ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ"

Transkrypt

1 ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany i funkcje wymierne 4 5 Macierze i wyznaczniki 5 6 Układy równań liniowych 7 7 Geometria analityczna w przestrzeni 8 8 Pierwsze kolokwium 9 9 Drugie kolokwium 9 0 Egzamin 0 II Odpowiedzi wskazówki Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany i funkcje wymierne 8 Macierze i wyznaczniki 9 Układy równań liniowych 0 Geometria analityczna w przestrzeni Pierwsze kolokwium Drugie kolokwium Egzamin 4

2 Część I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna. Uprość wyrażenie a b ( a (a a ab + b b ( b a b (b a b a + (c a4 + a b + a b ( b a b a ( a b ( a 4 a b + a b ab + b 4 (d a 6 b 6 + ab 5 ba 5.. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f(x wyznacz współczynnik przy jeśli (a f(x = (x + sin(x 7 = x 4 sin (x (b f(x = ( e x 0 = e x ( (c f(x = x 4 9 x = x 4 (d f(x = k=0 ( 99 x + x = x x 98.. Zapisz w prostszej postaci liczbę n [( ] n (a k k k=0 n [( ] n (b ( k k k=0 n [ n k ] (k + (k +... n (c (n k! k=0 n [ ( k ] (n k + (n k +... n (d k! n n k. 4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij że dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich n: (a n n(n + (n + = 6 (b n = n (n + 4 (c n + (n + (d liczba 4 n 4 jest podzielna przez. Geometria analityczna na płaszczyźnie. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy wektorami u v jeśli ( (a u = ( v = ( (b u = ( v = ( ( (c u = v =

3 ( (d u = ( v =.. Wyznacz w mierze łukowej kąt ϕ przy wierzchołku C w trójkącie ABC jeśli ( ( (a A = ( B = + C = + ( (b A = ( B = ( oraz C = + ( (c A = ( B = C = (0 ( (d A = 0 ( B = 4 C = (.. Oblicz wysokość h trójkąta ABC o podstawie AC jeśli (a A = ( 5 B = (0 6 oraz C = ( (b A = (5 5 B = ( oraz C = (. 4. Wyznacz punkt P 0 przecięcia oraz kąt ϕ pod jakim przecinają się proste na płaszczyźnie określone równaniami { { x = t x = (a oraz y = t y = + s { { x = t x = s (b oraz y = 5 + t y = s. 5. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty (a A = (4 6 B = (5 5 i C = (6 (b A = ( + 7 B = (0 + i C = ( Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S którego jedną ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A B jeśli (a S = ( A = ( B = ( 4 (b S = ( A = ( B = (4. 7. Napisz równania tych stycznych do danego okręgu które przecinają się z prostą przechodzącą przez punkty A B pod kątem ϕ jeśli (a równaniem okręgu jest x x + y + 6y + 5 = 0 oraz A = ( B = ( ϕ = π 4 ( (b równaniem okręgu jest x + x + y = 0 oraz A = 4 B = (0 ϕ = π. Liczby zespolone. Zapisz w postaci algebraicznej oraz zaznacz na płaszczyźnie liczbę zespoloną (a z = + i i (b z = + i 4 + 5i.. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a Re( iz (b Im(z i = Im(( iz + i (c Re ( z = [Im(iz] 4 (d iz + = iz i (e z = 4z 4.. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną

4 (a z = ( + i 0 ( i 40 (b z = (c z = ( + i40 ( i 0 ( i 4 ( i 4 ( i 0 (d z = ( + i ( i 4 (e z = ( i 700 ( + i Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a 0 arg( + iz π/ (b Im ( z 4 < 0 (c 0 arg( iz π (d Im ( z 4 > Wyznacz pole P figury (a F = { z C : ( Im ( z 0 ( Im(z < 0 } { ( (b F = z C : 0 Im(z } Re(z ( z. 6. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie (a z z + 4 = 0 (b z + 8z + 5 = 0 (c z + 0z + 4 = 0 (d z 4 = ( + z Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby (a z = (b z = i (c z = + i (d z = + i (e z =. 8. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby (a z = 8 (b z = 6 (c z = i. 4 Wielomiany i funkcje wymierne. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x przez Q(x jeśli (a P (x = x 5 x 4 + x + x + 7 Q(x = x + x + (b P (x = x 4 + x + x + x + Q(x = x + x +.. Rozłóż wielomian W (x na nierozkładalne czynniki rzeczywiste jeśli (a W (x = x 4 + x x 4x 4 (b W (x = x 4 + x x. 4

