Enegia w geometii Schwazshilda Doga po jakiej pousza się cząstka swobodna pomiędzy dwoma zdazeniami w czasopzestzeni jest taka aby czas zmiezony w układzie cząstki był maksymalny. Rozważmy cząstkę spadającą adialnie (dϕ=0) na obiekt o masie. d d τ = dϕ 1 Dla segmentu dogi A mamy: wyazy niezależne od t A t τ = + A t d τ A A t = = 1 wyazy niezależne od t A τ t 1 + A 1 Ustalone pozycje Ustalona chwila czasu 0 Ustalona chwila czasu T. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8- A Zmienna chwila czasu t
Enegia w geometii Schwazschilda Podobnie dla segmentu dogi B dostajemy: wyazy niezależne od t τ B = ( T t ) + B ( T t ) d τ B B T t = = 1 wyazy niezależne od t B τ B ( T t ) + B Całkowity czas zmiezony w układzie cząstki: τ=τ A +τ B pzyjmuje dla uchu swobodnego watość maksymalną: dτ dτ A dτb t T t = + = = A τ A 0 B τb Wpowadzając oznaczenia: t=t A, T-t=t B znajdujemy: t A tb const = = E A τ A const B τ = = B dτ m. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-3 1
Enegia miezona w nieskończoności W OTW enegia nie dzieli się na kinetyczną, potencjalną, spoczynkową. Jak zmiezyć całkowitą enegię satelity kążącego po ustalonej obicie? umieszczamy cząstkę testową na obicie w dużej odległości (tak aby popawny był opis Newtona) -> znajdujemy całkowitą masę układu: total m mv v G = total = G Enegia satelity E = total - sta Pzykład: Rozważmy zega o masie m umieszczony na powłoce sfeycznej o współzędnej = 0. Ile wynosi enegia zegaa z punktu widzenia odległego obsewatoa? dτ shell = 0 1 E 1 = m = d = τ 1 = shell 0 słuszne dla obiektu spoczywającego na sfeze o pomieniu 0 na zewnątz hoyzontu dla 0 -> mamy E -> m (STW) w pobliżu czanej dziuy E<m enegia wiązania gawitacyjnego. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-4
Swobodny spadek z dużej odległości Rozważamy cząstkę, początkowo nieuchomą, spadającą z nieskończonej odległości na czaną dziuę, z punktu widzenia układu Schwazschilda. E = m = 1 dτ = d τ = d = 1 1 d = - bo cząstka spada i d<0 cząstka zwalnia zbliżając się do hoyzontu i osiąga pędkość d=0 na hoyzoncie cząstka znajdzie się na hoyzoncie zdazeń po nieskończonym czasie. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-5
Spadek swobodny z dużej odległości Rozważamy cząstkę, początkowo nieuchomą, spadającą z nieskończonej odległości na czaną dziuę, z punktu widzenia układu sfey (shell). Obsewato znajdujący się na sfeze miezy bezpośednio odległość pomiędzy zegaami zamontowanymi na sfeze (ozsepaowanymi w kieunku adialnym): 1 d d σ = shell = d Podobnie obsewato znajdujący się na sfeze miezy czas: shell = A więc pędkość cząstki zmiezona pzez tego obsewatoa wynosi:. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-6 1 1 1 dshell d = = shell Pędkość zmiezona pzez tego obsewatoa dąży do pędkości światła kiedy cząstka osiąga hoyzont.
Lokalny pomia enegii cząstki Lokalny obsewato znajdujący się na sfeze miezy tym większą enegię cząstki im bliżej hoyzontu się ona znajduje. v shell 1 dshell = = shell Obsewato na sfeze do opisu zdazeń stosuje lokalnie STW: E m shell 1 = γ = = v 1 shell E shell jest wielkością lokalną (nie jest stałą uchu) Jest enegią cząstki wynikającą ze STW, a więc sumą enegii spoczynkowej i kinetycznej Dla -> mamy E=m. Słuszny jest związek: 1 E E shell = 1. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-7
Wewnątz hoyzontu Wokół czanej dziuy (dla >6) mogą istnieć stabilne obity. Dopóki nie pzekoczymy hoyzontu (=) zawsze możemy zawócić oment pzekaczania hoyzontu niczym specjalnym się nie wyóżnia Wewnątz hoyzontu nie mogą istnieć układy na sfeze nie może tam istnieć nic stacjonanego. Infomacje i pzesyłki mogą być wysyłane jedynie z zewnątz do wewnątz hoyzontu (np. wciąż widzimy gwiazdy, tylko w tochę innych koloach i położeniach ) Współzędna zmienia chaakte z pzestzenno na czaso-podobną, co oznacza, że uch w kieunku centum jest nieunikniony. Czas potzebny do osiągnięcia centalnej osobliwości: 0 E = m = 1 4 d 1 τ = d = [ m] τ d 3 = 1 d d τ τ 8 6 = τ sec = = =. [ s] 4 10 6 57 10 c 9. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-8
