ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami"

Transkrypt

1 ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone 6 4 Wielomiany i funkcje wymierne 1 5 Macierze i wyznaczniki 13 6 Układy równań liniowych 17 7 Geometria analityczna w R Pierwsze kolokwium 1 9 Drugie kolokwium 10 Egzamin 3 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1. Uprość wyrażenie a b ( a (a a ab + b b 1 ( b a b (b a b a + 1 (c a4 + a 3 b + a b ( b a 3 b 3 a 1 ( a b ( a 4 a 3 b + a b ab 3 + b 4 (d a 6 b 6 + ab 5 ba 5.. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f(x wyznacz współczynnik przy α jeśli (a f(x = (x + sin(x 7 α = x 4 sin 3 (x (b f(x = (1 e x 10 α = e 3x 1

2 ( (c f(x = x x α = x 4 (d f(x = k=0 ( 99 1 x + 3 x α = 3 x x Zapisz w prostszej postaci liczbę n [( ] n (a 3 k k k=0 n [( ] n (b ( k k k=0 n [ n k ] (k + 1(k +... n (c (n k! k=0 n [ ( 1 k ] (n k + 1(n k +... n (d k! n n k. 4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij że dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich n N + : (a n n(n + 1(n + 1 = 6 (b n 3 = n (n (c 3 n + 1 (n + 1 (d liczba 4 n 4 jest podzielna przez 1. Odpowiedzi wskazówki 1. (a 1 b (b 1 a (c a b (d 1.. (a a 4 = ( 7 3 = 35 (b a 3 = ( 10 3 = 10 (c a = ( 9 = 36 (d a 1 = ( 99 1 = (a 4 n (b ( 1 n (c (1 + n n (d ( 1 n n. n 4. Najpierw przez podstawienie sprawdź że teza zachodzi dla n = 1; prawdziwe zatem jest twierdzenie T 1. Następnie z prawdziwości twierdzeń T 1 T... T n (może wystarczyć użycie tylko T n wywnioskuj prawdziwość twierdzenia T n+1 gdzie n N +.

3 Geometria analityczna w R 1. Wyznacz w mierze łukowej kąt ϕ pomiędzy wektorami u v jeśli ( (a u = 1 ( 3 v = 1 3 ( (b u = ( 3 1 v = 1 3 ( ( (c u = v = 1 3 ( (d u = ( v = 3 1. Aby nie używać funkcji trygonometrycznych kąta otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów.. Wyznacz kąt ϕ przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach ( ( (a A = (1 1 B = C = ( (b A = ( 1 B = (3 oraz C = ( (c A = 1 1 ( B = C = (0 1 ( (d A = 0 3 ( B = 4 C = ( 1 3. π w dwóch ostatnich przykładach wyniki można 1 3. Oblicz długość h wysokości opuszczonej z wierzchołka B w trójkącie o wierzchołkach (a A = (3 5 B = (0 6 oraz C = ( (b A = (5 5 B = ( 1 oraz C = ( Wyznacz punkt P 0 przecięcia oraz kąt ϕ pod jakim przecinają się proste na płaszczyźnie określone równaniami { { x = 3 t x = 3 (a oraz y = t y = 1 + s { { x = 3 3 t x = s (b oraz y = 5 + t y = 1 3 s gdzie t s R. 5. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty (a A = (4 6 B = (5 5 i C = (6 (b A = ( B = ( i C = ( Nazwij i opisz równaniem zbiór tych punktów płaszczyzny których (a odległość od punktu A = (1 jest dwa razy większa od odległości od punktu B = (4 5 (b odległość od punktu A = ( 0 jest trzy razy mniejsza od odległości od punktu B = ( Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S którego jedną ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A B jeśli (a S = (1 3 A = ( 1 B = ( 4 (b S = ( 1 A = (1 B = ( Napisz równania tych stycznych do danego okręgu które przecinają się z prostą przechodzącą przez punkty A B pod kątem ϕ jeśli (a równaniem okręgu jest x x + y + 6y + 5 = 0 oraz A = ( B = (1 1 ϕ = π 4 ( (b równaniem okręgu jest x + x + y 3 = 0 oraz A = 3 4 B = (0 1 ϕ = π 3. 3

