Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Transkrypt

1 Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x < x <... < x n < x n = b Długość i tego podprzedziłu oznczymy x i = x i x i, cły zbiór n podprzedziłów oznczymy n. Podziłowi n możemy przyporządkowć liczbę δ n = mx x i, nzywną średnicą podziłu. Możemy rozptrywć ciąg podziłów ( n ). Tki ciąg nzywmy normlnym, gdy δ n =. n Dl dnego podziłu n wybiermy w kżdym podprzedzile liczbę ξ i, x i ξ i x i i tworzymy sumę σ n = f(ξ i ) x i. () i= Jeżeli dl kżdego ciągu normlnego podziłów przedziłu [, b] kżdy ciąg sum (σ n ) dąży do grnicy skończonej (niezleżnej od wyboru punktów ξ i ), to grnicę tę nzywmy cłką oznczoną funkcji f(x) w przedzile [, b] i oznczmy przez Pojedyncze skłdniki sumy () są polmi prostokątów o podstwie x i i wysokości f(ξ i ). Sum tych pól przybliż pole figury ogrniczonej od dołu osią Ox, od góry wykresem funkcji f, z boków odcinkmi prostych x =, x = b (tką figurę nzywmy trpezem krzywoliniowym). Przybliżenie to jest corz dokłdniejsze gdy n rośnie. Wrtość grniczn, czyli cłk oznczon, jest polem trpezu krzywoliniowego. Uwg. Powyższe określenie cłki dotyczy przypdku gdy < b. Przyjmujemy pondto, że f(x) =, b f(x) = f(x) dl < b. Przykłd. Obliczymy z definicji cłkę n równych części: x. W tym celu rozptrzymy ciąg podziłów n < n < n < < n n =. Punkty ξ i wybierzemy jko środki odpowiednich odcinków: ξ i = x i + n = i n + n = i n.

2 Wtedy σ n = Ciąg jest stły, więc i= i n n = n (i ) = + (n ) n = n. i= x = n σ n =. Zuwżmy, że dl innego wyboru liczb ξ i, np. ξ i = x i = i n otrzymmy σ n = i= i n n = n i= (i ) = + (n ) n n = n n. Tym rzem ciąg nie jest stły, le grnic jest tk sm: n n n =. Jeszcze inczej: gdy ξ i = x i = i n, to otrzymmy i σ n = n n = n i= i= i = n + n n = n + n. I znowu grnic jest tk sm: n + n n =. Twierdzenie. (włsności cłki).. (f(x) ± g(x)) = f(x) = c f(x) + f(x) ± 4. Jeżeli f(x) g(x) dl x [, b], to c g(x) ; Af(x) = A f(x) dl < c < b; f(x) g(x). f(x) ; Twierdzenie. (o istnieniu cłki) Jeżeli funkcj f jest ogrniczon n [, b] i m n tym przedzile skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzju, to istnieje cłk oznczon Mówimy wtedy, że funkcj f jest cłkowln n [, b]. Wniosek. Funkcj f ciągł n przedzile [, b] jest cłkowln n [, b]. Uwg. Liter, jkiej użyjemy jko zmiennej cłkowni jest nieistotn, bo f(x) = f(s) ds = f(t) dt = Cłk oznczon jest liczbą, cłk nieoznczon zbiorem funkcji. Niemniej te dw pojęci są blisko ze sobą związne. Nstępujące twierdzeni, wyjśnijące ten związek, są podstwowymi twierdzenimi rchunku cłkowego.

3 Twierdzenie (o cłce ze zmienną górną grnicą) Jeżeli funkcj f jest ciągł n [, b], x to dl kżdego x [, b] istnieje cłk oznczon f(t) dt. Możn więc określić funkcję G(x) = x f(t) dt. Funkcj G(x) jest różniczkowln n [, b] i F (x) = f(x). Nieformlny dowód twierdzeni. Chcemy wykzć, że dl dowolnego x [, b] jest G (x) = f(x), tzn. że G(x + h) G(x) = f(x). h h Gdy f(x) n [, b], to G(x) jest równe polu pod wykresem funkcji f, od do x. Ztem G(x + h) G(x) jest równe polu pod wykresem funkcji f, od x do x + h. Intuicyjnie jest zrozumiłe, że to pole jest równe polu prostokąt o podstwie h i wysokości równej f(z) dl pewnego z [x, x + h]. Wtedy ilorz G(x+h) G(x) h jest równy f(z). Z ciągłości funkcji f wynik, że gdy h, to z x orz f(z) f(x). Tego włśnie chcieliśmy dowieść. Przykłd. Obliczyć G(x), gdy { x dl x [, ] f(x) = + x dl x [, 3] Rozwiąznie. Trktując G(x) jk pole odpowiedniego obszru zuwżmy njpierw, że gdy x [, ], to obszr jest trpezem o podstwch 3 i f(x) = x orz wysokości x+. Ztem G(x) = 3+ x (x + ) = x + x + 4. W szczególności G() = 4. Gdy x [, 3], to obszr jest sumą dwóch trpezów: tego n lewo od osi Oy i trpezu o podstwch i f(x) = + x orz wysokości x. Ztem G(x) = G() + ++x x = x + x + 4. Osttecznie { G(x) = x + x + 4 dl x [, ] x + x + 4 dl x [, 3] Możn sprwdzić (z definicji), że t funkcj jest różniczkowln w zerze. Twierdzenie 4. (Newton-Leibniz) Jeżeli F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f ciągłej n [, b], to f(t) dt = F (b) F (). D o w ó d. Niech G ozncz funkcję pierwotną zdefiniowną wyżej: G(x) = dl dowolnego x [, b] G(x) F (x) = C. Dl x = jest G() =. Ztem C = F (), więc Jeśli terz podstwimy x = b, to G(x) F (x) = F (). x f(t) dt. Wtedy ztem f(t) dt F (b) = F (), f(t) dt = F (b) F (). 3

