ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI

Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe Przekrój I240: A = 46,1 cm 2 = 46,1 10-4 m 2 I x = 4250 cm 4 = 4250 10-8 m 4 Przekrój I260: A = 53,4 cm 2 = 53,4 10-4 m 2 I x = 5740 cm 4 = 5740 10-8 m 4 Materiał stal: E = 205 Gpa = 205 10 6 kn/m 2 2. Składowe przemieszczeń w globalnym układzie współrzędnych (GUW)

3. Rozkład sił normalnych w prętach od zadanego obciąŝenia zewnętrznego Obliczenia wykonano za pomocą programo RM-Win v9.18: N 1 = -9,652 kn, N 3 = -79,571 kn, N 2 = -72,006 kn, N 4 = -63,068 kn. 4. Macierze sztywności i obciąŝeń węzłowych prętów w lokalnych układach współrzędnych (LUW) oraz globalnym (GUW) Współczynniki macierzy są obliczane dla danych w jednostkach zawierających [kn] i [m]. pręt nr 1 I240, utwierdzony z przegubem po prawej stronie: Macierz sztywności w LUW: 147592.01 0. 0. - 147592.01 0. 0. 0. 99.560773 637.5 0. - 99.560773 0. 0. 637.5 4081.9917 0. - 637.5 0. - 147592.01 0. 0. 147592.01 0. 0. 0. - 99.560773-637.5 0. 99.560773 0.

Macierz sztywności geometrycznej w LUW:, 0. - 1.808867-1.9304 0. 1.808867 0. 0. - 1.9304-12.360591 0. 1.9304 0. 0. 1.808867 1.9304 0. - 1.808867 0. Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW nie pokrywają się obrót o kąt α = 321,340º, zgodnie z poniŝszym prawem:,, Macierz transformacji pręta: 0.7808667-0.6246977 0. 0. 0. 0. 0.6246977 0.7808667 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.7808667-0.6246977 0. 0. 0. 0. 0.6246977 0.7808667 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. Macierz sztywności w GUW: 90033.502-71947.646 398.24476-90033.502 71947.646 0. - 71947.646 57658.073 497.80253 71947.646-57658.073 0. 398.24476 497.80253 4081.9917-398.24476-497.80253 0. - 90033.502 71947.646-398.24476 90033.502-71947.646 0. 71947.646-57658.073-497.80253-71947.646 57658.073 0. Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, - 0.7059052-0.8823755-1.2059164 0.7059052 0.8823755 0. - 0.8823755-1.1029618-1.5073851 0.8823755 1.1029618 0. - 1.2059164-1.5073851-12.360591 1.2059164 1.5073851 0. 0.7059052 0.8823755 1.2059164-0.7059052-0.8823755 0. 0.8823755 1.1029618 1.5073851-0.8823755-1.1029618 0. Wektor sił przywęzłowych w GUW:

pręt nr 2 I260, obustronnie utwierdzony: Macierz sztywności w LUW: 218940. 0. 0. - 218940. 0. 0. 0. 1129.632 2824.08 0. - 1129.632 2824.08 0. 2824.08 9413.6 0. - 2824.08 4706.8-218940. 0. 0. 218940. 0. 0. 0. - 1129.632-2824.08 0. 1129.632-2824.08 0. 2824.08 4706.8 0. - 2824.08 9413.6 Macierz sztywności geometrycznej w LUW:, 0. - 17.28144-7.2006 0. 17.28144-7.2006 0. - 7.2006-48.004 0. 7.2006 12.001 0. 17.28144 7.2006 0. - 17.28144 7.2006 0. - 7.2006 12.001 0. 7.2006-48.004 Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ nie wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW pokrywają się obrót o kąt α = 0,000º, zgodnie z poniŝszym prawem:,, Macierz sztywności w GUW: 218940. 0. 0. - 218940. 0. 0. 0. 1129.632 2824.08 0. - 1129.632 2824.08 0. 2824.08 9413.6 0. - 2824.08 4706.8-218940. 0. 0. 218940. 0. 0. 0. - 1129.632-2824.08 0. 1129.632-2824.08 0. 2824.08 4706.8 0. - 2824.08 9413.6 Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, 0. - 17.28144-7.2006 0. 17.28144-7.2006 0. - 7.2006-48.004 0. 7.2006 12.001 0. 17.28144 7.2006 0. - 17.28144 7.2006 0. - 7.2006 12.001 0. 7.2006-48.004

