GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ NOTATKI NA ZAJĘCIA. Spis treści

Transkrypt

1 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ NOTATKI NA ZAJĘCIA Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Łódzki Spis treści 1. Przestrzenie metryczne Definicje i przykłdy Zbieżności, zbiory Odwzorowni przestrzeni metrycznych 3 2. Geometri euklidesow przestrzeń finiczn 5 3. Krzywe płskie Podstwowe definicje Wektor styczny, długość krzywej Krzywizn Krzywe przestrzenne Podstwowe definicje Trójścin Frenet 15 Litertur Przestrzenie metryczne 1.1. Definicje i przykłdy. Niech X będzie niepustym zbiorem. Metryką n X nzywmy dowolną funkcję d : X X R spełnijącą nstępujące wrunki (1) d(x, y) 0 dl x, y X orz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, (2) d(x, y) = d(y, x) dl x, y, X, (3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) dl x, y, z X. Wrunek drugi nzywmy symetrią, zś trzeci nierównością trójkąt. Metryk to funkcj, któr mierzy odległość między dwom dowolnymi punktmi. Prę (X, d) nzywmy przestrzenią metryczną. Przykłd 1.1. Podmy terz stndrdowe przykłdy przestrzeni metrycznych. (1) Metryk dyskretn. W zbiorze X wprowdzmy metrykę wzorem { 0 dl x = y d 0 (x, y) = 1 dl x y.

2 2 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ (2) Metryk euklidesow. N płszczyźnie R 2 wprowdzmy zwykłą odległość, d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. (3) Metryk misto. N płszczyźnie R 2 obliczmy odległość poruszjąc się po odcinkch pionowych i poziomych (ulicch w mieście). Ztem przyjmujemy d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 2 x 1 + y 2 y 1. (4) Metryk rzek. N płszczyźnie R 2 rzeką nzywmy prostą Ox. Wówczs z jednego do drugiego punktu poruszmy się tk, że njpierw dochodzimy do rzeki po njkrótszej linii, później idziemy wzdłuż rzeki do wysokości drugiego punktu i pod kątem prostym kierujemy się do celu, chyb, że ob punkty leżą jeden nd drugim, tzn. d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = { y 2 y 1 dl x 1 = x 2 y 1 + x 2 x 1 + y 2 dl x 1 x 2. (5) Metryk mksimum. Odległość to mksymln wrtość z odległości w pionie lub poziomie, d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = mx{ x 2 x 1, y 2 y 1 }. (6) Metryk kolei. Poruszmy się po promienich, tzn. (x 2 x 1 ) 1 + (y 2 y 1 ) 2 dl x 2 y 1 = x 1 y d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2. x y1 2 + x y2 2 dl x 2 y 1 x 1 y 2 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Kulą otwrtą o środku w punkcie x 0 i promieniu r nzywmy zbiór K(x 0, r) = {x X : d(x, x 0 ) < r}. Kulą domkniętą o środku w punkcie x 0 i promieniu r nzywmy zbiór K(x 0, r) = {x X : d(x, x 0 ) r}. Ćwiczenie 1.1. Wyznczyć kule otwrte i domknięte we wszystkich przestrzenich metrycznych z powyższego przykłdu Zbieżności, zbiory. Niech (x n ) będzie ciągiem punktów w przestrzeni metrycznej (X, d). Powiemy, że punkt x 0 X jest grnicą ciągu (x n ) jeśli dl kżdego ε > 0 istnieje liczb nturln N tk, że dl kżdego n > N mmy d(x n, x 0 ) < ε. Mówimy wtedy, że ciąg (x n ) jest zbieżny do x 0. Piszemy lim x n = x 0 lub x n x 0 przy n. n

