Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6

Transkrypt

1 Niewymierność i przestępność Mteriły do wrszttów n WWW6 Piotr Achinger 23 sierpni Wstęp 1.1 Liczby wymierne i niewymierne Pytnie 1. Czy istnieją liczby niewymierne? Zdnie 1. Wykzć, że 1. 2 / Q, / Q, 3. log 2 3 / Q. Pokżemy terz, że spełninie przez liczbę równni wielominowego (o współczynnikch cłkowitych) pomg stwierdzić, czy jest on wymiern. Złóżmy, że liczb α spełni równnie n α n + n 1 α n α + 0, n 0, i Z. Jeżeli α Q, α = p/q (p, q Z względnie pierwsze), to łtwo wywnioskowć, że q n orz p 0 (wymnżmy równnie stronmi przez q n i ptrzymy modulo p i q). Liczb wymiernych spełnijących te wrunki jest skończenie wiele i możemy je wszystkie ręcznie sprwdzić jeżeli α nie m n tej liście to musi on być niewymier Zdnie 2. Pokzć, że / Q, 2. α / Q, gdzie α jest rzeczywistym pierwistkiem równni x 5 + x + 1 = 0. 1

2 1.2 Liczby lgebriczne i przestępne Liczby (rzeczywiste lub zespolone) będące pierwistkmi wielominów o współczynnikch cłkowitych nzywmy lgebricznymi ich zbiór oznczmy przez Q. Liczby nielgebriczne nzywmy też przestępnymi. Pytnie 2. Czy istnieją liczby przestępne? To pytnie jest trudniejsze od Pytni 1. Odpowiedził n nie dopiero Liouville w pierwszej połowie XIX wieku. Później, po odkryciu teorii mocy przez Cntor, okzło się, że liczb nielgebricznych jest nieskończenie wiele rzy więcej niż lgebricznych (dokłdniej, liczb lgebricznych jest przeliczlnie wiele, podczs gdy zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczlny). T metod nie podje jednk żdnego konkretnego przykłdu liczby przestępnej. Przykłd Liouville opierło się n nstępującym lemcie. Lemt 1 (Liouville). Niech α R spełni równnie f(α) = 0, gdzie f wielominem stopni d > 0 o współczynnikch cłkowitych. Wówczs istnieje stł C α > 0 tk, że dl dowolnej liczby wymiernej p/q różnej od α zchodzi nierówność α p q > C α q. d Dowód tego lemtu zostwimy n później, n rzie pozwolimy sobie wyciągnąć z niego prę wniosków. Intuicyjnie, ozncz on, że liczb lgebricznych nie d się zbyt dobrze przybliżć liczbmi wymiernymi. Mówiąc precyzyjnie, mmy nstępujący Wniosek 1. Niech α R. Jeżeli istnieją ciągi liczb cłkowitych p n i q n tkie, że q n 0, p n /q n α orz spełnion jest nierówność α p n < qδ n, to α nie jest liczbą lgebriczną stopni mniejszego niż δ. Zdnie 3. Wykzć, że 1. i=0 10 i! / Q, 2. e = i=0 1/i! / Q. 1.3 Kilk zdń Zdnie 4. Wykzć, że cos απ Q jeżeli α Q. q n Zdnie 5. Pokzć, że jeżeli i b są przestępne, to którś z liczb + b i b również jest przestępn. Zdnie 6. (trudniejsze) Pokzć, że jeżeli i b są lgebriczne, to, + b, 1/, b również są lgebriczne. Mówimy, że liczby lgebriczne tworzą ciło. 2