4 Odpowiedzi wskazówki 1. (a ϕ = π 3 (b ϕ = π 6 (c 11 1 π (d ϕ = 7 1 π.. (a ϕ = π (b ϕ = π 6 (c ϕ = 3 π (d ϕ = π (a h = 10 (b h =. 4

5 4. (a P 0 = ( 3 1 ϕ = 1 3 π (b P 0 = ( 3 4 ϕ = π (a (x 1 + (y = 5 (b (x + + (y 3 = Okrąg zwany okręgiem Apoloniusza o równaniu (a (x 1 + (y = 5 (b ( x 5 + y = ( 3. 5

6 7. (a (x 1 + (y + 3 = (b (x + + (y + 1 = (a y = 1 y = 5 x = 1 x = 3 (b y = y = y = 3 x y = 3 x Liczby zespolone 1. Zapisz w postaci algebraicznej oraz zaznacz na płaszczyźnie liczbę zespoloną (a z 1 = 1 + i i 6

7 (b z = + 3i 4 + 5i.. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a Re( iz (b Im(z i = Im(( iz + i (c Re ( z = [Im(iz] 4 (d iz + = iz i (e z = 4z Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną (a z 1 = (1 + 3i 0 (1 i 40 (b z = (c z 3 = (1 + i40 ( 3 i 0 ( 3 i 4 (1 3i 14 (1 i 0 (d z 4 = ( 3 + i 1 (1 i 4 (e z 5 = (1 i ( 1 + i Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a 0 arg(1 + iz π/ (b Im ( z 4 < 0 (c 0 arg( iz π (d Im ( z 4 > Wyznacz pole figury (a F 1 = { z C : Im ( z Im(z < 0 } { (b F = z C : 0 Im(z 1 } Re(z z W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie (a z z + 4 = 0 (b z + 8z + 5 = 0 (c z + 10z + 34 = 0 (d z 4 = ( 1 + z Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby (a z = 1 (b z = i (c z = + i (d z = 1 + i (e z =. 7

8 8. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby (a z = 81 (b z = 16 (c z = i. Odpowiedzi wskazówki 1. (a z 1 = i (b z = i.. (a półpłaszczyzna y (b prosta y = 1 3 x 3 8

9 (c proste y = y = (d prosta y = x (e okrąg o środku w punkcie ( i promieniu (a z 1 = i (b z = 1 3 i (c z 3 = 1 3 i (d z 4 = 1 (e z 5 = i. 9

10 4. (a Zbiór A składa się z liczb zespolonych z określonych przez warunki Re(z 0 Im(z 1 z i (przesunięta o wektor (0 1 czwarta ćwiartka układu współrzędnych z brzegiem i bez punktu (0 1 (b arg(z ( π kątów. 4 π ( 3π 4 π ( 5π 4 ( 3π 7π 4 π co na płaszczyźnie przedstawia sumę wnętrz czterech (c Jest to zbiór {z C : Rez 0 Imz z i} 10

11 (d arg(z ( 0 π 4 ( π 3π 4 ( ( π 5π 4 3π 7π 4 co na płaszczyźnie jest sumą wnętrz czterech kątów. 5. (a P = 3 3 (b P = π 3. 11

12 6. (a z { i 1 3 i } (b z { i 4 3 i} (c z { i 5 3 i} (d z { i i}. 7. (a w 0 = w 1 = 1 w = 1 3 (b w 0 = i w 1 = 3 (c w 0 = 1 + i w 1 = ( (d w 0 = i w 1 = 1 Wskazówka: cos ( π i w = i i w = 1 3 = 1+cos( π 1 = (e w 0 = + i 6 w 1 = w = i (a z = 3 z = 3i z = 3 z = 3i i w = ( i. + 3 = 1+ 3 sin ( π (b z = + i z = + i z = i z = i (c z = 3 + i z = 1 + 3i z = 3 i z = 1 3i. 4 Wielomiany i funkcje wymierne 1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x przez Q(x jeśli (a P (x = x 5 x 4 + 3x 3 + x + 7 Q(x = x 3 + x + 1 (b P (x = x 4 + x 3 + x + x + 1 Q(x = x + x Rozłóż na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian (a W (x = x 4 + x 3 3x 4x 4 (b W (x = x 4 + x 3 x. i = Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę R(x z dzielenia wielomianu P (x przez Q(x jeśli (a P (x = x 4 + x 3 + x + x + 1 Q(x = x 1 (b P (x = x 5 + x 4 Q(x = x Rozłóż na czynniki liniowe wielomian zespolony W (z jeśli (a W (z = z 3 z + 4z 8 1

