Analiza Matematyczna II

Transkrypt

1 Uniwersytet Jn Kochnowskiego w Kielcch Wydził Mtemtyczno-Przyrodniczy Instytut Mtemtyki Dr hb. prof. UJK Grzegorz Łysik Anliz Mtemtyczn II Skrypt wykłdów Kielce,

2 1 Funkcje wielu zmiennych 1.1 Przestrzeń R n i jej podzbiory 1. Niech n będzie liczbą nturlną. Przestrzeń R n jest iloczynem krtezjńskim n egzemplrzy prostej rzeczywistej R tzn. R n = R R. Punkt x nleżący do R n posid n współrzędnych, czyli x = (x 1,..., x n ). Punkty przestrzeni R n nzywmy też wektormi. Przestrzeń R n jest przestrzenią liniową z nturlnymi dziłnimi dodwni wektorów i mnożeni przez liczbę rzeczywistą x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) dl x, y R n ; λx = (λx 1,..., λx n ) dl λ R, x R n. W przestrzeni R n wprowdz się normę euklidesową l 2 wektor x R n wzorem x = x 2 = x x 2 n. Norm euklidesow spełni nstępujące wrunki 1. x = wtedy i tylko wtedy, gdy x = ; 2. λx = λ x ; 3. x + y x + y. Wykżemy, że norm euklidesow spełni wrunek 3. W tym celu nleży wykzć, że dl dowolnych x i, y i R, i = 1,..., n zchodzi nierówność n (x i + y i ) 2 n x 2 i + n yi 2. (1) Poniewż wyrżeni podpierwistkowe są nieujemne nierówność powyższ jest równowżn z nierównością ( n ) n (x i + y i ) 2 x 2 i + n 2 n yi 2 = x 2 i + 2 n x 2 i n n yi 2 + yi 2. (2) Korzystjąc z tożsmości n (x i+y i ) 2 = n x2 i +2 n x2 i yi 2 + n y2 i, wystrczy ztem wykzć nierówność Cuchy ego n x i y i n x 2 i n yi 2. (3) W tym celu zdefiniujmy funkcję zmiennej rzeczywistej t f(t) = n ( n (x i t + y i ) 2 = x 2 i ) ( n t x i y i )t + n yi 2. (4) 2

3 Poniewż funkcj f jest nieujemną funkcją kwdrtową jej wyróżnik musi być niedodtni, czyli ( n ) 2 ( n ) ( n ) x i y i x 2 i. (5) Stąd wynik nierówność (3). W przestrzeni R n wprowdzmy metrykę euklidesową wzorem ρ(x, y) = x y 2 = n (x i y i ) 2 dl x, y R n Metryk ρ jest nieujemną funkcją n iloczynie krtezjńskim R n R n spełnijącą wrunki 1. ρ(x, y) = wtedy i tylko wtedy, gdy x = y; 2. ρ(x, y) = ρ(y, x); 3. ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z). Osttni wrunek jest nzywny nierównością trójkąt. Wynik on z wrunku 3. normy. Użyteczne jest tkże wprowdzenie normy l 1 i normy l wektor x R n, y 2 i x 1 = x x n, x = mx{ x 1,..., x n }. Pomiędzy normmi x 1, x 2 i x zchodzą nierówności x x 2 x 1 ; x 1 n x 2 n x. 3

4 Def. Otwrtą kulą euklidesową o środku x R n i promieniu r > nzywmy zbiór B( x, r) = {x R n : ρ(x, x) < r}. Def. Prostopdłościnem lub kostką nzywmy zbiór P (, b) = {x R n : i < x i < b i, i = 1,..., n}, gdzie < b. Def. Sympleksem nzywmy zbiór S(r) = {x R n : x 1 >,..., x n >, x x n < r}, gdzie r >. Def. Zbiór Ω R n nzywmy otwrtym jeśli dl dowolnego x Ω istnieje r > tkie, że B(x, r) Ω. Zbiór F R n nzywmy domkniętym jeśli R n \ F jest zbiorem otwrtym. Domknięciem zbioru Ω R n nzywmy zbiór Ω = {x R n : dl dowolnego ε > istnieje y Ω tki, że ρ(x, y) < ε}. Domknięcie Ω zbioru Ω jest zbiorem domkniętym. Wnętrzem zbioru Ω R n nzywmy zbiór intω = {x Ω : istnieje r > tkie, że B(x, r) Ω. Brzegiem zbioru Ω R n nzywmy zbiór Ω = Ω \ intω. Zbiór Ω R n nzywmy spójnym, jeśli dowolne dw jego punkty możn połączyć krzywą zwrtą w Ω. Zbiór otwrty i spójny nzywny obszrem. Mówimy, że zbiór Ω jest ogrniczony jeśli jest on zwrty w pewnej kuli. 1.2 Grnic i ciągłość funkcji Definicj 1.1 Niech f : Ω R n R orz x Ω \ Ω. Mówimy, że grnic funkcji f przy x x jest równ liczbie g jeśli dl kżdego ε > istnieje δ > tk, że jeśli x x δ, x Ω, to f(x) g < ε. Piszemy wówczs lim f(x) = g. x x W przypdku funkcji wielu zmiennych definiuje się pojęcie grnic iterownych. Pojęcie to wprowdzimy dl funkcji dwóch zmiennych. Definicj 1.2 Niech ( x, ẙ) R 2 orz f będzie zdefiniown w zbiorze Ω = {(x, y) R 2 : x x < d 1, y ẙ < d 2 } \ {( x, ẙ)} dl pewnych d 1, d 2 > Złóżmy, że dl kżdego y R tkiego, że < y ẙ < d 2 istnieje grnic lim f(x, y) = g(y) x x orz, że istnieje grnic lim g(y) = g. y ẙ 4

5 Wówczs mówimy, że istnieje grnic iterown lim lim f(x, y) = g. y ẙ x x Anlogicznie definiujemy lim lim f(x, y). x x y ẙ Okzuje się, że grnice iterowne nie muszą być sobie równe nwet w przypdku, gdy obie istnieją. Przykłd 1.1 Niech Wówczs f(x, y) = y x + y lim lim f(x, y) = 1 = lim y x dl (x, y) (, ). lim x y f(x, y). Twierdzenie 1.1 Niech ( x, ẙ) R 2, Ω = {(x, y) R 2 : x x < d 1, y ẙ < d 2 } \ {( x, ẙ)} dl pewnych d 1, d 2 > orz f : Ω R. Złóżmy, że istnieje grnic lim f(x, y) = g. (x,y) ( x,ẙ) Jeśli dl kżdego ustlonego x tkiego, że < x x < d 1 istnieje grnic lim f(x, y) = g(x) y ẙ orz dl kżdego ustlonego y tkiego, że < y ẙ < d 2 istnieje grnic to istnieją grnice iterowne i są równe g. lim f(x, y) = h(y), x x Definicj 1.3 Niech f : Ω R n R, x Ω. Mówimy, że f jest ciągł w x jeśli grnic funkcji f Ω\{ x} w punkcie x jest równ f( x). Twierdzenie 1.2 Jeśli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x Ω, to również funkcje f ± g, f g orz f/g są ciągłe w x i ile g( x). Twierdzenie 1.3 Jeśli f jest ciągł w x orz f( x) >, to istnieje δ >, tk, że f(x) > dl x x < δ. Twierdzenie 1.4 (Weierstrss.) Jeśli funkcj f jest ciągł n zbiorze zwrtym K R n, to f jest ogrniczon n K i osiąg swoje kresy. Definicj 1.4 Mówimy, że funkcj f jest jednostjnie ciągł n zbiorze D jeśli dl kżdego ε > istnieje δ > tk, że dl dowolnych x, y D zchodzi implikcj: jeśli x y < δ, to f(x) f(y) < ε. 5

6 Twierdzenie 1.5 Jeśli f jest ciągł n zbiorze zwrtym K, to jest jednostjnie ciągł n K. Definicj 1.5 Niech funkcje ϕ 1 (t 1,..., t k ),..., ϕ n (t 1,..., t k ) będ zdefiniowne n zbiorze U R k. Niech Ω = {x R n : istnieje t = (t 1,..., t k ) U tkie, że x i = ϕ i (t) dl i = 1,..., n} orz niech f : Ω R będzie funkcją n Ω. Wówczs definiujemy funkcję u = f ϕ : U R będącą złożeniem funkcji f i ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ) wzorem u(t) = f ( ϕ 1 (t),..., ϕ n (t) ). Twierdzenie 1.6 Jeśli funkcje x i = ϕ i (t), i = 1,..., n, są ciągłe w punkcie t orz f jest ciągł w punkcie x = ϕ( t), to f ϕ jest ciągł w t. Definicj 1.6 Niech f : Ω R n R k. Mówimy, że f spełni wrunek Lipschitz w punkcie x Ω ze stłą Lipschitz L < jeśli istnieje δ > tk, że dl x B( x, δ) Ω zchodzi f(x) f( x) L x x. Twierdzenie 1.7 Jeśli f spełni wrunek Lipschitz w punkcie x Ω, to f jest ciągł w x. Pondto, jeśli stł Lipschitz L nie zleży od x U Ω, to f jest jednostjnie ciągł w U. Definicj 1.7 Niech f : Ω R n R k orz α (, 1]. Mówimy, że f jest hölderowsko ciągł w punkcie x Ω z wykłdnikiem α jeśli istnieją L <, δ > tkie, że dl x B( x, δ) Ω zchodzi f(x) f( x) L x x α. Twierdzenie 1.8 Jeśli f jest hölderowsko ciągł w punkcie x Ω, to f jest ciągł w x. Definicj 1.8 Odwzorownie T : R n R k nzywmy liniowym jeśli dl dowolnych x, y R n orz α, β R zchodzi T (αx + βy) = αt (x) + βt (y). Twierdzenie 1.9 Odwzorownie liniowe T : R n R k R n. jest jednostjnie ciągłe n 6

