y + z 0 3 x + y 4 z 4 x +5 y z 0 Od drugiego odejmuję 3 rzy pierwsze Od trzeciego odejmuję rzy pierwsze r 3r ; r3 r; x 3 y + z 0 y 7z 6 y 3 z 30 r3 r ; x 3 y + z 0 y 7z 6 4z 4 Postć schodkow To smo możn n mcierzch

69 Dw równni, dwie niewidome Proszę zwrócić uwgę n udowę tych wzorów:

70 Trzy równni, trzy niewidome

71 Cztery równni LinerSolve[{{,,c,d},{e,f,g,h}, {i,j,k,l},{m,n,o,p}}, {r,s,t,u}]

72 {(h k n r-g l n r-h j o r+f l o r+g j p r-f k p r-d k n s+c l n s+d j o s- l o s-c j p s+ k p s+d g n t-c h n t-d f o t+ h o t+c f p t- g p t-d g j u+c h j u+d f k u- h k u-c f l u+ g l u)/(-d g j m+c h j m+d f k m- h k m-c f l m+ g l m+d g i n-c h i n-d e k n+ h k n+c e l n- g l n-d f i o+ h i o+d e j o- h j o- e l o+ f l o+c f i p- g i p-c e j p+ g j p+ e k p- f k p),(-h k m r+g l m r+h i o r-e l o r-g i p r+e k p r+d k m s-c l m s-d i o s+ l o s+c i p s- k p s-d g m t+c h m t+d e o t- h o t-c e p t+ g p t+d g i u-c h i u-d e k u+ h k u+c e l u- g l u)/(-d g j m+c h j m+d f k m- h k m-c f l m+ g l m+d g i n-c h i n-d e k n+ h k n+c e l n- g l n-d f i o+ h i o+d e j o- h j o- e l o+ f l o+c f i p- g i p-c e j p+ g j p+ e k p- f k p),(-h j m r+f l m r+h i n r-e l n r-f i p r+e j p r+d j m s- l m s-d i n s+ l n s+ i p s- j p s-d f m t+ h m t+d e n t- h n t- e p t+ f p t+d f i u- h i u-d e j u+ h j u+ e l u- f l u)/(d g j m-c h j m-d f k m+ h k m+c f l m- g l m-d g i n+c h i n+d e k n- h k n-c e l n+ g l n+d f i o- h i o-d e j o+ h j o+ e l o- f l o-c f i p+ g i p+c e j p- g j p- e k p+ f k p),(-g j m r+f k m r+g i n r-e k n r-f i o r+e j o r+c j m s- k m s-c i n s+ k n s+ i o s- j o s-c f m t+ g m t+c e n t- g n t- e o t+ f o t+c f i u- g i u-c e j u+ g j u+ e k u- f k u)/(-d g j m+c h j m+d f k m- h k m- c f l m+ g l m+d g i n-c h i n-d e k n+ h k n+c e l n- g l n-d f i o+ h i o+d e j o- h j o- e l o+ f l o+c f i p- g i p-c e j p+ g j p+ e k p- f k p)}

73 Wyzncznik mcierzy x Det ( {{_, _}, {_, _}})

74 Wyznczniki 3 x 3

75 Znk sumy, znk iloczynu Σ n n Π

76 Alger mcierzy Ukłd równń: x + 3y 9, 5x 4 y zpisujemy mcierzowo w postci AX B y x Mnożenie mcierzy przez wektor kolumnowy: j j j j j j j j j j j j

77 3 4 Mnożenie mcierzy Mnożymy wiersze przez kolumny

78 Mcierz odwrotn A A - A - A I -

79 Mcierz odwrotn do mcierzy n A A c A A d d c det det det det Rozwiązć ukłd równń 6x + 5y 3 8x+7y 5 Odp. A - B - 3

80 Wyzncznie mcierzy odwrotnej, A -, det A <> 0 Do mcierzy A dostwimyi i dziłmy n wierszch, tk, y A I. Wtedy I A Dn, A Jednostkow w : w w w3 : w3 w. To dje: w3 : w3 3w. To dje : w : w+ w; w: w Jednostkow Odwrotn,A -