5 . Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę R(x z dzielenia wielomianu P (x przez Q(x jeśli (a P (x = x 4 + x + x + x + Q(x = x (b P (x = x 5 + x 4 Q(x = x Rozłóż wielomian zespolony W (z na czynniki liniowe jeśli (a W (z = z z + 4z 8 (b W (z = z + 5z + 8z Rozłóż funkcję wymierną właściwą f(x na sumę rzeczywistych ułamków prostych jeśli x + (a f(x = x + x + 5x + 4 x + (b f(x = x + x + 4x + 4 (c f(x = x + 5x + x + x + x + (d f(x = x + 4x + 5x + 5 x 4 + x + x + x Rozłóż funkcję wymierną f(x na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych jeśli (a f(x = x4 5x + 5x 9x x 5x + 4x 0 (b f(x = x5 x 4 5x +x x x. 5x 5 Macierze i wyznaczniki. Rozwiąż równanie macierzowe ( ( 0 6 (a A = 0 0 (b A T = (c 0 A T = Trzema sposobami: za pomocą odpowiedniego wzoru przez rozwinięcie Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej oblicz wyznacznik (a W = 5 (b W = 7 (c W = (d W = Dwoma sposobami: z użyciem rozwinięcia Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej oblicz wyznacznik (a W = 5

6 (b W = Wyznacz te wartości parametru a C dla których macierz A jest nieosobliwa jeśli ( a a (a A = a a (b A = a a a (c A = a a. a 5. Dwoma sposobami: z pomocą twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej oraz przez przekształcanie razem z macierzą jednostkową wyznacz macierz odwrotną do macierzy A jeśli ( (a A = 4 (b A = (c A = (d A =. 6. Zbadaj dla jakich parametrów a C istnieje macierz odwrotna A do macierzy A a następnie wyznacz ogólny wzór na A jeśli ( a + (a A = a + 4 a + 4 (b A =. a 7. Wyznacz rząd r(a macierzy A jeśli (a A = 4 (b A = i i i + i 4 (c A = 5 5 i 4 (d A = i W zależności od parametru a C wyznacz rzędy macierzy z zadania Dla macierzy A wyznacz wartości własne λ C i odpowiadające im przykłady wektorów własnych v C jeśli 6

7 ( (a A = 4 5 ( (b A = ( (c A = ( 7 (d A = 7. 6 Układy równań liniowych. Rozwiąż układ równań { x + y = (a x y = 5 (b (c (d (e x + y + z = 0 x y + z = 0 x + y z = x + y + z t = 4 x + y z + t = 4 x y + z + t = x + y + z + t = x y + z + t = 4 x y z + t = 0 x y z t = 8 x + y + z = x + y + z = x + y + z =. Pierwsze dwa przykłady rozwiąż trzema sposobami: metodą eliminacji Gaussa ze wzorów Cramera i metodą macierzy odwrotnej.. W zależności od parametru a C rozwiąż układ równań { x + y = 8 (a x ay = 8 (a + 6x + y + z = 4 (b x + (a + 5y + z = 4 x + z = 4.. Wyznacz te wartości parametru a C dla których poniższy układ równań ma przynajmniej jedno rozwiązanie: { x + y = a (a 8x y = 6 x + y + 4z = a (b 4y z = 5 7x + y + 0z = W zależności od parametru a C określ ilość rozwiązań układu { x + y = (a 7x + ay = a x + y + az = (b x + ay + z = a ax + y + z = a. 7