Wektor sił przywęzłowych w GUW: pręt nr 3 I260, obustronnie utwierdzony: Macierz sztywności w LUW: 273675. 0. 0. - 273675. 0. 0. 0. 2206.3125 4412.625 0. - 2206.3125 4412.625 0. 4412.625 11767. 0. - 4412.625 5883.5-273675. 0. 0. 273675. 0. 0. 0. - 2206.3125-4412.625 0. 2206.3125-4412.625 0. 4412.625 5883.5 0. - 4412.625 11767. Macierz sztywności geometrycznej w LUW: 0. - 23.8713-7.9571 0. 23.8713-7.9571 0. - 7.9571-42.437867 0. 7.9571 10.609467 0. 23.8713 7.9571 0. - 23.8713 7.9571 0. - 7.9571 10.609467 0. 7.9571-42.437867 Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ nie wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW pokrywają się obrót o kąt α = 0,000º, zgodnie z poniŝszym prawem:,, Macierz sztywności w GUW: 273675. 0. 0. - 273675. 0. 0. 0. 2206.3125 4412.625 0. - 2206.3125 4412.625 0. 4412.625 11767. 0. - 4412.625 5883.5-273675. 0. 0. 273675. 0. 0. 0. - 2206.3125-4412.625 0. 2206.3125-4412.625 0. 4412.625 5883.5 0. - 4412.625 11767.

Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, 0. - 23.8713-7.9571 0. 23.8713-7.9571 0. - 7.9571-42.437867 0. 7.9571 10.609467 0. 23.8713 7.9571 0. - 23.8713 7.9571 0. - 7.9571 10.609467 0. 7.9571-42.437867 Wektor sił przywęzłowych w GUW: pręt nr 4 I240, utwierdzony z przegubem po prawej stronie: Macierz sztywności w LUW: 236262.5 0. 0. - 236262.5 0. 0. 0. 1633.5938 3267.1875 0. - 1633.5938 3267.1875 0. 3267.1875 8712.5 0. - 3267.1875 4356.25-236262.5 0. 0. 236262.5 0. 0. 0. - 1633.5938-3267.1875 0. 1633.5938-3267.1875 0. 3267.1875 4356.25 0. - 3267.1875 8712.5 Macierz sztywności geometrycznej w LUW:, 0. - 18.9204-6.3068 0. 18.9204-6.3068 0. - 6.3068-33.636267 0. 6.3068 8.4090667 0. 18.9204 6.3068 0. - 18.9204 6.3068 0. - 6.3068 8.4090667 0. 6.3068-33.636267 Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW nie pokrywają się obrót o kąt α = 90,000º, zgodnie z poniŝszym prawem:,,

Macierz transformacji pręta: 6.123D-17 1. 0. 0. 0. 0. - 1. 6.123D-17 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6.123D-17 1. 0. 0. 0. 0. - 1. 6.123D-17 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. Macierz sztywności w GUW: 1633.5938 1.437D-11-3267.1875-1633.5938-1.437D-11-3267.1875 1.437D-11 236262.5 2.001D-13-1.437D-11-236262.5 2.001D-13-3267.1875 2.001D-13 8712.5 3267.1875-2.001D-13 4356.25-1633.5938-1.437D-11 3267.1875 1633.5938 1.437D-11 3267.1875-1.437D-11-236262.5-2.001D-13 1.437D-11 236262.5-2.001D-13-3267.1875 2.001D-13 4356.25 3267.1875-2.001D-13 8712.5 Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, - 18.9204 1.159D-15 6.3068 18.9204-1.159D-15 6.3068 1.159D-15-7.094D-32-3.862D-16-1.159D-15 7.094D-32-3.862D-16 6.3068-3.862D-16-33.636267-6.3068 3.862D-16 8.4090667 18.9204-1.159D-15-6.3068-18.9204 1.159D-15-6.3068-1.159D-15 7.094D-32 3.862D-16 1.159D-15-7.094D-32 3.862D-16 6.3068-3.862D-16 8.4090667-6.3068 3.862D-16-33.636267 Wektor sił przywęzłowych w GUW: 5. Schemat agregacji globalnej macierzy sztywności K 16x16, sztywności geometrycznej K g16x16 i wektora obciąŝeń węzłowych P 16x1 Tabela powiązań: Nr reakcji Nr pręta 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 8 9 10 4 5 7 3 4 5 7 11 12 13 4 11 12 13 14 15 16 Schemat agregacji macierzy i wektora: X współczynniki macierzy pręta nr 1, O współczynniki macierzy pręta nr 2, # współczynniki macierzy pręta nr 3, $ współczynniki macierzy pręta nr 4, puste pole wartość równa zero,

nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 X X X X X X X 2 X X X X X X X 3 X X X X X X X 4 X X X XO# XO# X O# O O O # # # XO# 5 X X X XO# XO# X O# O O O # # # XO# 6 X X X X X X X 7 O# O# O# O O O # # # O# 8 O O O O O O O 9 O O O O O O O 10 O O O O O O O 11 # # # #$ #$ #$ $ $ $ #$ 12 # # # #$ #$ #$ $ $ $ #$ 13 # # # #$ #$ #$ $ $ $ #$ 14 $ $ $ $ $ $ $ 15 $ $ $ $ $ $ $ 16 $ $ $ $ $ $ $ UWAGA: Współczynniki macierzy poszczególnych prętów i ich miejsca w macierzach globalnych: pręt nr 1: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (5,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) T (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) pręt nr 2: (8,8) (8,9) (8,10) (8,4) (8,5) (8,7) (9,8) (9,9) (9,10) (9,4) (9,5) (9,7) (10,8) (10,9) (10,10) (10,4) (10,5) (10,7) (4,8) (4,9) (4,10) (4,4) (4,5) (4,7) (5,8) (5,9) (5,10) (5,4) (5,5) (5,7) (7,8) (7,9) (7,10) (7,4) (7,5) (7,7) T (8,1) (9,1) (10,1) (4,1) (5,1) (7,1) pręt nr 3: (4,4) (4,5) (4,7) (4,11) (4,12) (4,13) (5,4) (5,5) (5,7) (5,11) (5,12) (5,13) (7,4) (7,5) (7,7) (7,11) (7,12) (7,13) (11,4) (11,5) (11,7) (11,11) (11,12) (11,13) (12,4) (12,5) (12,7) (12,11) (12,12) (12,13) (13,4) (13,5) (13,7) (13,11) (13,12) (13,13) T (4,1) (5,1) (7,1) (11,1) (12,1) (13,1)

pręt nr 4: (11,11) (11,12) (11,13) (11,14) (11,15) (11,16) (12,11) (12,12) (12,13) (12,14) (12,15) (12,16) (13,11) (13,12) (13,13) (13,14) (13,15) (13,16) (14,11) (14,12) (14,13) (14,14) (14,15) (11,16) (15,11) (15,12) (15,13) (15,14) (15,15) (12,16) (16,11) (16,12) (16,13) (16,14) (16,15) (13,16) T (11,1) (12,1) (13,1) (14,1) (15,1) (16,1) 6. Globalny wektor obciąŝeń węzłowych P 16x1 Wektor sił przywęzłowych układu od obciąŝeń zewnętrznych R 0 oraz wektor zewnętrznych sił węzłowych układu P w :, Wektor obciąŝeń węzłowych układu: 0