81 Sitk znków

82 Pierre Simon de LPlce Wyznczniki rozwijmy względem wierszy lu kolumn. Tu ędzie według drugiego wiersz: ( ) Sposó oliczni (przez przeksztłceni elementrne)

83 Przeksztłceni elementrne Od trzeciego wiersz odejmujemy czwrty Od pierwszego wiersz odejmujemy drugi K4 : K4 K Rozwijmy względem drugiego wiersz

84 Do pierwszej kolumny dodjemy dwie pozostłe, czyli wzorem: k : k + k + k3 ; Od pierwszego wiersz (wyniku) odejmujemy drugi i dodjemy trzeci; w : w w + w3 ; Otrzymny wyzncznik rozwijmy względem wiersz

85 Mcierz odwrotn z pomocą wyznczników Sitk znków: Oliczmy dopełnieni ij ij wyzncznik powstły przez skreślenie i-tego wiersz i j-tej kolumny N przykłd 3 to 3 3

86 Mcierz odwrotn, c.d Tworzymy mcierz dopełnień ij Nkłdmy n to sitkę znków... Trnsponujemy, to znczy zmienimy wiersze i kolumny... A T mcierz trnsponown. i dzielimy przez wyzncznik... N przykłd dl mcierzy

87 Mcierz odwrotn do

88 Rozwiązywnie ukłdów równń WZORY CRAMERA. Oznczmy przez W wyznczniki mcierzy ukłdu, przez W x, W y, W z itd... wyznczniki powstłe przez zstąpienie odpowiednich kolumn przez kolumny wyrzów wolnych Jeżeli ukłd równń liniowych AX B m niezerowy wyzncznik, to x W W x Wy, y, z W W W Rozwiąznie przez mcierz odwrotną: Jeżeli AX B, to X A - B Algorytm Guss (przez postć schodkową...) z... itd

89 Mcierze n giełdzie A study of the London stock mrket, using the London Finncil Times over period of 097 trding dys ws found to fit the following trnsition mtrixp: Zdć zchownie się giełdy w długim okresie czsu.

90 Kwdrt mcierzy prwdopodoieństw Out[3]//MtrixForm p +pp +p3p3 pp +pp pp +pp +p3p3 pp +p pp3 +pp3 +p3p33 pp3 +pp3

91 Kwdrt mcierzy prwdopodoieństw P to mcierz prwdopodoieństw przejści od stnu j do stnu i po nstępnym dniu giełdowym. P n to mcierz prwdopodoieństw przejści od stnu j do stnu i po nstępnych dnich giełdowych. Niech n. Oliczmy kolejne potęgi P n i przejdźmy do grnicy. Otrzymmy wektor prwdopodoieństw, że w długim okresie czsu n giełdzie ędzie hoss, ess, stn stilny. Wynik [ 0,57, 0,54, 0,689 ]. Do oliczeni potęg posłużmy się Excelem

92 Wyznczniki 3 x 3

93 Pole równoległooku i pole trójkąt Pole nieieskiego prostokąt 3 Pole żółtego trójkąt 5 / Pole zielonego trójkąt 3 Rzem kolorowe 7 Prostokąt 4 R-ok: 4 7 7

94 Pol figur Oliczyć pole trójkąt:

95 (0,-) punkt zczepieni Lini prost n płszczyźnie punkt [3,4] wektor kierunkowy (0,-) + t [3,4] (3t, -+4t) przedst. prmetr.

96 Lini prost n płszczyźnie x + y 3 x 3y + 3 0

97 Równnie wyzncznikowe prostej Lini prost przechodząc przez punkty (, ) i (c, d) Lini prost m równnie x y 0 x c 0 c d y d

98 Npisć równni prostych AB, AC, BC Prost AB: x y

99 Prost w przestrzeni Równnie krwędziowe prostej: x + y + 3z - płszczyzn x 3y z 4 - płszczyzn Przejście do przedstwieni prmetrycznego: Rozwiązujemy ukłd równń: x + y 3z, x 3y 4 + z ; 5y 3z ( 4 + z) 5 5z ; P P y z x y 3z z Prost skłd się z punktów (x, y, z) ( z, z, z ) (-,, 0) + z [-,-,]. l

100 Rozkłd n ułmki proste Rozłożyć n ułmki proste x x x x x??,?,, c x c x x c