3 Powiemy, że zbiór A X jest GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ 3 (1) otwrty, jeśli dl kżdego punktu x A istnieje kul otwrt K(x, r) tk, że K(x, r) A, (2) domknięty, jeśli dl kżdego ciągu zbieżnego (x n ) punktów zbioru A jego grnic x 0 jest elementem zbioru A tzn. x 0 A. Dopełnieniem zbioru A nzywmy zbiór A = X \ A. Ćwiczenie 1.2. Pokzć, że jeśli zbiór A jest otwrty, to jego dopełnienie A jest zbiorem domkniętym i n odwrót. Podmy terz trzy pojęci związne z domkniętością i otwrtością zbiorów. (1) Domknięciem zbioru A nzywmy zbiór wszystkich grnic ciągów o elementch ze zbioru A i oznczmy przez A, tzn. x 0 A wtedy i tylko wtedy, gdy x 0 = lim n x n dl pewnego ciągu (x n ) A. (2) Wnętrzem inta zbioru A nzywmy zbiór wszystkich jego punktów wewnętrznych, czyli tkich punktów x A dl których istnieje kul K(x, r) zwrt w A. (3) Brzegiem F r(a) zbioru A nzywmy zbiór A X \ A. Przy powyższych pojęcich otrzymujemy. Stwierdzenie 1.2. Zbiór A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy A = A, zś otwrty wtedy i tylko wtedy, gdy A = inta. Ćwiczenie 1.3. Pokzć, że (1) inta A A, (2) zbiór inta jest njwiększym zbiorem otwrtym zwrtym w A, (3) zbiór A jest njmniejszym zbiorem domkniętym zwierjącym A, (4) x F r(a) wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdej kuli otwrtej K(x, r) mmy K(x, r) A orz K(x, r) A. N koniec, powiemy, że zbiór A jest spójny jeśli nie d się go przedstwić w postci sumy A = B C, gdzie B i C są rozłącznymi niepustymi zbiormi otwrtymi, zś A jest zwrty jeśli jest domknięty i ogrniczony. Ćwiczenie 1.4. Wyznczyć wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru A X, jeśli (1) X = R, d(x, y) = x y, A = { } 1 n n N {0}, (2) X = R 2, d jest metryką kolei, zś A = K((0, 0), 1), (3) X = R 2, d jest metryką nturlną, zś A = [0, 1] { } 1 n n N, (4) X = R, d 0 jest metryką dyskretną, A = (0, 1) Odwzorowni przestrzeni metrycznych. Niech (X, d X ) i (Y, d Y ) będą dwiem przestrzenimi metrycznymi, f : X Y pewnym przeksztłceniem.

4 4 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ Powiemy, że f jest odwzorowniem ciągłym w punkcie x 0 X jeśli dl dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 tk, że jeśli d X (x, x 0 ) < δ, to d Y (f(x), f(x 0 )) < ε, ε>0 δ>0 (d X (x, x 0 ) < δ d Y (f(x), f(x 0 ) < ε). Równowżnie, jeśli dl kżdego ciągu (x n ) zbieżnego do x ciąg f(x n ) jest zbieżny do f(x 0 ), ( ) (xn) X lim x n = x 0 lim f(x n ) = f(x 0 ). n n Jeśli odwzorownie f : X Y jest ciągłe w kżdym punkcie x X, to mówimy, po prostu, że f jest ciągłe. Jeśli pondto f posid odwzorownie odwrotne f 1 : Y X, które też jest ciągłe, to mówimy, że f jest homeomorfizmem. Jeśli istnieje homeomorfizm pomiędzy dwiem przestrzenimi metrycznymi, to mówimy, że są one homeomorficzne. Ćwiczenie 1.5. Pokzć, że nstępujące przestrzenie metryczne są homeomorficzne (1) (, b) i R, (2) (, ) i R, (3) (, b) i (c, d), gdzie n prostej rozwżmy zwykłą metrykę euklidesową. Ćwiczenie 1.6. Pokzć, że kżde dwie przestrzenie metryczne równoliczne z metrykmi dyskretnymi są homeomorficzne. Ćwiczenie 1.7. Niech f : (X, d X ) (Y, d Y ) będzie homeomorfizmem. Pokzć, że jeśli A X (1) jest zbiorem otwrtym, to f(a) jest też zbiorem otwrtym, (2) jest zbiorem domkniętym, to f(a) jest też zbiorem domkniętym, (3) jest zbiorem spójnym, to f(a) jest też zbiorem spójnym. Ćwiczenie 1.8. Czy przestrzeń euklidesow i przestrzeń z metryką kolei są homeomorficzne. Przeksztłcenie f : (X, d x ) (Y, d Y ) nzywmy izometrią jeśli zchowuje odległości, tzn. d Y (f(x), f(y)) = d X (x, y) dl kżdych x, y X. Jeśli istnieje izometri pomiędzy dwiem przestrzenimi metrycznymi, to powiemy, że są one izometryczne. Ćwiczenie 1.9. Pokzć, że trnslcj, symetri, obrót n płszczyźnie z metryką euklidesową są izometrimi. Ćwiczenie Pokzć, że dowolne dwie przestrzenie metryczne dyskretne homeomorficzne są izometryczne.