8 7 Geometria analityczna w przestrzeni. Wyznacz te wartości parametru a R dla których (a równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = ( 5 B = ( C = ( a i wierzchołku E = ( a nad A jest prostopadłościanem (b kąt pomiędzy wektorami u = (a 6 4 oraz v = (a 4 jest prosty (c wektory u = ( a v = ( są równoległe.. Podaj (a równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = ( B = (0 C = ( 0 5 x = + t + s (b równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym y = + t s z = + t + s (c równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = + t + s y = t + s z = t + s (d równanie parametryczne płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + z + = 0 { x + y + z = 0 (e równanie parametryczne prostej o równaniu krawędziowym x + y + z = 0 x = + t (f równanie krawędziowe prostej o równaniu parametrycznym y = t z = 4 + t (g równanie ogólne płaszczyzny zawierającej proste m : wyznacz punkt przecięcia tych prostych x = + t y = z = + t oraz l : x = t (h równanie parametryczne prostej prostopadłej do prostych m : y = z = + t w punkcie ich przecięcia.. Wyznacz odległość d(p π punktu P od płaszczyzny π jeśli (a P = ( π : x + y + z = 0 x = + t + s (b P = ( π : y = + s z = t + s. 4. Wyznacz odległość d(p l punktu P od prostej l jeśli x = + t (a P = ( 4 l : y = + t. (b P = ( 5 l : z = t { x + y + z + 5 = 0 x y z + = Wyznacz rzut prostopadły P punktu P = ( na x = + t (a prostą l : y = + t. z = t { x y z + = 0 (b prostą l : x y + z = 0 (c płaszczyznę π : x + y z + 4 = 0 x = + t s (d płaszczyznę π : y = + t + s z = t. l : x = s y = s z = 5 s; x = s y = + s z = s 8

9 a następnie odbicia symetryczne P punktu P względem powyższych prostych i płaszczyzn. 6. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy (a prostymi l : z = t x = + t y = t (b płaszczyznami π : (c prostą l : 7. Wyznacz pole P x = + t + s y = t s z = t + s { x + y + z + = 0 x y + z + = 0 oraz m : z = s. (a równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = ( 4 B = (0 C = ( x = + s y = + s oraz π : y z = 0 i płaszczyzną π : x + y + 5 = 0. (b równoległoboku o środku w punkcie O = ( i końcach jednego z boków A = ( 4 B = (0 (c trójkąta o wierzchołkach A = ( 4 B = (0 C = (. 8. Wyznacz objętość V (a czworościanu o wierzchołkach A = ( B = ( C = ( i D = ( (b równoległościanu rozpiętego na wektorach u = ( v = ( oraz w = ( (. 8 Pierwsze kolokwium Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału. Zestaw A. Oblicz wysokość trójkąta ABC o podstawie BC jeśli A = ( B = ( 4 oraz C = (7.. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( + i 5 ( i 50.. Rozłóż funkcję wymierną właściwą f(x = x + 5 x + 4x 5 Zestaw B na sumę rzeczywistych ułamków prostych.. Wyznacz ( w mierze łukowej kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = ( 6 B = ( 7 oraz C = Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( i 50 ( + i 00.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x = x + 6x + x + x + x +. 9 Drugie kolokwium Zestaw A. Wyznacz te wartości parametru p C dla których istnieje macierz odwrotna A do macierzy p 4 A = 4 8 a następnie podaj wzór na A. p 8 6 9

10 q x + y + z = + q. W zależności od parametru q C rozwiąż układ równań x + y + z = 6 x + y + z = 7. { x + y + z 6 = 0. Niech P = ( oraz prosta l będzie dana układem równań x + z = 0. prostopadły punktu P na prostą l oraz odległość tego punktu od prostej l. Wyznacz rzut Zestaw B. Dla macierzy A = 0 0 wyznacz rząd r(a wartości i wektory własne. 0 x + λ y + z = 0 x + y + t = i λ. W zależności od parametru λ C określ ilość rozwiązań układu x + z + t = y + z + t =.. Wyznacz te wartości parametru p R dla których prosta l : jest prostopadła do płaszczy- zny π : x = + u + s y = u + s z = + u + s. symetryczne tego punktu względem płaszczyzny π. 0 Egzamin Zestaw A x = + t y = pt z = + t Ponadto wyznacz rzut punktu P = ( na płaszczyznę π oraz odbicie. Równanie z = ( + z rozwiąż w zbiorze liczb zespolonych. Wyniki podaj w postaci algebraicznej.. Rozwiąż równanie macierzowe 0 ( T A =. 0. W zależności od parametru a C określ ilość rozwiązań układu x + y + z = x + y = x + a y + z = + a. 4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A =. 5. Wyznacz { rzut prostopadły punktu P = ( na prostą x + y + z = 0 l :. x + z = 0. Zestaw B. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie z = ( + z. Wyniki podaj w postaci algebraicznej. T 0 (. Rozwiąż równanie macierzowe A T =. 0. W zależności od parametru a C określ ilość rozwiązań układu 6x + y + z = 4x + y = x + a y + z = + a. 0