7 2 Rchunek różniczkowy rzędu pierwszego 2.1 Pochodne kierunkowe funkcji wielu zmiennych Przypomnijmy definicję pochodnej funkcji jednej zmiennej. Definicj 2.1 Niech f bedzie funkcją określoną n przedzile otwrtym I = (, b) R o wrtościch rzeczywistych. Mówimy, że f m pochodną w punkcie x I jeśli istnieje grnic ilorzu róznicowego f( x + h) f( x) lim h h = f ( x), (6) Funkcję f : I R nzywmy różniczkowlną w I jeśli f m pochodną w kżdym punkcie x I. W przypdku funkcji wielu zmiennych wyrżenie (6) nie m sensu. Istotnie by f( x + h) miło sens h powinno być wektorem, lecz nie jest zdefiniown opercj dzieleni przez wektor. Możn jednk zdefiniowć pochodną funkcji w kierunku ustlonego wektor. Definicj 2.2 Niech Ω będzie otwrtym podzbiorem R n, f : Ω R, x Ω orz v R n \ {}. Pochodną kierunkową funkcji f w kierunku wektor v w punkcie x nzywmy grnicę f( x + tv) f( x) lim =: L v f( x) t t o ile t grnic istnieje i jest skończon. Zuwżmy, że L v f( x) jest fktycznie pochodną funkcji jednej zmiennej g(t) = f( x + tv) w zerze. Pochodną kierunkową w kierunku wersor e i, i = 1,..., n, nzywmy pochodną cząstkową w kierunku e i i oznczmy L ei f( x) = f ( x) = f f( x + te i ) f( x) x x i ( x) = lim. i t t Dl pochodnych cząstkowych stosuje się zwykłe reguły różniczkowni. Jednk w przypdku funkcji wielu zmiennych z istnieni pochodnych kierunkowych nwet w cłym zbiorze określoności funkcji i w kżdym kierunku nie możn wnioskowć o ciągłości funkcji. Przykłd 2.1 Niech x 2 y f(x, y) = x 4 + y 2 dl (x, y) (, ), dl (x, y) = (, ). Wówczs f posid pochodne kierunkowe w kierunku dowolnego wektor lecz jest nieciągł w zerze. 7

8 Przykłd 2.2 Niech f(x, y) = { xy x 2 + y 2 dl (x, y) (, ), dl (x, y) = (, ). Wówczs f x(, ) = f y(, ) =, lecz nie istnieją pochodne L v f(, ) dl v (R \ {}) 2. Przykłd 2.3 Niech f(x, y) = xy Wówczs f jest ciągł i m pochodne kierunkowe w dowolnym punkcie w kierunku dowolnego wektor. Jeśli v = (cos ϕ, sin ϕ), to L v f(, ) = lim t t2 cos ϕ sin ϕ t = ± cos ϕ sin ϕ. Ztem L v f nie jest n ogół równ v 1 f x + v 2 f y. Twierdzenie 2.1 Niech v, w R n \ {}, f : Ω R orz x Ω. Złóżmy, że pochodn kierunkow L v f istnieje w pewnym otoczeniu punktu x i jest ciągł w x. Wówczs jeśli istnieje pochodn kierunkow L w f( x), to istnieje pochodn L v+w f( x) orz L v+w f( x) = L v f( x) + L w f( x). Twierdzenie 2.2 Niech f : Ω R orz x Ω. Jeśli istnieją pochodne cząstkowe f x i dl i = 1,..., n w pewnym otoczeniu punktu x orz są ciągłe w x, to dl h R n tkiego, że x + h Ω zchodzi f( x + h) f( x) = n f x i ( x) h i + n α i (h) h i przy czym lim h α i (h) = dl i = 1,..., n. Wniosek 2.1 Niech f : Ω R orz x Ω. Jeśli istnieją pochodne cząstkowe f x i dl i = 1,..., n w pewnym otoczeniu punktu x orz są ciągłe w x, to f jest ciągł w x. Definicj 2.3 Niech Ω będzie otwrtym podzbiorem R n, f : Ω R, x Ω. Jeśli istnieją pochodne cząstkowe f x i ( x) dl i = 1,..., n, to wektor [ f ( x),..., f ] ( x) x 1 x n nzywmy grdientem funkcji f w punkcie x i oznczmy grdf( x) lub f( x). Tezę Twierdzeni 2.2 możn sformułowć nstępująco. 8

9 Wniosek 2.2 Jeśli istnieją pochodne cząstkowe f x i dl i = 1,..., n w pewnym otoczeniu punktu x orz są ciągłe w x, to dl h R n tkiego, że x + h Ω zchodzi f( x + h) f( x) = grdf( x) h + α(h) h, gdzie ozncz iloczyn sklrny, α(h) = ( α 1 (h),..., α n (h) ) przy czym lim h α i (h) = dl i = 1,..., n. Wniosek 2.3 Niech f : Ω R k, x Ω, Ω jest obszrem w R n. Jeśli istnieją pochodne cząstkowe f j x i dl i = 1,..., n, j = 1,..., k w pewnym otoczeniu punktu x orz są ciągłe w x, to dl h R n tkiego, że x + h Ω zchodzi grdf 1 ( x) f( x + h) f( x) = h + α(h)h, grdf k ( x) gdzie α(h) = ( α 1 (h),..., α k (h) ) tr przy czym limh α i (h) = dl i = 1,..., k. 2.2 Różniczk odwzorowni Definicj 2.4 Niech Ω będzie otwrtym podzbiorem R n, f : Ω R k, x Ω. Mówimy, że f jest odwzorowniem różniczkowlnym w punkcie x jeśli istnieje opertor liniowy L : R n R k zwny różniczką funkcji f w punkcie x i oznczny Df( x) (lub df( x) jeśli k = 1) tki, że dl h R n spełnijącego x + h Ω zchodzi f( x + h) = f( x) + L(h) + α(h)h przy czym lim h α(h) =. (7) Uwg. Wrunek (7) jest równowżny wrunkowi f( x + h) f( x) L(h) lim h h =. (8) Twierdzenie 2.3 Niech f : Ω R. Jeśli f jest różniczkowln w x, to dl kżdego wektor v istnieje pochodn kierunkow L v f( x) orz L v f( x) = df( x)(v). W szczególności istnieją pochodne cząstkowe f x i ( x) = df( x)(e i ), i = 1,..., n orz df( x)(h) = n f x i ( x)h i = grdf( x) h dl h R n. W przypdku odwzorowni różniczkowlnego o wrtościch w R k grdf 1 ( x) Df( x)(h) = h dl h R n. grdf k ( x) 9

10 Twierdzenie 2.4 Niech f : Ω R. Jeśli f jest różniczkowln w x, to f jest ciągł w x. Uwg. Niech f : Ω R 2 R orz v S 1. Wówczs wektor v m współrzędne v = (cos α, sin α) = (cos α, cos β), gdzie α (odpowiednio β) jest kątem pomiędzy v osią OX (odpowiednio OY ). Wówczs L v f( x) = f f ( x) cos α + ( x) cos β. x y Anlogicznie jeśli f : Ω R n R orz v S n 1, to L v f( x) = n f x i ( x) cos α i, gdzie α i jest kątem pomiędzy v osią OX i, i = 1,..., n. Przykłd 2.4 Niech F = (f 1, f 2 ) : R 2 R 2 będzie dne wzorem F (x, y) = (x cos y, x sin y) Wówczs f 1 x = cos y, f 1 = x sin y, y f 1 x = sin y, f 2 = x cos y. x Ztem dl (h 1, h 2 ) R 2 mmy [ ] [ ] [ ] [ ] h1 cos y x sin y h1 cos y h1 x sin y h DF (x, y) = = 2. sin y x cos y h 2 sin y h 1 + x cos y h 2 h Reguły różniczkowni. I Liniowość. Różniczkownie jest opercją liniową, tzn. Jeśli F, G : Ω R n R k są różniczkowlne w x orz α, β R, to αf + βg jest różniczkowlne w x orz D(αF + βg)( x) = αdf ( x) + βdg( x). II Różniczk iloczynu. Jeśli ϕ : Ω R n R orz F : Ω R k są różniczkowlne w x, to ϕ F : Ω R k jest różniczkowlne w x orz D(ϕ F )( x) = F ( x) dϕ( x) + ϕ( x) Df( x) f 1 ( x) grdf 1 ( x) = grdϕ( x) + ϕ( x). f k ( x) grdf k ( x) 1

