SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
|
|
- Kamil Lisowski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 SIMR 06/07, Analiza, wykład, Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę rzeczywistą. Elementy przestrzeni wektorowej nazywamy wektorami. Definicja: Przestrzenią wektorową nazywamy trójkę (V, +, ), gdzie V - zbiór + : V V V : R V V są działaniami spełniającymi warunki:. Istnieje wektor 0 V taki, że (u V ) u + 0 = u : wektor zerowy. (u V )! (v V ) u + v = 0 : wektor v jest tylko jeden i oznaczmy go v = u 3. (u, v V ) u + v = v + u : przemienność 4. (u, v, w V ) u + (v + w) = (u + v) + w : łączność 5. (u V ) u = u 6. (u, v V ) ( λ R) λ (u + v) = λ u + λ v : rozdzielność 7. (λ, r R) (u V ) λ (r u) = (λr) u 8. (λ, r R) (u V ) (λ + r) u = λ u + r u : rozdzielność Przykłady przestrzeni wektorowych. V = R 3 działania są określone w następujący sposób: u = (u, u, u 3 ) V, v = (v, v, v 3 ) V, λ R u + v = (u + v, u + v, u 3 + v 3 ) λ u = (λu, λu, λu 3 ) Analogicznie można zdefiniować przestrzeń R k o dowolnym wymiarze skończonym.. Przestrzeń V = R k. W R k działania na wektorach są określone w następujacy sposób: x = (x, x,..., x k ) R k, x = (x, x,..., x k ) R k, λ R x + y = (x + y, x + y,..., x k + y k ) λ x = (λx, λx,..., λx k ) 3. Przestrzeń V = M m n macierzy o wyrazach rzeczywistych. Działania na macierzach są określone w zwykły sposób. 4. V = C, działania są określone w sposób naturalny: u, v C, u = u + iu, v = v + iv, u, u, v, v R, λ R u + v = (u + v ) = i(u + v ) λ u = λu + iλu
2 5. Przestrzeń ciągów o wyrazach rzeczywistych: V = {( x n )n N, x n R }. Działania na ciągach (wektorach ) są określone w następujacy sposób: x = (x, x, x 3... ), y = (y, y, y 3... ) R k, λ R x + y = (x + y, x + y, x 3 + y 3,... ) λ x = (λx, λx, λx 3,... ) 6. Przestrzeń funkcji f : D R : o dowolnej dziedzinie o wartościach rzeczywistych. Działania określamy następująco: u = u(x), v = v(x), λ R (u + v)(x) = u(x) + v(x), (x D) (λu)(x) = λu(x), (x D) Liniowo niezależny układ wektorów Definicja: Niech dana będzie przestrzeń wektorowa V. Układ wektorów u i V, i I nazywamy liniowo niezależnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego skończonego podzbioru {i, i,... i n } zbioru indeksów I i dla dowolnych liczb rzeczywistych λ, λ,... λ n zachodzi implikacja: λ u i + λ u i +... λ n u in = 0 = λ = λ =... λ n = 0 Uwaga: Implikacja ta oznacza, że jedyną zerową kombinacją liniową wektorów układu jest kombinacja liniowa z zerowymi współczynnikami. Twierdzenie: Układ wektorów nie jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją indeksy {i, i,... i n } I i liczby rzeczywiste λ, λ,... λ n takie, że: u n = λ u i + λ u i +... λ n u in czyli jeden z wektorów układu jest liniową kombinacją pozostałych wektorów. Baza przestrzeni wektorowej Definicja: Bazą przestrzeni wektorowej nazywamy maksymalny liniowo niezależny układ wektorów tej przestrzeni. Uwaga: Układ maksymalny to znaczy taki, że jeżeli dołączymy do układu dowolny wektor, to układ ten przestanie być liniowo niezależny. Twierdzenie: Układ wektorów e i, i =,,... n jest bazą przestrzeni wektorowej V wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wektora u V istnieją liczby rzeczywiste x, x,... x n takie, że: u = x e + x e +... x n e n oraz współczynniki x i są wyznaczone jednoznacznie przez wektor u. Uwaga: Baza tworzy układ współrzędnych w przestrzeni wektorowej, jej elementy są wektorami jednostkowymi osi układu współrzędnych, a liczby x i współrzędnymi wektora u w tym układzie współrzędnych. Stosujemy również oznaczenie: u = (x, x,... x n ) B. Wektory jednostkowe nie muszą mieć długości nie muszą być też do siebie prostopadłe. Samo pojęcie długości wektora i prostopadłości wektorów nie zostało jeszcze zdefiniowane, więc nie możemy go używać. Twierdzenie: Każda przestrzeń wektorowa ma bazę. Twierdzenie: Każdy układ wektorów liniowo niezależny można rozszerzyć do bazy. Definicja: Wymiar przestrzeni wektorowej jest to liczba elementów bazy tej przestrzeni (moc zbioru elementów). Wymiar przestrzeni V oznaczamy dim V Uwaga: W przestrzeni wektorowej może być wiele różnych baz, jednak wszystkie mają taką samą liczbę elementów (taką samą moc). Przestrzeń wektorowa może mieć wymiar skończony lub nieskończony. Twierdzenie: W przestrzeni wektorowej skończenie wymiarowej o wymiarze k każdy układ k wektorów liniowo niezależnych jest bazą tej przestrzeni.
3 Przykład: Przestrzeń V = R 3 jest przestrzenią wektorową 3-wymiarową. Jej bazą jest np. następujący układ wektorów: e = (, 0, 0), e = (0,, 0), e 3 = (0, 0, ) Przykład: Przestrzeń V = R k jest przestrzenią k-wymiarową. Jej bazą jest np. następujący układ wektorów: e = (, 0, 0,..., 0), e = (0,, 0,..., 0), e 3 = (0, 0,,..., 0), e k = (0, 0, 0,..., ) Przykład: Przestrzeń wszystkich ciągów rzeczywistych jest przestrzenią wektorową nieskończeniewymiarową. Przykład: V = R 3. e = (, ), e = (, ) tworzą bazę B przestrzeni V. Znaleźć współrzędne wektora u = (5, ) w tej bazie. x e + x e = u x (, ) + x (, ) = (5, ) { x + x = 5 x x = 3x = 3 = x = = x = 3 Wektor u ma w bazie B współrzędne: u = (3, ) B x odejmujemy równania 3 3 u e e x Przykład: Sprawdzić czy wektory u = (,, ), u = (,, ), u 3 = (,, ) tworzą bazę w przestrzeni R 3. Jeśli tak, znaleźć współrzędne wektora v = (4,, 3) w tej bazie. Sprawdzamy liniową niezależność wektorów rozwiązując równanie: λ u + λ u + λ 3 u 3 = (0, 0, 0) (λ + λ + λ 3, λ + λ + λ 3, λ λ + λ 3 ) = (0, 0, 0) λ + λ + λ 3 = 0 λ + λ + λ 3 = 0 λ λ + λ 3 = 0 Układ ten ma tylko rozwiązanie zerowe (λ = λ = λ 3 = 0) wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy układu równań A = 0 A = = = 0 Ponieważ układ równań ma tylko rozwiązanie zerowe, więc układ wektorów u, u, u 3 jest liniowo niezależny. Ponieważ wymiar przestrzenie R 3 jest równy 3, a w układzie sa 3 wektory, więc układ 3
4 wektorów B = (u, u, u 3 ) jest bazą przestrzeni R 3 Znajdujemy współrzędne wektora v w tej bazie: x u + x u + x 3 u 3 = v x + x + x 3 = 4 x + x + x 3 = x x + x 3 = 3 Układ równań rozwiązujemy metodą Cramera. 4 4 A = = ; A = A 3 = = 3 Stąd: x = =, x = =, x 3 = = Wektor v ma w bazie B współrzędne: v = (,, ) B Przekształcenie liniowe = ; Definicja: Niech U, V będą przestrzeniami wektorowymi. Funkcję f : U V nazywamy przekształceniem liniowym (operatorem liniowym) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki: (u, u U) f(u + u ) = f(u ) + f(u ) (u U, λ R) f(λu) = λf(u) Macierz przekształcenia linowego Niech U i V będą skończenie wymiarowe: dim U = n, dim V = m. Ustalamy bazy : B : u, u,... u n - baza U, B : v, v,... v m - baza V. Niech x U oraz x = x u + x u +... x n u n. Niech y V oraz y = y v + y v +... y m v m. Niech X i Y będą macierzami kolumnowymi: X =. x x x n y y, Y =. y m Wtedy istnieje macierz F m n taka, że: y = f(x) Y = F X Uwaga : Pierwszą kolumnę macierzy F tworzą współrzędne f(u ) w bazie B, drugą f(u ) w bazie B i.t.d. x Uwaga : Często stosuje się zapis: X = [x, x,..., x n T x zamiast X =. Wtedy równanie: Y = F X wygląda tak: [y, y,..., y m T = F [x, x,..., x n T Uwaga 3: Elementy macierzy F zależą nie tylko od przekształcenia, ale i od wyboru baz B i B. Przykład: Niech V będzie przestrzenią wektorową wielomianów stopnia co najwyżej 3 : V = {W (x) = a 3 x 3 + a x + a x + a 0 }. Niech f : V V będzie operacją różniczkowania f(v) = v. Jest to przekształcenie liniowe. Znaleźć odpowiadającą mu macierz w bazach B = B : u =, u = x, u 3 = x 3, u 4 = x 3. Korzystając z tej macierzy obliczyć (x 3 x + 3x + 5) Pierwsza kolumna macierzy F jest równa: f(u ) = = 0 = (0, 0, 0, 0) Druga kolumna macierzy F jest równa: f(u ) = x = = (, 0, 0, 0) Trzecia kolumna macierzy F jest równa: f(u 3 ) = (x ) = x = (0,, 0, 0) Czwarta kolumna macierzy F jest równa: f(u 4 ) = (x 3 ) = 3x 3 = (0, 0, 3, 0) x n 4