11 4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A = 5. Wyznacz odbicie symetryczne punktu P = ( względem płaszczyzny x + y + z + = 0. Zestaw C. Równanie z +(+iz+ i + = 0 rozwiąż zbiorze liczb zespolonych. Wyniki podaj w postaci algebraicznej. 4. Oblicz wysokość czworościanu ABCD o podstawie ABC jeśli A = ( B = ( C = (0 D = ( 4. y + z =. Metodą macierzy odwrotnej rozwiąż układ równań x + y = z trzema niewiadomymi x y z. x + z = 4 4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy B = ( 4 5. W zależności od parametru a C określ rząd macierzy D a = Część II Odpowiedzi wskazówki.. a a 0 a 0 a 0 0 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna. (a b (b a (c a b (d. ( 7. (a a 4 = = 5 ( 0 (b a = = 0 ( 9 (c a = = 6 ( 99 (d a = = 99.. (a 4 n (b ( n (c ( + n n ( n n (d. n 4. Najpierw przez podstawienie sprawdź że teza zachodzi dla n = ; prawdziwe zatem jest twierdzenie T. Następnie z prawdziwości twierdzeń T T... T n (może wystarczyć użycie tylko T n wywnioskuj prawdziwość twierdzenia T n+ gdzie n N +..

12 Geometria analityczna na płaszczyźnie. (a ϕ = π (b ϕ = π 6 (c π (d ϕ = 7 π. Aby nie używać funkcji trygonometrycznych kąta otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów. π w dwóch ostatnich przykładach wyniki można. (a ϕ = π (b ϕ = π 6 (c ϕ = π (d ϕ = π 4.. (a h = 0 (b h =.

13 ( 4. (a P 0 = ϕ = π (b P 0 = ( 4 ϕ = π (a (x + (y = 5 (b (x + + (y = (a (x + (y + = 9 (b (x + + (y + = 0.

14 7. (a y = y = 5 x = x = (b y = y = y = x + 4 y = x 4. Liczby zespolone. (a z = i (b z = i.. (a półpłaszczyzna y 4

15 (b prosta y = x (c zbiór będący sumą prostych prostych y = y = (d prosta y = x 5

16 ( 4 (e okrąg o środku w punkcie 0 i promieniu.. (a z = + i (b z = i (c z = i (d z = (e z = + i. 4. (a Zbiór A składa się z liczb zespolonych z spełniających trzy warunki: Re(z 0 Im(z oraz z i (przesunięta o wektor (0 czwarta ćwiartka układu współrzędnych z brzegiem i bez punktu (0 ( π (b arg(z 4 π ( π 4 π czterech kątów. ( 5π 4 π ( 7π 4 π co na płaszczyźnie przedstawia sumę wnętrz 6

17 (c Jest to zbiór {z C : Rez 0 Imz z i} (d arg(z kątów. ( 0 π ( π 4 π ( π 5π ( π 4 4 7π co na płaszczyźnie jest sumą wnętrz czterech 4 5. (a P = 7

18 (b P = π. 6. (a z { + i } i (b z { 4 + i 4 i} (c z { 5 + i 5 i} (d z { 5 5 i } i. 7. (a w 0 = + w = w = (b w 0 = + i w = + i w = i (c w 0 = + i w = ( + + (d w 0 = + + i w = Wskazówka: cos π = (e w 0 = + cos ( π 6 + i w = w = i 8. (a z = z = i z = z = i i w = ( i w = = i. = + sin π = (b z = + i z = + i z = i z = i (c z = + i z = + i z = i z = i. Wielomiany i funkcje wymierne. (a I(x = x x + R(x = 5 i. 8

19 (b I(x = x + x R(x = x (a W (x = (x + (x ( x + x + (b W (x = (x (x + (x + x +.. (a R(x = x + (b R(x = 6x (a W (z = (z (z + i(z i (b W (z = (z + (z + + i(z + i. 5. (a f(x = x + x x + x (b f(x = x + x + + x + x (c f(x = x + x + + x + (d f(x = x + + x + + x (a f(x = x + x 5 + x + 4 (b f(x = x + (x + + x. Macierze i wyznaczniki ( 0. (a A = 0 0 ( 0 (b A = (c A = (.. (a W = (b W = (c W = (d W = 0.. (a W = (b W = (a a C \ {0 } (b a C \ { } 5 5 (c a C \ { }. ( 4 5. (a A 5 5 = (b A = (c A = (d A =

