Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną

Transkrypt

1 Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Analizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŝenie graniczne dla zadanych wartości przekrojów prętów A [m ] i napręŝeń astycznych σ [N/m ]. l l 4l P A, σ A, σ l Rozwiązanie Rozwiązanie metodą kinematyczną Otrzymany po uwolnieniu od więzów układ sił przedstawia poniŝszy rysunek P S 1 S S 3 MoŜemy obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności układu n = 4 (niewiadome) 3 (równania równowagi) = 1. Układ ten przejdzie w mechanizm po uastycznieniu n+1= prętów podpierających belkę. MoŜliwe są następujące przypadki układów zmiennych geometrycznie, w których siły w prętach uastycznionych odpowiadają ich nośności i wynoszą S 1 = Aσ, S = Aσ, S 3 = Aσ. Przyjęto, Ŝe napręŝenia astyczne przy rozciąganiu i ściskaniu są takie same. I mechanizm zniszczenia uastyczniają się pręty nr 1 i H A 7l 6l K 1 - środek obrotu 4l S 1 S Na rysunku powyŝej przedstawiony jest moŝliwy wirtualny obrót belki wywołany siłą P i wynikające z niego przemieszczenia punktów zaczepienia sił. Siły w prętach uastycznionych mają zwroty przeciwne do kierunku przemieszczeń punktów ich zaczepienia. Zasada pracy wirtualnej dla tego przypadku przyjmuje postać 7l S 1 6l S 4l = 0 co po uwzględnieniu wartości sił astycznych dla poszczególnych prętów daje l(7 6Aσ 4 Aσ ) = 0.

2 Rozwiązanie tego równania (przy załoŝeniu, Ŝe 0 równoznacznym z powstaniem mechanizmu) prowadzi do warunku = 10/7 Aσ =1.43 Aσ. Jeśli jednocześnie spełniony jest napręŝeniowy warunek astyczności σ 3 σ 3, to oznacza, Ŝe obciąŝenie graniczne dla tego schematu stanowi poszukiwaną wartość graniczną i jest to schemat zniszczenia układu. Z warunku równowagi moŝemy obliczyć wartość siły S 3, a następnie wartość napręŝeń w trzecim pręcie, a zatem moŝemy sprawdzić czy załoŝonemu schematowi zniszczenia odpowiada statycznie dopuszczalny stan napręŝenia spełniający napręŝeniowy warunek astyczności. y S 1 S S 3 Z warunku sumy rzutów sił na oś pionową dostajemy równanie: S 1 +S + S 3 - = 0. Stąd po podstawieniu obliczonej wartości obciąŝenia mamy S 3 = -4/7 Aσ. Zatem napręŝenia w tym pręcie są ściskające i ich moduł wynosi S3 σ3 = = σ σ A 7 czyli warunek astyczności jest spełniony. Wnioskujemy, Ŝe załoŝony schemat zniszczenia układu jest prawidłowy, a wartość obciąŝenia granicznego wynosi I 10 P gr = Aσ 7 Dla porównania rozpatrzmy jeszcze inne schematy zniszczenia. II mechanizm zniszczenia uastyczniają się pręty nr 1 i 3 K - środek obrotu 3l l 4l S 1 S 3 Przy uastycznieniu prętów 1 i 3 moŝliwy jest przedstawiony powyŝej obrót belki względem chwilowego środka obrotu K. Pręt nr 3 zostaje ściśnięty, a zatem wyczerpanie jego nośności nastąpiło ze względu na siłę ściskającą. Zasada pracy wirtualnej dla tego przypadku przyjmuje postać 3l S 1 l S 3 4l = 0 co po uwzględnieniu wartości sił astycznych dla poszczególnych prętów daje równanie l(3 Aσ 8Aσ ) = 0 i wartość obciąŝenia granicznego

