ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,"

Transkrypt

1 ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y 9z 8 ) ; (f) y y : y + y + y + y + ; Usunąć niewymierności z mianownika + ; (b) ; 7 (c) Napisać rozwinięcia potęg podanych dwumianów (y + z) ; (b) (x 4) ; (c) (g) 4 Wyznaczyć współczynnik rozwinięcia występujący przy t a + b a + ; b (b + 4) 5, t = b ; (b) (p q) 7, t = p q 5 ; (c) DZIAL ANIA NA MACIERZACH (h) 5 + ; (d) 6x 4 6y 4 x y + 5 ( x ) 4; ( (d) p + ) 5 x p ( x ) 6 ( ) 6 x x + x, t = x 0 5 Niech A = [ ] 4, B = 6 0 5, C = 0 0 Wyznaczyć, jeśli jest to możliwe, następujące macierze 4 4 0, D = 4 0, F = [ 7 ] A + C, AT + C, C AT, AB, BA, BC + BA T, B, D T F, DF, F 5D, CC T (CC T ) T 6 Obliczyć AB BA, jeśli A = [ ], B = [ ] (b) Podać przykład dwóch różnych, niejednostkowych, niezerowych macierzy A, B stopnia takich, że AB = BA 7 Określić wymiar i wyznaczyć rzeczywistą macierz X spełniającą równanie macierzowe [ ] X = [ 6 7 ] [ ] [ ] ; (b) X = ; (c) X + X T = X + I; (d) [ ] [ ] X 0 0 T = ; (e) (XA) T = (A 4 5 T + I)X T, gdzie A jest macierzą

2 8 Niech [ A = ] 4, B = [ ] [ ] 4, C = 5 Obliczyć iloczyn AB a następnie rozwiązać równanie XA = C z niewiadomą X WYZNACZNIKI, MACIERZE ODWROTNE 9 Wiadomo, że a b c d e f g h i Znaleźć wartości wyznaczników g h i a b c d e f ; (b) g d a h e b i f c ; = 6 (c) a b c d e f 4g 4h 4i ; (d) a b c 4b d e f 4e g h i 4h 0 Niech A będzie rzeczywistą macierzą stopnia 7, której wyznacznik wynosi Ile wynosi wyznacznik macierzy A, 5A, A, A, (A T )? Napisać rozwinięcie Laplace a względem podanych wierszy/kolumn (nie obliczać podanych wyznaczników) 4 5 6, kolumna; (b) 5 0 0, wiersz; π 6 (c) 4 0 8, kolumna Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy [ ] A = ; B = D = ; E = ; C = ; F = λ λ 4 ; λ Dla jakich wartości parametrów rzeczywistych c, h, k, λ poniższe macierze są odwracalne [ ] h k c (c) ; (h) h ; (k) 5 ; (l) c h λ Wykorzystując metodę obliczania dopełnień algebraicznych wyznaczyć macierze odwrotne, jeśli istnieją, do podanych macierzy [ ] 0 [ ] ; 0 ; ; ; ; ?

3 5 Wykorzystując metodę bezwyznacznikową (przekształceń elementarnych na wierszach) wyznaczyć macierze odwrotne, jeśli istnieją, do podanych macierzy [ ] ; ; ; ; Znaleźć rozwiązania podanych równań macierzowych [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 X = ; (b) X = ; (c) (X T + 5I) = 0 0 ; (d) X = 0 0 X + ; ( [ ]) [ ] [ ] ( [ ]) 5 5 (e) X = ; (f) I X = I 8 UKL ADY RO WNAN LINIOWYCH 7 Korzystając ze wzorów Cramera, jeśli to możliwe, wyznaczyć wskazane niewiadome z układów równań liniowych { x + y = x + y + z = x + y + z =, x, y; 5x + 7y = 6 (b) x y z =, y; (c) x + y = α, z; x + z = y + z = β (d) x + x + x + x 4 = 5 x +x +x + 4x 4 = 0 6x + x + 4x + 8x 4 = 4 5x +6x + 7x 4 =, x x x + 4x 4 = 9 4 ; (e) 9x + 0x 4 = 0 x x 4x 4 = 4 x 4 =, x, x 8 Rozwiązać podane układy równań liniowych wykorzystując metodę eliminacji Gaussa x + y + z + w = 5 x z = 0 x + y z w = x x = 0 x + y = ; (b) ; (c) x 4x + 5y + z = 7 x + x = 0 ; x + y + z = 4 x 5x + 7y w = 4 4x + 5x = 0 (d) x + x x + 4x 4 = 4x + 6x x + 0x 4 = 6x 9x + 7x 8x 4 = ; (e) x + x x + 4x 4 = 4 6x 8x + 6x x 4 = 4x + 4x 4x x 4 = 7 9 Znaleźć rozwiązanie poniższego układu równań obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej a następnie wykorzystując mnożenie macierzy 4x 6x + x = 7 x + x x = 4 x 5x + x = Podać dwa inne sposoby rozwiązania tego układu