5 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ 5 Ćwiczenie Wyznczyć wszystkie izometrie trójkąt równobocznego. 2. Geometri euklidesow przestrzeń finiczn N płszczyźnie R 2 lub w przestrzeni R 3 kżdą prę [x, y] lub trójkę [x, y, z] będziemy nzywli wektorem. Początkiem wektor nzywć będziemy punkt (0, 0) lub (0, 0, 0) jego końcem punkt (x, y) lub (x, y, z). Wprowdzmy dodwnie wektorów jko dodwnie po współrzędnych, orz mnożenie przez liczbę [x 1, y 1 ] + [x 2, y 2 ] = [x 1 + x 2, y 1 + y 2 ] lub [x 1, y 1, z 1 ] + [x 2, y 2, z 2 ] = [x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ], [x, y] = [x, y] lub [x, y, z] = [x, y, z]. Dną przestrzeń R 2 lub R 3 z tk wprowdzonymi dziłnimi nzywmy przestrzenią wektorową. Wektor [0, 0] lub [0, 0, 0] nzywmy wektorem zerowym i oznczmy 0. Wektory oznczć będziemy litermi u, v, w ze strzłką, np. u, v, w itd. Podzbiór V R 2 (R 3 ) nzywmy podprzestrzenią liniową jeśli ob dziłni nie wyprowdzją ze zbioru V, tzn. u + v V dl u, v V orz u V dl u V. Ćwiczenie 2.1. Wyznczyć wszystkie podprzestrzenie liniowe w R 2 i R 3. W R 2 i R 3 definiujemy dziłnie dodwni punktów i wektorów. Do punktu możemy dodć wektor by otrzymć punkt. Dokłdniej, (x, y)+[u x, u y ] = (x+u x, y+u y ) lub (x, y, z)+[u x, u y, u z ] = (x+u x, y+u y, z+u z ). Dziłnie to m nstępujące włsności (p + u ) + v = p + ( u + v ), p + 0 = p. Pondto dl kżdych dwóch punktów p i q istnieje jedyny wektor u tki, że p + u = q. Oznczmy go przez pq. Nieprecyzyjnie, pq = q p. Z tkimi dziłnimi R 2 i R 3 nzywmy przestrzenimi finicznymi. Podzbiór W nzywmy podprzestrzenią finiczną jeśli jest postci W = p + V = {p + u : u V },

6 6 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ gdzie p jest pewnym punktem, zś V podprzestrzenią liniową. Innymi słowy, podprzestrzeń finiczn to przesunięt podprzestrzeń liniow. Często podprzestrzeń liniową V odpowidjącą podprzestrzeni finicznej W oznczmy przez S(W ). Ćwiczenie 2.2. Wyznczyć S(W ), gdzie W jest podprzestrzenią finiczną zwierjącą punkty (1, 1, 1), (0, 2, 3) orz ( 1, 0, 3). Zuwżmy, że jeśli w R 2 wprowdzimy metrykę euklidesową, to normą u wektor u = [u x, u y ] nzywmy jego długość, czyli u = d((u x, u y ), (0, 0)) = u 2 x + u 2 y. Tk smo definiujemy normę wektor w R 3. Norm m nstępujące włsności (1) u 0 orz u = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy u = 0, (2) u + v u + v. Ćwiczenie 2.3. Wyznczyć normy wektorów u = (1, 2), v = (2, 6, 3). Iloczynem sklrnym wektorów u i v nzywmy liczbę u, v = u x v x + u y v y lub u, v = u x v x + u y v y + u z v z. Zuwżmy, że Możn pokzć, że u = u, u. u, v = u v cos α( u, v ), gdzie α( u, v ) jest kątem między wektormi u i v. Stąd wynik, że wektory u i v są prostopdłe wtedy i tylko wtedy, gdy u, v = 0. Ćwiczenie 2.4. Obliczyć iloczyn sklrny orz kąt między wektormi u = (1, 3) i v = ( 2, 2). Przejdźmy terz do przestrzeni trójwymirowej R 3. Niech ( u, v, w ) będzie bzą przestrzeni R 3, tzn. kżdy wektor z R 3 jest postci u + b v + c w dl pewnych liczb, b, c. Wtedy wyzncznik u x u y u z v x v y v z w x w y w z jest różny od zer. Powiemy, że bz ( u, v, w ) jest dodtnio zorientown jeśli powyższy wyzncznik jest dodtni, zś ujemnie zorientown, jeśli powyższy wyzncznik jest ujemny.

7 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ 7 Ćwiczenie 2.5. Pokzć, że wektory i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) i k = (0, 0, 1) tworzą bzę dodtnio zorientowną. Bzę z powyższego ćwiczeni nzywmy bzą knoniczną. Ćwiczenie 2.6. Pokzć, że wektory u = (1, 0, 2), v = (1, 1, 1) i w = (0, 2, 3) tworzą bzę przestrzeni R 3. Sprwdzić czy jest to bz dodtnio czy ujemnie zorientown. Niech u i v będą dwom dowolnymi wektormi. Złóżmy, że nie leżą one n jednej prostej, tzn. nie istnieje liczb tk, że u = v. Niech Π będzie płszczyzną wyznczoną przez te wektory. Wówczs wektor w prostopdły do płszczyzny Π o długości u v sin α( u, v ) i tki, że bz ( u, v, w ) jest dodtnio zorientown nzywmy iloczynem wektorowym wektorów u orz v i oznczmy przez u v. Ztem u v = u v sin α( u, v ). możn pokzć, że iloczyn wektorowy możn wyznczyć ze wzoru i j k u v = u x u y u z. v x v y v z Ćwiczenie 2.7. Wyznczyć iloczyn wektorowy wektorów u = (1, 2, 0) i v = (0, 2, 5). Ćwiczenie 2.8. Pokzć, że v u = u v. N koniec tego prgrfu pokżemy jk różniczkowć iloczyn sklrny i wektorowy. Niech t u (t) będzie przyporządkowniem liczbie t wektor u (t), tzn. u (t) = [ux(t), uy(t), uz(t)], gdzie u x, u y, u z są funkcjmi zmiennej t. Jeśli kżd z tych funkcji jest różniczkowln, to przyjmujemy u (t) = [u x(t), u y(t), u z(t)] dl kżdego t. Wówczs u (t) jest również wektorem. Niech v (t) będzie kolejnym przyporządkowniem prmetrowi t pewnego wektor. Wtedy iloczyn sklrny u (t), v (t) jest funkcją (rzeczywistą) zmiennej t. Oznczmy ją przez u, v. Podobnie iloczyn wektorowy u (t) v (t) jest funkcją zmiennej t przypisującej liczbie t pewien wektor, który oznczymy przez ( u v )(t). Zchodzą nstępujące zleżności u, v (t) = u (t), v (t) + u (t), v (t), ( u v ) (t) = u (t) v (t) + u (t) v (t).

8 8 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ Ćwiczenie 2.9. Pokzć, że zchodzą powyższe równości. Ćwiczenie Niech u (t) = (t, 3t + 2, t 2 ), v (t) = (sin t, cos t, t). Wyznczyć u (t), v (t) orz pokzć, że prwdziwe są powyższe wzory. 3. Krzywe płskie 3.1. Podstwowe definicje. Krzywą n płszczyźnie nzywmy dowolne ciągłe przeksztłcenie γ : [, b] R 2 przedziłu [, b]. Będziemy pisli γ(t) = (x(t), y(t)), t [, b]. Innymi słowy funkcje x : [, b] R i y : [, b] R opisują współrzędną x i y krzywej γ. Wykres funkcji ciągłej jest krzywą. Istotnie, dl funkcji f : [, b] R jej wykres jest krzywą postci γ(t) = (t, f(t)), t [, b]. Krzywą nzywmy również wykresem jeśli jest postci γ(t) = (g(t), t), t [, b], dl pewnej funkcji ciągłej g. Krzywą γ : [, b] R 2 często utożsmimy z jej obrzem Γ = {γ(t) : t [, b]}. Jeśli krzyw γ jest dn równniem (1) F (x, y) = 0, gdzie F : R 2 R jest funkcją ciągłą, tzn. jeśli funkcje x(t) i y(t) spełniją równnie F (x(t), y(t)) = 0 dl kżdego t [, b], to mówimy, że równnie (1) jest równniem ogólnym krzywej. Przykłd 3.1. Okrąg jednostkowy o środku O(0, 0) jest krzywą postci γ(t) = (cos t, sin t), t [0, 2π]. Równnie ogólne okręgu jest nstępujące x 2 + y 2 = 1. Okrąg nie jest wykresem żdnej funkcji, le loklnie jest wykresem. N przykłd górny półokrąg jest wykresem funkcji f(x) = 1 x 2, zś lewy półokrąg wykresem funkcji g(y) = 1 y 2.

9 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ 9 Jeśli krzywą γ utożsmimy z jej obrzem Γ, to odwzorownie γ nzywmy prmetryzcją krzywej Γ. Kżd krzyw posid wiele prmetryzcji. Jeśli γ : [, b] R 2 jest krzywą orz ϕ : [c, d] [, b] jest funkcją ciągłą, to krzyw γ ϕ : [c, d] R 2 jest inną prmetryzcją krzywej γ. Przykłd 3.2. Niech γ(t) = (cos t, sin t), t [0, π], tzn. γ jest górnym półokręgiem o promieniu 1. Zuwżmy, że krzyw γ(t) = (cos 2t, sin 2t), t [0, π] 2 wyzncz ten sm półokrąg. Mmy pondto γ = γ ϕ, gdzie ϕ : [0, π ] [0, π] 2 jest postci ϕ(t) = 2t Wektor styczny, długość krzywej. Powiemy, że krzyw γ(t) = (x(t), y(t)), t [, b], jest klsy C k, k N, jeśli kżd współrzędn x : [, b] R i y : [, b] R jest funkcją klsy C k. Jeśli krzyw γ jest klsy C k dl kżdego k N to mówimy, że γ jest klsy C lub, że jest głdk. Możn pokzć, że jeśli krzyw γ jest przynjmniej klsy C 1, to jej obrz jest zbiorem brzegowym n płszczyźnie, tzn., że nie m punktów wewnętrznych. Wówczs wektor γ (t 0 ) = [x (t 0 ), y (t 0 )] nzywmy wektorem stycznym do krzywej γ w chwili t 0. Długość wektor stycznego w chwili t 0 nzywmy prędkością w chwili t 0, tzn. prędkością nzywmy nstępującą liczbę γ (t 0 ) = x (t 0 ) 2 + y (t 0 ) 2. Ćwiczenie 3.1. Pokzć, że obrz krzywej klsy C 1 jest zbiorem brzegowym. Ćwiczenie 3.2. Wyznczyć prędkości prmetryzcji krzywej z Przykłdu 3.1. Ćwiczenie 3.3. Wyznczyć zleżność prędkości prmetryzcji γ i γ ϕ. Przykłd 3.3. Pokżemy, że wykres funkcji f(x) = x jest krzywą głdką pomimo iż wrtość bezwzględn nie jest funkcją różniczkowlną w 0. N krzywą γ możemy ptrzeć jk n punkt poruszjący się po tej krzywej z pewną prędkością. W punkcie (0, 0) wykres krzywej γ m ostrze. Aby w sposób głdki pokonć to ostrze prędkość w tym punkcie powinn wynosić 0. Niech więc f : R R będzie funkcją tką, że (1) f(0) = 0, (2) lim t f(t) = orz lim t f(t) =, (3) f jest głdk i różnowrtościow, (4) f (k) (0) = 0 dl kżdego k N.

10 10 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ Przykłdem tkiej funkcji jest f(t) = Niech tg ( ) π 1 2 e t 2 dl t < 0 0 dl t = 0 ). t 2 dl t > 0 tg ( π 2 e 1 γ(t) = (f(t), f(t) ), t R. Oczywiście prmetryzcj γ jest prmetryzcją wykresu wrtości bezwzględnej. Pondto istnieje pochodn kżdego rzędu w punktch t 0. Dl t = 0 istnieje pochodn γ (0) i jest równ γ (k) (0) = [0, 0]. Ćwiczenie 3.4. Uzupełnić szczegóły powyższego przykłdu. Powiemy, że krzyw γ klsy C 1 jest regulrn jeśli posid prmetryzcję, dl której wektor styczne γ (t) jest, w kżdej chwili t, niezerowy. Innymi słowy, jeśli prędkość prmetryzcji γ jest, w kżdej chwili, dodtni. Ćwiczenie 3.5. Pokzć, że wykres funkcji f(t) = t nie jest krzywą regulrną. Niech γ : [, b] R 2 będzie krzywą regulrną. Liczbę nzywmy długością krzywej γ. L(γ) = b γ (t) dt Ćwiczenie 3.6. Pokzć, że długość krzywej nie zleży od wyboru prmetryzcji krzywej regulrnej. Ćwiczenie 3.7. Wyznczyć długości nstępujących krzywych: (1) γ(t) = (cos t, sin t), t [0, 2π], (2) γ(t) = (t 2, t + 1), t [0, 1]. (3) γ(t) = (t cos t, t sin t), t [2π, 3π], (4) γ(t) = (e t, t), t [0, ln2]. Często wygodnie jest opisć krzywą we współrzędnych biegunowych. Współrzędnymi biegunowymi punktu P (x, y) nzywmy prę liczb (r, α), gdzie r jest odległością punktu P od początku ukłdu współrzędnych O(0, 0), zś α jest kątem między promieniem wodzącym OP dodtnią półosią Ox, tzn. r = x 2 + y 2 orz tg α = y (o ile x 0) x lub równowżnie (i ogólniej) x = r cos α orz y = r sin α.