11 III Różniczk złożeni odwzorowń. Niech G : U R n R m orz F : V R m R k. Złóżmy, że ImG = {y R m : istnieje x U : y = G(x)} V. Wówczs możemy zdefiniowć złożenie odwzorowń F i G wzorem F G(x) = F ( G(x) ) dl x U. Twierdzenie 2.5 Przy powyższych oznczenich jeśli G jest różniczkowlne w punkcie x = ( x 1,..., x n ) U orz F jest różniczkowlne w punkcie ẙ = (ẙ 1,..., ẙ m ) = g( x) (tzn. ẙ i = g i ( x) dl i = 1,..., m), to złożenie F G jest różniczkowlne w x orz Ztem (F G) j x i ( x) = D(F G)( x) = DF ( G( x) ) DG( x). m l=1 F j l i ( Gj ( x) ) G l x i ( x), i = 1,..., n, j = 1,..., k. Wniosek 2.4 Niezmienniczość pierwszej różniczki. Jeśli G : U R n R n jest różniczkowlne w x U orz f : V R n R jest różniczkowln w y = G(x) R n, to n ( d(f G)(x) = f y Gi i (x) ) dg i (x). Wniosek 2.5 Różniczkownie funkcji sklrnych złożonych. Niech G = (g 1,..., g n ) : (, b) R R n będzie różniczkowlne w t (, b) orz f : V R n R będzie różniczkowln w x = G(t) R n. Wówczs f G : (, b) R jest różniczkowln w t orz n ( ) (f G) (t) = f x i G(t) g i (t). Definicj 2.5 Niech Ω = R n \ {} orz λ R. Funkcję f : Ω R nzywmy (dodtnio) jednorodną stopni λ jeśli dl kżdych t R + i x Ω zchodzi f(tx 1,..., tx n ) = t λ f(x 1,..., x n ). Twierdzenie 2.6 Jeśli f jest funkcją jednorodną stopni λ i różniczkowlną w R n \ {}, to x grdf(x) = λf(x) dl x R n \ {}. Uwg. Zchodzi też twierdzenie odwrotne, tzn. jeśli funkcj różniczkowln f : R n \ {} R spełni x grdf(x) = λf(x) dl x R n \ {}, to f jest jednorodn stopni λ. 11

12 2.4 Twierdzenie Lgrnge o wrtości średniej Niech f : Ω R n R będzie funkcj różniczkowln w punkcie x Ω orz v R n \ {}. Wówczs L v f( x) = df( x) v = grdf( x) v. Jeśli ogrniczymy się do wektorów ze sfery jednostkowej v S n 1, to możn zpytć dl jkiego v, L v f( x) przyjmuje njwiększą wrtość. Oczywiście jeśli grdf( x) =, to L v f( x) = dl dowolnego v. Ztem możemy złożyć, że grdf( x). Wówczs n mocy nierówności Schwrz mmy Pondto, jeśli to L v f( x) = grdf( x) v grdf( x) v grdf( x). v = grdf( x) grdf( x), L v f( x) = grdf( x) grdf( x) grdf( x) = grdf( x) 2 grdf( x) = grdf( x). Ztem L v f( x) przyjmuje njwiększą wrtość dl v = grdf( x). funkcj f njszybciej wzrst w kierunku grdientu. Innymi słowmi Twierdzenie 2.7 Lgrnge o wrtości średniej. Niech f : Ω R n R. Jeśli f jest różniczkowln w kżdym punkcie odcink [, b] Ω, to istnieje punkt c [, b] tki, że f(b) = f() + df(c) (b ). Wniosek 2.6 Jeśli f : Ω R jest różniczkowln w obszrze Ω R n orz df(x) = dl x Ω, to f jest stł. Uwg. Twierdzenie Lgrnge nie przenosi się dosłownie n funkcje o wrtościch wektorowych. W tym przypdku mmy słbsze sformułownie. Twierdzenie 2.8 Lgrnge o wrtości średniej, wersj wektorow. Niech F : Ω R n R k. Jeśli F jest różniczkowlne w kżdym punkcie odcink [, b] Ω, orz DF (x) L(R n,r k ) M dl x [, b] to F (b) F () R k M b R n. Definicj 2.6 Odwzorownie F : Ω R n R k nzywmy odwzorowniem (funkcją jeśli k = 1) klsy C 1 (Ω) jeśli jego pochodne cząstkowe rzędu pierwszego f j x i, i = 1,..., n, j = 1,..., k są funkcjmi ciągłymi w Ω. Wniosek 2.7 Jeśli Ω jest obszrem w R n orz F : Ω R k jest klsy C 1 (Ω), to F spełni wrunek Lipschitz n kżdym zwrtym wypukłym podzbiorze K Ω. 12

13 2.5 Przestrzeń styczn do wykresu funkcji Definicj 2.7 Niech f : Ω R n R. Wykresem funkcji f nzywmy zbiór Gr(f) = {(x, y) Ω R : x Ω, y = f(x)}. Niech f : Ω R n R będzie różniczkowln w punkcie x Ω. Wówczs równnie y = f( x) + df( x) (x x) wyzncz przestrzeń (prostą gdy n = 1, płszczyznę gdy n = 2) do wykresu Gr(f) funkcji f w punkcie x. Umiejętność wyznczeni przestrzeni stycznej do wykresu jest przydtn do obliczni przybliżonej wrtości funkcji. Istotnie jeśli f : Ω R n R jest różniczkowln w x, to dl młych przyrostów rgumentu x zchodzi przy czym f( x + x) = f( x) + df( x) x + ε( x) ε( x) x przy x. Ztem ε( x) jest młe w stosunku do x i możn przyjąć, że f( x + x) f( x) + df( x) x. Przykłd. Zbiornik m ksztłt wlc o wysokości h = 2 m i średnicy d = 4 m, przy czym pomiry wykonno z dokłdnością 1%. W jkich grnicch może być rzeczywist objętość zbiornik i ile wynosi błąd względny. Objętość wlc wyrż się wzorem V (h, d) = π 4 hd2. W nszym przypdku h h, 2 =: h, d d, 4 =: d, V (h, d ) = 8π m 3. Ztem V (h + h, d + d) V (h, d ) = π 4 (d2 h+2h d d) = π 4 (42, , 4) =, 24π. Błąd względny wynosi V (h + h, d + d) V (h, d ) V (h, d ) =, 3 = 3%. 13

14 3 Rchunek różniczkowy drugiego rzędu 3.1 Pochodne kierunkowe drugiego rzędu Definicj 3.1 Niech Ω będzie otwrtym podzbiorem R n, f : Ω R, x Ω orz v, w R n \{}. Złóżmy, że pochodn kierunkow L v f funkcji f w kierunku wektor v istnieje w otoczeniu U punktu x. Wówczs odwzorownie U x L v f(x) jest funkcją zdefiniowną w otoczeniu U punktu x o wrtościch w R. Jeśli istnieje pochodn kierunkow tej funkcji w kierunku wektor w w punkcie x, to nzywmy ją pochodną kierunkową drugiego rzędu i oznczmy L 2 wvf( x) = L w ( Lv f ) ( x). Jeśli v = e i, w = e j, i, j {1,..., n}, są wersormi i-tej i j-tej osi współrzędnych, to drugą pochodną kierunkową L 2 e j e i f( x) nzywmy drugą pochodną cząstkową i oznczmy L 2 e j e i f( x) = 2 f ( x) = f x x j x j x i ( x). i Jeśli i = j, to stosujemy też oznczenie Jeśli i j, to 2 f x j x i L 2 e i e i f( x) = 2 f ( x) = f x 2 x i x i ( x). i nzywmy też drugą pochodną cząstkową mieszną. Przykłd 3.1 Niech f(x, y) = x y b dl x >, y >, gdzie, b R. Wówczs f x (x, y) = x 1 y b f, y (x, y) = bx y b 1 ; 2 f ( (x, y) = x2 x 1 y b) = ( 1)x 2 y b, x 2 f y x (x, y) = ( x 1 y b) = bx 1 y b 1, y 2 f ( (x, y) = bx y b 1) = bx 1 y b 1, x y x 2 f y (x, y) = ( bx y b 1) = b(b 1)x y b 2. 2 y Zuwżmy, że 2 f = 2 f. Ztem jest uzsdnione przypuszczenie że tk jest y x x y w ogólnym przypdku. Niestety przypuszczenie to nie jest prwdziwe jk pokzuje przykłd. 14

15 Przykłd 3.2 Niech f(x, y) = { xy(x 2 y 2 ) x 2 +y 2 dl (x, y) (, ), dl (x, y) (, ). Wówczs 2 f x y (, ) = 1 1 = 2 f (, ). y x 3.2 Drug różniczk Definicj 3.2 Niech Ω będzie otwrtym podzbiorem R n, f : Ω R, x Ω. Mówimy, że f jest dwukrotnie różniczkowln w punkcie x jeśli zchodzą wrunki 1. f jest różniczkowln w pewnym otoczeniu U punktu x; 2. Przy kżdym ustlonym h R n odwzorownie U x w h (x) =: df(x) h R jest różniczkowlne w x. Wówczs różniczkę odwzorowni w h nzywmy drugą różniczką f. Ztem dl h, k R n mmy określone odwzorownie (k, h) dw h ( x) k =: d 2 f( x)(k, h) Jest jsne, że powyższe odwzorownie jest liniowe względem h orz względem k. Ztem drug różniczk jest odwzorowniem 2-liniowym n R n R n. Jeśli f jest dwukrotnie różniczkowln w kżdym punkcie obszru Ω R n, to d 2 f jest odwzorowniem z Ω w przestrzeń odwzorowń dwuliniowych n R n R n, tzn d 2 f : Ω L 2 (R n R n ). Jeśli f : (, b) R R jest dwukrotnie różniczkowln w x, to d 2 f( x)(k, h) = f ( x) k h. Przykłd 3.3 Niech A : R n R będzie funkcją liniową, tzn. A(x) = A x dl x R n i pewnej mcierzy A M(n 1). Wówczs da(x) = A. Ztem dl h R n odwzorownie R n x w h (x) = da(x) h = A h nie zleży od x. Stąd d 2 A = dw h =. Anlogicznie jest w przypdku odwzorowni liniowego A : R n R k. Przykłd 3.4 Niech A M(n n) orz f(x) = x tr Ax = 15 n ij x i x j. i,j=1