3 =10/3Aσ = 3.33 Aσ Sprawdzamy warunek astyczności dla pręta y S 1 S S 3 Z warunku sumy rzutów sił na oś pionową dostajemy równanie: S 1 + S - S 3 - = 0. skąd obliczmy, Ŝe S = 13/3Aσ. Wynika stąd następująca wartość napręŝeń w drugim pręcie S 13 σ = = σ > σ A 3 a zatem rozpatrywany schemat zniszczenia jest nieprawidłowy. III mechanizm zniszczenia uastyczniają się pręty nr i 3 P III gr K 3 - środek obrotu P III gr S S 3 l l 6l Przy uastycznieniu prętów i 3 moŝliwy wirtualny obrót belki wywołuje ich ściskanie, stąd przyjęte zwroty sił S i S 3. Równanie pracy wirtualnej dla tego przypadku przyjmuje postać P III gr l S l S 3 6l = 0, co po uwzględnieniu wartości sił astycznych dla poszczególnych prętów daje równanie l(p III gr Aσ 1Aσ ) = 0 i wartość obciąŝenia granicznego P III gr =14Aσ. Analogicznie jak w poprzednich schematach, po uwzględnieniu wartości P III gr z warunku sumy rzutów sił na oś pionową dostajemy: S 1 =17Aσ Wynika stąd następująca wartość napręŝeń w pierwszym pręcie S σ 1 1 = = 17σ > σ, A a zatem rozpatrywany schemat zniszczenia jest nieprawidłowy. KaŜda z obliczonych wartości,, P III gr odpowiada innemu moŝliwemu mechanizmowi zniszczenia. W metodzie kinematycznej wartość graniczną stanowi najmniejsza z wielkości odpowiadających wszystkim moŝliwym (kinemtycznie dopuszczlanym) schematom zniszczenia. Określa ona tym samym sposób zniszczenia układu. Zgodnie z powyŝszym stwierdzamy, Ŝe rozwaŝany układ niszczy się wg schematu I i następuje to przy obciąŝeniu P gr = min(,, P III gr ) = =1.43Aσ. 3

4 Rozwiązanie metodą statyczną W metodzie statycznej wykorzystamy warunki równowagi i warunki wytrzymałości dla prętów. P S 1 S S 3 H A PowyŜszy układ sił musi spełniać równania równowagi ΣP ix = 0 H = 0 A ΣP = 0 S + S + S P = 0 iy ΣM = 0 P 7l S 6l S 4l = 0 ia oraz warunki graniczne dla sił w prętach S S czyli Aσ S Aσ S S czyli Aσ S Aσ S S czyli Aσ S Aσ Wykorzystując zaleŝności uzyskane z równań równowagi S = 7/4 P 3/S 1 S 3 = P S 1 S = 3/4P + 1/S 1 uzyskujemy układ 6 nierówności: Aσ S1 Aσ (1,) 7 3 Aσ P S Aσ 4 1 (3,4) 1 3 Aσ S1 P Aσ 4 (5,6) Przedstawimy rozwiązanie graficzne znajdując obszar wspólny tych nierówności w układzie osi (S 1,P). Kolorem niebieskim zaznaczone jest rozwiązanie pierwszej podwójnej nierówności, róŝowym drugiej i zielonym trzeciej. Obszar wspólny obwiedziony jest czerwoną linią. Punkty o współrzędnych (S 1,P) z tego obszaru spełniają wszystkie warunki zadania. Zakładając oczywiście, Ŝe interesujące jest jedynie rozwiązanie P>0 znajdujemy najwyŝej połoŝony punkt tego obszaru. Jego współrzędna P określa wartość obciąŝenia granicznego dla całego układu. MoŜna odczytać ją z wykresu lub obliczyć jako punkt przecięcia prostych o równaniach S 1 = Aσ i S 1 =7/6P gr - /3 Aσ. Jest to wartość P gr = 10/7 Aσ identyczna z rozwiązaniem metodą kinematyczną. 4

5 [Aσ ] P 8/3 P gr =10/ /7 /3 S 1 -/ [Aσ ] -4/ /3 W metodzie statycznej analizujemy równowagę układu, stąd poszukujemy największej wartości obciąŝenia, które ją jeszcze zapewnia. Natomiast w metodzie kinematycznej analizujemy układ juŝ po wyczerpaniu jego nośności, dlatego istotna jest najmniejsza wartość obciąŝenia, która wywołuje zmienność geometryczną układu. 5