13 (b W (z = z 3 + 5z + 8z Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną właściwą x + 3 (a f(x = x 3 + x + 5x + 4 x + (b f(x = x 3 + 3x + 4x + 4 (c f(x = 3x + 5x + 1 x 3 + 3x + 3x + (d f(x = x3 + 4x + 5x + 5 x 4 + 3x 3 + 3x + 3x Rozłóż na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną (a f(x = x4 5x 3 + 5x 19x 1 x 3 5x + 4x 0 (b f(x = x5 x 4 5x 3 +3x x 3 x. 5x 3 Odpowiedzi wskazówki 1. (a I(x = x x + R(x = 5 (b I(x = x + x 3 R(x = x (a W (x = (x + (x ( x + x + 1 (b W (x = (x 1(x + (x + x (a R(x = x + 3 (b R(x = 16x (a W (z = (z (z + i(z i (b W (z = (z + 3(z i(z + 1 i. 5. (a f(x = 1 x +x x+1 (b f(x = x x +x+ + 1 x+ (c f(x = x x +x x+ (d f(x = 1 x x+ + 1 x (a f(x = x + 1 x x +4 (b f(x = x + 1 (x x 3. 5 Macierze i wyznaczniki 1. Rozwiąż równanie macierzowe ( ( (a A 3 = (b A T = (c A T =

14 . Trzema sposobami: za pomocą odpowiedniego wzoru przez rozwinięcie Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej oblicz wyznacznik (a W = (b W = (c W = (d W = Dwoma sposobami: z użyciem rozwinięcia Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej oblicz wyznacznik (a W = (b W = Wyznacz te wartości parametru a C dla których macierz A jest nieosobliwa jeśli ( a a (a A = a a 1 1 (b A = 1 1 a 1 a 1 a (c A = 1 a a. 1 1 a 1 5. Dwoma sposobami za pomocą dopełnień algebraicznych oraz przez przekształcanie razem z macierzą jednostkową wyznacz macierz odwrotną do macierzy A jeśli ( 1 1 (a A = (b A = (c A = (d A = Zbadaj dla jakich parametrów a C istnieje macierz odwrotna A 1 do macierzy A a następnie wyznacz ogólny wzór na A 1 jeśli 14

15 ( a + 1 (a A = a + 4 a + 4 (b A = a. 7. Wyznacz rząd r(a macierzy A jeśli 1 1 (a A = 3 4 (b A = 1 i i 1 i 1 + i (c A = i 0 (d A = 3 i W zależności od parametru a C wyznacz rzędy macierzy z zadania Dla macierzy A wyznacz wartości własne λ C i odpowiadające im nieskomplikowane przykłady wektorów własnych v C jeśli ( 1 (a A = 4 5 ( 1 3 (b A = ( 1 1 (c A = 1 ( 7 (d A = Odpowiedzi wskazówki ( (a A = ( (b A = (c A = ( (a W = 1 (b W = 13 (c W = (d W = (a W = 1 (b W = (a a C \ {0 } 15

16 (b a C \ { 1} (c a C \ { 3 1}. 5. (a A 1 = ( (b A 1 = (c A 1 = (d A 1 = (a Macierz odwrotna istnieje dla a C \ {1 4} wtedy A 1 = (b macierz odwrotna istnieje dla a C \ {1} wtedy A 1 = 7. (a r(a = (b r(a = 1 (c r(a = (d r(a = 3. ( 1 a 1 (a 1(a+4 1 a+1 a 1 (a 1(a+4 a 1 1 a 1 1 a a 1 0 a (a r(a = dla a C \ {0 } r(a = 1 dla a {0 } (b r(b = 3 dla a C \ { 1} r(b = dla a = r(b = 1 dla a = 1. (c r(c = 4 dla a C \ { 3 1} r(c = 3 dla a = 3 r(c = 1 dla a = 1. ( α 9. (a wartości własnej λ 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α C \ {0} na ( α ( 1 α przykład v 1 = wartości własnej λ 1 1 = 6 odpowiadają wektory własne postaci 4α ( 1 gdzie α C \ {0} na przykład v = 4 ( α (b wartości własnej λ 1 = 4 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α C \ {0} na przykład α ( ( 1 3α v 1 = wartości własnej λ 1 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α α C \ {0} na przykład v = (c wartości własnej λ 1 na przykład v 1 = ( α (1 + iα ( 3 ( α = i odpowiadają wektory własne postaci gdzie α C \ {0} ( (1 iα 1 wartości własnej λ 1 i = i odpowiadają wektory własne postaci gdzie α C \ {0} na przykład v = ( i 16