16 Wówczs df(x)(h) = h tr Ax + x tr Ah dl x R n, h R n. Ztem przy ustlonym h R n odwzorownie jest liniowe i jego różniczką jest Czyli R n x w h (x) = h tr Ax + x tr Ah dw h (x)(k) = h tr Ak + k tr Ah. d 2 f(x)(k, h) = h tr Ak + k tr Ah dl k R n, h R n. W przypdku gdy mcierz A jest symetryczn dostjemy d 2 f(x)(k, h) = 2h tr Ak dl k R n, h R n. Twierdzenie 3.1 Niech f : Ω R n R, x Ω. Wówczs f jest dwukrotnie różniczkowln w x wtedy i tylko wtedy, gdy 1 f jest różniczkowln w pewnym otoczeniu U punktu x; 2 Pochodne cząstkowe f x i, i = 1,..., n są różniczkowlne w x. Twierdzenie 3.2 Niech f : Ω R n R, x Ω. Jeśli f jest dwukrotnie różniczkowln w x, to ) dl dowolnych h, k R n istnieje L 2 khf( x) = d 2 f( x)(k, h); b) Istnieją drugie pochodne cząstkowe x i x j, i, j = 1,..., n orz dl h, k R n, n d 2 2 f f( x)(k, h) = ( x)h i k j. x i x j Z twierdzeni 3.1 wynik 2 f i,j=1 Wniosek 3.1 Jeśli f posid w pewnym otoczeniu punktu x ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu orz pochodne cząstkowe drugiego rzędu ciągłe w x, to f jest dwukrotnie różniczkowln w x. 3.3 Symetri drugiej różniczki Definicj 3.3 Odwzorownie dwuliniowe A : R n R n R nzywmy symetrycznym, jeśli A(x, y) = A(y, x) dl x, y R n. Twierdzenie 3.3 Schwrz o symetrii drugiej różniczki. Niech f : Ω R n R, x Ω. Jeśli f jest dwukrotnie różniczkowln w x, to drug różniczk d 2 f( x) jest odwzorowniem dwuliniowym symetrycznym, tzn. W szczególności 2 f x i x j ( x) = L 2 khf( x) = L 2 hkf( x). 2 f x j x i ( x) dl i, j = 1,..., n. 16

17 3.4 Mcierz Hessego Niech f będzie dwukrotnie różniczkowln w x Ω. Połóżmy ij = 2 f x j x i ( x) dl i, j = 1,..., n, A = ( ij ) n i,j=1. Wówczs mcierz A jest symetryczn orz n mocy wzoru z Twierdzeni 3.2 d 2 f( x)(k, h) = n i,j=1 Definicj 3.4 Formę kwdrtową 2 f x i x j ( x)h i k j = k tr Ah = h tr Ak. R n h h tr Ah = d 2 f( x)(h, h) R nzywmy formą kwdrtową Hessego, odpowidjącą jej mcierz A mcierzą Hessego lub hesjnem funkcji f w punkcie x. Śld hesjnu nzywmy opertorem Lplce TrA = n 2 f (x) = f(x). x 2 i 3.5 Wzór Tylor drugiego rzędu. Twierdzenie 3.4 Niech f : Ω R będzie dwukrotnie różniczkowln w x Ω. Wówczs dl h R n tkiego, że x + h Ω zchodzi f( x + h) = f( x) + df( x)h d2 f( x)(h, h) + h 2 ψ(h), gdzie ψ jest ciągł w zerze orz ψ() =. Definicj 3.5 Niech f : Ω R. Mówimy, że funkcj f jest klsy C 2 (Ω) jeśli dl dowolnych ustlonych h, k R n odwzorownie Ω x d 2 f(x)(k, h) R jest ciągłe lub równowżnie, gdy wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu 2 f x j x i ( x), i, j = 1,..., n, są ciągłe w Ω. 17

18 4 Rchunek różniczkowy k-tego rzędu 4.1 k-t różniczk Wzorując się n definicji drugiej różniczki możn indukcyjnie zdefiniowć różniczki wyższych rzędów. Definicj 4.1 Niech Ω będzie otwrtym podzbiorem R n, f : Ω R, x Ω orz k N, k 2. Mówimy, że f jest k-krotnie różniczkowln w punkcie x jeśli zchodzą wrunki 1. f jest (k 1)-krotnie różniczkowln w pewnym otoczeniu U punktu x; 2. Dl dowolnych ustlonych h (1),..., h (k 1) R n odwzorownie U x w h (1),...,h (k 1)(x) =: dk 1 f(x)(h (1),..., h (k 1) ) R jest różniczkowlne w x. Wówczs różniczkę odwzorowni w h (1),...,h nzywmy k-tą różniczką f. Ztem (k 1) dl h, h (1),..., h (k 1) R n mmy określone odwzorownie (h, h (1),..., h (k 1) ) dw h (1),...,h (k 1)( x) h =: dk f( x)(h, h (1),..., h (k 1) ). k-t różniczk jest odwzorowniem k-liniowym n R n R n o wrtościch w R. Twierdzeni dotyczące drugiej różniczki odpowiednio przenoszą się n przypdek k-tej różniczki. Twierdzenie 4.1 Niech f : Ω R n R, x Ω. Wówczs f jest k-krotnie różniczkowln w x wtedy i tylko wtedy, gdy 1 f jest (k 1)-krotnie różniczkowln w pewnym otoczeniu U punktu x; 2 Pochodne cząstkowe (k 1) rzędu są różniczkowlne w x. Twierdzenie 4.2 Niech f : Ω R n R, x Ω. Jeśli f jest k-krotnie różniczkowln w x, to ) dl dowolnych wektorów h (1),..., h (k) R n istnieje k-t pochodn kierunkow L k h (k),...,h (1) f( x) = d k f( x)(h (1),..., h (k) ); b) Istnieją pochodne cząstkowe rzędu k orz dl h (1),..., h (k) R n, d k f( x)(h (1),..., h (k) ) = W szczególności dl k = 3, d 3 f( x)(h (1), h (2), h (3) ) = Z twierdzeni 4.1 wynik α N k,α i n n α 1,α 2,α 3 =1 k f x α1 x αk ( x)h (1) α 1 h (k) α k. 3 f x α1 x α2 x α3 ( x)h (1) α 1 h (2) α 2 h (3) α 3. Wniosek 4.1 Jeśli f posid w pewnym otoczeniu punktu x ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k 1 orz pochodne cząstkowe rzędu k ciągłe w x, to f jest k-krotnie różniczkowln w x. 18

19 4.2 Symetri k-tej różniczki Twierdzenie 4.3 Schwrz o symetrii k-tej różniczki. Niech f : Ω R n R, x Ω. Jeśli f jest k-krotnie różniczkowln w x, to k-t różniczk d k f( x) jest odwzorowniem k-liniowym symetrycznym, tzn. d k f( x) ( h (1),..., h (k)) = d k f( x) ( h (σ(1)),..., h (σ(k))), gdzie σ : {1,..., k} {1,..., k} jest dowolną permutcją. W szczególności, pochodne cząstkowe mieszne nie zleżą od kolejności różniczkowni. 4.3 Wzór Tylor Twierdzenie 4.4 Wzór Tylor. Niech f : Ω R n R będzie k-krotnie różniczkowln w kżdym punkcie odcink [, b] Ω. Wówczs istnieje punkt c [, b] tki, że f(b) = f() + df() (b ) + + dk 1 f() 1! (k 1)! (b,..., b ) + dk f(c) (b,..., b ). k! 4.4 Funkcje klsy C k Definicj 4.2 Niech f : Ω R orz k N. Mówimy, że funkcj f jest funkcją klsy C k (Ω) jeśli jest on k-krotnie różniczkowln w kżdym punkcie x Ω orz dl dowolnych ustlonych h (1),..., h (k) R n odwzorownie Ω x d k f( x)(h (1),..., h (k) ) R jest ciągłe lub równowżnie, gdy wszystkie pochodne cząstkowe k-tego rzędu k f x i1 x ik ( x), i j = 1,..., n dl j = 1,..., k, są ciągłe w Ω. Definicj 4.3 Niech f : Ω R. Mówimy, że funkcj f jest funkcją klsy C (Ω) lub że jest funkcją głdką n Ω jeśli jest on klsy C k (Ω) dl dowolnego k N lub równowżnie, gdy wszystkie pochodne cząstkowe dowolnego rzędu są ciągłe w Ω. Funkcjmi głdkimi są wielominy, funkcj wykłdnicz, logrytmiczn, funkcje trygonometryczne, sumy, iloczyny funkcji głdkich, ilorz funkcji głdkich poz zermi minownik, złożeni funkcji głdkich. Definicj 4.4 Niech f : Ω R będzie funkcją ciągłą. Nośnikiem funkcji f nzywmy domknięcie zbioru tych punktów x Ω tkich, że f(x). Nośnik funkcji oznczmy jko suppf, tk więc, suppf = {x Ω : f(x) }. 19

