CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)

Transkrypt

1 CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 013)

2 u Masa w szczególnej teorii względności u Określenie relatywistycznego pędu u Wyprowadzenie wzoru Einsteina E m u Czy masa zależy od prędkości

3 Jak definiuje się masę? 1) Newton: masa jest miernikiem ilości materii. ) Masa to parametr, który określa ciężar ciała. 3) Masa jest miernikiem bezwładności ciała: m F. a Dla uogólnienia masy na przypadek relatywistyczny najlepsza definicja to: 4) Masa to parametr, przez który trzeba pomnożyć prędkość ciała aby otrzymać zachowany pęd. m 1 u 1 + m u m 1 v 1 + m v

4 Prawo zachowania pędy jeżeli zachodzi w jednym układzie to jest spełnione w każdym innym układzie inercjalnym: m 1 ( u 1 v) + m ( u v) m 1 ( v 1 v) + m ( v v) Bo spełniona jest trywialna relacja: (m 1 + m ) v (m 1 + m ) v Pęd jest zachowany także dla zderzeń niesprężystych, ale pod jednym warunkiem: m 1 u 1 + m u m 3 u 3 m 1 ( u 1 v) + m ( u v) m 3 ( u 3 v) (m 1 + m ) v m 3 v (m1 + m ) m 3 Pęd będzie zachowany w każdym układzie inercjalnym jeżeli masa jest zachowana.

5 Aby wyprowadzić relacje E m, przejdziemy do układu środka masy: m 1 u 1 + m u 0 m 1 v 1 + m v Mamy wtedy relacje: m 1 u 1 m u m 1 v 1 m v u u 1 m 1 m v v 1 W układzie środka masy obowiązuje prawo zachowania pędu nawet gdy długości pędów zmieniają się o ile zmiana jest identyczna dla jednej i drugiej cząstki: v 1 u 1 v u Zderzenia sprężyste 1 1 Zderzenia niesprężyste

6 Tylko dla zderzeń sprężystych (λ 1) zachowana jest energia kinetyczna: E k m u Mamy bowiem: 1 E u k1 m 1 u 1 m v 1 1 v E k1 E u k m u m v v E k I wtedy zachodzi: E u + E u E v k1 k k + E v k

7 Dla każdej innej definicji energii kinetycznej np. E k m u 3 dla zderzeń sprężystych energia będzie zachowana w układzie środka masy, ale nie będzie zachowana w dowolnym innym układzie inercjalnym. Tradycyjnie zdefiniowana energia kinetyczna, ta z kwadratem prędkości ma jeszcze jedną zaletę, jeżeli jest zachowana w jednym układzie to będzie zachowana w każdym innym: E k m u v m u m u v + m v E u+v k1 + E u+v k E u k1 + E u k (m 1 u 1 + m u ) v + (m + m ) v 1 E v+v k1 + E v+v k E v v k1 + E k (m 1 v 1 + m v ) v + (m 1 + m ) v E u+v k1 + E u+v k E v+v v+v k1 + E k

8 Jeżeli więc pęd i masa są zachowane to tak zdefiniowana energia kinetyczna, jeżeli jest zachowana w jednym układzie, jest zachowana w każdym układzie inercjalnym: E u+v + E u+v E v+v + E v+v k1 k k1 k Tak więc w przypadku nierelatywistycznym mamy: Dla zderzeń sprężystych i niesprężystych: z Bezwzględne prawo zachowania masy. Masa nie zależy od układu odniesienia i jest zachowana w każdym układzie inercjalnym z Pęd jest zachowany, jest zachowany w każdym układzie inercjalnym bo masa jest zachowana

9 Ponadto dla zderzeń sprężystych z zachowana jest energia kinetyczna zdefiniowana w znany sposób. Zachowana jest w każdym układzie inercjalnym bo a) zachowana jest masa oraz, b) zachowany jest pęd. Taka spójność praw zachowania i możliwość ich spełnienia w każdym układzie inercjalnym jest możliwa tylko dlatego, że prawo transformacji prędkości ma postać: u u v W przypadku relatywistycznym ta reguła dodawania prędkości zmienia się, mamy bowiem (w przypadku gdy wektory u i v są równoległe ) : u u // v v u u v 1

10 Nie powinno nas to dziwić. Przecież zegary nie chodzą tak samo i długości prętów też ulegają zmianie. u u v u u v u v 1 Tak jak klasycznie, w nowym układzie ciało porusza się wolniej i przebędzie mniejszą drogą Czas w układzie ruchomym płynie wolniej, cząstka potrzebuje mniej czasu aby pokonać zadaną odległość, a więc porucza się szybciej.