5 Macierz przekształcenia jest więc równa: F = Wielomian: v = x 3 x + 3x + 5 = (5, 3,, ) B współrzędne w bazie B Odpowiadająca mu macierz V = [5, 3,, T Iloczyn macierzy jest równy: W = F V = = Odpowiadający macierzy W wielomian: w = 3u u +6u 3 +0u 4 = 3 x+6 x +0 x 3 = 6x x+3 Wniosek: (x 3 x + 3x + 5) = 6x x + 3 Przykład Na płaszczyźnie ( przestrzeni R ) znaleźć macierz obrotu w lewo o kąt α względem początku układu współrzędnych w bazie: e = (, 0), e = (0, ) (ta sama baza będzie używana dla argumentu i obrazu przekształcenia). Znaleźć obraz u wektora u(, 4) po obrocie o kąt α = π 4 w lewo. Obrót jest przekształceniem liniowym, odpowiada mu więc macierz. Mamy: e = f(e ) = (cos α, sin α), e = f(e ) = ( sin α, cos α) Stąd macierz [ obrotu: cos α sin α O α = sin α cos α e e x α e e 0 α x Dla α = π 4 mamy: [ O π cos π = sin π sin π cos π 4 4 Stąd: [ U = O π U = 4 = Wniosek: u = (, 3 ) [ [ 4 = [ 3 Twierdzenie Niech U, V, W będą przestrzeniami wektorowymi skończenie wymiarowymi z ustalonymi bazami. Niech f : U V, g : V W będą przekształceniami liniowymi, niech F, G będą macierzami odpowiadającymi tym przekształceniom (w ustalonych bazach). Wtedy:. złożeniu przekształceń f(g(u)) (które też jest przekształceniem liniowym) odpowiada iloczyn macierzy F G. przekształceniu odwrotnemu do f ( f ), o ile istnieje, odpowiada macierz odwrotna F 5
6 Przestrzeń unormowana Definicja: Przestrzeń wektorowa (liniowa) unormowana jest to przestrzeń wektorowa V z określoną funkcją : V R nazywaną normą (długością wektora) spełniającą warunki:. (u V ) u 0. (u V ) u = 0 u = 0 3. (λ R) (u V ) λu = λ u 4. (u, v V ) u + v u + v nierówność trójkąta W przestrzeni wektorowej unormowanej odległość między wektorami jest równa: u v Przykłady przestrzeni wektorowych unormowanych:. V = R 3, dla u = (u, u, u 3 ) V, u = u + u + +u 3 Analogicznie można zdefiniować normę w przestrzeni R k.. Przestrzeń V = C(< a, b >) - przestrzeń funkcji ciągłych o dziedzinie < a, b > i o wartościach rzeczywistych. Normą określamy następująco: u = max u(x) x <a,b> Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa. Przestrzeń R k Przestrzeń R k jest przestrzenią wektorową k - wymiarową. W R k działania na wektorach są określone w następujący sposób: x = (x, x,... x k ) R k, x = (x, x,... x k ) R k, λ R x + y = (x + y, x + y,... x k + y k ) λ x = (λx, λx,... λx k ) Norma (długość wektora) jest równa: x = x + x + + x k Odległość między elementami (wektorami) jest równa: x y = (x y ) + (x y ) + + (x k y k ) Standardową bazą tej przestrzeni jest układ k wersorów jednostkowych: e = (, 0, 0,..., 0, 0), e = (0,, 0,..., 0, 0),..., e k = (0, 0, 0,..., 0, ) W przestrzeni tej definiujemy iloczyn skalarny: x y = x y + x y + + x k y k Korzystając z niego można okreslać kąty między wektorami, a w szczególności prostopadłość: x y x y = 0 Uwaga: Elementy tej przestrzeni czasem będziemy traktować jak punkty, a czasem jak wektory. Interpretacja geometryczna: przestrzeń R - prosta przestrzeń R - płaszczyzna przestrzeń R 3 - przestrzeń trójwymiarowa 6