7. Globalna macierz sztywności K 16x16 oraz sztywności geometrycznej K g16x16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 90033,5-71947,6 398,2448-90033,5 71947,65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2-71947,6 57658,07 497,8025 71947,65-57658,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 398,2448 497,8025 4081,992-398,245-497,803 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4-90033,5 71947,65-398,245 582648,5-71947,6 0 0-218940 0 0-273675 0 0 0 0 0 5 71947,65-57658,1-497,803-71947,6 60994,02 0 1588,545 0-1129,63-2824,08 0-2206,31 4412,625 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K16x16 = 7 0 0 0 0 1588,545 0 21180,6 0 2824,08 4706,8 0-4412,63 5883,5 0 0 0 8 0 0 0-218940 0 0 0 218940 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0-1129,63 0 2824,08 0 1129,632 2824,08 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0-2824,08 0 4706,8 0 2824,08 9413,6 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0-273675 0 0 0 0 0 0 275308,6 1,44E-11-3267,19-1633,59-1,44E-11-3267,19 12 0 0 0 0-2206,31 0-4412,63 0 0 0 1,44E-11 238468,8-4412,63-1,44E-11-236263 2,00E-13 13 0 0 0 0 4412,625 0 5883,5 0 0 0-3267,19-4412,63 20479,5 3267,188-2,00E-13 4356,25 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1633,59-1,44E-11 3267,188 1633,594 1,44E-11 3267,188 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1,44E-11-236263 -2,00E-13 1,44E-11 236262,5-2,00E-13 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-3267,19 2,00E-13 4356,25 3267,188-2,00E-13 8712,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1-0,70591-0,88238-1,20592 0,705905 0,882376 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2-0,88238-1,10296-1,50739 0,882376 1,102962 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3-1,20592-1,50739-12,3606 1,205916 1,507385 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0,705905 0,882376 1,205916-0,70591-0,88238 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0,882376 1,102962 1,507385-0,88238-42,2557 0-0,7565 0 17,28144 7,2006 0 23,8713-7,9571 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Kg16x16= 7 0 0 0 0-0,7565 0-90,4419 0-7,2006 12,001 0 7,9571 10,609467 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 17,28144 0-7,2006 0-17,2814-7,2006 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 7,2006 0 12,001 0-7,2006-48,004 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-18,9204 1,16E-15 6,3068 18,9204-1,16E-15 6,3068 12 0 0 0 0 23,8713 0 7,9571 0 0 0 1,16E-15-23,8713 7,9571-1,16E-15 7,09E-32-3,86E-16 13 0 0 0 0-7,9571 0 10,60947 0 0 0 6,3068 7,9571-76,07413-6,3068 3,86E-16 8,4090667 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18,9204-1,16E-15-6,3068-18,9204 1,16E-15-6,3068 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1,16E-15 7,09E-32 3,86E-16 1,16E-15-7,09E-32 3,86E-16 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6,3068-3,86E-16 8,4090667-6,3068 3,86E-16-33,636267

8. Warunki brzegowe W celu uwzględnienia warunków brzegowych dokonuję się redukcji układu równań stateczności (analogicznie równowagi statycznej) polegającej na: wprowadzeniu warunków podparcia (zerowych przemieszczeń): utwierdzenie pręta nr 1: q 1, q 2, q 3, utwierdzenie pręta nr 2: q 8, q 9, q 10, utwierdzenie pręta nr 4: q 14, q 15, q 16, redukcji statycznej układu: przegub jednostronny pręta nr 1: q 6.

9. Rozwiązanie uogólnionego problemu własnego 0 0, 0 *, 1/ * Do rozwiązania tak sformułowanego problemu własnego, wykorzystano funkcję eigen() z biblioteki Scilaba calfem. Wartości własne : Wektory własne q: (1) -0.0063094 (2) -0.0027072 (3) -0.0010336 (4) -0.0001236 (5) -0.0000379 (6) -0.0000011 (1) (2) (3) (4) (5) (6) q1 0 0 0 0 0 0 q2 0 0 0 0 0 0 q3 0 0 0 0 0 0 q4 0.0000063 0.0000823-0.0011613-0.0011816-0.0001439-0.0012898 q5-0.0001472 0.0004096-0.0046239 0.0001766-0.0011419 0.0000714 q6 0 0 0 0 0 0 q7-0.0060524-0.0038447 0.0000243-0.0000616-0.0001756 0.0000064 q8 0 0 0 0 0 0 q9 = 0 0 0 0 0 0 q10 0 0 0 0 0 0 q11 0.0000521 0.0000669-0.0012394-0.0025419 0.0001006 0.0000221 q12-0.0000064-0.0000676 0.0004442-0.0003139-0.0019783 0.0000754 q13 0.0055032-0.0048608 0.0002547-0.0002629-0.0001035 0.0000031 q14 0 0 0 0 0 0 q15 0 0 0 0 0 0 q16 0 0 0 0 0 0 * w rzeczywistości wartość q 6 jest róŝna od zera. O wartości obciąŝenia krytycznego decyduje najmniejszy współczynnik 1/. NaleŜy, więc znaleźć najmniejszą wartość własną: 1/1/ 1/0,0063094 158,49397 Wektor własny q1 (wektor przemieszczeń uogólnionych w GUW) odpowiadający mnoŝnikowi krytycznemu określa pierwszą postać utraty stateczności rozpatrywanej konstrukcji: 0 0 0 0.0000063-0.0001472 0-0.0060524 0 0 0 0.0000521-0.0000064 0.0055032 0 0 0 Wektory przemieszczeń węzłowych prętów w lokalnych układach współrzędnych: pręt nr 1 (α = 321,340º):

