Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Transkrypt

1 Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi Gdńsk Anliz Mtemtyczn p. 1

2 Cłk Riemnn Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem Anliz Mtemtyczn p. 2

3 Definicj cłki oznczonej Niech f(x) będzie funkcj ogrniczon n skończonym przedzile [, b]. Definicj Niech dne będ punkty = x 0 < x 1 < < x n = b. Mówimy wówczs, że określony jest podził P n przedziłu (,b). 2. Przedziły [x i 1,x i ], gdzie i = 1,2,...,n, nzwiemy przedziłmi czstkowymi podziłu. 3. Długości przedziłów [x i,x i 1 ] oznczmy przez i ( i = x i x i 1 ), mksymln z nich, (P n ) = mx i=1,...,n i nzwiemy średnic podziłu P n. Anliz Mtemtyczn p. 3

4 Definicj cłki oznczonej, cd 4. Niech dne będ również węzły ξ i [x i 1,x i ], gdzie i = 1,...,n. Sumę S(f,P n ) = n f(ξ i ) i nzwiemy sum cłkow. 5. Grnicę (o ile istnieje) lim n (Pn) 0 i=1 S(f,P n ) nzwiemy cłk oznczon (cłk Riemnn), oznczmy f(x)dx. Funkcj f(x) nzyw się wówczs cłkowln n przedzile [, b]. Anliz Mtemtyczn p. 4

5 Sens geometryczny cłki oznczonej =x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 =b ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 Rysunek 1: Sens geometryczny cłki Riemnn Anliz Mtemtyczn p. 5

6 Sens geometryczny cłki oznczonej, cd Niech będzie f(x) 0 dl x [,b]. Sum cłkow, odpowidjc podziłowi P n i wyborowi węzłów ξ i równ jest polu figury, złożonej z prostoktów, zobcz rysunek 1. Grnic pól tkich figur, czyli cłk zgdz się z polem trpezu krzywoliniowego, i.e., obszru ogrniczonego łukiem krzywej y = f(x), odcinkiem osi Ox orz prostymi x = i x = b. Jeżeli zś w przedzile [,b] jest f(x) 0, to nlogiczne pole równ się f(x)dx. Anliz Mtemtyczn p. 6

7 Klsy funkcji cłkowlnych Twierdzenie 2. Cigł n przedzile [, b] funkcj jest cłkowln. Twierdzenie 3. Funkcj ogrniczon i cigł n przedzile [,b] z wyjtkiem co njwyżej skończonej liczby punktów jest cłkowln. Twierdzenie 4. Monotoniczn n przedzile [, b] funkcj jest cłkowln. Anliz Mtemtyczn p. 7

8 Sum i różnic cłek Twierdzenie 5. Niech funkcje f(x) i g(x) będ cłkowlne w przedzile [,b]. Wtedy f(x) ± g(x) będzie funkcj cłkowln ) ( f(x) ± g(x) dx = f(x)dx ± g(x)dx. Dowód. Rozwżmy sumy cłkowe: S(f ± g,p n ) = = n ( f(ξi ) ± g(ξ i ) ) i = i=1 n f(ξ i ) i ± i=1 orz n g(ξ i ) i = S(f,P n ) ± S(g,P n ). i=1 Anliz Mtemtyczn p. 8

9 Liniowość cłki względem mnożeni przez liczbę Twierdzenie 6. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile [,b]. Wtedy λf(x), gdzie λ R będzie funkcj λf(x)dx = λ f(x)dx. Dowód. nlogicznie do twierdzeni 5 cłkowln orz Anliz Mtemtyczn p. 9

10 Włsności funkcji cłkowlnych Twierdzenie 7. Niech funkcje f(x) i g(x) będ cłkowlne w przedzile [,b]. Wtedy f(x) g(x) będzie funkcj cłkowln. Twierdzenie 8. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile [, b]. Wtedy f(x) też będzie funkcj cłkowln. Twierdzenie 9. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile [,b]. Wtedy f(x) będzie cłkowln w dowolnym przedzile [c,d] [,b]. Anliz Mtemtyczn p. 10

11 Włsności funkcji cłkowlnych, cd. Definicj 10. Umówmy się, że dl fukcji f(x), cłkowlnej w przedzile [, b] b f(x)dx = f(x)dx = 0. f(x)dx Twierdzenie 11. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedziłch [,c] orz [c,b]. Wtedy f(x) będzie cłkowln w przedzile [,b] orz f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Anliz Mtemtyczn p. 11

12 Oszcownie cłek Twierdzenie 12. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile [,b] orz f(x) 0 przy x [,b]. Wtedy Dowód. f(x)dx 0. n S(f,P n ) = f(ξ i ) i 0. i=1 Wniosek 13. Niech funkcje f(x) i g(x) będ cłkowlne w przedzile [, b] orz f(x) g(x) przy x [,b]. Wtedy f(x)dx g(x)dx. Wniosek 14. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile [, b]. Wtedy f(x)dx f(x) dx. Anliz Mtemtyczn p. 12

13 Oszcownie cłek, cd. Twierdzenie 15. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile [, b], M = sup f(x), m = inf f(x). Wtedy µ, m µ M, tkie że x [,b] x [,b] f(x)dx = µ (b ). Anliz Mtemtyczn p. 13

14 Cłk oznczon cłk nieoznczon Twierdzenie 16. Niech funkcj f(x) będzie cigł w przedzile [,b]. Wtedy x f(t)dt jest funkcj pierwotn dl f(x). Wniosek 17. Niech funkcj f(x) będzie cigł w przedzile [,b]. Wtedy istnieje funkcj pierwotn dl f(x). Wniosek 18 (Twierdzenie Newton-Leibniz). Niech funkcj f(x) będzie cigł w przedzile [,b], F(x) będzie funkcj f(x)dx = F(x) b, gdzie użyto oznczenie F(x) b Dowód. F(x) = x f(t)dt + C. pierwotn. Wtedy = F(b) F(). Anliz Mtemtyczn p. 14

15 Przykłdy π x n dx = xn+1 n = 1 n+1, n 1, sin xdx = cos x π = 2, 0 1+x = 4rctg x 1 = π dx Anliz Mtemtyczn p. 15

16 Zmin zmiennej w cłce oznczonej Twierdzenie 19. Niech funkcj ϕ (x) będzie cigł w przedzile [α,β], funkcj ϕ(x) będzie monotoniczn w tym przedzile, g(t) będzie cigł β w przedzile (ϕ(α), ϕ(β)). Wtedy α g(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(β) ϕ(α) g(x) dx. Dowód. Niech G(x) będzie funkcj pierwotn dl g(x). Wtedy G ( ϕ(t) ) będzie funkcj pierwotn dl g(ϕ(t)). Anliz Mtemtyczn p. 16

17 Przykłdy x 1 + x 2 dx = π/2 0 sin 3 xdx = π/ x 2 = t 2xdx = dt = 1 2 sinx(1 cos 2 x)dx = 0 (1 t 2 )dt = ( 1 3 t3 t) 0 = t dt = t3/2 2 1 = cos x = t sin xdx = dt = Anliz Mtemtyczn p. 17

18 Cłkownie przez części w cłce oznczonej Twierdzenie 20. Niech funkcje u (x) orz v (x) będ cigłe w przedzile [, b]. Wtedy Przykłd 21. xsin x u(x)v (x)dx = u(x)v(x) b b u (x)v(x)dx. π/2 0 π π/ xcos xdx = u(x) = x u (x) = 1 sin xdx = π 2 + cos x π 2 v (x) = cos x v(x) = sin x = 0 = π 2 1. Anliz Mtemtyczn p. 18