20 6. (a Macierz odwrotna istnieje dla a C \ { 4} wtedy A = (b macierz odwrotna istnieje dla a C \ {} wtedy A = 7. (a r(a = (b r(a = (c r(a = (d r(a =. ( a (a (a+4 a a+ (a (a+4 a a a 0 a 0 a. 8. (a r(a = dla a C \ {0 } r(a = dla a {0 } (b r(b = dla a C \ { } r(b = dla a = r(b = dla a =. (c r(c = 4 dla a C \ { } r(c = dla a = r(c = dla a =. ( 9. (a wartości własnej λ = odpowiadają wektory własne postaci gdzie C \ {0} na ( ( przykład v = wartości własnej λ = 6 odpowiadają wektory własne postaci 4 gdzie C \ {0} na przykład v = ( 4 ( (b wartości własnej λ = 4 odpowiadają wektory własne postaci gdzie C \ {0} na przykład ( ( v = wartości własnej λ = odpowiadają wektory własne postaci gdzie ( C \ {0} na przykład v = ( (c wartości własnej λ = i odpowiadają wektory własne postaci gdzie C \ {0} ( ( i na przykład v = wartości własnej λ i = i odpowiadają wektory własne postaci ( ( gdzie C \ {0} na przykład v ( + i = + i ( (d wartości własnej λ = +i odpowiadają wektory własne postaci gdzie C\{0} ( ( 5 + i na przykład v = wartości własnej λ 5 + i = i odpowiadają wektory własne postaci ( ( gdzie C \ {0} na przykład v ( 5 i =. 5 i Układy równań liniowych. (a x = y = (b x = y = 0 z = (c x = y = z = t =. (d y = t = 4 z = x + z C dowolne (e układ sprzeczny (brak rozwiązań.. (a Dla a C \ { } układ{ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = 4 y = 0 a dla a = nieskończenie x = 4 wiele rozwiązań postaci y y C (b dla a C \ { 5} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = y = 0 z = a dla a = 5 nieskończenie x = 4 z wiele rozwiązań postaci y = 0 z C. 0

21 . (a a = lub a = (b a =. 4. (a Dla a C\{4} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a = 4 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań (b dla a C\{ } układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a = nieskończenie wiele rozwiązań a dla a = jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. Geometria analityczna w przestrzeni. (a a = (b a = 4 lub a = 4 (c a = lub a =.. (a x z + = 0 (b x z = 0 (c x + y z + = 0

22 (d (e (f x = + t + s y = t z = s x = + t y = t z = + t { x + y 4 = 0 y + z 6 = 0 (g punktem wspólnym prostych jest P = ( 4 (dla t = i s = a płaszczyzna ma równanie x z + = 0 x = + t (h y =. z = t.. (a d(p π = (b równaniem ogólnym płaszczyzny jest na przykład x y + z + 4 = 0 a odległość d(p π =. 4. (a d(p l = 6 (b d(p l =. 5. (a P = ( P = ( ( 4 (b P = 5 ( (c P = 5 ( P = 4 5 P = ( 0 4 (d P = ( 4 P = ( (a ϕ = π (b ϕ = π (c ϕ = π (a P = 6 (b P = 4 6 (c P = (a V = (b V = 5.

23 Pierwsze kolokwium Zestaw A. h = 4.. z = i.. f(x = x + x x + x + 5. Zestaw B π. 6.. z = + i.. f(x = x + + x + x + x +. Drugie kolokwium Zestaw A. Macierz A jest odwracalna dla p C \ {} wtedy A = 0 p p. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla q C \ { } postaci p 4 p 4 0 p 4 p+ 8p 6 8p 6 x = + t Dla q = układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci y = 5 t z = t gdzie t C. Dla q =. Rzutem jest P = układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. ( 5 7 a odległość d(p l = 6. x = +q y = +8q +q z = q +q..

24 Zestaw B. Rząd r(a = wartościami własnymi są liczby λ = oraz λ =. Wektory własne dla wartości własnej λ = są postaci v = t s t s gdzie t s C t + s 0 a wektory własne dla wartości własnej λ = są postaci v = t t t gdzie 0 t C.. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla λ C \ { i i} nieskończenie wiele rozwiązań dla λ = i oraz jest sprzeczny dla λ = i.. Prosta jest prostopadła do płaszczyzny dla p =. Rzutem prostopadłym punktu P na płaszczyznę π jest P = ( 8 P = 7. ( 6 7 a odbiciem symetrycznym 6 Egzamin Zestaw A. Można było na przykład wykorzystać wzór na różnicę trzecich potęg a potem rozwiązać równanie kwadratowe. Rozwiązaniami są liczby z = z = i z = i.. A = 0 ( T (zła kolejność mnożenia dyswalifikuje rozwiązanie 0 0 A = = Wyznacznik macierzy głównej W = a zatem dla a C \ { } układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Użycie rozumowania : jeśli W = W x = W y = W z = 0 to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony dyskwalifikuje dalszą część rozwiązania. Dla a = układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. 4. Wielomian charakterystyczny w(λ = λ(λ ( λ. Wartościami własnymi są λ = 0 λ = λ = a wektory własne są odpowiednio postaci 0 v = v = v = 0 gdzie C \ {0}. 4

