O SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx

Transkrypt

1 O SZEREGACH FOURIERA Funkcję postci. Wielominy i szeregi trygonometryczne. T x = N k= N c k e ikx nzywmy wielominem trygonometrycznym. Jk widć, wielomin trygonometryczny jest funkcją okresową o podstwowym okresie i m nieskończenie wiele pochodnych, które są tkże wielominmi trygonometrycznymi. Brdzo wżnym wżnym przykłdem jest funkcj D m x = m k= m e ikx = + zwn jądrem Dirichlet. Zuwżmy, że m k= D m x dx =. cos kx = sinm + x sin x Współczynniki wielominu trygonometrycznego możn wyłuskć przez cłkownie... Jeśli to T x = N k= N c k e ikx, c k = π T xe ikx dx. Przypuśćmy, że f : R C jest funkcją okresową o okresie i cłkowlną w sensie Riemnn n odcinkch domkniętych. Klsę tkich funkcji będziemy oznczć przez R R. Dotychczsowe rozwżni nsuwją myśl o przedstwieniu funkcji okresowych jko szeregów trygonometrycznych, to znczy szeregów postci Sx = c n e inx, gdzie. c n = π fxe inx dx. Widzimy, że sumy częściowe szeregu trygonometrycznego są wielominmi trygonometrycznymi. Tk zbudowny szereg trygonometryczny nzyw się szeregiem Fourier funkcji f. Aby to zznczyć, piszemy f fne inx, fn = π fxe inx dx.

2 Sumę częściową szeregu Fourier funkcji f będziemy zzwyczj oznczć przez S N f, x = fke inx..3. Jk łtwo widć,.4. Jeśli to szereg trygonometryczny k N fn π fx dx, n N. Sx = c n <, c n e inx jest zbieżny jednostjnie. Pondto, dl kżdego n N Ŝn = c n. Dowód. Jednostjn zbieżność szeregu Sx wynik z kryterium Weierstrss. Mmy bowiem c n e inx c n. Stąd też wzory n współczynniki otrzymujemy cłkując jednostjnie zbieżny szereg Sxe inx wyrz po wyrzie..5. Przykłd. Niech Mmy orz dl n c n = x ux = m, x R. c = x dx = x e inx dx = xe inx 4π in 4π n e inx dx = i n, więc u + i n n einx = sin n πn n= n= jest szeregiem Fourier nszej funkcji. Szereg ten, jk wiemy, jest zbieżny w kżdym punkcie. Ale czy do funkcji u? Zwróćmy też uwgę, że współczynniki tego szeregu nie spełniją wrunku bezwzględnej zbieżności, który postulowliśmy w Przykłd. Niech v będzie rozszerzeniem do funkcji okresowej funkcji x x z odcink [, π. W odróżnieniu od funkcji u funkcj v jest ciągł. Mmy c = π x, dx = π x dx = π π i dl n c n = π x cos nx dx = n πn,

3 3 skąd łtwo otrzymujemy v π k= 4 cosk x πk. Ten szereg Fourier jest zbieżny bezwzględnie i jednostjnie. Ale czy do funkcji v? Wróćmy do ogólnej teorii i zpytjmy: Czy szereg Fourier funkcji f jest zbieżny do funkcji f przynjmniej w niektórych punktch? A może wszędzie? Jeśli tk, to czy tylko punktowo, czy jednostjnie? Niestety nsz świt nie jest idelny. Zdrz się, że szereg funkcji Fourier funkcji ciągłej nie tylko nie jest zbieżny do funkcji, od której pochodzi, le jest wręcz rozbieżny w brdzo wielu punktch. Dltego będziemy się strli ustlić kryteri, któr zpewią zbieżność w ustlonym punkcie, tkże zbieżność punktową wszędzie; czsem nwet jednostjną. Chcemy oczywiście tkże wiedzieć, czy szereg Fourier jest zbieżny do funkcji, od której pochodzi..7. Jeśli funkcj f C R m zerowy szereg Fourier, to jest funkcją zerową. Dowód. Niech f C R i niech jej wspólczynniki Fourier będą wszystkie zerowe. Przypuśćmy nie wprost, że istnieje jednk punkt [, π, tki że f. Nietrudno zredukowć zgdnienie do sytucji, gdy = i fx A > dl x < δ, gdzie < δ < π/. Niech T δ x = + cos x cos δ, x R. T δ jest wielominem trygonometrycznym, tkim że T δ x, δ x π, orz T δ x M >, x δ/. Jk wiemy, dl kżdego N potęg Tδ N jest też wielominem trygonometrycznym, więc wobec złożeni o znikniu wspólczynników Fourier mmy π fxt δ x N dx =, N N, więc fxt δ x N dx = fxt δ x N dx. δ x π x δ Pokżemy, że osttni równość prowdzi do sprzeczności. Rzeczywiście, lew stron szcuje od góry się przez L N π fx dx, więc jest ogrniczon niezleżnie od N, ntomist prw spełni oszcownie od dołu P N fxt δ x N dx M N Aδ x δ/ więc dąży wrz z N do nieskończoności.