Wektor przemieszczeń w GUW: 0. 0. 0. 0.0000063-0.0001472 0. Macierz transformacji pręta: 0.7808667-0.6246977 0. 0. 0. 0. 0.6246977 0.7808667 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.7808667-0.6246977 0. 0. 0. 0. 0.6246977 0.7808667 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. Wektor przemieszczeń w LUW: 0. 0. 0. 0.0000968-0.0001110 0. pręt nr 2 (α = 0º): Wektor przemieszczeń w GUW: 0. 0. 0. 0.0000063-0.0001472-0.0060524 Wektor przemieszczeń w LUW: 0. 0. 0. 0.0000063-0.0001472-0.0060524 pręt nr 3 (α = 0º): Wektor przemieszczeń w GUW: 0.0000063-0.0001472-0.0060524 0.0000521-0.0000064 0.0055032 Wektor przemieszczeń w LUW: 0.0000063-0.0001472-0.0060524 0.0000521-0.0000064 0.0055032 pręt nr 4 (α = 90º): Wektor przemieszczeń w GUW: 0.0000521-0.0000064 0.0055032 0. 0. 0. Macierz transformacji pręta: 6.123D-17 1. 0. 0. 0. 0. - 1. 6.123D-17 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6.123D-17 1. 0. 0. 0. 0. - 1. 6.123D-17 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.

Wektor przemieszczeń w LUW: - 0.0000064-0.0000521 0.0055032 0. 0. 0. 10. Postać utraty stateczności Przemieszczenia poziome i pionowe punktów na długości pręta wyznaczono z wartości przemieszczeń węzłowych i funkcji kształtu wg poniŝszych wzorów: Pręt obustronnie utwierdzony Pręt z przegubem na prawym końcu 1 1 3 2 1 1 3 2 1 2 1 2 1 3 2 1 2 3 2 3 2 1 2 pręt nr 1 (przegub na prawym końcu): 0,000 1 1 0 0 0 0 0,00000000 0,00000000 1,601 0,75 0,632813 1,050513 0,25 0,367188 0 0,00002420-0,00004076 3,202 0,5 0,3125 1,200586 0,5 0,6875 0 0,00004840-0,00007631 4,802 0,25 0,085938 0,750366 0,75 0,914063 0 0,00007260-0,00010146 6,403 0 0 0 1 1 0 0,00009680-0,00011100 pręt nr 2 (obustronnie utwierdzony): 0,000 1 1 0 0 0 0 0,00000000 0,00000000 1,250 0,75 0,84375 0,703125 0,25 0,15625-0,23438 0,00000158 0,00139553 2,500 0,5 0,5 0,625 0,5 0,5-0,625 0,00000315 0,00370915 3,750 0,25 0,15625 0,234375 0,75 0,84375-0,70313 0,00000473 0,00413139 5,000 0 0 0 1 1 0 0,00000630-0,00014720