4 To kończy dowód. Zmist F (b) F () piszemy F (x) b lub [F (x)] b. 8 Przykłdy.. 3 x ;. 4. (x + 3 x ) ; 3 π ( sin x 3 cos x). 3 +x. Nstępujące twierdzeni ułtwiją oblicznie cłek. Twierdzenie 5. (o cłkowniu przez podstwienie) Jeżeli funkcj f(t) jest ciągł n zbiorze wrtości funkcji t = ϕ(x) ciągłej i mjącej ciągłą pochodną w [, β] orz jeżeli ϕ() =, ϕ(β) = b, to Przykłdy... e x +e ; x π/ 9 4 cos x sin x. x ; f (ϕ(x)) ϕ (x) = f(t) dt. Twierdzenie 6. (o cłkowniu przez części) Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mją w przedzile [, b] ciągłe pochodne, to Przykłdy... xe x ; π π x sin x. ln x ; u(x)v (x) = u(x)v(x) b v(x)u (x).. Zstosownie cłek w geometrii.. Oblicznie pól Pole trpezu krzywoliniowego ogrniczonego od dołu osią Ox, od góry wykresem funkcji f(x), z boków odcinkmi prostych x =, x = b wynosi: P = Jeżeli funkcj ogrniczjąc z góry m równni prmetryczne x = x(t), y = y(t), gdzie t β, orz x(t) jest rosnąc i m ciągłą pochodną n [, β] 4

5 y(t) jest ciągł i nieujemn n [, β] x() =, y(β) = b to: P = y(t)x (t) dt. Jeżeli x(t) jest mlejąc (pozostłe złożeni jk wyżej), to P = y(t) x (t) dt. Jeżeli obszr jest ogrniczony od dołu wykresem funkcji g, od góry wykresem funkcji f, z boków odcinkmi prostych x =, x = b, to wzór n pole uleg modyfikcji i m postć: P = (f(x) g(x)). Uwg. Nie m znczeni, czy wykresy są nd osią Ox, czy nie. Wżne jest jedynie by f(x) g(x) dl dowolnego x [, b]. Przykłdy. Obliczyć pol figur ogrniczonych krzywymi:. xy =, y =, x =, x =.. y = 4x + 4, y = x. x + y b = (elips). Wsk. Korzystmy z symetrii elipsy: P = 4 b x. Wrtość cłki uzyskujemy bez liczeni interpretując ją jko pole ćwirtki koł. Możn też obliczć pole posługując się równnimi prmetrycznymi elipsy x = cos t, y = b sin t. 4. x = (t sin t), y = ( cos t), t π, y = (łuk cykloidy). Jeżeli w biegunowym ukłdzie współrzędnych mmy obszr określony nierównościmi: ϕ β, ρ ρ(ϕ), gdzie ρ(ϕ) jest pewną krzywą (tki obszr jest trójkątem krzywoliniowym), to jego pole obliczmy stosując wzór P = ρ (ϕ) dϕ Przykłdy. Obliczyć pol figur ogrniczonych krzywymi:. ρ = ϕ dl < ϕ < π ;. ρ = cos ϕ, gdzie > (lemniskt Bernoullego).. Długość łuku Jeżeli chcemy obliczyć długość łuku krzywej y = f(x) dl x b, to stosujemy wzór l = + f (x). () Przykłdy. Obliczyć długości łuków krzywych:. f(x) = ln cos x, x π 4 ;. x /3 + y /3 = /3, gdzie > (steroid). Wsk. Korzystmy z symetrii steroidy i liczymy długość łuku w I ćwirtce płszczyzny. Stosując wzór n pochodną funkcji uwikłnej sprwdzmy njpierw, że + (y ) = /3 x /3. 5