4 0 Dla jakich wartości parametru λ układ równań { x + y = λx 4x + 5y = λy ma rozwiązanie inne niż x = y = 0? Przedyskutować ilość rozwiązań układu równań w zależności od parametru a R (4 a)x + y z = x + ( a)y + z = x + y + (4 a)z = Wykorzystać metodę eliminacji Gaussa do rozwiązania układu równań, którego macierz rozszerzona ma postać Gdzie jest błąd w poniższej metodzie rozwiązania? 6 5 w w 6 5 w w w w w w w w + w w w +w w w w 4 w w \ Stąd x = x + 5x 4, x = x + x 4, x, x 4 R LICZBY ZESPOLONE Obliczyć ( 7 + i) ( 6i) + ( + i); (c) ( + i)( + i); (e) i 09 + i 5 + ( i) + ( i) 7 ; ( ) 6 ( ) 8 + i i (g) + ; i + i (b) ( + i)( + i)( i); (d) ( i) ; (f) i i i i 08 ; (h) 5 + 5i ( ) 0 4i + ; 4 i (i) [ αi 0 0 βi ], α, β R ; (j) [ αi 0 0 βi ], α, β R \ {0} 4 Znaleźć rozwiązania poniższych równań 4 + 5i = z ( i); (b) z + z = + 4i; (c) z = i; (d) ( + i) z = iz; (e) 4z + 8 z = 8; (f) z + i = + i ; (g) z = z; (h) + z z = i 4

5 5 Korzystając min z interpretacji geometrycznej modułu liczby zespolonej opisać i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej następujące zbiory spełniające poniższe warunki z = ; (b) z + i < ; (c) z + i ; (d) z + = z 5 + i ; (e) iz + 4 8; (f) 0 < Re(iz) ; (g) < Im(z + 5) < ; (h) Re 6 Przedstawić w postaci trygonometrycznej/wykładniczej liczby zespolone ( z ) = 0 z 4i ; (b) i ; (c) sin a + i cos a, a R ; (d) i ( i) 7 Korzystając ze wzoru de Moivre a obliczyć ( i) 44 ; (b) ( + i) + ( i) ; (c) ( i) 8 ; (d) ( i)0 ( + i) 5 ( i ) 0 Wynik podać w postaci algebraicznej 8 Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej zbiory spełniające poniższe warunki na argument główny arg( +i)< arg z < arg( i) ; (b) π 4 arg(z ) < π ; (c) arg(π) < z+ 8 π arg(i) ; (d) π arg( iz) < π ; (e) arg(z + i) = π 6 ; (f) arg(z4 ) = π z < 9 Znaleźć i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki 7 ; (b) 5 i ; (c) 4 + i ; (d) i ; (e) 6 + i ; (f) ( i ) 9 ; (g) 4 ( i) 4 ; (h) ( i) 6 0 W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania z +4z + = 0; (b) z (+i)z +4+i = 0; (c) z 8i = 0; (d) z +z +z + = i; (e) iz + ( + i)z + = 0; (f) z 4 z + 4 = 0; (g) e z = ; (h) z 6 ( + i)z + i = 0 WIELOMIANY Wypisać wszystkie możliwe pierwiastki całkowite/wymierne wielomianów 6x 4 + 5x x + 6; (b) x 5 9 x4 + 6x 7 x x ; (c) x 8 6x + x + 0 Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne wielomianów x 4 + x + x + x + ; (b) x 5 + x 4 7x + x ; (c) x 4, x +, x + 0, 6x ; (d) x x 5 x + 4x ; (e) x5 + x 4 + 0x + 0x + 9x + 9 Znaleźć wszystkie (rzeczywiste i zespolone) pierwiastki wielomianów x 4 x ; (b) x 5 + x 4 + 0x + 0x + 9x + 9; 5