11 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ 11 Krzywą γ(t) = (x(t), y(t)), t (, b), możemy ztem we współrzędnych biegunowych wyrzić nstępująco γ(t) = (r(t), α(t)), t (, b). W wielu przykłdch funkcj r jest funkcją zmiennej α, tzn. krzyw γ może być postci r = r(α), czyli γ(α) = (r(α), α) równowżnie γ(α) = (r(α) cos α, r(α), sin α). Ćwiczenie 3.8. Znleźć przestwieni biegunowe nstępujących krzywych (1) Lemniskt Bernoulliego (x 2 + y 2 ) 2 = 2 2 (x 2 y 2 ), (2) Krdioid (x 2 + y 2 x) 2 = 2 (x 2 + y 2 ), (3) Rozet czterolistn (x 2 + y 2 ) 3 = 2 (x 4 + y 4 ), gdzie > 0 jest pewną stłą. Ćwiczenie 3.9. Wyprowdzić wzór n prędkość krzywej dnej we współrzędnych biegunowych. Później wyprowdzić wzór n długość krzywej. Obliczyć długości nstępujących krzywych (1) Spirl logrytmiczn r(t) = e bt, t [0, 2π] (2) Spirl hiperboliczne r(t) = t, t [0, 4π], (3) Spirl Archimedes r(t) = t, t [0, π 2 ], (4) Ślimk Pscl r(t) = cos t + b, t [0, 2π], gdzie < b < 2. Podmy terz brdziej nturlną definicję długości krzywej i pokżemy jej równowżność z wprowdzoną powyżej definicją. Niech γ : [, b] R 2 będzie krzywą regulrną. Niech = t 0 < t 1 <... < t k 1 < t k = b będzie podziłem odcink [, b]. Niech L = L (t0,t 1,...,t k ) będzie łmną łączącą punkty γ(t 0 ), γ(t 1 ),..., γ(t k 1 ), γ(t k ). Długością łmnej L nzywmy sumę długości odcinków tworzących łmną i oznczmy przez dl(l), tzn. dl(l) = γ(t i+1 ) γ(t i ), gdzie jest odległości n płszczyźnie. Długością krzywej γ nzywmy liczbę dl(γ) = sup{dl(l (t0,t 1,...,t k )) : t 0 < t 1 <... < t k 1 < t k jest podziłem odcink [, b]}. Twierdzenie 3.4. Powyższe definicje długości krzywej są równowżne, tzn. dl dowolnej krzywej regulrnej. l(γ) = dl(γ)

12 12 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ Dowód. Niech = t 0 < t 1 <... < t k 1 < t k = b będzie podziłem odcink [, b]. Wówczs γ(t i+1 ) γ(t i ) = = ti+1 t i b γ (t) dt. Z dowolności podziłu otrzymujemy, że dl(γ) l(γ). γ k 1 (t)dt ti+1 t i γ (t) dt Pokżemy terz, że zchodzi nierówność odwrotn. Niech ε > 0. Poniewż γ jest klsy C 1, więc pochodn γ jest ciągł. Poniewż określon jest n przedzile domkniętym, więc jest jednostjnie ciągł. Ztem dl δ > 0 tk, że jeśli s, t [, b] są tkie, że s t < δ, to γ (s) γ (t) < ε b. ε b istnieje Niech = t 0 < t 1 <... < t k 1 < t k = b będzie podziłem odcink [, b] tkim, że t i+1 t i < δ dl kżdego i = 0, 1,..., k 1. Z twierdzeni Lrnge o wrtości średniej dl przedziłu [t i, t i+1 ] istnieje θ i (t i, t i+1 ) tk, że γ(t i+1 ) γ(t i ) = γ (θ i )(t i+1 t i ). Niech η i [t i, t i+1 ] będzie punktem, w którym pochodn γ n przedzile [t i, t i+1 ] przyjmuje mksymlną wrtość. Poniewż t i+1 t i < δ, więc Stąd mmy γ(t i+1 ) γ(t i ) = γ (θ i ) γ (η i ) < ε b. k 1 γ (θ i ) (t i+1 t i ) ( γ (η i ) ε b )(t i+1 t i ) = = = γ (η i ) (t i+1 t i ) ε ti+1 t i ti+1 b t i γ (η i ) dt ε γ (t) dt ε γ(t) dt ε.