aksymalna pędkość na hoyzoncie Pzykład: Rozważmy cząstkę któa spada na czaną dziuę z nieskończoności, ale z początkową pędkością óżną od zea. const E 1 = = m γ dτ 1 v d d = γ τ = γ 0 0 d 1 = 1 γ 0 1 0 0 1 1 dshell d 1 = = shell 1 γ 0 aksymalna pędkość cząstki pzekaczającej hoyzont to pędkość c.. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-9 1
Wewnątz czanej dziuy Pzykład: Paamety 0-letniej czanej dziuy, tzn. takiej, w któej czas podóży obsewatoa (statującego ze stanu spoczynku w nieskończoności) od hoyzontu do osobliwości twa na jego zegaze 0 lat. = 1 4 d τ = = τ d 3 = 1 d dτ τ 8 = τ sec = = 4 10 c 9 0 1 d 3 = τ = τ = 0 y = 1. 9 10 m = 15 ly = 1. 4 10 m = 9. 6 10 4 = = 30 17 17 13 ly [ s] [ m] etoda pomiau współzędnej wewnątz hoyzontu: C CC AA A Hoyzont. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-10
Układ swobodnie spadający fee fall układ związany z akietą pouszającą się swobodnie, wewnątz hoyzontu czanej dziuy (adialnie), któa ozpoczęła swój uch od stanu spoczynku w dużej odległości od źódła pola gawitacyjnego. 1 1 d d = = dτ ff 1 d = ff 3 3 ( ). Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-11 1 1 t ff t1 ff = 1 3
Układ swobodnie spadający Odległość pomiędzy sfeami z punktu widzenia obsewatoa fee fall : d shell shell = 1 1 1 1 ff ff 1 shell shell ( v ) shell shell d d d d = = 1 1 = 1 1 = 1 d d d Uwaga: Związek d ff = d słuszny tylko dla obsewatoa z układu fee fall wykonującego pomia odległości pomiędzy zdazeniami ównoczesnymi (standadowa metoda pomiau długości). Inne możliwe układy: - stat w nieskończoności z óżną od zea pędkością początkową, - stat w skończonej odległości ze stanu spoczynku.. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-1
Agumenty za: Szybciej niż światło? 1 d = większa od c dla < ff Czas własny miezony pzez obsewatoa pouszającego się adialnie od hoyzontu do osobliwości τ = 43 jest mniejszy od pomienia hoyzontu. Obsewato swobodnie spadający pzekacza hoyzont z pędkością światła, a wewnątz musi pouszać się jeszcze szybciej. Agumenty pzeciw: fee fall układ spadający swobodnie STW światło mija obsewatoa z pędkością c, a więc nie może się on pouszać szybciej niż światło pędkość własna światła dx dx d = γ = γv = w STW jest nieskończona dτ ff Wszyscy lokalni obsewatozy zgadzają się co do tego, że żaden obiekt nie pousza się szybciej niż światło.. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-13 1
etyka w układzie fee fall Układ fee fall pozwala tylko na lokalny opis zjawisk. Poszukujemy globalnej metyki możliwej do zastosowania zaówno na zewnątz jak i wewnątz hoyzontu. Taka metyka istnieje we współzędnych, ϕ, t ff. dshell 1 1 shell dshell = d = 1 1 ff ( shell vdshell ) v d = γ = γ + γ 1 1 ff vd = + = ff d γ d τ = d dϕ = 1 ff ff = d d dϕ 1 v = = shell γ =. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-14 1 1 S: shell fame S : fee fall dla ff = 0 mamy geometię euklidesową! pzestzeń jest lokalnie płaska!
Ruch wewnątz hoyzontu W układzie fee fall uch cząstki może odbywać się jedynie w stożku świetlnym: dτ = d + + d dϕ ff ff Dla światła (dτ=0) pouszającego się adialnie (dϕ=0) mamy: d = ± 1 ff A więc wewnątz hoyzontu nawet światło wyemitowane z układu fee fall w kieunku adialnym na zewnątz, pousza się w stonę centum. Oznacza to że dowolny obiekt mateialny musi wewnątz hoyzontu pouszać się w kieunku malejącego, a więc hoyzont można pzekoczyć tylko w jedną stonę.. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-15
Światło wewnątz i na zewnątz hoyzontu Pzykład: Rozważmy pomień światła wysłany z fee fall w kieunku na zewnątz w obszaze na zewnątz i wewnątz hoyzontu. Jak zależy pędkość własna światła od współzędnej? 0. 99 0000 d 0. 9 00 = = = = 0. 5 8 d ff 0 ff 0. 1 1. 65 d 0. 5 0. 89 = = = = 1 0. 5 d ff 9 0. 0 ff Pzykład: Dla wyznaczonych wyżej watości znaleźć pędkość pomienia światła wysłanego adialnie do śodka z układu fee fall d ff 1. 01 1. 1 = 1 = 1. 5. 1. 5 = 1 = 3 11. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-16 d ff
Radialne tajektoie światła d ˆ ˆ ˆ ˆ t = ± 1 t = ˆ ff = d ff ˆ ˆ ˆ ˆ ± 1 t ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ff t1 ff = ± 1 1 ) + 4 ln ± ˆ. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-17