6 (c) x 4 x 5x + x + 4; (d) x 6x + x 0 4 Sprawdzić, że x jest pierwiastkiem wielomianu P a następnie znaleźć pozostałe pierwiastki x = i, P (x) = x 4 4x + 4x 4x + ; (b) x = i, P (x) = x ( i)x + x + ( + i); (c) x = + i, P (x) = x 4 4x 6x 6 5 Znaleźć rozkład wielomianu W na czynniki rzeczywiste nierozkładalne W (x) = x 4 + ; (b) W (x) = x x 9x 0; (c) W (x) = x 6x 9 6 Zaproponować rozkład na sumę rzeczywistych ułamków prostych (bez wyznaczania stałych w liczniku) x x (x + 9) ; (b) (x + ) 4 (x + 4x + ) ; (c) 4x5 x 4 + x 8x x (x x )(x + x + ) 7 Podane funkcje wymierne rozłożyć na sumę rzeczywistych ułamków prostych (e) x + 7x + 7 x(x + )(x + ) ; (b) 8x x + ; (c) 6x + x 9 ; (d) x + x + ; x + x x (x + ) x(x + ) x + 4 4x + x + 9 ; (f) x + x + ; (g) x 7 x + x ; (h) 8x 4x + 8 x Nie wykonując dzielenia, znaleźć resztę z dzielenia wielomianu P przez Q P (x) = (x + ) 8 + (x + ) 0 + (5x + 9) 07, Q(x) = x + ; (b) P (x) = x 00, Q(x) = (x )(x ); (c) P (x) = x 8 + x 49 + x 5 + x 9 + x, Q(x) = x x GEOMETRIA ANALITYCZNA 9 Dla wektorów u = (,, ), v = (,, ), w = (,, 5) obliczyć podane wyrażenia, jeśli mają one sens v ; (b) u w; (c) ( u v) w; (d) u v w; (e) w v w; (f) u v w; (g) u w v; (h) u ( w v); (i) ( u v) w; (j) ( u v) w 40 Bez wyznaczania równania prostej, sprawdzić czy punkty P = (,, 4), Q = (5, 4, 6) i R = ( 4,, 0) leżą na jednej prostej 4 Znaleźć wektor u współliniowy z wektorem v = (,, ) i spełniający warunek v u = 4 Znaleźć wszystkie wektory jednostkowe, które są prostopadłe jednocześnie do wektorów u = (,, ) i v = (4,, ) 4 Obliczyć pole powierzchni trójkąta o wierzchołkach w punktach A = (,, 0), B = (, 0, ) i C = (5,, 6); 6

7 (b) objętość czworościanu o wierzchołkach w punktach A = (,, ), B = (5, 5, 4), C = (,, ) i D = (4,, ); (c) pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach u = (, 4, ), v = (, 6, 0); (d) pole powierzchni równoległościanu rozpiętego na wektorach u = (, 5, ), v = (0,, ), w = (,, ) 44 Dane są wierzchołki czworościanu: A = (0, 0, ), B = (, 0, 5), C = (,, 0), D = (4,, ) Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka D 45 Napisać równania ogólne i parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (0,, ), B = (, 0, ) i C = (,, ); (b) punkt P = (,, ), której wektor normalny to n = (,, ); (c) punkt (, 4, 5) i równoległej do dwóch wektorów a = (,, ) i b = (,, ); (d) punkt (,, 4) i równoległej do płaszczyzny Oxz; (e) punkt (4,, ) i przez oś Ox; (f) punkty P = (,, ), P = (,, ) i równoległej do osi Oy; (g) środek odcinka AB, gdzie A = (,, 7) a B = (,, ) i prostopadłej do tego odcinka 46 Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostej przechodzącej przez dwa punkty (,, ) i (,, 0); (b) punkt P = (,, ), której wektor kierunkowy to n = (,, ); (c) punkt M = (, 0, ) i równoległej do wektora a = (,, 5); (d) punkt M = (, 0, ) i równoległej do osi Oy; (e) punkt M = (,, 5) i równoległej do prostej { x y + z 7 = 0 x + y z + = 0 ; (f) przez punkt P = (,, 0) i prostopadłej do prostych x = + t k : y = + 4t z = 4 + 5t, t R, i l : x = y = z (g) punkt P = (,, ), prostopadłej do wektora a = (6,, ) i przecinającej prostą x = y + = z 5 47 Zaleźć punkty przecięcia x = t dwóch prostych k : y = t z = 4t + 6 (b) prostej k : x = y +, t R, l : x = s + 5 y = 4s z = s 4 = z z płaszczyzną π : x y + z = 0 7 ;, s R;