pręt nr 3 (obustronnie utwierdzony): 0,000 1 1 0 0 0 0 0,00000630-0,00014720 1,000 0,75 0,84375 0,5625 0,25 0,15625-0,1875 0,00001775-0,00456153 2,000 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5-0,5 0,00002920-0,00585460 3,000 0,25 0,15625 0,1875 0,75 0,84375-0,5625 0,00004065-0,00425878 4,000 0 0 0 1 1 0 0,00005210-0,00000640 pręt nr 4 (obustronnie utwierdzony): 0,000 1 1 0 0 0 0-0,00000640-0,00005210 1,000 0,75 0,84375 0,5625 0,25 0,15625-0,1875-0,00000480 0,00305159 2,000 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5-0,5-0,00000320 0,00272555 3,000 0,25 0,15625 0,1875 0,75 0,84375-0,5625-0,00000160 0,00102371 4,000 0 0 0 1 1 0 0,00000000 0,00000000

Postać utraty stateczności dla mnoŝnika krytycznego 158,49397: Wartości obciąŝenia krytycznego:

WYZNACZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH I PRZEMIESZCZEŃ Z UWZGLĘDNIENIEM DUśYCH SIŁ OSIOWYCH WG TEORII II RZĘDU 11. Schemat statyczny ramy ObciąŜenie krytyczne występuje dla mnoŝnika 158,49397. Obliczenia przeprowadzono dla schematu obciąŝonego siłami przemnoŝonymi przez współczynnik 0,6 95,096 95, jak na rysunku: 12. Rozkład sił normalnych w prętach od zadanego obciąŝenia zewnętrznego Obliczenia wykonano za pomocą programo RM-Win v9.18: N 1 = -916,983 kn, N 3 = -7559,248 kn, N 2 = -6840,577 kn, N 4 = -5991,501 kn.

13. Nowe macierze sztywności geometrycznej oraz wektory obciąŝeń węzłowych prętów w lokalnych układach współrzędnych (LUW) oraz globalnym (GUW) teoria II rzędu Macierze sztywności geometrycznej są zaleŝne od wartości sił normalnych, dlatego macierze geometryczne wyznaczone przy obliczaniu siły krytycznej moŝna pomnoŝyć przez współczynnik 0,6 95,096 95. Macierze sztywności pozostają niezmienione (jak w pkt. 4). Współczynniki macierzy są obliczane dla danych w jednostkach zawierających [kn] i [m]. pręt nr 1 I240, utwierdzony z przegubem po prawej stronie: Macierz sztywności geometrycznej w LUW:, 0. - 171.85042-183.3966 0. 171.85042 0. 0. - 183.3966-1174.3112 0. 183.3966 0. 0. 171.85042 183.3966 0. - 171.85042 0. Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW nie pokrywają się obrót o kąt α = 321,340º, zgodnie z poniŝszym prawem:,, Macierz transformacji pręta: 0.7808667-0.6246977 0. 0. 0. 0. 0.6246977 0.7808667 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.7808667-0.6246977 0. 0. 0. 0. 0.6246977 0.7808667 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, - 67.06414-83.8296-114.56743 67.06414 83.8296 0. - 83.8296-104.78628-143.2083 83.8296 104.78628 0. - 114.56743-143.2083-1174.3112 114.56743 143.2083 0. 67.06414 83.8296 114.56743-67.06414-83.8296 0. 83.8296 104.78628 143.2083-83.8296-104.78628 0. Wektor sił przywęzłowych w GUW: pręt nr 2 I260, obustronnie utwierdzony:

Macierz sztywności geometrycznej w LUW:, 0. - 1641.7385-684.0577 0. 1641.7385-684.0577 0. - 684.0577-4560.3847 0. 684.0577 1140.0962 0. 1641.7385 684.0577 0. - 1641.7385 684.0577 0. - 684.0577 1140.0962 0. 684.0577-4560.3847 Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ nie wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW pokrywają się obrót o kąt α = 0,000º, zgodnie z poniŝszym prawem:,, Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, 0. - 1641.7385-684.0577 0. 1641.7385-684.0577 0. - 684.0577-4560.3847 0. 684.0577 1140.0962 0. 1641.7385 684.0577 0. - 1641.7385 684.0577 0. - 684.0577 1140.0962 0. 684.0577-4560.3847 Wektor sił przywęzłowych w GUW: pręt nr 3 I260, obustronnie utwierdzony: Macierz sztywności geometrycznej w LUW: 0. - 2267.7744-755.9248 0. 2267.7744-755.9248 0. - 755.9248-4031.5989 0. 755.9248 1007.8997 0. 2267.7744 755.9248 0. - 2267.7744 755.9248 0. - 755.9248 1007.8997 0. 755.9248-4031.5989 Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: 0. - 380. - 253.33333 0. - 380. 253.33333 Układ nie wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW pokrywają się obrót o kąt α = 0,000º, zgodnie z poniŝszym prawem:,,

Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, 0. - 2267.7744-755.9248 0. 2267.7744-755.9248 0. - 755.9248-4031.5989 0. 755.9248 1007.8997 0. 2267.7744 755.9248 0. - 2267.7744 755.9248 0. - 755.9248 1007.8997 0. 755.9248-4031.5989 Wektor sił przywęzłowych w GUW: 0. - 380. - 253.33333 0. - 380. 253.33333 pręt nr 4 I240, utwierdzony z przegubem po prawej stronie: Macierz sztywności geometrycznej w LUW:, 0. - 1797.4503-599.1501 0. 1797.4503-599.1501 0. - 599.1501-3195.4672 0. 599.1501 798.8668 0. 1797.4503 599.1501 0. - 1797.4503 599.1501 0. - 599.1501 798.8668 0. 599.1501-3195.4672 Wektor sił przywęzłowych od obciąŝenia: Układ wymaga transformacji, poniewaŝ LUW i GUW nie pokrywają się obrót o kąt α = 90,000º, zgodnie z poniŝszym prawem:,, Macierz transformacji pręta: 6.123D-17 1. 0. 0. 0. 0. - 1. 6.123D-17 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6.123D-17 1. 0. 0. 0. 0. - 1. 6.123D-17 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. Macierz sztywności geometrycznej w GUW:, - 1797.4503 1.101D-13 599.1501 1797.4503-1.101D-13 599.1501 1.101D-13-6.739D-30-3.669D-14-1.101D-13 6.739D-30-3.669D-14 599.1501-3.669D-14-3195.4672-599.1501 3.669D-14 798.8668 1797.4503-1.101D-13-599.1501-1797.4503 1.101D-13-599.1501-1.101D-13 6.739D-30 3.669D-14 1.101D-13-6.739D-30 3.669D-14 599.1501-3.669D-14 798.8668-599.1501 3.669D-14-3195.4672 Wektor sił przywęzłowych w GUW:

14. Nowa globalna macierz sztywności geometrycznej K g16x16 oraz globalny wektor obciąŝeń węzłowych P 16x1 Schemat agregacji przeprowadzono wg schematu w punkcie 5. Macierz sztywności pozostaje niezmieniona (jak w pkt. 7). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1-67,06414-83,8296-114,5674 67,06414 83,8296 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2-83,8296-104,7863-143,2083 83,8296 104,78628 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3-114,5674-143,2083-1174,311 114,5674 143,2083 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 67,06414 83,8296 114,56743-67,06414-83,8296 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 83,8296 104,78628 143,2083-83,8296-4014,299 0-71,8671 0 1641,7385 684,0577 0 2267,7744-755,9248 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Kg16x16= 7 0 0 0 0-71,8671 0-8591,984 0-684,0577 1140,0962 0 755,9248 1007,8997 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 1641,7385 0-684,0577 0-1641,739-684,0577 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 684,0577 0 1140,0962 0-684,0577-4560,385 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1797,45 1,10E-13 599,1501 1797,4503-1,10E-13 599,1501 12 0 0 0 0 2267,7744 0 755,9248 0 0 0 1,10E-13-2267,774 755,9248-1,10E-13 6,74E-30-3,67E-14 13 0 0 0 0-755,9248 0 1007,8997 0 0 0 599,1501 755,9248-7227,066-599,1501 3,67E-14 798,8668 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1797,4503-1,10E-13-599,1501-1797,45 1,10E-13-599,1501 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1,10E-13 6,74E-30 3,67E-14 1,10E-13-6,74E-30 3,67E-14 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 599,1501-3,67E-14 798,8668-599,1501 3,67E-14-3195,467 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P T 16x1 = 1 0 0 0 0 380 0 253,3333 0 0 0-7600 6080-253,3333 0 0 0