20 Przykłd 4.1 Niech g(t) = { e 1/t dl t >, dl t. Wówczs f jest funkcją głdką n R o nośniku R + = [, ). Dowód Jest jsne, że f jest klsy C n R \ {}. Nstępnie f C (R), gdyż lim t + e 1/t =. Pozostje wykzć, że dl dowolnego k N pochodn rzędu k jest funkcją ciągłą w zerze. W tym celu indukcyjnie dowodzi się, że f (k) (t) = e 1/t W 2k ( 1 ) dl t >, t gdzie W 2k jest pewnym wielominem stopni 2k. W celu wykzni, że f (k) jest funkcją ciągłą w zerze wystrczy ztem wykzć nstępujący fkt. Dl kżdego N N istnieje stł C N < tk, że lub równowżnie e 1/t C N t N dl t > x N e x C N dl x >. Dowód tej nierówności możn uzyskć bdjąc przebieg zmienności funkcji g(x) = x N e x, x >. Otóż funkcj t jest rosnąc dl < x < N i mlejąc dl x > N. W punkcie x = N przyjmuje mksimum równe N N e N =: C N. Podmy terz przykłd funkcji głdkiej n R n o nośniku równym kuli jednostkowej. Przykłd 4.2 Niech orz g(t) = { e 1/(t 1) dl t < 1, dl t 1 f(x) = g(x 2 ) = g(x x 2 n) dl x R n. Wówczs f jest funkcją głdką n R, której nośnikiem jest kul jednostkow, tzn. f(x) > dl x < 1 orz f(x) = dl x 1. Dowód. Jest jsne, że suppf = B(, 1). Indukcyjnie wykzuje się, że dowoln pochodn cząstkow rzędu k N jest postci W ( x 1,..., x n, g (x 2 ),..., g (k) (x 2 ) ), gdzie W jest pewnym wielominem. Ztem f C (R n ). 2

21 5 Ekstrem loklne funkcji Definicj 5.1 Niech Ω będzie otwrtym podzbiorem R n, f : Ω R orz x Ω. Mówimy, że f posid w punkcie x loklne minimum (mksimum) jeśli istnieje δ > tk, że f(x) f( x) dl x x < δ, ( f(x) f( x) dl x x < δ ). Loklne minimum lub mksimum nzywmy loklnym ekstremum. 5.1 Wrunek konieczny 1-go rzędu Twierdzenie 5.1 Niech f : Ω R n R orz x Ω. Jeśli f posid pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w x orz x jest punktem loklnego ekstremum, to f ( x) = = f ( x). x 1 x n Wniosek 5.1 Niech f : Ω R n R orz x Ω. Jeśli f jest różniczkowln w x orz x jest punktem loklnego ekstremum, to df( x) =. Wrto podkreślić, że wrunek znikni pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu jest tylko wrunkiem koniecznym ekstremum loklnego. Przykłd 5.1 Niech Wówczs f(x, y) = xy f x(, ) = f y(, ) =, le f nie posid ekstremum w punkcie (, ). Tym nie mniej wrunek znikni pochodnych pierwszego rzędu pozwl ustlić punkty podejrzne o ekstrem. Definicj 5.2 Niech Ω będzie otwrtym podzbiorem R n, f : Ω R. Punkt x Ω nzywmy punktem stcjonrnym (lub krytycznym) funkcji f jeśli istnieją pochodne cząstkowe f x i ( x) dl i = 1,..., n i są równe zeru. Znjomość punktów stcjonrnych funkcji jest przydtn do wyznczeni njwiększej i njmniejszej wrtości funkcji n zbiorze zwrtym K R n. Jk wiemy funkcj ciągł przyjmuje n zbiorze zwrtym K swoje kresy. Ztem jeśli jest on różniczkowln we wnętrzu zbioru K, to wrtości mksymlne i minimlne mogą być przyjmowne w punktch stcjonrnych wnętrz K lub n brzegu K. 21

22 Przykłd 5.2 Niech f(x, y) = 2x 2 xy + y 2, K = {(x, y) : x 2 + y 2 1}. Wówczs intk = {(x, y) : x 2 + y 2 < 1}. Ukłdem równń n punkty stcjonrne jest f = 4x y =, x f = x + 2y =. y Punktem stcjonrnym jest O = (, ) orz f(, ) =. W celu zbdni f n brzegu zbioru K zuwżmy, że K = {x 2 + y 2 = 1} = {(cos ϕ, sin ϕ) : ϕ 2π}. Ztem Liczymy pochodną funkcji g: f(cos ϕ, sin ϕ) = 2 cos 2 ϕ cos ϕ sin ϕ + sin 2 ϕ = cos 2 ϕ 1 sin 2ϕ + 1 =: g(ϕ). 2 g (ϕ) = 2 cos ϕ sin ϕ cos 2ϕ = sin 2ϕ cos 2ϕ. g (ϕ) = wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ = 3 8 π lub ϕ = 7 8 π. g( 3 8 π) = 1 2 (3 2) >, g( 7 8 π) = 1 2 (3 + 2). Ztem mx f = f(cos 7π, sin 7π) = 1(3 + 2), min f = f(, ) =. K K W przypdku gdy mmy wyznczyć ekstrem funkcji n zbiorze domkniętym F R n, poz punktmi stcjonrnymi wnętrz zbioru F nleży uwzględnić ekstrem funkcji n brzegu zbioru F orz zchownie się funkcji dl F x. Przykłd 5.3 Niech f(x, y) = (x + y)e x2 y 2, F = {(x, y) : x, y }. Wówczs intk = {(x, y) : x >, y > }. Ukłdem równń n punkty stcjonrne jest f x = ( 2x2 2xy + 1)e x2 y 2 =, f y = ( 2y2 x2 y2 2xy + 1)e =. Punktem stcjonrnym we wnętrzu zbioru F jest A = ( 1 2, 1 2 ) orz f(1 2, 1 2 ) = e 1/2. W celu zbdni f n brzegu zbioru K zuwżmy, że intf = I 1 I 2, gdzie I 1 = {(x, ) : x }, I 2 = {(, y) : y } Nstępnie mx f = mx I 1 x< xe x2 = f( 2, ) = e 1/2, min f = f(, ) =. I 1 22

23 Anlogicznie mx I2 f = f(, 2 ) = e 1/2, min I2 f = f(, ) =. W celu zbdni zchowni się funkcji f przy (x, y) F połóżmy x = r cos ϕ, y = r sin ϕ dl r >, ϕ π/2. Wówczs f(r cos ϕ, r sin ϕ) = (cos ϕ + sin ϕ)re r2 gdy r. Ztem mx F f = mx ( e 1/2, 2 2 e 1/2) = e 1/2 = f( 1 2, 1 2 ), min F f = f(, ) =. Nstępny przykłd pokzuje, że punktów stcjonrnych może być nieskończenie wiele. Przykłd 5.4 Niech f(x, y) = xy 2, Ω = R 2. Wówczs rozwiązniem ukłdu równń n punkty stcjonrne f x = y2 =, f y = 2xy = jest cł prost {y = }. Łtwo zuwżyć, że w punktch (x, ), x >, funkcj f posid minimum loklne równe, ntomist w punktch (x, ), x <, funkcj f posid mksimum loklne równe. W punkcie (, ) nie m ni minimum ni mksimum loklnego. 5.2 Form kwdrtow Hessego Wrunek dostteczny n ekstremum funkcji podobnie jk w przypdku 1-wymirowym możn sformułowć przy pomocy drugiej różniczki. Przypomnijmy, że drug różniczk funkcji to form dwuliniow d 2 f( x)(k, h) = n i,j=1 2 f( x) x i x j k i h j dl k, h R n. Jej wrtość n przekątnej {k = h} nzywmy formą kwdrtową Hessego stowrzyszoną z d 2 f( x), Oznczmy H(h) = d 2 f( x)(h, h) = A = n i,j=1 2 f( x) x i x j h i h j dl h R n. ( ) 2 n f ( x). x i x j i,j=1 Wówczs, jeśli f jest dwukrotnie różniczkowln w x, to H(h) = h tr Ah dl h R n. 23

24 Definicj 5.3 Formę kwdrtową H n R n nzywmy dodtnio (odpowiednio, ujemnie) określoną jeśli H(h) > (odpowiednio, H(h) < ) dl kżdego h R n \ {}. Jeśli form h przyjmuje zrówno wrtości dodtnie jk i ujemne, to mówimy, że jest on nieokreślon. Zuwżmy, że jeśli form kwdrtow H jest dodtnio określon, to istnieje stł M > tk, że H(h) Mh 2 dl h R n. Istotnie, jeśli H jest dodtnio określon, to przyjmuje wrtości dodtnie n sferze jednostkowej i wobec zwrtości sfery jednostkowej istnieje M > tkie, że Ztem Stąd H(h) M dl h R n, h = 1. ( h ) H = 1 h h H(h) M dl h 2 Rn, h. H(h) M h 2 = Mh 2 dl h R n. W przyszłości wykżemy, że dl mcierzy symetrycznej A M(n n) form kwdrtow H(h) = h tr Ah dl h R n jest dodtnio określon, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wrtości włsne mcierzy A są dodtnie. Twierdzenie 5.2 Kryterium Sylvester. Niech A M(n n) będzie mcierzą symetryczną. Wówczs form kwdrtow H(h) = h tr Ah dl h R n jest dodtnio określon, wtedy i tylko wtedy, gdy wyznczniki wszystkich minorów głównych są dodtnie, tzn., l l det.... > dl l = 1,..., n... l1 l2... ll Wniosek 5.2 Kryterium Sylvester. Niech A M(n n) będzie mcierzą symetryczną. Wówczs form kwdrtow F (h) = h tr Ah dl h R n jest ujemnie określon, wtedy i tylko wtedy, gdy l ( 1) l l det.... > dl l = 1,..., n... l1 l2... ll 24