6 Możn też posłużyć się równnimi prmetrycznymi: x = cos 3 t, y = sin 3 t (ptrz wzór niżej). Jeżeli krzyw jest określon prmetrycznie: x = x(t), y = y(t) dl t β, to wzór jest inny: l = (x (t)) + (y (t)) dt. (3) Wzór (3) jest wżniejszy, bo wzór () jest jego szczególnym przypdkiem, gdy x = t, y = f(t). Przykłdy. Obliczyć długości łuków krzywych:. x = (t sin t), y = ( cos t), t π (łuk cykloidy)..x = e t sin t, y = e t cos t, t π W biegunowym ukłdzie współrzędnych, dl krzywej ρ = ρ(ϕ), ϕ β: l = (ρ(ϕ)) + (ρ (ϕ)) dϕ. (4) Również ten wzór jest szczególnym przypdkiem wzoru (3), gdy x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. Przykłdy. Obliczyć długości łuków krzywych:. ρ = sin 3 ϕ 3, ϕ [, 3π];. ρ = sin ϕ, >, ϕ [, π].. Objętość i pole powierzchni brył obrotowych W ukłdzie Oxy rozptrujemy krzywą o równniu y = f(x), x b, i obrcmy ją dokoł osi Ox. Krzyw zkreśl wtedy powierzchnię. Po zmknięciu tej powierzchni płszczyznmi x = i x = b otrzymujemy bryłę, której objętość wynosi: pole powierzchni bocznej S = π V = π f (x), f(x) + (f (x)). W przypdku równń prmetrycznych x = x(t), y = y(t) dl t β, odpowiednie wzory to: S = π V = π y (t) x (t) dt, y(t) (x (t)) + (y (t)) dt. Przykłdy.. Objętość bryły powstłej przez obrót elipsy x + y b = dokoł osi odciętych.. Objętość bryły powstłej z obrotu jednego łuku cykloidy x = (t sin t), y = ( cos t), t π 6

7 dokoł osi odciętych. Pole powierzchni powstłej przez obrót dokoł osi Ox krzywej y = sin x, x π. Wsk.: zstosowć wzór: x + = ln x + x + + x x + + C 4. Pole powierzchni powstłej przez obrót steroidy x = cos 3 t, y = sin 3 t, > dokoł osi Ox. Zstosowni fizyczne. Drog Jeżeli punkt porusz się po prostej ze zmienną prędkością v = v(t), to drog przebyt w przedzile czsu [t, t ] wynosi s = t t v(t) dt. Przykłd. Prędkość punktu wynosi v =, 6t sek. Jką drogę przebędzie punkt w czsie T = sek począwszy od początku ruchu? Jk jest prędkość średni? Odp. Mmy s = Prędkość średni: v = = m sek.. Prc m, 6t dt = m. Jeżeli zmienn sił F = f(x) dził w kierunku osi Ox, to prc tej siły n przedzile [x, x ] wynosi W = x x Przykłd. Jką prcę nleży wykonć by rozciągnąć sprężynę o 6 cm, jeżeli sił N rozciąg ją o cm? Odp. Zgodnie z prwem Hooke F = kx dl pewnej stłej k. Podstwijąc F = [N] i x =, [m] otrzymujemy k =. Ztem F = x orz W =,6 x =, 8 J. 4. Cłki niewłściwe Jeżeli funkcj f(x) jest ciągł w (, b] i jest nieogrniczon w otoczeniu punktu, to określmy cłkę niewłściwą pierwszego rodzju: f(x) = ε +ε 7

8 Anlogicznie określmy cłkę z niewłściwością w grnicy górnej: f(x) = ε b ε Jeżeli powyższe grnice istnieją i są skończone, to cłki nzywmy zbieżnymi; w przeciwnym przypdku (tj. gdy grnice nie istnieją lub są niewłściwe) cłki nzywmy rozbieżnymi. Przykłdy.. x = ;. x ln x = ln ; (x ) (rozbieżn). Czsem wystrcz informcj, czy cłk jest zbieżn, czy nie. Możn wtedy zstosowć kryterium porównwcze: Jeżeli f(x) g(x) w (, b) i cłk g(x) jest zbieżn, to f(x) też jest zbieżn. Cłkmi niewłściwymi drugiego rodzju nzywmy cłki po przedzile nieogrniczonym: Przykłdy.. e x = ;. 4. x +x = ln ; sin x jest rozbieżn. x +x+ f(x) = f(x) = f(x) = c b f(x), f(x), f(x) + b c 8