macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

Transkrypt

1 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili, że A jest macierzą m na n/m n lub A jest wymiaru m n 1 akie macierze oznaczamy przez (a ij ) mn lub skrótowo (a ij ) Liczby a ij nazywamy współczynnikami macierzy Zbiór macierzy wymiaru m n o współczynnikach rzeczywistych oznaczamy przez M(m, n) Przez przekątną główną macierzy rozumiemy elementy (a ii ) Dwie macierze są równe, gdy są tego samego wymiaru oraz ich współczynniki są sobie równe, tzn (a ij ) = (b ij ) wtw, gdy i {1,,m},j {1,,n} a ij = b ij Przegląd macierzy macierze m 1 wektory (kolumnowe), np 1 A = [ 1 1, B =, C = macierze kwadratowe (gdy m = n), np A = [ 3 1, B =, C = macierze diagonalne macierze kwadratowe, których jedyne niezerowe elementy znajdują się na głównej przekątnej, np A = [ , B =, C = 0 5 0, D = macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same jedynki: I 1 = [ , I =, I = 0, I 4 = macierzą zerową (ozn ją przez 0 (0 M(m, n)), z kontekstu wnosząc jaki jest jej wymiar) jest (dowolna) macierz złożona z samych zer macierze górnie trójkątne to macierze, które poniżej głównej przekątnej mają same zera [(dualnie: 1 3 dolnie trójkątne to takie, które powyżej głównej przekątnej mają same zera), np B =, C = Aby uprościć notację i zawęzić na razie naszą uwagę, wszystkie definicje i twierdzenia formułujemy dla macierzy o współczynnikach rzeczywistych, ale analogiczne definicje i twierdzenia zachodzą dla macierzy o współczynników zespolonych W obliczeniach zazwyczaj będziemy opuszczać indeksy pisząc I, wymiar macierzy wnioskując z kontekstu c FF str 1 z 5

2 3 Działania na macierzach 31 Dodawanie macierzy Możemy dodawać jedynie macierze posiadające tę samą liczbę kolumn i wierszy Dla A, B M(m, n), A = (a ij ), B = (b ij ) mamy A + B = (a ij + b ij ) Podobnie Łatwo można sprawdzić, że A B = (a ij b ij ) 0 + A = A + 0 = A (mówimy, że 0 M(m, n) jest elementem neutralnym dodawania w M(m, n)), A + B = B + A (dodawanie macierzy jest przemienne), (A + B) + C = A + (B + C) (dodawanie macierzy jest łączne) 3 Mnożenie przez skalar Jeśli α R, A = (a ij ), to α A = (αa ij ) 33 Mnożenie macierzy Mnożenie macierzy (na pierwszy rzut oka) nie jest tak intuicyjne jak ich dodawanie aka a nie inna jego postać wynika z zależności pomiędzy odwzorowaniami liniowymi i ich macierzami (zależności te omówione są nieco dalej w tekście, patrz pkt 43) Należy pamiętać, że dla dowolnych macierzy A, B: A B istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn A odpowiada liczbie wierszy B Wtedy jeśli A M(m, n), B M(n, p) (czyli liczba kolumn pierwszej macierzy równa jest drugiej), to C = A B istnieje, oraz C = (c ij ) M(m, p), gdzie c ij = a ik b kj k=1 Aby łatwiej było zapamietać jak mnoży się macierze warto zauważyć, że w i-tym wierszu, j-tej kolumnie macierzy C = A B mamy wartość iloczynu skalarnego i-tego wiersza macierzy A, w i (A), i j-tej kolumny macierzy B, k j (B) (traktowanych jako wektory z R n ), czyli c ij = w i (A), k j (B) Własności mnożenia macierzy Dla dowolnych macierzy A, B, C, które można przemnożyć, mamy A(BC) = (AB)C mnożenie macierzy NIE JES PRZEMIENNE (nawet w przypadku mnożenia macierzy kwadratowych) jeśli A jest macierzą kwadratową, to AI = IA = A c FF str z 5