25 5.3 Wrunek dostteczny 2-go rzędu Twierdzenie 5.3 Wrunek dostteczny drugiego rzędu ekstremum loklnego. Niech f : Ω R n R orz x Ω. Złóżmy, że f jest dwukrotnie różniczkowln w x, przy czym df( x) =. Jeśli form kwdrtow Hessego H(h) = d 2 f( x)(h, h) dl h R n jest dodtnio (odpowiednio, ujemnie) określon, to f przyjmuje w x loklne minimum (odpowiednio, loklne mksimum). Jeśli form H jest nieokreślon, to f nie m ekstremum w x ( x jest wtedy punktem siodłowym funkcji f). Twierdzenie 5.4 Wrunek dostteczny drugiego rzędu ekstremum globlnego. Niech f : Ω R n R orz x Ω. Złóżmy, że f jest klsy C 2 (Ω) orz df( x) =. Jeśli form kwdrtow Hessego H(h) = d 2 f(x)(h, h) dl h R n jest dodtnio (odpowiednio, ujemnie) określon dl kżdego x Ω, to f przyjmuje w x ścisłe minimum (odpowiednio, ścisłe mksimum) globlne. Przykłd 5.5 Niech f(x, y) = (1 + e y ) cos x ye y, Ω = R 2. Wówczs rozwiązniem ukłdu równń n punkty stcjonrne f x = (1 + ey ) sin x =, f y = ey (cos x 1 y) = są punkty A k = (2kπ, ), k Z orz B k = ((2k + 1)π, 2), k Z. Mcierzą Hessego jest ( ) (1 + e H(x, y) = y ) cos x e y sin x e y sin x e y. (cos x 2 y) ( ) ( ) e 2 H(A k ) =, H(B 1 k ) = e 2 W punktch A k mmy H(A k ) <. Ztem funkcj przybier w tych punktch mksimum loklne równe f(2kπ, ) = 2. W punktch B k mcierz Hessego jest nieokreślon, ztem są to punkty siodłowe. Przykłd 5.6 Niech A M(n n) będzie mcierzą symetryczną, B M(n 1) wektorem poziomym orz c R. Rozwżmy funkcję kwdrtową n-zmiennych f(x) = x tr Ax + Bx + c dl x R n. 25

26 Jeśli A = ( ij ) n i,j=1, B = (b 1,..., b n ), to f(x) = n ij x i x j + i,j=1 n b i x i + c = x 1 ( 11 x x n x n ) + x 2 ( 21 x x n x n ). + x n ( n1 x 1 + n2 x nn x n ) + b 1 x 1 + b 2 x b n x n + c. Ukłdem równń n punkty stcjonrne jest ukłd czyli f x 1 = 2( 11 x x n x n ) + b 1 =,. f = 2( n1 x 1 + n2 x nn x n ) + b n =, x n grdf(x) = 2x tr A + b =. Jeśli mcierz A jest odwrcln, to istnieje dokłdnie jeden punkt stcjonrny x = 1 2 A 1 b tr. Pondto, H(x) = 2A. Ztem, jeśli A >, to x jest globlnym, ścisłym minimum; jeśli A <, to x jest globlnym, ścisłym mksimum; jeśli A jest nieokreślon, to x jest punktem siodłowym. 5.4 Zstosowni A. Odległość prostych Prost l w R n jest zdn przez punkt R n i wektor v R n. Ztem niech l 1, l 2 będą dwom prostymi: l 1 = {x R n : x = + tv dl t R}, gdzie R n, v R n, l 2 = {y R n : y = b + sw dl s R}, gdzie b R n, w R n. Wówczs odległość prostej l 1 od prostej l 2 jest dn wzorem ρ(l 1, l 2 ) = min x y. x l 1,y l 2 Ztem ρ 2 (l 1, l 2 ) = min (t,s) R 2 n ( i b i + tv i sw i ) 2. 26

27 Czyli trzeb znleźć minimum funkcji kwdrtowej f(t, s) = n ( i b i + tv i sw i ) 2. B. Odległość prostej od hiperpłszczyzny Odległość punktu p R n od (n 1)-wymirowej hiperpłszczyzny Π zdnej równniem Π = {x R n : b tr x = c}, gdzie b R n, c R wyrż się wzorem ρ 2 (p, Π) = min x R n 1 ( n 1 (p i x i ) 2 + ( n 1 p n 1 b n (c b i x i ) )) o ile b n. Jeśli n = 3, Π = {b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = c}, przy czym b 3, to ρ 2 (p, Π) = ( min (p 1 x 1 ) 2 + (p 2 x 2 ) + ( p 3 c b 1x 1 b 2 x 2 ) ). (x 1,x 2 ) R 2 b 3 C. Nierówność między średnią geometryczną i rytmetyczną Zjmiemy się terz problemem wyznczeni njmniejszej wrtości sumy n liczb dodtnich, których iloczyn jest ustlony. Problem poleg n znlezieniu minimum wyrżeni x 1 + x x n jeśli x 1 >, x 2 >,..., x n > orz x 1 x 2 x n = C, C >. Z osttniego wrunku dostjemy x n = Ztem wystrczy znleźć minimum funkcji C x 1 x 2 x n 1. C f(x 1, x 2,..., x n 1 ) = x 1 + x 2 + x n 1 + x 1 x 2 x n 1 w obszrze R n 1 + = {x 1 >, x 2 >,..., x n 1 > }. Piszemy ukłd równń n punkt stcjonrny f C = 1 =, x 1 x 2 1 x 2 x n 1 f x 2 = 1 C x 1 x 2 2 x n 1 =,. f C = 1 =. x n 1 x 1 x 2 x 2 n 1 27

28 Stąd x 1 = x 2 =... = x n 1 = C 1/n. Łtwo zuwżyć, że jeśli x i lub x i dl pewnego i = 1, 2,..., n 1, to f(x 1, x 2,..., x n 1 ). Ztem punkt stcjonrny funkcji f jest punktem jej minimum globlnego, czyli f(x 1, x 2,..., x n 1 ) f(c 1/n, C 1/n,..., C 1/n ) = nc 1/n dl (x 1, x 2,..., x n 1 ) R n 1 +. Stąd dostjemy nierówność pomiędzy średnimi rytmetyczną i geometryczną n liczb dodtnich x 1 + x x n 1 + x n n n x 1 x 2 x n 1 x n. Korzystjąc z powyższej nierówności możn rozwiązć nstępujące zdnie. Zdnie 1. Znleźć trójkąt o dnym obwodzie 2p, którego pole P jest njwiększe. Oznczjąc przez, b, c boki trójkąt zdnie sprowdz się do wyznczeni mksimum funkcji P (, b, c) = p(p )(p b)(p c) przy wrunku + b + c = 2p lub równowżnie mksimum iloczynu (p )(p b)(p c) pod wrunkiem, że sum (p ) + (p b) + (p c) = p jest stł. Zdnie 2. Znleźć (n+1)-kąt o njwiększym polu P wpisny w koło o promieniu R >. Oznczmy przez ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n+1 kąty środkowe (n+1)-kąt. Wówczs ϕ 1 +ϕ ϕ n+1 = 2π. Pole (n + 1)-kąt wpisnego w koło o promieniu R wyrż się wzorem P = 1 2 R2( sin ϕ sin ϕ n+1 ). Zdnie sprowdz się do znlezieni mksimum funkcji u(ϕ 1,..., ϕ n ) = sin ϕ sin ϕ n sin(ϕ ϕ n ) w zbiorze F = {ϕ 1,..., ϕ n, ϕ ϕ n 2π. Punkt stcjonrny leżący we wnętrzu tego zbioru spełni ukłd równń u ϕ 1 = cos ϕ 1 cos(ϕ ϕ n ) =,. u = cos ϕ n cos(ϕ ϕ n ) =. ϕ n Ztem ϕ 1 =... = ϕ n = 2π = ϕ n+1 n+1 orz u mx = u( 2π,..., 2π 2π ) = (n + 1) sin. n+1 n+1 n+1 Zuwżmy jeszcze, że n ścinie {ϕ n = } zbioru F funkcj mksimum funkcji u wynosi n sin 2π 2π sin(2πx) < (n + 1) sin, gdyż funkcj x jest mlejąc w przedzile n n+1 x (, 1). 2 28

29 D. Metod njmniejszych kwdrtów, regresj liniow Złóżmy, że n płszczyźnie R 2 dnych jest n punktów A 1 = (x 1, y 1 ),..., A n = (x n, y n ). Zdnie regresji liniowej poleg n znlezieniu prostej y = x + b leżącej njbliżej tych punktów w sensie, że sum kwdrtów n d2 i, gdzie d i = x i + b y i, jest njmniejsz. Zdnie to m duże zstosownie w sttystyce. Celem jest znlezienie minimum funkcji kwdrtowej E(, b) = n ( ) 2. xi + b y i Ukłdem równń n punkt stcjonrny jest E n = 2 E b = 2 n ( xi + b y i ) xi =, ( xi + b y i ) =. Ztem punkt stcjonrny spełni ukłd n x2 i + b n x i = n x iy i, n x i + b n = n y i. Ztem oznczjąc x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) dostjemy = n x y ( n x n i)( y ) i nx 2 ( n x ) 2, i b = x2 n y i ( n x i) x y nx 2 ( n x ) 2. i E. Regresj kwdrtow Złóżmy, że n płszczyźnie R 2 dnych jest n punktów A 1 = (x 1, y 1 ),..., A n = (x n, y n ). Zdnie regresji kwdrtowej poleg n znlezieniu prboli y = x 2 + bx + c leżącej njbliżej tych punktów w sensie, że wyrżenie E(, b, c) = n ( ) x 2 2 i + bx i + c y i 29