25 x = t 5. Równaniem parametrycznym prostej l jest na przykład y = z = t ( 0. a jej wektorem kierunkowym u = Płaszczyzna do której należy punkt P i która jest prostopadła do l ma równanie x z = 0. ( Poszukiwanym rzutem jest P =. Zestaw B. Można było na przykład wykorzystać wzór na różnicę trzecich potęg a potem rozwiązać równanie kwadratowe. Rozwiązaniami są liczby z = z = i z = i.. Można choć niekoniecznie wykorzystać wzór (X Y T = Y T X T. 0 ( T Wtedy A = (zła kolejność mnożenia dyswalifikuje rozwiązanie 0 0 A = = Wyznacznik macierzy głównej W = 4a 4 zatem dla a C \ { } układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Użycie rozumowania : jeśli W = W x = W y = W z = 0 to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony dyskwalifikuje dalszą część rozwiązania. Dla a = układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. 4. Wielomian charakterystyczny w(λ = λ(λ ( λ. Wartościami własnymi są λ = 0 λ = λ = a wektory własne są odpowiednio postaci 0 v = v = v = 0 gdzie C \ {0}. 5. Prosta do której należy punkt P i która jest prostopadła do danej płaszczyzny ma na przykład równanie x = + t ( y = + t Rzutem punktu P na daną płaszczyznę jest P = 5 a poszukiwanym odbiciem z = t. ( symetrycznym P = 7. 5

26 Zestaw C. = = { i i}. Rozwiązaniami są liczby z = z = i.. Równaniem płaszczyzny podstawy π jest x y + = 0. Wysokość h = d(d π =.. Macierz główna A = jej odwrotność A = Kolumna niewiadomych X = A 4 = Formułujemy odpowiedź: x = y = 0 z = Wielomian charakterystyczny w(λ = (λ + (λ 5 stąd wartościami własnymi są λ = λ = 5. ( 4 Dla wartości własnej λ wektory własne są postaci v = ( dla wartości własnej λ wektory własne są postaci v = w obu przypadkach C \ {0}. 5. Wyznacznik det (D a = 4a 4 zatem dla a C \ { } rząd r (D a = 5. Oddzielnie sprawdzając r (D = 4 r (D = 4.. 6

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1, Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 1. Lista zadań

ALGEBRA LINIOWA 1. Lista zadań ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A ALGEBRA LINIOWA Wszystkie warianty kursu Lista zdań obejmuje cały materiałkursu oraz określa przybliżony stopień trudności zadań, które pojawia się na kolokwiach i egzaminach

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZNĄ częściowe notatki z wykładów, rozwiązane przykłady, zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki zadania strona główna Spis treści I Geometria analityczna w R Płaszczyzna i wektory

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Repetytorium z matematyki ćwiczenia Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi. Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.

1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i

Bardziej szczegółowo

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3. Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria

Algebra liniowa z geometria Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +

Bardziej szczegółowo

GAL 80 zadań z liczb zespolonych

GAL 80 zadań z liczb zespolonych GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1 KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Spis treści 2

Spis treści. Spis treści 2 Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone.................................................. Liczby zespolone - odpowiedzi.......................................... 5. Macierze......................................................

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) = Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D. Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.

Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych. Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Przestrzenie liniowe 0 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Liczby zespolone 8 6 Wielomiany 7 Całki nieoznaczone 8 Zastosowania

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30 Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4. Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Pytania i polecenia podstawowe

Pytania i polecenia podstawowe Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:

Bardziej szczegółowo

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Zadanie 1 la każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy.. C.. Korzystamy ze wzoru Zadanie 2 Liczba jest równa.. 2 C.. 3 Zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),

(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d), Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej

Bardziej szczegółowo

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach: Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego

Bardziej szczegółowo