3 1.4 Czego się dowiemy n tych wrszttch? Wiemy już (modulo dowód lemtu Liouville, który jest zskkująco prosty), że liczb e jest niewymiern. Czy jest on lgebriczn? A liczb π, drug njwżniejsz stł w mtemtyce czy jest wymiern? A lgebriczn? Udowodnimy, że obie są przestępne. Dowody te będą wstępem do dowodu trudniejszego i ogólniejszego twierdzeni Hermite - Lindemnn-Weierstrss. W njprostszej postci mówi ono, że jeżeli α jest niezerową liczbą lgebriczną, to liczb e α jest przestępn. Zdnie 7. Pokzć, w jki sposób z twierdzeni HLW wynik przestępność π. Inny ciekwe problemy wiążą się z funkcją ζ (dzet) Riemnn. Jest on określon wzorem 1 ζ(s) = n, s > 1. s n=1 Euler jko pierwszy obliczył jej wrtości w liczbch przystych część z Ws pewnie zetknęł się już ze wzorem ζ(2) = π 2 /6 (jest więc to liczb przestępn). Okzuje się, że dl dowolnego k mmy ζ(2k) = α k π 2k, gdzie α k jest liczbą wymierną, wobec czego ζ(2k) / Q. Być może opowiem, skąd się te wzory biorą. Nturlne jest więc pytnie, czy ζ(2k + 1) jest przestępne lub chociż niewymierne. Słynny wynik Roger Apery ego (lt 1970) mówi, że ζ(3) / Q. Postrm się conieco o jego dowodzie opowiedzieć. N koniec wspomnę o drugim dużym twierdzeniu, twierdzeniu Gelfond-Schneider. Mówi ono, że b jest liczbą przestępną, jeżeli jest lgebriczne (różne od 0 i 1) b jest lgebriczne niewymierne. Powiem też o hipotezie Schnuel, z której wynikją twierdzeni HLW orz GS orz dużo dużo więcej. 2 Pochodne i cłki W dowodch niewymierności czy przestępności zzwyczj pojwiją się rgumenty z nlizy. Przypomnimy potrzebne fkty i pojęci i zstosujemy je do dowodu twierdzeni Liouville orz dowodu niewymierności π. Temty: zbieżność ciągu, szeregi nieskończone, pochodn, cłk oznczon. 2.1 Twierdzenie Lgrnge o wrtości średniej Głównym elementem w dowodzie wspomninego lemtu Liouville jest twierdzenie Lgrnge, zwne też twierdzeniem o wrtości średniej. Twierdzenie 1. Niech f : [, b] R będzie funkcją ciągłą n [, b] orz różniczkowlną n (, b). Wówczs istnieje ξ (, b) tkie, że f (ξ) = f(b) f(). b 3

4 Dowód. Zobczmy wpierw, co się dzieje w przypdku, gdy f() = f(b). Wówczs twierdzenie mówi, że istnieje ξ tkie, że f (ξ) = 0. Wystrczy ztem, żeby funkcj f przyjmowł w punkcie ξ swoje minimum lub mksimum n [, b]. Ztem znjdziemy tkie ξ, bo skoro f() = f(b), to f musi mieć ekstremum w (, b). Stosując sztuczkę lgebriczną łtwo sprowdzimy przypdek ogólny do przypdku f() = f(b): wystrczy zmienić funkcję f n funkcję g(x) = f(x) l(x), gdzie l(x) = f(b) f() (x ) + f() jest sieczną przechodzącą przez punkty (, f()) i b (b, f(b)).s 2.2 Dowód lemtu Liouville Lemt 2 (Liouville). Niech α R spełni równnie f(α) = 0, gdzie f wielominem stopni d > 0 o współczynnikch cłkowitych. Wówczs istnieje stł C α > 0 tk, że dl dowolnej liczby wymiernej p/q różnej od α zchodzi nierówność α p q > C α q. d Dowód. Stosując twierdzenie Lgrnge o wrtości średniej (biorąc = α i b = p/q) dostjemy f f(p/q) f(α) (ξ) = = f(p/q) p/q α p/q α. Wobec tego α p q = 1 f (ξ) f(p/q) (możemy złożyć, że f (ξ) 0 biorąc p/q odpowiednio blisko α; przypdek p/q dleko od α rozptrzymy oddzielnie). Po lewej mmy wielkość, którą chcemy oszcowć z dołu. Po prwej, czynnik f(p/q) jest co modułu nie mniejszy niż 1/q d, bo f(p/q) 0 (znowu: jeżeli p/q jest odpowiednio blisko α) i f m współczynniki cłkowite. Pozostje nm oszcowć z góry f (ξ) w otoczeniu α: niech C α będzie supremum f w przedzile [α ε, α + ε] niezwierjącym zer f ni f. To dje nm α p/q > C α/q d w tym przedzile. Dl p/q dleko od α mmy z definicji α p/q > ε ε/q d, czyli możn wziąć C α = ε. Ztem C α = min(c α, C α) jest OK. 2.3 Cłkownie przez części Wzór n cłkownie przez części będzie nm potrzebny do dowodu niewymierności π. Jest on cłkowym odpowiednikiem wzoru Leibniz n pochodną iloczynu, tj. (fg) = f g + fg. 4

