Rozwiązywanie zadań z dynamicznego ruchu płaskiego część I 9

Transkrypt

1 ozwiązywnie zdń z dyniczneo ruchu płskieo część I 9 Wprowdzenie ozwiązywnie zdń w oprciu o dyniczne równni ruchu (D pole n uwolnieniu z więzów kżdeo z cił w sposób znny ze sttyki. Wrunki równowi są zbliżone do tych ze sttyki, z jedną różnicą zist do zer przyrównujey do iloczynu sy cił i przyspieszeni n dny kierunku, np. & & lub iloczynu oentu bezwłdności I O i przyspieszeni kątoweo φ& &. Przyjijy do dlszych rozwżń nstępujące złożeni: ukłd współrzędnych definiujey dl kżdeo z cił w tki sposób, by zwrot jednej z osi (np. osi był zodny z przewidywny kierunkie ruchu, z dodtnie uznwć będziey oenty sił, których zwrot jest zodny z przewidywny zwrote wektor przyspieszeni dneo cił. uch jki porusz się ciło decyduje o liczbie dynicznych równń ruchu. dl cił będąceo w ruchu obrotowy (rys. 9., DD ją postć: I φ& M O Σ i O dzie: I O sowy oent bezwłdności cił wzlęde osi z, przechodzącej przez punkt O, z definicji równy I O (i O, dzie i O jest proienie bezwłdności, φ& & przyspieszenie kątowe cił, ΣM io su oentów sił wzlęde punktu O. ys. 9.. D dl cił przedstwioneo n rys. 9. ją postć: I O φ& P P uch cił w kierunku pozioy i pionowy nie jest ożliwy (przyspieszeni n tych kierunkch są równe zeru. Z równń sttyki ożey dodtkowo wyznczyć rekcje w punkcie O:

2 Dynik ΣPi ΣP i y y y P P P P dl cił będąceo w ruchu postępowy (rys. 9., DD ją postć: && ΣPi y&& ΣPi y dzie: s cił, & &,y& & przyspieszenie cił n kierunku osi i y, ΣP i su rzutów sił n oś, ΣP iy su rzutów sił n oś y, ys. 9.. D dl cił przedstwioneo n rys. 9. ją postć: && P T y&& N Poniewż ruch cił w kierunku pionowy nie jest ożliwy, przyspieszenie n ty kierunku jest równe zeru ( y& &. Otrzyujey więc: N orz jedno równnie dyniczne w postci: & P T dl cił będąceo w ruchu płski (rys. 9., DD ją postć: && ΣPi y&& ΣPi y I O φ&& ΣM dzie: s cił, I O sowy oent bezwłdności cił wzlęde osi z, przechodzącej przez punkt O, & &,y& & przyspieszenie cił n kierunku osi i y, φ& & przyspieszenie kątowe cił, ΣP i su rzutów sił n oś, ΣP iy su rzutów sił n oś y, ΣM io su oentów sił wzlęde punktu O. io

3 ozwiązywnie zdń z dyniczneo ruchu płskieo część I ys. 9.. D dl cił przedstwioneo n rys. 9. ją postć: && P T y&& N I O φ&& T N f Poniewż ruch cił w kierunku pionowy nie jest ożliwy, przyspieszenie n ty kierunku jest równe zeru ( y& &. Otrzyujey więc: N orz nstępujące równni dyniczne: && P T I O φ&& T N f W celu uproszczeni zpisu wprowdzć będziey nstępujące oznczeni: & lub po prostu & φ & ε Zdnie 9.. Ciło o sie śliz się po pozioej powierzchni, nstępnie po równi pochyłej o kącie nchyleni (rys. 9.. Współczynnik trci ślizoweo n powierzchni pozioej i n równi pochyłej wynosi μ. Prędkość początkow w punkcie wynosi. Wyznczyć odlełość d, jką ciło pokon wzdłuż równi pochyłej do chwili ztrzyni się. W punkcie występuje zokrąlenie, eliinujące uderzenie o równię. Dne: ; /s; μ,; b ;. ys. 9..