11 Ten mianownik był źródłem problemów. Spróbujmy zdefiniować więc jeden czas określany zawsze w ten sam sposób, a mianowicie czas biegnący w układzie spoczynkowym poruszającej się cząstki. Z poprzedniego wykładu wiemy, że obserwując ruchomy zegar, widzę, że na nim czas płynie wolniej. Czas biegnący w układzie spoczynkowym poruszającej się cząstki Czas biegnący w naszym układzie, w którym cząstka porusza się z szybkością u t T t T t t t 1 1 u 1

12 Prędkość cząstki mierzymy w naszym układzie, a więc drogę dzielimy przez Δt: u x t Określamy większą prędkość gdzie czas biegnie w układzie poruszającej się cząstki: w x x t t t t u (u) u 1 u w u Jak teraz zmienia się prędkość w gdy obserwujemy ruch cząstki z układu poruszającego się względem nas z prędkością v?

13 W nowym układzie określamy prędkość podobnie jak poprzednio (prędkości u u ). w u (u ) u c 1 ( u - v) u v u 1 u u v ( u - v) u v gdzie: u u - v u v (Przypominamy, wektory u i v są równoległe) 1 u v u v + u v - c 4 u c - v c + u v 1 u v 1+ u v c 4 - u - v

14 w u 1 1+ u u - v u v - c 4 u - v u v u - v 1 1 u v 1+ u - v u u v c 4-1 v u - v Otrzymaliśmy więc relację: w u - v u 1 v

15 Zgodnie z naszą sugestią, zdefiniujmy pęd w sposób: Wtedy w nowym układzie odniesienia: p m w m( u - v) u 1 v p m w 1 1 v m u u 1 m u u m v u 1 1 v p - p 0 v ( ) ( v) p - p 0 v ( ) p 0 m u ( u) m

16 Pęd w nowym układzie odniesienia jest prosto związany z pędem w pierwotnym układzie odniesienia: Ale pojawiła się tu nowa wielkość p 0, co to jest? Jeżeli prędkość p ( v) p - p 0 v ( ) u p 0 ( u) m jest mała w porównaniu z prędkością światła, to p 0 m i mamy: p ( v) p - m v ( ) p ( v) p - m v ( ) To prawo transformacji, oprócz czynnika ( v), jest takie samo jak w przypadku klasycznym. Ten czynnik γ jest identyczny dla każdej zderzającej się cząstki, zależy tylko od względnej prędkości pomiędzy układami, a nie zależy od prędkości cząstek.

17 Tak więc jeżeli mamy prawo zachowania pędu w układzie K to pęd będzie zachowany w dowolnym innym układzie K, byleby tylko masa była zachowana. Sytuacja się komplikuje gdy prędkości cząstek są porównywalne z prędkościami światła, p 0 nie jest w przybliżeniu masą. Aby więc teraz pęd: p ( v) ( p - p 0 v ) był zachowany w każdym układzie odniesienia, prawo zachowania masy musimy zastąpić prawem zachowania wielkości p 0. m 1 + m const ( u 1 )m 1 + ( u )m const

18 I podobnie prawo zachowania pędu określone w znany sposób sposób: m 1 u1 + m u const musimy zastąpić prawem zachowania relatywistycznego pędu: m 1 ( u 1 ) u 1 + m ( u ) u const Czy jednak wielość p 0 jest zachowana w każdym układzie odniesienia, musimy to sprawdzić: p 0 m u u u - v u v

19 Podobnie jak poprzednio: p 0 ( u ) m u 1 u v m u 1 v u v m u 1 v 1 1 v m u u v m u ( v) p 0 ( u) - p v

20 Otrzymaliśmy więc dla wielkości p 0 prawo transformacji pomiędzy różnymi inercjalnymi układami odniesienia: p 0 ( u ) ( v) p 0 ( u) p( u) v - I dodajmy do tego prawo transformacji dla pędu: p ( u ) ( v) p( u) - p 0 ( u) v ( ) Mamy więc nową definicję pędu p i jakąś wielkość p 0, które zachowane w jednym układzie będą zachowane w każdym innym układzie odniesienia. Co wynika z faktu, że zachowanie nierelatywistycznej masy całkowitej zastąpiliśmy prawem zachowania wielkości p 0?

21 Dla bardzo małych prędkości cząstki p 0 m. Zobaczmy jak wygląda p 0 dla trochę większych szybkości. W tym celu obliczmy: u Stąd: (p 0 ) - p c m 1 p (p 0 ) m (p 0 + m)(p 0 m) p 0 m u m u u 1 p (p 0 + m) 1 m 1 p m c m u u 1 m E k p 0 m

22 To pozwala nam zinterpretować wielkość p 0 (dokładniej p 0 ): p 0 m + E k Aby zachowany był pęd układu, zachowana musi być wielkość: Gdzie: P 0 M + E k c M m 1 + m +... E k c E k1 + E k +... Całkowita masa układu Całkowita energia kinetyczna układu

23 u Masa jest zawsze zachowana. u Energia kinetyczna zachowana w zderzeniach sprężystych. Nadal energia kinetyczna jest zachowana w zderzeniach sprężystych, ale P 0 musi być zawsze zachowane, niezależnie czy zderzenia były czy nie były sprężyste. u W zderzeniach sprężystych M i E k c są zachowane niezależnie. E k c u W zderzeniach niesprężystych zmiana energii kinetycznej o musi być rekompensowane zmianą masy całkowitej. M E k c

24 Otrzymujemy więc pełne prawo zachowania pędu i zachowania energii, spełnione w każdym układzie odniesienia, gdy wielkości te są określone w sposób: E( u) m u ( u) m u m P( u) u ( u) m u p // v Po przejściu do innego układu inercjalnego ( ): E E - P v v 1 - ( v) ( E - P v ) P P - E v 1 - v ( v) P - E v

25 Bardzo często wzory poprzednie pisze się niepoprawnie: E( u) m( u) P( u) m( u) u Przed zderzeniem cząstek o takiej samej masie, cząstki mają pędy i energie kinetyczne gdzie: m( u) ( u) m Po zderzeniu cząstki się zlepiły i spoczywają, pęd jest zachowany ale energia kinetyczna nie zachowuje się. Ma być zachowane P 0, stąd początkowa energia kinetyczna zamienia się w dodatkową masę zlepionych cząstek

26 m E Masa stała się częścią energii

27 A co będzie dla cząstek o masie m 0? Z poniższego wzoru wynika, że E 0, no chyba że u c. Wtedy otrzymujemy nieoznaczony symbol 0/0, tak więc wzór w ramce jest nieprzydatny w tym przypadku. E( u) m u Obliczmy natomiast wyrażenie: m u p + m c 4 u m m u 1 - ( u) m u m u 1 - u + - u + ( ) m c u E

28 oraz pęd cząstki: P m u u 1 - m u u 1 - E u Otrzymaliśmy więc nowe wzory łączące masę, pęd i energie E P + m c 4 P E u które można stosować także dla cząstek o masie m 0 Z równania pierwszego: E P E Pc Równanie drugie jest spełnione automatycznie gdy u c P P

29 Nierelatywistyczne Relatywistyczne Masa M m 1 + m M m 1 + m Zachowana? zawsze tylko w zderzeniach sprężystych Transformacja Pęd Zachowany? zawsze zawsze Transformacja Energia Zachowana? Transformacja M M M M P m 1 u 1 + m u P P - M v E 1 m 1 u m tylko przy zderzeniach sprężystych E E - P v + M v P ( u 1 )m 1 u1 + ( u )m u zawsze P ( v) P - E v u E ( u 1 ) m 1 + ( u ) m E ( v) ( E - P v ) Porównanie własności masy, pędu i energii