5 Biorąc cłki (nieoznczone) obu stron dostjemy fg = f g + g f. Przechodząc do cłki oznczonej po przedzile [, b] i przeksztłcjąc, dostjemy f (x)g(x)dx = f(b)g(b) f()g() f(x)g (x)dx. Wzór ten nzywmy wzorem n cłkownie przez części. Zstosujemy go do obliczni cłek z funkcji postci P (x)e x orz P (x) sin x gdzie P jest wielominem. W pierwszym przypdku dostjemy P (x)e x dx = P (b)e b P ()e P (x)e x dx = (P (b)e b P ()e ) (P (b)e b P ()e ) + =... = deg f k=0 P (k) (b)e b = F (b)e b F ()e, deg f k=0 P (k) ()e gdzie F (x) = P (x) + P (x) + P (x) P (deg f) (x). Zdnie 8. Wyprowdzić nlogiczny wzór dl cłki P (x) sin xdx. Rozwiąznie. Tk jk poprzednio, dostjemy wzór P (x)e x dx P (x) sin xdx = F (b) sin b F () sin G(b) cos +G() cos, gdzie tym rzem F = P P (3) + P (5)... orz G = P P + P (4) Niewymierność π Pokżemy terz krótki i błyskotliwy dowód niewymierności π (Niven, 1954). Dowód. Przypuśćmy, że π = p/q. Rozwżmy liczby gdzie P n (x) = x n (π x) n. Pokżemy, że 1. c n > 0, 2. c n 0 przy n, c n = qn π P n (x) sin xdx, 0 5

6 3. c n Z, co oczywiście jest bsurdem. 1. To jest jsne, bo P n (x) sin x > 0 dl x [0, π]. 2. Mmy oszcownie q c n = n qn qn = qn π 0 π 0 π 0 x n (π x) n sin xdx x n π x n sin x dx π n π n 1 dx π π2n = (π2 q) n π 0, bo c n / 0 dl dowolnego c. 3. Skorzystmy ze wzoru n P (x) sin xdx z poprzedniego prgrfu. Dostjemy c n = qn (F n(π) sin π F n (0) sin 0 G n (π) cos π + G n (0) cos 0) = qn (G n(π) + G n (0)). Wystrczy więc pokzć, że q n P n (k) (0) i q n P n (k) (π) są cłkowite i podzielne przez (ptrz definicj G(x)). Mmy q n P n (x) = q n x n (π x) n = q n x n (p/q x) n = x n (p qx). Dl k < n pochodn P n (k) (0) oczywiście znik, zś dl k n z różniczkowni wychodzi nm czynnik k! który jest podzielny przez. Skoro zś funkcj P n jest symetryczn względem π/2 (tj. P n (x) = P n (π x)), mmy f (k) (π) = ±f (k) (0), więc drugi skłdnik też jest cłkowity. 6