4 4. Jądro Dirichlet. Nszą teorię zczniemy od wyrżeni sum częściowych szeregu Fourier w zmkniętej formie, w której łtwiej będzie je bdć... Lemt. Niech f R R i niech S m x = S m f, x będzie sumą częściową szeregu Fourier f. Wtedy S m x = π ftd m x t dt. Dowód. Rzeczywiście, m S m x = fne inx = n= m = π π ft m e ix t dt n= m ftd m x t dt = π fx + td m t dt. Czytelnik nie powienien się zdziwić, gdy powiemy, że w cłej teorii kluczową rolę odgrywć będzie cłk Dirichlet π fx td m t dt... Lemt Riemnn-Lebesgue. Niech f R[, b]. Wtedy lim n fxe inx dx =. Dokłdniej, dl kżdego n Z fxe inx dx sup Ωf, P + f δp / n n. Dowód. Nietrudno zgdnienie sprowdzić do przypdku, gdy =. Dl kżdego n Z zdefiniujmy podził odcink [, b] w nstępujący sposób. Niech gdzie N jest wybrne tk, by N π n x n k = kπ, N, n < b Nπ n. Pondto niech x N = b. Nsz podził, to P n = {x k } N k=. Jego odcinkmi są In k = [xn k, xn k+ ], średnic wynosi δp n = n. Wtedy gdzie S n k = co wynik z fktu, że fxe inx dx = x n k+ x n k k= x n k+ x n k fxe inx dx = k= S n k, fx fx n k e inx dx, k N, x n k+ x n k e inx dx =,

5 orz S n N = x n N Ztem, dl kżdego k N orz Osttecznie, fx fx n N e inx dx + fx n N e inx dx. x n N Sk n sup fx fy I n x,y Ik n k SN n sup fx fy IN n + f IN. n x,y IN n fxe inx dx Ωf, P n + f n, gdzie δp n = n, skąd ntychmist wynik nsz tez..3. Wniosek. Współczynniki Fourier funkcji f R R znikją w nieskończoności. Lemt Riemnn-Lebesgue pozwl dostrzec wżny związek między cłką Dirichlet i cłką Hilbert..4. Wniosek. Dl kżdych < b < π D n t dt = Bn A n sin t t dt + ε n, gdzie A n = n +, B n = n + b i ε n. W szczególności, D n t dt C niezleżnie ni od < b π, ni od n N. 5 Dowód. Rzeczywiście, D n t dt = gdzie = / / / / D n t dt sinn + t t / dt + ft sinn + t dt, / ft = sin t t = t sin t = r 3t t sin t t sin t, r 3t c t 3, jest funkcją cłkowlną. Po zminie zmiennej D n t dt = Bn A n sin t t gdzie ε n n mocy lemtu Riemnn-Lebesgue. dt + ε n,

6 6.5. Przykłd. Zuwżmy mimochodem, że dl =, bn = π mmy więc π = π Obliczyliśmy wrtość cłki Hilbert. D n t dt = sin t t Oto njwżniejsz włsność jądr Dirichlet. n+ π dt = π. sin t t dt + ε n,.6. Wniosek. Dl kżdej funkcji f R R i kżdego δ > fx yd n y dy =, przy ustlonym x. lim n δ< y π Dowód. Zuwżmy, że fx yd n y dy = gdzie δ< y π = δ< y x π δ/< y π/ fx y sinn + y sin y gy = sin y. Dl ustlonego x tez wynik z lemtu Riemnn-Lebesgue. dy fx ygy sinn + y dy, 3. Kryteri zbieżności 3.. Twierdzenie kryterium podstwowe. Niech f R R. Szereg Fourier funkcji f jest zbieżny w punkcie x do wrtości fx wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ε > istnieje δ >, tkie że dl dosttecznie dużych n fx t fx D n t dt < ε. Dowód. Mmy t δ S n x fx = π = + t δ δ t π fx t fx D n t dt fx t fx D n t fx t fx D n t dt. Jk widć z Wniosku.6, drug cłk dąży do zer, więc wszystko zleży od zchowni się pierwszego skłdnik, to jest włśnie nsz tez.