13 Pokzliśmy, że dl wybrnego podziłu mmy GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ 13 γ(t i+1 ) γ(t i ) l(γ) ε. Ztem, z definicji kresu górnego, wynik, że dl(γ) l(γ), co kończy dowód Krzywizn. Dl krzywej regulrnej wprowdzimy pojęcie krzywizny, które mierzy, jk sm nzw wskzuje, zkrzywienie krzywej. Zczniemy jednk od wprowdzeni prmetryzcji nturlnej. Niech γ : [, b] R 2 będzie krzywą regulrną. Powiemy, że krzyw γ jest spmetryzown nturlnie lub, że prmetryzcj γ jest nturln jeśli m stłą prędkość równą 1, tzn. γ (t) = 1 dl kżdego t [, b]. Ćwiczenie Pokzć, że kżd krzyw regulrn γ posid prmetryzcję nturlną. Dokłdniej (1) wyznczyć długość krzywej γ : [, b] R 2 obciętej do przedziłu [, t]. Oznczyć tę długość przez l(t). (2) pokzć, że otrzymn funkcj l : [, b] [0, L], gdzie L = l(b) jest długością krzywej γ, jest rosnąc. (3) pokzć, że γ = γ l 1 : [0, L] R 2 jest szukną prmetryzcją nturlną. Niech γ : [, b] R 2 będzie krzywą regulrną sprmetryzowną nturlnie. Niech T (t) = γ (t) będzie wektorem stycznym w chwili t. Liczbę κ(t) = T (t) nzywmy krzywizną krzywej γ w chwili t. Przyjmując N(t) = 1 κ(t) T (t) o ile κ(t) 0 otrzymujemy, że N(t) jest wektorem jednostkowym prostopdłym do T. Istotnie, 0 = d dt 1 = d dt T (t), T (t) = 2 T (t), T (t) = 2κ(t) N(t), T (t). Wektor N(t) nzywmy wektorem normlnym do krzywej γ w chwili t. Ćwiczenie Wyznczyć krzywizny nstępujących krzywych: (1) okrąg o promieniu r, (2) spirl Archimedes, (3) elips o półosich i b, (4) krdioid.

14 14 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ 4. Krzywe przestrzenne 4.1. Podstwowe definicje. Wszystkie definicje dl krzywych płskich przenoszą się n pojęcie krzywej przestrzennej. Jeśli γ : [, b] R 3 jest krzywą przestrzenną, to będziemy pisć γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t [, b]. Przykłd 4.1. Niech γ : [0, 2π] R 3 będzie jedną pętlą linii śrubowej γ(t) = ( cos t, sin t, bt), t [0, 2π]. Wyznczymy długość, prmetryzcję nturlną orz krzywiznę dnej krzywej. Mmy orz γ (t) = Ztem długość krzywej γ jest równ l(γ) = 2π 0 γ (t) = [ sin t, cos t, b] ( sin t) 2 + ( cos t) 2 + b 2 = 2 + b 2. γ (t) dt = 2π b 2 dt = 2π 2 + b 2. Wyznczymy terz prmetryzcję nturlną. Mmy t l(t) = l(γ [0, t]) = 2 + b 2 dt = t 2 + b 2. Dlej, l 1 : [0, 2π 2 + b 2 ] [0, 2π] jest postci 0 l 1 (t) = t 2 + b 2. Stąd prmetryzcj nturln γ jest postci ( γ(t) = γ(l 1 t (t)) = cos 2 + b, sin 2 t 2 + b 2, ) bt, t [0, 2π 2 + b 2 ]. 2 + b 2 Wówczs [ ] T (t) = γ b (t) = cos s, sin s,, 2 + b2 2 + b2 2 + b 2 gdzie s = t. Stąd 2 +b 2 [ T (t) = cos s, ] 2 + b2 2 + b sin s, 0. 2 Ztem krzywizn κ(t) linii śrubowej jest równ ( κ(t) = T (t) = )2 ( 2 + b cos s + ) b sin s 1 = b. 2 Zuwżmy, że jeśli b = 0 to lini śrubow jest okręgiem o promieniu i wówczs krzywizn jest równ κ(t) = 1 (ptrz ćwiczenie 3.11).