4 Dynik ozwiąznie Ciło porusz się ruche postępowy. DD ją postć: n odcinku (rys. 9.: && y&& T N Poniewż y& &, y: ys. 9.. N Uwzlędnijąc powyższą zleżność i podstwijąc T μ & otrzyujey: μ Wyznczy czs t, w jki ciło przebyw odlełość b: t b Po przeksztłceniu i podstwieniu μ orz, otrzyujey: μ t t t b ozwiązując powyższe równnie wyznczy czs t : t C ± μ b μ Wyznczy prędkość cił w punkcie : μ b t μ ± ± μ b μ μ b ys. 9.6.

5 ozwiązywnie zdń z dyniczneo ruchu płskieo część I n odcinku C (rys. 9.6: Poniewż y& &, y: && y&& T N sin cos N cos Uwzlędnijąc powyższą zleżność i podstwijąc & otrzyujey: T sin μ cos sin ( μ cos sin ( μ cos sin Prędkość cił w punkcie C być równ zeru, zte: C tc Czs w jki ciło przebędzie odlełość C d jest równy: t C Wyznczy odlełość C jką przebędzie ciło: tc d tc μ b μ b d [ ( μ cos sin ] ( μ cos sin Podstwijąc wrtości liczbowe otrzyujey:, 9, d, 9., Zdnie 9.. Znleźć prędkość i przyspieszenie cił, w chwili kiedy przebędzie ono odlełość s (rys Przyjąć nstępujące dne: k ; k ; k ;, ; s, ; μ, ; 6 ys. 9.7.

6 6 Dynik ozwiąznie Kżde z cił uwlniy z więzów (rys. 9. i piszey odpowiednie równni ruchu. ys. 9.. ciło (ruch postępowy: ciło (ruch postępowy: ciło (ruch obrotowy: ciło (ruch płski: & (i sin T y& N cos (ii I & (iii & y φ& (i I & ( & y φ& (i Z wrunków zdni wynik, że: y& & y& & y& & Z równni (ii wyznczy siłę norlną N : ił trci T jest więc równ: N T μn cos μ cos Przeksztłcy równni (i i wprowdzjąc nstępujące oznczeni: & & φ & & φ & & & & ε & ε

7 ozwiązywnie zdń z dyniczneo ruchu płskieo część I 7 Otrzyujey: (sin μ cos ( ( I ε ( ( ( I ε ( ( W równnich ( y nstępujące niewidoe:,, ε,, ε,,,,. Jest ich 9, więc potrzebne są dodtkowe równni. W oprciu o rys. 9.9 wyznczy odpowiednie zleżności kinetyczne: (6 ε (7 ( ε (9 ys Moenty bezwłdności występujące w równnich ( i ( są równe: I I Uwzlędnijąc powyższe zleżności orz zleżności kinetyczne (6 9, równni ( ożn przedstwić w postci: (sin μ cos ( (

8 Dynik Po uproszczenich otrzyujey ukłd pięciu równń ( e z pięcio niewidoyi: cos (sin μ ( (b (c (d (e ozwiązywnie równń ( e rozpoczyny od wyznczeni z równni (b: Po podstwieniu do (d y: Z powyższeo równni wyznczy : ( ( Po podstwieniu wyznczoneo do (e otrzyujey: ( ( Wyznczy : i podstwiy do (c: Z powyższeo równni wyznczy : i podstwiy do ( cos (sin μ μ cos (sin μ ( cos (sin Po podstwieniu dnych liczbowych uzyskujey rozwiąznie: /s,7 ( 67 (,

9 ozwiązywnie zdń z dyniczneo ruchu płskieo część I 9 Przy zerowych wrunkch początkowych droę s, jką przebyło ciło, ożey zpisć nstępująco: t s Przeksztłcjąc powyższą zleżność ożey wyznczyć czs t w jki ciło przebyło droę s, nstępnie prędkość : t s s t s,7,,6 /s Litertur [] Klsztorny M., Niezod T., Mechnik oóln Podstwy teoretyczne, zdni z rozwiąznii, Oficyn Wydwnicz Politechniki Wrszwskiej, Wrszw 6.