7 3.. Wniosek. Jeżeli funkcj f R R spełni wrunek fx f C x, to jej szereg Fourier w punkcie jest zbieżny do f Wniosek. Jeżeli funkcj f R R jest różniczkowln w punkcie, to jej szereg Fourier jest zbieżny do niej w tym punkcie Przykłd. Funkcj u jest różniczkowln poz punktmi postci kπ. Dltego π x sin nx = n, < x <, n= choć tu zbieżność nie jest jednostjn. W szczególności, podstwijąc x =, otrzymujemy sin n n = π. n= 3.5. Wniosek zsd loklizcji. Jeśli f, g R R i fx = gx w otoczeniu punktu R, to lim m S mf, S m g, =. Dowód. Istotnie, S m f, S m g, = S m h,, gdzie h = f g znik w otoczeniu. Ztem h jest różniczkowln w, h = i n mocy Wniosku 3.3 lim m S mh, =. Zsd loklizcji mówi, że zbieżność szeregu Fourier w dnym punkcie i jego sum nie zleżą od tego, jk funkcj się zchowuje z dl od tego punktu. Dltego, bdjąc zbieżność szeregu Fourier dnej funkcji w ustlonym punkcie, możemy ją zwsze zmodyfikowć poz nwet brdzo młym otoczeniem tego punktu, jeśli to tylko uprszcz zdnie Twierdzenie trzecie o wrtości średniej. Niech f R[, b] i niech g : [, b] R będzie monotoniczn. Wtedy istnieje c b, tkie że fxgx dx = g c fx dx + gb c fx dx. Dowód. Zuwżmy, że bez strty ogólności możemy przyjąć, że g jest mlejąc, pondto g = i gb =. To redukuje nsze zdnie do znlezieni c [, b], tkiego że fxgx dx = c fx dx. Niech P = {x k } będzie podziłem odcink [, b]. Mmy fxgx dx = k= xk+ x k fxgx dx = k= gx k xk+ x k fx dx + Ef, g, P, 7

8 8 gdzie Nietrudno zuwżyć, że Ef, g, P = k= xk+ x k fxgx gx k dx. 3.7 Ef, g, P f Ωg, P f δp. Niech Przez przeksztłcenie Abel k= gx k xk+ F x = x k fx dx = gdzie osttni sum spełni ogrniczeni m k= Tutj m = inf F x, M = sup F x. Ztem m + Ef, g, P co wobec dowolności P orz 3.7 dje = x k= k= ft dt. gx k F x k+ F x k gx k gx k+ F x k+, gx k gx k+ F x k+ M. m fxgx dx M + Ef, g, P, fxgx dx M. Funkcj F jest ciągł, więc istnieje c [, b], tkie że fxgx dx = F c, to już jest nsz tez Twierdzenie kryterium Jordn. Niech f R. Niech dl pewnego R funkcj f będzie monotoniczn n przedziłch h, orz, +h dl pewnego h >. Wtedy Dowód. Mmy S n f, lim S nf, = n f + f + f + f +. = + π = A n + B n. f + yd n y dy f f + yd n y dy f +

9 Pokżemy, że A n = f + yd n y dy f. Dowód, że B n jest nlogiczny. Zmieńmy njpierw wrtość f w punkcie, kłdąc f = f, co w niczym nie zmieni współczynników Fourier funkcji f. Wtedy lim A n = lim n n h f + yd n y dy, więc n mocy trzeciego twierdzeni o wrtości średniej bo cłki są wspólnie ogrniczone. lim A n = f h f n cn h D n y dy cn h D n y dy =, 4. Aproksymcj jednostjn 4.. Lemt. Dl kżdej funkcji f C R i kżdego δ > fx yd n y dy =, jednostjnie względem x. lim n δ< y π Dowód. Przypuśćmy, że jest przeciwnie. Wtedy istnieje liczb dodtni c, ciąg x k [, ] orz ciąg indeksów n k, tki że fx k yd nk y dy c. δ< y π Możemy dodtkowo złożyć, że x k x. Niech A k = fx k yd nk y dy, B k = δ< y π δ< y π fx yd nk y dy Wtedy A k B k fx n y fx y dy, sin δ/ δ< y π co dje sprzeczność, bo A k c, ntomist B k. 4.. Twierdzenie. Jeśli f C R spełni wrunek Lipschitz, to szereg Fourier f jest zbieżny do f jednostjnie Wniosek. Jeśli f C R jest kwłkmi liniow, to szereg Fourier f jest zbieżny do f jednostjnie Twierdzenie Weierstrss. Dl kżdej funkcji f C R i kżdego ε >, istnieje wielomin trygonometryczny T, tki że fx T x < ε, x R. 9