15 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ 15 Ćwiczenie 4.1. Wyznczyć prmetryzcje nstępujących krzywych: (1) krzyw Viviniego będąc przecięciem wlc (x 1 2 )2 +y 2 = 1 4 i sfery jednostkowej x 2 + y 2 + z 2 = 1, (2) przecięcie sfery jednostkowej x 2 + y 2 + z 2 = 1 i powierzchni wyznczonej przez równnie y 2 = xz 2. Ćwiczenie 4.2. Wyzncz długość krzywej postci (1) γ(t) = cos t, sin t, 2 cos t), gdzie t [0, 2π], ( (1+t) 3 2 (2) γ(t) = 3, (1 t) 3 2 s 3, 2 ), gdzie t [ 1, 1] Trójścin Frenet. Dl krzywej przestrzennej definiujemy dodtkowe pojęcie związne odchyleniem krzywej w trzech wymirch. Wprowdzjąc to pojęcie przypomnimy znne już pojęci dl krzywej płskiej. Niech γ : [, b] R 3 będzie krzywą przestrzenną, γ(t) = (x(t), y(t), z(t)). Złóżmy, że jest on sprmetryzown nturlnie. Wektor T (t) = γ (t) = [x (t), y (t), z (t)] nzywmy wektorem stycznym do γ w chwili t (, b). Wektor T (t) jest jednostkowy. Liczbę κ(t) = T (t) = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 nzywmy krzywizną krzywej γ w chwili t. Niech N(t) będzie wektorem jednostkowym równoległym do T (t) i o tym smym zwrocie., tzn. κ(t)n(t) = T (t) o ile κ(t) 0. Wektor N(t) nzywmy wektorem normlnym do krzywej γ w chwili t. Poniewż 0 = 1 = T (t), T (t) = T (t), T (t) = 1 T (t), N(t), κ(t) więc wektory T (t) i N(t) są prostopdłe. Płszczyznę przechodzącą przez punkt γ(t) i wyznczoną przez wektor styczny T (t) i normlny N(t) nzywmy płszczyzną ściśle styczną do γ w chwili t. Niech B(t) = T (t) N(t). Wektor B(t), prostopdły do płszczyzny ściśle stycznej, nzywmy wektorem binormlnym. Trójkę T (t), N(t), B(t) tworzącą bzę ortonormlną w punkcie γ(t) nzywmy trójścinem Frenet (w chwili t). Pochodn wektor N w chwili t jest wektorem prostopdłym do T (t) i B(t), ztem N (t) = T (t) + bb(t)

16 16 GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ dl pewnych liczb, b. Mmy 0 = T (t), N(t) = T (t), N(t) + T (t), N (t) = κ(t) +, więc = κ(t). Niech b = τ(t). Wrtość τ(t) nzywmy skręceniem krzywej γ w chwili t. Mmy N (t) = κ(t)t (t) + τ(t)b(t). Pondto B (t) = T (t) N(t) + T (t) N (t) = τ(t)t (t) B(t) = τ(t)n(t). Otrzymliśmy tzw. wzory Frenet T (t) = κ(t)n(t), N (t) = κ(t)t (t) + τ(t)b(t), B (t) = τ(t)n(t). Ćwiczenie 4.3. Wyznczyć krzywiznę i skręcenie nstępujących krzywych (1) krzywych z ćwiczeni 4.2, (2) linii śrubowej, Ćwiczenie 4.4. Wyprowdzić wzory n krzywiznę i skręcenie dl krzywych niekoniecznie sprmetryzownych nturlnie. Litertur [1] J. Oper, Geometri i jej zstosowni, PWN, Wrszw, [2] K. Sieklucki, Geometri i topologi, Część I. Geometri, PWN, Wrszw, [3] P. Wlczk, Geometri różniczkow 1, skrypt, pwelwl/dgwstep.pdf