3 34 ransponowanie macierzy Niech A M(m, n) Macierz transponowana A (transpozycja macierzy A), to macierz, która powstaje poprzez zamianę wierszy z kolumnami Np A =, A = Własności transponowania Zakładając, że A, B są takie, że odpowiednie działania można wykonać, mamy jeśli A M(m, n), to A M(n, m), ( A ) = A, (A + B) = A + B, (AB) = B A Warto też zauważyć, że dla dowolnych x, y R n mamy 35 Ślad macierzy x, y = x y Ślad macierzy A to suma współczynników znajdujących się na głównej przekątnej: m tr A = a ii 4 Macierz odwzorowania liniowego 41 Reprezentacja odwzorowania liniowego Wtedy Niech A M(m, n), v R n, czyli A = a 11 a 1n a m1 a mn Av = a 1i v i, v = a mi v i Przypomnijmy, że odwzorowanie (przekształcenie) : R n R m jest liniowe, jeśli dla dowolnych x, y R n i α R zachodzą równości: Kluczowy dla nas jest następujący fakt: v 1 v n (x + y) = (x) + (y) i (αx) = α (x) Uwaga 1 Odwzorowanie liniowe może być utożsamiane z macierzą M wymiaru m n, gdzie (x) = M x c FF str 3 z 5

4 Uzasadnienie Uwagi 1 wyprowadzenie Niech e 1 = [ 0, e = [ 0 0,, e n = [ R n oraz f 1 = [ 0, f = [ 0 0,, f m = [ R m Niech : R n R m będzie przekształceniem liniowym Wtedy m (e j ) = a 1j f a mj f m = a ij f i, dla a 1j,, a mj R, j = 1,, n Stąd dla dowolnego x R n mamy: x = x 1 e 1 + e + + x n e n, x = (x 1,, x n ), m y = (x) = a ij x j f i Widzimy, że odwzorowanie jest jednoznacznie wyznaczone przez współczynniki a ij Co więcej, łatwo zauważyć, że m a ij x j f i = M x, j=1 gdzie a 11 a 1 α 1n a 1 a a n M = a m1 a m a mn jest macierzą odwzorowania Kolumny macierzy M tworzą wektory, które są obrazami wektorów e 1,, e n poprzez przekształcenie liniowe : Ostatecznie mamy j=1 M = [ (e 1 ) (e ) (e n ) (x) = M x Oznacza to, że zamiast badać odwzorowanie liniowe : R n R m, możemy badać jego macierz M M(m, n) 4 Przekształcenia płaszczyzny identyczność: rozciąganie i ściąganie : Symetria względem prostej y = x: () () () =, M = a =, M bx = = x x 1, M = 0 1 [ a 0 0 b [ 0 1 Obrót o kąt α [0, π): () [ cos α sin αx = cos α sin α, R sin αx 1 + cos αx α = sin α cos α c FF str 4 z 5

5 43 Sumowanie i mnożenie macierzy a odwzorowania liniowe o w jaki sposób (i kiedy) dodajemy i mnożymy macierze jest ściśle związane ze związkami macierzy z odwzorowaniami liniowymi Dokładniej, 1 jeśli S, : R m R n, ich macierze to M S, M M(n, m), to M S+ = M S + M, gdzie M S+ jest macierzą odwzorowania S +, jeśli S : R p R m, : R m R n ich macierze to M S M(m, p), M M(n, m), to M S = M M S, gdzie M S jest macierzą odwzorowania S Ważne pojęcia i zagadnienia: macierz, współczynniki macierzy, rodzaje macierzy, dodawanie, mnożenie, transpozycja macierzy i własności tych działań, reprezentacja odwzorowania liniowego, macierz odwzorowania liniowego macierze wybranych przekształceń płaszczyzny, zastosowania ekonomiczne macierzy c FF str 5 z 5