7 dla k > 3 interpretacja geometryczna jest bardziej skomplikowana, można natomiast bez problemów wykonywać operacje analityczne, a ich sens geometryczny interpretować przez analogię z przestrzeniami o mniejszych wymiarach. Granica ciągu w przestrzeni unormowanej Niech będzie dany ciąg (x n ), x n V elementów przestrzeni unormowanej V oraz wektor y V Definicja granicy ciągu: Wektor y jest granicą ciągu (x n ), wtedy i tylko wtedy, gdy x n y = 0 Czyli: x n = y x n y = 0 Uwaga: Symbol z lewej strony oznacza granicę ciągu w przestrzeni V, a symbol z prawej strony oznacza zwykłą granicę ciągu liczb rzeczywistych. Jeżeli przestrzeń V jest skończenie wymiarowa i ustay bazę B tej przestrzeni to granice ciągów w V mają bardzo ważną własność: zbieżność takiego ciągu jest równoważna zbieżności ciągów po wszystkich współrzędnych. Zachodzi następujące twierdzenie: Twierdzenie Dany jest ciąg x n = (x n,, x n,,... x n,k ) V, oraz punkt y = (y, y,... y k ) V Wtedy x n = y x n,i = y i, dla i =,,... k ( n + 3 Przykład: Obliczyć granicę ciągu: n + 6, ) n n + R ( n + 3 n + 6, ) ( ) n n + 3 n + = n + 6, n n + = (, ) Przykład: Obliczyć granicę ciągu: n ( + n + n )n n n n 7 n n + ( + n )n n n n 7 = n n + n n ( + n )n n 7 [ = e 7
8 Elementy topologii w przestrzeni unormowanej Niech U będzie przestrzenią unormowaną. Uwaga: Elementy przestrzeni U (wektory) będziemy nazywać również punktami. Definicja: KULĄ OTWARTĄ o środku w u 0 U i promieniu r > 0 nazywamy zbiór: K(u 0, r) = {u U : u u 0 < r} Uwaga: Kulą otwartą K(u 0, r) nazywamy również OTOCZENIEM punktu u 0. Poniższe pojęcia topologiczne można definiować za pomocą otoczeń lub granic ciągów. Niech A U będzie dowolnym zbiorem w przestrzeni unormowanej U. Definicja: Punkt u U jest punktem WEWNĘTRZNYM zbioru A (r > 0) Definicja: Punkt u U jest punktem ZEWNĘTRZNYM zbioru A (r > 0) Definicja: ( Punkt u U jest punktem BRZEGOWYM ) zbioru A (r > 0) K(u, r) A K(u, r) \ A K(u, r) A K(u, r) A = Definicja: WNĘTRZE zbioru A (oznaczamy int A ) jest to zbiór punktów wewnętrznych zbioru A. Definicja: BRZEG zbioru A (oznaczamy A ) jest to zbiór punktów brzegowych zbioru A. Definicja: DOMKNIĘCIE zbioru A (oznaczamy Ā ) jest to zbiór Ā = A A Przykład: V = R, A = {(x, y) : x + y } (koło domknięte) = Wnętrze A (koło otwarte): int A = {(x, y) : x + y < } Brzeg A (okrąg): A = {(x, y) : x + y = } y y y A int A A 0 x 0 x 0 x Definicja: Zbiór A jest OTWARTY int A = A Definicja: Zbiór A jest DOMKNIĘTY Ā = A Definicja: Punkt u U jest punktem SKUPIENIA zbioru A u A \ {u} Własności pojęć topologicznych: Ā = (int A) A A jest domknięty U \ A jest otwarty A, B są otwarte = A B, A B są otwarte A, B są domknięte = A B, A B są domknięte A n są otwarte = A n są domknięte = n= A n jest otwarty n= A n jest domknięty 8
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowo, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.
Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoUkłady współrzędnych
Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe
opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Przestrzeń liniowa Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p.
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoz = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowo3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoEndomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Bardziej szczegółowo