30 przybier wrtość njmniejszą. Ukłdem równń n punkt stcjonrny jest E n = 2 ( ) x 2 i + bx i + c y i x 2 i =, E n b = 2 ( ) x 2 i + bx i + c y i xi =, E n c = 2 ( ) x 2 i + bx i + c y i =. F. Regresj wykłdnicz i logrytmiczn Złóżmy, że n płszczyźnie R 2 dnych jest n punktów A 1 = (x 1, y 1 ),..., A n = (x n, y n ). Zdnie regresji wykłdniczej poleg n znlezieniu funkcji wykłdniczej y = Be x leżącej njbliżej tych punktów w sensie, że wyrżenie F (, B) = n ( Be x i ) 2 y i przybier wrtość njmniejszą. znleźć minimum funkcji Poniewż ln y = ln(be x ) = x + ln B wystrczy E(, b) = n ( ) 2, xi + b ln y i gdzie b = ln B. Anlogicznie definiuje się zdnie regresji logrytmicznej. G. Progrmownie liniowe Zdnie progrmowni liniowego poleg n znlezieniu ekstremów funkcji liniowej w zbiorze opisnym przez funkcje liniowe. Dl dnego wektor b R n orz liczby c R znleźć min W (btr x + c) orz mx W (btr x + c), gdzie W = {x R n : g 1 (x),..., g k (x) }, g i (x) = v tr i x + d i, v i R n, d i R dl i = 1,..., k. Poniewż funkcj x b tr x + c jest stł n hiperpłszczyznch b tr x = const, więc jej ekstrem są przyjmowne w punktch ekstremlnych zbioru W. 3

31 6 Zsd Bnch 6.1 Zwrtość i zupełność Definicj 6.1 Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Podzbiór K X nzywmy zwrtym jeśli dowolny ciąg punktów zbioru K zwier podciąg zbieżny do punktu zbioru K. Fkt 1. Kżdy zbiór zwrty jest domknięty. Fkt 2. Domknięty podzbiór zbioru zwrtego jest zwrty. Fkt 3. Domknięty i ogrniczony zbiór K R n jest zwrty. Definicj 6.2 Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że ciąg {x n } n=1 punktów x n X spełni wrunek Cuchy ego jeśli zchodzi (C) dl dowolnego ε > istnieje N N tkie, że ρ(x n, x m ) < ε dl n, m N. Lemt 6.1 Kżdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej (X, ρ) spełni wrunek Cuchy ego. Lemt 6.2 Kżdy ciąg Cuchy ego w przestrzeni metrycznej (X, ρ) jest ogrniczony. Definicj 6.3 Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że przestrzeń (X, ρ) jest zupełn jeśli kżdy ciąg Cuchy ego elementów przestrzeni X jest zbieżny w X. Przykłd 6.1 Przestrzeń (, 1) z metryką ρ(x, y) = x y nie jest zupełn. Podobnie Q, gdzie Q jest zbiorem liczb wymiernych, nie jest zupełn. Lemt 6.3 Kżd przestrzeń metryczn (X, ρ) zwrt jest zupełn. Lemt 6.4 Jeśli w przestrzeni metrycznej (X, ρ) kżd kul domknięt jest zwrt, to (X, ρ) jest zupełn. Poniewż w przestrzeni R n kule domknięte są zwrte mmy Wniosek 6.1 Przestrzeń R n z metryką euklidesową jest zupełn Wniosek 6.2 Domknięty podzbiór przestrzeni zupełnej jest przestrzenią zupełną. 31

32 6.2 Zsd Bnch Definicj 6.4 Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Odwzorownie T : X X nzywmy zwężjącym jeśli istnieje stł < λ < 1 tk, że dl dowolnych x, y X zchodzi ρ ( T (x), T (y)) λρ(x, y). Łtwo zuwżyć, że odwzorownie zwężjące jest ciągłe. Definicj 6.5 Punkt x X nzywmy punktem stłym odwzorowni T : X X jeśli T ( x) = x. Przykłd 6.2 Niech T : R n R n będzie odwzorowniem liniowym, tzn. T x = Ax dl pewnej mcierzy M M(n n). Wówczs punkt jest punktem stłym odwzorownie T. T jest odwzorowniem zwężjącym wtedy i tylko wtedy, gdy moduły wrtości włsnych włsnych mcierzy A są mniejsze od 1. Przedstwimy terz tzw. zsdę Bnch. Jest to jedno z njwżniejszych twierdzeń nlizy, wykorzystywne do dowodu istnieni rozwiązń wielu problemów mtemtycznych. Twierdzenie 6.1 (Bnch o punkcie stłym.) Niech T będzie odwzorowniem zwężjącym przestrzeni metrycznej, zupełnej (X, ρ) w siebie. Wówczs istnieje dokłdnie jeden punkt stły odwzorowni T. Pondto, jest wyznczony jko grnic ciągu {T n x} n=1, gdzie x jest dowolnym punktem przestrzeni X. Dowód. Weźmy dowolny punkt x X i oznczmy d = ρ(x, T x). Korzystjąc z definicji odwzorowni zwężjącego orz indukcji mtemtycznej łtwo zuwżyć, że dl n N zchodzi ρ(t n x, T n+1 x) λ n d, gdzie < λ < 1. Poniewż szereg n= λn d jest zbieżny, więc ciąg {T n x} n= jest ciągiem Cuchy ego w X. Wobec zupełności przestrzeni X istnieje grnic lim T n x = x. n Korzystjąc z ciągłości odwzorowni T dostjemy T x = T lim n T n x = lim n T n+1 x = x. Ztem x jest punktem stłym T. Jeśli ẙ też jest punktem stłym odwzorowni T, to poniewż ρ( x, ẙ) = ρ(t x, T ẙ) λρ( x, ẙ) orz λ < 1, więc musi zchodzić ρ( x, ẙ) =. Stąd x = ẙ. 32

33 7 Odwrcnie odwzorowń Niech f : (, b) R będzie funkcją klsy C 1, której pochodn f nigdzie nie znik n odcinku (, b). Poniewż f z złożeni jest funkcją ciągłą, więc n mocy włsności Drboux dl kżdego x (, b) zchodzi f (x) > lub f (x) <. Ztem f jest funkcją ściśle rosnącą lub ściśle mlejącą, więc różnowrtościową. Stąd wnioskujemy, że istnieje funkcj odwrotn f 1 : ( f(), f(b) ) R, tzn. f 1( f(x) ) = x dl kżdego x (, b). W przypdku odwzorowń wielowymirowych F : Ω R n R n sytucj jest brdziej złożon. Nturlnym odpowiednikiem wrunku f (x) jest nieosobliwość różniczki odwzorowni F, czyli wrunek JF (x) dl x Ω, gdzie JF = det DF jest jkobinem odwzorowni F, czyli wyzncznikiem mcierzy różniczki DF. Niestety dl n 2 odwzorownie o nieznikjącym jkobinie nie musi być różnowrtościowe. Przykłd 7.1 Niech Ω = {(r, ϕ) : r >, ϕ R} orz F (r, ϕ) = ( f 1 (r, ϕ), f 2 (r, ϕ) ) := (r cos ϕ, r sin ϕ) dl (r, ϕ) Ω. Wówczs F odwzorowuje Ω n R 2 \ {(, )} orz ( ) f1 f 1 ( ) r ϕ cos ϕ r sin ϕ JF (r, ϕ) = det = det = r > dl (r, ϕ) Ω. sin ϕ r cos ϕ f 2 r f 2 ϕ Odwzorownie F nie jest różnowrtościowe, gdyż F (r, ϕ + 2π) = F (r, ϕ). Zuwżmy jednk, że dowolny punkt (r, ϕ ) Ω posid otoczenie otwrte U = {(r, ϕ) : r >, ϕ π < ϕ < ϕ + π}, n którym F jest różnowrtościowe. Dowolny punkt (x, y) R 2 \ {(, )} możn przedstwić w postci x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, gdzie r = x 2 + y 2, ϕ = rctg y. (r, ϕ) nzywmy współrzędnymi biegunowymi punktu x (x, y). Definicj 7.1 Niech F : Ω R n R n będzie odwzorowniem klsy C 1. Mówimy, że F jest nieosobliwe w punkcie x Ω jeśli JF ( x). Podobnie F jest nieosobliwe n zbiorze U Ω jeśli jest nieosobliwe w kżdym punkcie zbioru U. Twierdzenie 7.1 O loklnym odwrcniu odwzorowń. Niech F : Ω R n R n będzie odwzorowniem klsy C 1 orz x Ω. Jeśli F jest nieosobliwe w x, to ) F (Ω) jest otoczeniem punktu ẙ = F ( x); b) Istnieje otoczenie U punktu x tkie, że F U jest różnowrtościowe. 33