10 Dowód. Niech ε >. Skoro f : [, ] R jest ciągł i f = f, istnieje funkcj g kwłkmi liniow, tk że g = g orz fx gx < ε, x. Wynik to łtwo z jednostjnej ciągłości f. Rozszerzmy g do funkcji okresowej. Jej szereg Fourier jest zbieżny do niej jednostjnie, więc dl pewnego n gx S n g, x < ε, x R. Osttecznie fx S n g, x < ε, x R, gdzie T x = S n g, x jest żądnym wielominem trygonometrycznym. 5. Aproksymcj kwdrtow 5.. Jeśli f, g R[, b] i fxgx dx =, to fx + gx dx = fx dx + g x dx. 5.. Wniosek proksymcj kwdrtow. Niech f R R. Jeśli T N jest wielominem trygonometrycznym stopni N, S N sumą częściową szeregu Fourier funkcji f, to π fx S N x π dx fx T N x dx, Dowód. Przez bezpośrednie cłkownie sprwdzmy, że π 5.3 fx S N x T N x dx =, więc n mocy 5. π fx T N x dx = π skąd ntychmist wynik nsz tez. fx S N x dx + π S N x T N x dx, Istnieje wiele różnych sposobów mierzeni, jk brdzo różnią się od siebie dwie funkcje. N przykłd f g = sup fx gx x [,b] nzyw się odległością jednostjną. Jest też odległość cłkow f g = fx gx dx. b Jeszcze inną odległością jest b / f g = fx gx dx b zwn średnią odległością kwdrtową. Wniosek 5. możn więc sformułowć i tk: 5.4. Wniosek. Spośród wszystkich wielominów trygonometrycznych stopni N sum częściow szeregu Fourier S N f, x njlepiej przybliż funkcję f C R w sensie średniej kwdrtowej.

11 5.5. Wniosek tożsmość Prsevl. Dl kżdej funkcji f R R zchodzi równość fx dx = fk k= Dowód. Dl ε > niech ϕ będzie funkcją kwłkmi liniową, tką że f ϕ < ε. Niech terz T będzie wielominem trygonometrycznym stopni N, tkim że ϕ T < ε. Ztem Niech f T f T f ϕ + ϕ T ε + ϕ T < ε. S N x = n N fne inx będzie sumą częściową szeregu Fourier. Bezpośrednim rchunkiem przekonujemy się, że fxs N x dx = fn i podobnie jk w 5.3 Ztem n mocy 5. co pokzuje, że fx dx = n N S N x fx S N x dx =. n N fn + fx S N x dx, fn fx dx, z drugiej strony n mocy njlepszej proksymcji kwdrtowej fx dx = fn + fx T x dx n N Wobec dowolności ε, to kończy dowód. fn + 4ε Uwg. Z nszego dowodu widć, że chociż szereg współczynników Fourier nie zwsze jest bezwzględnie sumowlny, to jednk zwsze jest sumowlny z kwdrtem Przykłd. Wróćmy do funkcji ux = m x, dl której ux dx = π 4π 3 x dx = 3. Wstwijąc obliczone wcześniej wrtości współczynników Fourier do równni Prsevl, otrzymujemy + π n= n = 3,

12 stąd rz jeszcze n= n = π Zdni jest wielominem trygonome-. Pokż, że dl kżdego n Z funkcj F n x = trycznym. sin nx sin x. Dne są dwie funkcje A, B C o jednostjnie zbieżnych szeregch Fourier. Pokż, że AxBx = c n e inx, c n = Âk Bn k. Uzsdnij zbieżność powyższych szeregów. k= 3. Niech f R. Sprwdż, że współczynniki n = fn + f n dl n Z + orz b n = i fn f n dl n N wyrżją się wzormi n = π π fx cos nx dx, b n = π π fx sin nx dx. 4. Znjdź szereg Fourier funkcji f x = sgnx, b f x = χ [,b] x, gdzie < < b < π, c f 3 x = x x określonych w przedzile, π] i przedłużonych okresowo n R. Przeprowdź dyskusję zbieżności tych szeregów. 5. Rozwiń w szereg Fourier funkcje sin 4 x i sin x i cos m x dl m N. 6. Złóżmy, że znmy wspólczynniki Fourier fn funkcji f C. Znjdź wspólczynniki Fourier funkcji pierwotnej F, tkiej że F =. Wykż, że szereg Fourier pierwotnej jest bsolutnie zbieżny. 7. Niech f C. Pokż, że f n = in fn dl kżdego n. 8. Funkcję f definiujemy przez fx = sin x/ n odcinku, π] i przedłużmy do funkcji okresowej n R. Znjdź jej szereg Fourier i pokż, że w kżdym punkcie jest on zbieżny do f. 9. Niech f R będzie zdn wzorem fx = x w przedzile, π]. Pokż, że fn = π, fn =.. Niech f R będzie zdn wzorem fx = e x w przedzile, π]. Oblicz jej współczynniki Fourier, nstępnie z pomocą tożsmości Prsevl wyprowdź wzór + + n = π sinh sinh π. n=. Oblicz sumę szeregu n= n +n.. Udowodnij, żę Lemt 4. pozostje w mocy, gdy f R R.