17 ( (d wartości własnej λ 1 = +3i odpowiadają wektory własne postaci ( na przykład v 1 = ( α ( 5 3iα 5 + 3i gdzie α C \ {0} na przykład v = 6 Układy równań liniowych 1. Rozwiąż układ równań { x + y = 3 (a x 3y = 5 (b (c (d (e x + y + z = 0 x y + z = 0 x + y z = x + y + z t = 4 x + y z + t = 4 x y + z + t = x + y + z + t = x y + z + t = 4 x y z + t = 0 x y z t = 8 x + y + z = 1 x + y + z = 1 3x + y + 3z = 3. α ( 5 + 3iα gdzie α C\{0} wartości własnej λ = 3i odpowiadają wektory własne postaci (. 5 3i Pierwsze dwa przykłady rozwiąż trzema sposobami: metodą eliminacji Gaussa ze wzorów Cramera i metodą macierzy odwrotnej.. W zależności od parametru a C rozwiąż układ równań { x + 3y = 8 (a x ay = 8 (a + 6x + y + z = 4 (b x + (a + 5y + z = 4 x + z = Wyznacz te wartości parametru a C dla których poniższy układ równań ma przynajmniej jedno rozwiązanie: { x + 3y = a (a 8x 1y = 36 x + y + 4z = a (b 4y z = 5 7x + y + 10z = W zależności od parametru a C określ ilość rozwiązań układu { x + y = 1 (a 7x + ay = a x + y + az = 1 (b x + ay + z = a ax + y + z = a 1. 17

18 Odpowiedzi wskazówki 1. (a x = 1 y = (b x = 1 y = 0 z = 1 (c x = 1 y = 1 z = t =. (d y = t = 4 z = x + z C dowolne (e układ sprzeczny (brak rozwiązań.. (a Dla a C \ { 3} układ{ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = y = 0 a dla a = 3 nieskończenie x = 4 3 wiele rozwiązań postaci y y C (b dla a C \ { 5} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = y = 0 z = a dla a = 5 nieskończenie x = 4 z wiele rozwiązań postaci y = 0 z C. 3. (a a = 3 lub a = 3 (b a = (a Dla a C\{14} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a = 14 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań (b dla a C\{ 1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a = nieskończenie wiele rozwiązań a dla a = 1 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. 7 Geometria analityczna w R 3 1. Wyznacz te wartości parametru a R dla których (a równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = ( 5 1 B = ( 1 C = (3 a 3 i wierzchołku E = ( a nad A jest prostopadłościanem (b kąt pomiędzy wektorami u = (a 16 4 oraz v = (a 1 4 jest prosty (c wektory u = (1 a 1 v = (3 1 3 są równoległe.. Poniżej parametry t s R. Podaj przykład (a równania ogólnego płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = ( B = (0 1 C = (3 0 5 x = 1 + t + s (b równania ogólnego płaszczyzny o równaniu parametrycznym y = + t s z = 1 + t + s (c równania ogólnego płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 1 + t + s y = t + s z = 1 t + s (d równania parametrycznego płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + z + 1 = 0 { x + y + z 1 = 0 (e równania parametrycznego prostej o równaniu krawędziowym x + y + 3z = 0 x = 1 + t (f równania krawędziowego prostej o równaniu parametrycznym y = t z = 4 + t (g równania ogólnego płaszczyzny zawierającej proste m : wyznacz punkt przecięcia tych prostych x = 1 + t y = 1 z = 1 + t oraz l : x = 3 s y = s z = 5 s; 18