8 48 Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkt M = (,, ) i prostą {(x, y, z) = (,, ) + t(,, ): t R} 49 Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez proste { { x y + z = 5 x + y + z + 7 = 0 k : i l : x y 4z = 5x y + z + 5 = 0 ; (b) k : x = y + 50 Wyznaczyć odległość = z i l : x = y punktu P = (,, ) od prostej l : x + = z + = y + = z 8 ; (b) punktu M = (,, ) od płaszczyzny przechodzącej przez punkty M = (,, ), M = (,, ), M = (4, 5, ); { x + y z 0 = 0 (c) między prostymi równoległymi k : i l : x + 7 = y 5 x y z = 0 = z 9 4 ; (d) między prostymi nierównoległymi k : x + 7 = y = z + i l : x 6 (e) między płaszczyznami π : x y + z + 9 = 0 i π : 4x y + 4z = 0 5 Wyznaczyć kąt między prostymi x = y + = z i x + = y = z + 5 ; (b) {x = t, y = 0, z = t +, t R} i {x = s, y = 0, z = s, s R}; = y = z ; (c) { x + y z = 0 x y 9z = 0 i { x + y + z + 5 = 0 x y z + = 0 5 Wyznaczyć kąt między płaszczyznami x y + z = 0 i x + y z + = 0; (b) x + y z = i x y z = 5; (c) 6x + y z = 0 i x + y + 6z = 0; (d) x z + = 0 i x 6z 7 = 0 5 Wyznaczyć wartości a i b, dla których płaszczyzny mają punkt wspólny; x y + z = 0, x + y z + b = 0, x + ay 6z + 0 = 0 (b) przechodzą przez jedną prostą; (c) przecinają się w trzech różnych prostych 54 Wyznaczyć rzut prostokątny prostej k na płaszczyznę π, gdzie k : (x, y, z) = (, 0, 0)+r(,, ), π : (x, y, z) = (,, )+s(,, 0)+t(,, ), r, s, t R; (b) k : x + = y = z, π : x + y z + = 0; 8

9 (c) k : x + = y = z, π : x y + z 5; 4 { 5x y + z 5 = 0 (d) k :, π : 4x y + 7z 7 = 0 x y z = 0 55 Wyznaczyć rzut punktu P = (,, ) na prostą x = y = z w kierunku wektora u = (,, ); (b) punktu P = (,, ) na płaszczyznę π : x + y z = 0 w kierunku wektora u = (,, ); (c) prostej l : x = y = z na płaszczyznę π : x+y+z 5 = 0 w kierunku wektora u = (,, ) 56 Określić czy punkt Q = (,, ) i początek układu współrzędnych leżą po tej samej stronie płaszczyzny 5x y + z 8 = 0; (b) x + 7y + z + = 0; (c) x + 5y + z = 0 57 Prawda czy fałsz? Jeśli to prawda należy uzasadnić stwierdzenie, a jeśli fałsz - podać kontrprzykład W przestrzeni R równanie y = x przedstawia prostą przechodzącą przez punkt (,, 0) Opracowanie: Karina Olszak 9

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1, Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 1. Lista zadań

ALGEBRA LINIOWA 1. Lista zadań ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A ALGEBRA LINIOWA Wszystkie warianty kursu Lista zdań obejmuje cały materiałkursu oraz określa przybliżony stopień trudności zadań, które pojawia się na kolokwiach i egzaminach

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria

Bardziej szczegółowo

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Spis treści 2

Spis treści. Spis treści 2 Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone.................................................. Liczby zespolone - odpowiedzi.......................................... 5. Macierze......................................................

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

1 Geometria analityczna

1 Geometria analityczna 1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA M1 Nazwa w języku angielskim ALGEBRA M1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Stopień studiów

Bardziej szczegółowo

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi. Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a

Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przekształcenia liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

Geometria Lista 0 Zadanie 1

Geometria Lista 0 Zadanie 1 Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1 Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6. Ekoenergetyka Matematyka. Wykład 6. RÓWNANIA PŁASZCZYZN Fakt (równanie normalne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r [ x, y, z ] i prostopadłej

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Geometria Analityczna w Przestrzeni

Geometria Analityczna w Przestrzeni Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

GAL 80 zadań z liczb zespolonych

GAL 80 zadań z liczb zespolonych GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30 Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych 1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZNĄ częściowe notatki z wykładów, rozwiązane przykłady, zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki zadania strona główna Spis treści I Geometria analityczna w R Płaszczyzna i wektory

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo