Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Transkrypt

1 Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz Elblg Mtemtyk p. 1

2 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem Mtemtyk p. 2

3 Definicj cłki oznczonej Niech f(x) będzie funkcj ogrniczon n skończonym przedzile [, b]. Definicj Niech dne będ punkty = x < x 1 < < x n = b. Mówimy wówczs, że określony jest podziłp n przedziłu(,b). 2. Przedziły[x i 1,x i ], gdziei = 1,2,...,n, nzwiemy przedziłmi czstkowymi podziłu. 3. Długości przedziłów[x i,x i 1 ] oznczmy przez i ( i = x i x i 1 ), mksymln z nich, (P n ) = mx i=1,...,n i nzwiemy średnic podziłup n. Mtemtyk p. 3

4 Definicj cłki oznczonej, cd 4. Niech dne będ również węzły ξ i [x i 1,x i ], gdzie i = 1,...,n. Sumę S(f,P n ) = n f(ξ i ) i nzwiemy sum cłkow. 5. Grnicę (o ile istnieje) lim n (Pn) i=1 S(f,P n ) nzwiemy cłk oznczon (cłk Riemnn), oznczmy f(x)dx. Funkcj f(x) nzyw się wówczs cłkowln n przedzile [, b]. Mtemtyk p. 4

5 Sens geometryczny cłki oznczonej =x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 =b ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 Rysunek 1: Sens geometryczny cłki Riemnn Mtemtyk p. 5

6 Sens geometryczny cłki oznczonej, cd Niech będzie f(x) dl x [,b]. Sum cłkow, odpowidjc podziłowi P n i wyborowi węzłów ξ i równ jest polu figury, złożonej z prostoktów, zobcz rysunek 1. Grnic pól tkich figur, czyli cłk zgdz się z polem trpezu krzywoliniowego, i.e., obszru ogrniczonego łukiem krzywej y = f(x), odcinkiem osi Ox orz prostymi x = i x = b. Jeżeli zś w przedzile [,b] jest f(x), to nlogiczne pole równ się f(x)dx. Mtemtyk p. 6

7 Klsy funkcji cłkowlnych Twierdzenie 2. Cigł w przedzile[, b] funkcj jest cłkowln. Twierdzenie 3. Funkcj ogrniczon i cigł w przedzile[,b] z wyjtkiem co njwyżej skończonej liczby punktów jest cłkowln. Twierdzenie 4. Monotoniczn w przedzile[, b] funkcj jest cłkowln. Mtemtyk p. 7

8 Sum i różnic cłek Twierdzenie 5. Niech funkcjef(x) ig(x) będ cłkowlne w przedzile [,b]. Wtedyf(x)±g(x) będzie funkcj cłkowln ) ( f(x)±g(x) dx = f(x)dx± g(x)dx. Dowód. Rozwżmy sumy cłkowe: S(f ±g,p n ) = = n ( f(ξi )±g(ξ i ) ) i = i=1 n f(ξ i ) i ± i=1 orz n g(ξ i ) i = S(f,P n )±S(g,P n ). i=1 Mtemtyk p. 8

9 Liniowość cłki względem mnożeni przez liczbę Twierdzenie 6. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile[,b]. Wtedyλf(x), gdzieλ R będzie funkcj λf(x)dx = λ f(x)dx. Dowód. nlogicznie do twierdzeni 5 cłkowln orz Mtemtyk p. 9

10 Włsności funkcji cłkowlnych Twierdzenie 7. Niech funkcjef(x) ig(x) będ cłkowlne w przedzile [,b]. Wtedyf(x) g(x) będzie funkcj cłkowln. Twierdzenie 8. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile[, b]. Wtedy f(x) też będzie funkcj cłkowln. Twierdzenie 9. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile[,b]. Wtedyf(x) będzie cłkowln w dowolnym przedzile[c,d] [,b]. Mtemtyk p. 1

11 Włsności funkcji cłkowlnych, cd. Definicj 1. Umówmy się, że dl fukcji f(x), cłkowlnej w przedzile[, b] b f(x)dx = f(x)dx =. f(x)dx Twierdzenie 11. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedziłch[,c] orz[c,b]. Wtedyf(x) będzie cłkowln w przedzile[,b] orz f(x)dx = c f(x)dx+ c f(x)dx. Mtemtyk p. 11

12 Oszcownie cłek Twierdzenie 12. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile[,b] orzf(x) przyx [,b]. Wtedy Dowód. f(x)dx. n S(f,P n ) = f(ξ i ) i. i=1 Wniosek 13. Niech funkcjef(x) ig(x) będ cłkowlne w przedzile[, b] orzf(x) g(x) przyx [,b]. Wtedy f(x)dx g(x)dx. Wniosek 14. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile[, b]. Wtedy b f(x)dx f(x) dx. Mtemtyk p. 12

13 Oszcownie cłek, cd. Twierdzenie 15. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile[, b], M = sup f(x),m = inf f(x). Wtedy µ,m µ M, tkie że x [,b] x [,b] f(x)dx = µ (b ). Mtemtyk p. 13

14 Cłk oznczon cłk nieoznczon Twierdzenie 16. Niech funkcjf(x) będzie cigł w przedzile[,b]. Wtedy x f(t)dt jest funkcj pierwotn dlf(x). Wniosek 17. Niech funkcjf(x) będzie cigł w przedzile[,b]. Wtedy istnieje funkcj pierwotn dl f(x). Wniosek 18 (Twierdzenie Newton-Leibniz). Niech funkcjf(x) będzie cigł w przedzile[,b],f(x) będzie funkcj pierwotn. Wtedy f(x)dx = F(x) b, gdzie użyto oznczenief(x) b = F(b) F(). Dowód. F(x) = x f(t)dt+c. Mtemtyk p. 14

15 Przykłdy π 1 x n dx = xn+1 n+1 1 = 1 n+1, n 1, sinxdx = cosx π = 2, 1+x = 4rctgx 1 = π. 2 4 dx Mtemtyk p. 15

16 Zmin zmiennej w cłce oznczonej Twierdzenie 19. Niech funkcjϕ (x) będzie cigł w przedzile[α,β], funkcj ϕ(x) będzie monotoniczn w tym przedzile, g(t) będzie cigł β w przedzile(ϕ(α), ϕ(β)). Wtedy α g(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(β) ϕ(α) g(x) dx. Dowód. Niech G(x) będzie funkcj pierwotn dlg(x). WtedyG ( ϕ(t) ) będzie funkcj pierwotn dlg(ϕ(t)). Mtemtyk p. 16

17 Przykłdy x 1+x 2 dx = π/2 1 sin 3 xdx = π/2 1+x 2 = t 2xdx = dt = sinx(1 cos 2 x)dx = (1 t 2 )dt = ( 1 3 t3 t) = tdt = t3/2 2 1 = cosx = t sinxdx = dt = Mtemtyk p. 17

18 Cłkownie przez części w cłce oznczonej Twierdzenie 2. Niech funkcjeu (x) orzv (x) będ cigłe w przedzile [, b]. Wtedy Przykłd 21. xsinx u(x)v (x)dx = u(x)v(x) b b u (x)v(x)dx. π/2 π π/2 2 xcosxdx = sinxdx = π 2 +cosx π 2 u(x) = x v (x) = cosx u (x) = 1 v(x) = sinx = = π 2 1. Mtemtyk p. 18

19 Cłki niewłściwe Definicj 22 (Cłki funkcji nieogrniconych). Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w kżdym przedzile[,b ε] (ε > ). Wtedy f(x)dx = lim ε b ε f(x)dx Definicj 23 (Cłki w przedzile nieskończonym). Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w kżdym przedzile[,n (N > ). Wtedy N f(x)dx = lim f(x)dx N Mtemtyk p. 19

20 Przykłdy cłek niwłściwych Przykłd dx x λ = { x 1 λ x lim 1 λ 1 ε 1 λ ε, λ 1 lim lnx 1 ε ε, λ = 1 = dx 1 1 λ, λ 1 lnx 1, λ = 1 = { 1 1 λ, λ < 1, λ 1 1+x 2 = rctgx = lim N rctgx N = π 2 dx x λ = { x 1 λ 1 λ λ 1 1 lnx 1, λ = 1 = { 1 λ 1, λ > 1, λ 1 Mtemtyk p. 2