15. Warunki brzegowe W celu uwzględnienia warunków brzegowych dokonuję się redukcji układu równań równowagi (analogicznie do równań stateczności) polegającej na: wprowadzeniu warunków podparcia (zerowych przemieszczeń): utwierdzenie pręta nr 1: q 1, q 2, q 3, utwierdzenie pręta nr 2: q 8, q 9, q 10, utwierdzenie pręta nr 4: q 14, q 15, q 16, redukcji statycznej układu: przegub jednostronny pręta nr 1: q 6. 16. Rozwiązanie statyki wg teorii II rzędu Wektor niezerowych przemieszczeń uogólnionych w globalnym układzie współrzędnych: q 4-0.0328330 q 5-0.0335253 q 7 0.0557922 q 11 = - 0.0610689 [m,rad] q 12 0.0259318 q 13-0.0440173 * w rzeczywistości wartość q 6 jest róŝna od zera, jednak nie ma wpływu na wartości sił wewnętrznych w układzie, poniewaŝ wcześniej dokonano odpowiedniej redukcji statycznej, a współczynniki macierzy K i wektora P dla pręta nr 1 uwzględniają jego przegubowe połączenie na prawym końcu. pręt nr 1 (α = 321,340º): Wektor przemieszczeń w GUW: 0. 0. 0. - 0.0328330-0.0335253 4.467D-15 Macierz transformacji pręta: 0.7808667-0.6246977 0. 0. 0. 0. 0.6246977 0.7808667 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.7808667-0.6246977 0. 0. 0. 0. 0.6246977 0.7808667 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. Wektor przemieszczeń w LUW: 0. 0. 0. - 0.0046950-0.0466895 4.467D-15 pręt nr 2 (α = 0º):

Wektor przemieszczeń w GUW: 1.0D-08 * - 0.0000003-0.0000013 1.396D-09-3283300.2-3352533.3 5579216.6 Wektor przemieszczeń w LUW: 1.0D-08 * - 0.0000003-0.0000013 1.396D-09-3283300.2-3352533.3 5579216.6 pręt nr 3 (α = 0º): Wektor przemieszczeń w GUW: - 0.0328330-0.0335253 0.0557922-0.0610689 0.0259318-0.0440173 Wektor przemieszczeń w LUW: - 0.0328330-0.0335253 0.0557922-0.0610689 0.0259318-0.0440173 pręt nr 4 (α = 90º): Wektor przemieszczeń w GUW: - 0.0610689 0.0259318-0.0440173 0. 0. 0. Macierz transformacji pręta: 6.123D-17 1. 0. 0. 0. 0. - 1. 6.123D-17 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6.123D-17 1. 0. 0. 0. 0. - 1. 6.123D-17 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. Wektor przemieszczeń w LUW: 0.0259318 0.0610689-0.0440173 0. 0. 0. 17. Siły przekrojowe Wektor sił przywęzłowych w pręcie "e": wg schematu: pręt nr 1:,,,,,, 692.94469 4.6484443 29.764566-692.94469-4.6484443 0. pręt nr 2:,

7188.4574 195.43283 357.28079-7188.4574-195.43283 619.88336 pręt nr 3:, 7727.4464-459.223-118.1648-7727.4464-300.777-198.7272 pręt nr 4:, 6126.7115-44.05112-183.97745-6126.7115 44.05112 7.7729705 18. Wykres sił normalnych z 1-iteracji 19. Porównanie wartości sił normalnych w prętach z 0-iteracji oraz 1-iteracji 0-iteracja teoria I rzędu 1-iteracja teoria II rzędu Nr pręta teoria I rzędu teoria II rzędu RÓśNICA BŁĄD [%] 1-916,983 kn -692,945 kn 224,038 kn 24,4 2-6840,577 kn -7188,457 kn 347,880 kn 5,1 3-7559,248 kn -7727,446 kn 168,198 kn 2,2 4-5991,501 kn -6126,712 kn 135,211 kn 2,3