34 Twierdzenie 7.2 O różniczkowlności odwzorowni odwrotnego. Niech F : Ω R n R n będzie odwzorowniem klsy C 1 (Ω). Złóżmy,że F jest nieosobliwe n Ω. Wówczs 1. F (Ω) jest zbiorem otwrtym; 2. Jeśli F jest różnowrtościowe n Ω, to odwzorownie odwrotne F 1 jest klsy C 1 orz dl y = F (x), x Ω zchodzi DF 1 (y) = ( DF (x) ) 1, JF 1 (y) = 1 / JF (x). Przykłd 7.2 Niech Ω = {(r, ϕ) : r >, π < ϕ < π} orz F (r, ϕ) = ( f 1 (r, ϕ), f 2 (r, ϕ) ) := (r cos ϕ, r sin ϕ) dl (r, ϕ) Ω. Wówczs F odwzorowuje wzjemnie jednozncznie Ω n R 2 \ {(x, ) : x } orz ( ) cos ϕ r sin ϕ JF (r, ϕ) = det = r > dl (r, ϕ) Ω. sin ϕ r cos ϕ Z Twierdzeni 7.2 wynik, że odwzorownie odwrotne G = F 1 jest klsy C 1. G możn wyrzić w sposób jwny G(x, y) = ( g 1 (x, y), g 2 (x, y) ) := ( x2 + y 2, rctg y x). Tym nie mniej różniczkę odwzorowni G możn wyliczyć nie korzystjąc z jwnych wzorów n G. Otóż n podstwie punktu 2 Twierdzeni 7.2 mmy DG(x, y) = ( DF ) ( ) ( ) 1 1 cos ϕ r sin ϕ cos ϕ sin ϕ = = sin ϕ r cos ϕ sin r ϕ cos ϕ r ( x ) y = x 2 +y 2 x 2 +y 2. Stąd y x 2 +y 2 x x 2 +y 2 dg 1 (dx, dy) = xdx + ydy x2 + y 2, dg 2(dx, dy) = xdy ydx x 2 + y 2. 34

35 8 Dyfeomorfizmy Z temtem odwrcni odwzorowń wiąże się pojęcie dyfeomorfizmu. Definicj 8.1 Odwzorownie F : Ω R n R m nzywmy dyfeomorfizmem zbioru Ω n obrz F (Ω) jeśli spełnione są trzy wrunki 1. F jest klsy C 1, 2. F jest nieosobliwe i różnowrtościowe, 3. odwzorownie odwrotne F 1 : F (Ω) R n jest ciągłe. Kżdy dyfeomorfizm jest homeomorfizmem. Pondto, z wrunku nieosobliwości F wynik, że m n. Z twierdzeni o różniczkowniu złożeni odwzorowń wynik Wniosek 8.1 Jeśli F : Ω R n U R m jest dyfeomorfizmem Ω n U orz G : U R k jest dyfeomorfizmem U n V = G(U), to G F jest dyfeomorfizmem Ω n V. Uwg. Jeśli m > n, to z wrunków nieosobliwości i różnowrtościowości F nie wynik ciągłość odwzorowni odwrotnego. Pokzuje to poniższy przykłd Przykłd 8.1 Niech F : ( 2π, 1) R R 2 będzie dne wzorem { (cos t, sin t) dl 2π < t <, F (t) = (1, t) dl t < 1. Wówczs F jest odwzorowniem klsy C 1, jest nieosobliwe i różnowrtościowe, lecz odwzorownie odwrotne nie jest ciągłe. Tym nie mniej z Twierdzeni 7.2 dostjemy Wniosek 8.2 Jeśli odwzorownie F : Ω R n R n jest klsy C 1 orz jest nieosobliwe i różnowrtościowe, to jest ono dyfeomorfizmem Ω n F (Ω) orz F 1 : F (Ω) Ω jest dyfeomorfizmem. Podmy terz serię wżnych przykłdów dyfeomorfizmów. Przykłd 8.2 Niech F (r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) Wówczs F jest dyfeomorfizmem zbioru Ω = {(r, ϕ) : r >, π < ϕ < π} n R 2 \ {(x, ) : x }. F nzywmy dyfeomorfizmem biegunowym. Przykłd 8.3 Niech F (r, ϕ, z) = (r cos ϕ, r sin ϕ, z) Wówczs F jest dyfeomorfizmem zbioru Ω = {(r, ϕ, z) : r >, π < ϕ < π, z R} n R 3 \ {(x,, z) : x }. F nzywmy dyfeomorfizmem wlcowym. 35

36 Przykłd 8.4 (Współrzędne sferyczne). Współrzędnymi sferycznymi punktu (x, y, z) R 3 nzywmy liczby r, ψ, ϕ tkie, że Niech x = r cos ψ cos ϕ, y = r cos ψ sin ϕ, z = r sin ψ. F (r, ϕ, ψ) = (r cos ψ cos ϕ, r cos ψ sin ϕ, r sin ψ) Wówczs F jest dyfeomorfizmem zbioru Ω = {(r, ϕ, ψ) : r >, π < ϕ < π, π < 2 ψ < π } n obrz. 2 Zuwżmy, że F jest złożeniem dwóch dyfeomorfizmów wlcowych F = G H, gdzie G(ρ, ϕ, z) = (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z), H(r, ϕ, ψ) = (r cos ψ, ϕ, r sin ψ). Ztem F jest dyfeomorfizmem Ω n R 3 \ {(x,, z) : x }. Policzmy jeszcze mcierz różniczki F. N mocy twierdzeni o różniczce złożeni odwzorowń dostjemy cos ϕ ρ sin ϕ cos ψ r sin ψ DF = DG DH = sin ϕ ρ cos ϕ 1 1 sin ψ r cos ψ cos ψ cos ϕ r cos ψ sin ϕ r sin ϕ cos ψ ρ=r cos ψ = cos ψ sin ϕ r cos ψ cos ϕ r sin ψ sin ϕ. sin ψ r cos ψ Pondto, JF = JG JH = ρ r = r 2 cos ψ. Przykłd 8.5 Niech < 1 < 2, < b 2 < b 2 α < β orz Ω = {(x, y) : x >, y >, 1 x α < y < 2 x α, b 1 x β < y < b 2 y β }. Jeśli oznczymy u = x α y, v = x β y, to (x, y) Ω wtedy i tylko wtedy, gdy (u, v) P = {(u, v) : 1 < u < 2, b 1 < v < b 2 }. Niech F (x, y) = (x α y, x β y) dl (x, y) Ω. F jest wzjemnie jednozncznym odwzorowniem Ω n P. ( ) αx DF (x, y) = α 1 y x α βx β 1 y x β orz JF (x, y) = (β α)x α β 1 y > dl (x, y) Ω. Ztem F jest dyfeomorfizmem Ω n P. Dyfeomorfizm odwrotny jest dny przez ( (u ) β α, ( v F 1 β ) ) 1/(β α) (u, v) =. v u α 36

37 Przykłd 8.6 Niech Ω = {(x, y) : x I, < y < f(x)}, gdzie I = (, b) R orz niech f : I R + jest funkcją klsy C 1 (I) o wrtościch dodtnich. Połóżmy ( ) y Ψ(x, y) = x, dl (x, y) Ω. f(x) Wówczs Ψ jest wzjemnie jednozncznym odwzorowniem Ω n P = {(u, v) : u I, < v < 1}. Mcierzą różniczki Ψ jest ( ) 1 DΨ = orz JΨ(x, y) = 1 f(x) yf (x) f 2 (x) 1 f(x) > dl (x, y) Ω. Ztem Ψ jest dyfeomorfizmem Ω n P. Dyfeomorfizm odwrotny jest dny przez Ψ 1 (u, v) = ( u, vf(u) ). Przykłd 8.7 (Symetri sferyczn). Niech I(x) = x dl x Ω := R n \ {}. x 2 Wówczs I jest wzjemnie jednozncznym odwzorowniem zbioru Ω n siebie orz I S n 1 = Id. Pondto, I 1 = I gdyż I ( I(x) ) = x x 2 x 2 x 2 = x dl x Ω. Ztem DI(y) DI(x) = Id dl y = I(x) Ω. Czyli I jest nieosobliwe i jest to dyfeomorfizm R n \ {} n siebie. Zdnie. Policzyć mcierz różniczki odwzorowni I. 37

38 9 Funkcje uwikłne Niech F : Ω R 2 R będzie funkcją klsy C 1. Rozwżmy zbiór S = {(x, y) Ω : F (x, y) = }. Niech ( x, ẙ) S. Będziemy chcieli wiedzieć kiedy w otoczeniu punktu ( x, ẙ) zbiór S jest wykresem funkcji y = g(x) lub funkcji x = h(y). Mówimy wówczs, że równnie F (x, y) = określ w sposób uwikłny funkcję y = g(x) lub funkcję x = h(y). Przykłd 9.1 Niech S = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} orz niech ( x, ẙ) S. Jeśli 1 < x < 1, ẙ >, to funkcj g(x) = 1 x 2 określon w otoczeniu punktu x spełni g( x) = ẙ orz x 2 + ( g(x) ) 2 = 1. Podobnie, jeśli 1 < x < 1 lecz ẙ <, to funkcj g dn przez g(x) = 1 x 2 spełni g( x) = ẙ orz x 2 + ( g(x) ) 2 = 1. Jeśli ntomist ẙ =, to funkcj h(y) = 1 y 2 jeśli x = 1 (odpowiednio h(y) = 1 y 2 jeśli x = 1) zdefiniown w otoczeniu punktu ẙ spełni ( h(y) ) 2 + y 2 = 1 orz h(ẙ) = x. Twierdzenie 9.1 O funkcji uwikłnej. Niech F : Ω R 2 R będzie funkcją klsy C 1, Jeśli S = {(x, y) Ω : F (x, y) = } orz ( x, ẙ) S. F ( x, ẙ), y to istnieją przedził I x i funkcj g : I R klsy C 1 tk, że g( x) = ẙ orz zbiór S 1 = {(x, g(x)) : x I} jest zwrty w S i otwrty w S. Pondto, g (x) = F (x, g(x)) x F (x, g(x)) y dl x I 1 I. Anlogicznie, jeśli F ( x, ẙ), x to istnieją przedził J ẙ i funkcj h : J R klsy C 1 tk, że h(ẙ) = x orz zbiór S 2 = {(h(y), y) : y J} jest zwrty w S i otwrty w S. Pondto, h (y) = F (h(y), y) y F (h(y), y) x dl x J 1 J. 38