19 x = t (h równania parametrycznego prostej prostopadłej do prostych m : y = 1 z = 1 + t w punkcie ich przecięcia. l : x = s y = + s z = 1 s 3. Wyznacz odległość d(p S punktu P od płaszczyzny S jeśli (a P = ( 1 3 S : x + y + z 3 = 0 x = 1 + s + t (b P = (1 1 S : y = + s gdzie t s R. z = 1 + s t 4. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy x = 1 + t + s (a płaszczyznami S 1 : y = t s gdzie t s R oraz S : y z 1 = 0 z = t + s { x + y + z + = 0 (b prostą l : i płaszczyzną S : x + y + 5 = 0. x y + z + 3 = 0 5. Wyznacz pole P (a równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = ( 4 B = (0 C = ( 1 (b równoległoboku o środku w punkcie O = ( 1 i końcach jednego z boków A = ( 4 B = (0 (c trójkąta o wierzchołkach A = ( 4 B = (0 C = ( Wyznacz objętość V (a czworościanu o wierzchołkach A = (1 1 1 B = ( C = (1 i D = ( (b równoległościanu rozpietego na wektorach u = (1 1 1 v = (1 1 oraz w = ( (1 3. Odpowiedzi wskazówki 1. (a a = 3 (b a = 4 lub a = 4 (c a = lub a =.. (a x z + = 0 19

20 (b x z = 0 (c x + 3y z + 1 = 0 (d (e (f x = 1 + t + s y = t z = s x = 1 + t y = 1 t z = 1 + t { x + y 4 = 0 y + z 6 = 0 (g punktem wspólnym prostych jest P = ( 1 4 (dla t = 3 i s = 1 a płaszczyzna ma równanie x z + = 0 x = 1 + t (h y = 1. z = t. 3. (a d(p S = 1 (b równaniem ogólnym płaszczyzny jest na przykład x y + z + 4 = 0 a odległość d(p S = 3. 0

21 4. (a ϕ = π 3 (b ϕ = π (a P = 6 (b P = 4 5 (c P = (a V = 1 (b V = Pierwsze kolokwium Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału. Zestaw A 1. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierzchołkach A = ( B = ( 4 oraz C = (7 1.. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( 3 + i 5 (1 i Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x = x + 5 x 3 + 4x 5. Odpowiedzi wskazówki 1. h = 34.. z = 1 3 i. 3. f(x = 1 x 1 + Zestaw B x x +x Wyznacz ( w mierze łukowej kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = ( 6 B = (3 7 oraz C = Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (1 i 3 50 ( 1 + i

22 3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x = 3x + 6x + 3 x 3 + 3x + 3x +. Odpowiedzi wskazówki 1. π 6.. z = i. 3. f(x = 1 x+ + x+1 x +x+1. 9 Drugie kolokwium Zestaw A 1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 5 + t + s y = + t gdzie t s R. z = t + s 3. Dla jakich wartości parametru a R układ równań 3x + (1 + ay + ( + az = 1 + a x + ay + z = a nie ma rozwiązań? ax + y + z = a 1. Odpowiedzi wskazówki A 1 = x + 3y z 11 = a = 1. Zestaw B 1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 5 + t + s y = gdzie t s R. z = t + s 3. Dla jakich wartości parametru a R układ równań 3x + (1 + ay + ( + az = 1 + a x + ay + z = a ma nieskończenie wiele rozwiązań? ax + y + z = a 1.

23 Odpowiedzi wskazówki B 1 = y =.. 3. a =. 10 Egzamin Zestaw A 1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek Im ( z 3 <. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = Sprawdź otrzymany wynik wykonując mnożenie macierzy.. 3 z Oblicz wysokość (tzn. długość odcinka w czworościanie o wierzchołkach A = (1 1 1 B = ( 3 4 C = ( 5 8 D = ( opuszczoną z wierzchołka D. 5x 7y 5z + t = 0 4. Rozwiąż układ równań x y z = 8 x y z t = W zależności od parametru a R wyznacz rząd macierzy A = Odpowiedzi wskazówki a 1 1 a + 1 a 1 a Otrzymujemy Im ( z 3 = z 3 sin(3ϕ < 3 z 3 stąd z 0 oraz sin(3ϕ < 3 (. Otrzymujemy 3ϕ 4 3 π 1 3 π ( 3 π 7 3 π ( π 3 π zatem ϕ ( 4 9 π 1 9 π ( 9 π 7 9 π ( π 9 π co przedstawia sumę wnętrz trzech kątów A 1 = Równanie x y + z = 0 opisuje płaszczyznę podstawy wysokość to odległość wierzchołka D od tej płaszczyzny i wynosi h = x = z y = z R t = 4 nieskończenie wiele rozwiązań. 5. r(a = 3 dla a R \ { 1 1 } r(a = dla a = 1 r(a = 1 dla a = 1. Zestaw B 1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek Re ( z 3 1 z 3.. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = Sprawdź otrzymany wynik wykonując mnożenie macierzy... 3

24 3. Wyznacz odległość punktu P = ( 1 1 od płaszczyzny x = 1 + t + s y = 1 + s gdzie t s R. z = t + s 4x 6y 4z + 6t = 4 4. Rozwiąż układ równań x y z + t = 0 x y z t = Wyznacz wartości własne macierzy ( A a następnie dla nich podaj po jednym nieskomplikowym przykładzie 6 wektora własnego jeśli A =. 1 1 Odpowiedzi wskazówki 1. Otrzymujemy Re ( z 3 = z 3 cos(3ϕ 1 z 3 stąd z = 0 lub cos(3ϕ 3. W tym drugim przypadku 3ϕ [ 1 3 π 1 3 π] [ 5 3 π 7 3 π] [ π 3 π] zatem ϕ [ 1 9 π 1 9 π] [ 5 9 π 7 9 π] [ π 9 π]. Zbiór A jest sumą trzech kątów wraz z brzegami.. A 1 = Równanie 4x 5y + z 3 = 0 jest równaniem ogólnym danej płaszczyzny odległość d = x = z y = z R t = 4 nieskończenie wiele rozwiązań. ( 3α 5. wartości własnej λ 1 = 4 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α 0 na przykład v α 1 = ( ( 3 α wartości własnej λ 1 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α 0 na przykład ( α v =. 1 Zestaw C 1. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek 0 arg( iz π.. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny µ o równaniu pomiędzy płaszczyzną µ i prostą l o równaniu 3. Rozwiąż równanie macierzowe X 1 = ( x = 1 + t + s y = t + s z = 1 t + s x = 3 t y = 6t z = 1 + 4t gdzie X 1 oznacza macierz odwrotną do macierzy X Określ dla jakich wartości parametru a R układ równań x + (1 + ay + (1 + az = 1 + a x + ay + z = a ax + y + z = a 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań? gdzie t s R. a następnie w mierze łukowej kąt 5. Wyznacz wartości własne macierzy ( A a następnie dla nich podaj po jednym nieskomplikowym przykładzie 1 wektora własnego jeśli A =

25 Odpowiedzi wskazówki 1. Jest to (przesunięta ćwiartka płaszczyzny bez wierzchołka A = {z C : Re(z 0 Im(z } \ { i}.. x + 3y z + 1 = 0 α = π. ( 1 3. X = a =. 5. Wartości własnej λ 1 = i odpowiada na przykład wektor własny v 1 = ( λ = i odpowiada na przykład wektor własny v =. 1 i ( 1 + i 1 wartości własnej 5

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.

Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych. Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi. Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4. Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY (TECHNIKUM) 18 KWIETNIA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) 2+1 Liczba

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Zadanie 1 la każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy.. C.. Korzystamy ze wzoru Zadanie 2 Liczba jest równa.. 2 C.. 3 Zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA 7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D. Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n = /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 01 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

1 Geometria analityczna

1 Geometria analityczna 1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja 017 r.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9 maja 2017

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach -5 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r. Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 011 r. 1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli: a) wszystkie elementy są różne, b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 2 KWIETNIA 204 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT) Liczba 2 2 3 2 3 jest równa

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY MATEMATYKA Klasa TMB Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY (zakres rozszerzony - czcionką pogrubioną) Hasła programowe Wymagania

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach: Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 2011 w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA oraz WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH 2 Próbny egzamin maturalny

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo