Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos ψ, ρ sin φ cos ψ, ρ sin ψ], ρ 0, φ, ψ R Zadanie 4.2. Obliczy iloczyny skalarne podanych par wektorów a) a = [1, 2, 5], b = [, 1, 0] b) a = [, 4, 1], b = [2,, 0] c) u = i 2 k, v = i + j + 7 k d) u = 2 i j, v = i + 4 k Zadanie 4.. Obliczy iloczyny wektorowe par wektorów z zadania 4.2. Zadanie 4.4. Sprawdzi, czy wektory u, v s równolegªe, czy prostopadªe, je±li: a) u = [ 1, 0, ], v = [, 0, 9] b) u = [ 1, 0, ], v = [6, 7, 2] Zadanie 4.5. Czy mo»na dobra parametr m tak, aby wektory u i v byªy prostopadªe, je±li: a) u = [m, 0, 1], v = [ 1, m, m] b) u = [m, m, m + 4], v = [m + 1,, 9] c) u = [2, m, 1], v = [m, 2m, 2] d) u = [m,, 4], v = [1, m, 1]? Zadanie 4.6. Czy mo»na dobra parametr k tak, aby wektory u i v z zadania 4.5 byªy równolegªe? Zadanie 4.7. Znale¹ trzy wektory równolegªe do wektora u = [4, 2, 8]. Zadanie 4.8. Znale¹ trzy wektory prostopadªe do wektora u = [4, 2, 8]. Zadanie 4.9. Obliczy sin φ i cos φ, gdzie φ jest k tem mi dzy wektorami: a) u = [1, 2, 2], v = [2, 1, 2] b) u = [0,, 4], v = [2, 2, 1] c) u = [1, 1, 1], v = [5, 1, 1] d) u = [5, 0, ], v = [0, 4, 0] Zadanie 4.10. Obliczy pole równolegªoboku ABCD oraz znale¹ punkt D, je±li: a) A = (1, 2, ), B = (4, 0, ), C = ( 2,, 0) b) A = (0, 0, 0), B = (5, 0, ), C = (1, 1, 1) c) A = ( 1, 2, ), B = (4, 5, 6), C = (0, 1, 2) Zadanie 4.11. Obliczy pole trójk ta ABC, je±li: a) A = (1, 2, ), B = ( 1, 0, 4), C = (5, 6, 0) b) A = (1, 2, 0), B = ( 1, 0, 0), C = (5, 6, 0) c) A = (0, 0, 0), B = (, 4, 5), C = (0, 0, 6) Zadanie 4.12. Sprawdzi, czy punkty P, Q, R le» na jednej prostej, je±li: a) P = (0, 0, ), Q = ( 1, 2, 4), R = (2, 4, 1) b) P = (1, 2, 1), Q = (, 0, 2), R = ( 1, 1, 1) c) P = ( 1, 0, 0), Q = (5, 6, 7), R = ( 1, 12, 14) Aktualizacja: 16 listopada 2008 1
Zadanie 4.1. Obliczy iloczyny mieszane podanych trójek wektorów: a) a = [, 2, 1], b = [0, 1, 5], c = [2,, 4] b) u = i + j, v = 2 i j + k, w = i + 2 j 5 k. Zadanie 4.14. Sprawdzi, czy punkty P, Q, R, S le» na jednej pªaszczy¹nie, je±li: a) P = (0,, 4), Q = ( 1, 2, 2), R = (2, 0, ), S = ( 1, 1, 1) b) P = (1, 1, 1), Q = ( 1, 0, 14), R = (0, 4, 0), S = (, 2, 0) c) P = (, 2, 2), Q = ( 1, 1, 2), R = (, 4, 1), S = ( 2, 1, 0) Zadanie 4.15. Obliczy obj to±ci podanych wielo±cianów: a) równolegªo±cian rozpi ty na wektorach a = [0, 0, 1], b = [ 1, 2, ], c = [2, 5, 1] b) czworo±cian o wierzchoªkach A = (1, 1, 1), B = (1, 2, ), C = (2,, 1), D = ( 1,, 5). Zadanie 4.16. Napisa równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkt P 0 i równolegªej do pªaszczyzny π 1, gdy: a) P 0 = (, 2, 1), π 1 : 2x 2y 4z 7 = 0 b) P 0 = (0, 0, 0), π 1 : x + z 11 = 0 c) P 0 = (2,, 0), π 1 jest pªaszczyzn Oxy d) P 0 = (2,, 0), π 1 jest pªaszczyzn Oxz Zadanie 4.17. Napisa równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkty P 1 i P 2 i prostopadªej do pªaszczyzny π 1, gdy: a) P 1 = (6, 2, 1), P 2 = (, 1, 1), π 1 : x + 2y z 6 = 0 b) P 1 = ( 2, 0, ), P 2 = (1, 1, 1), π 1 : 2x z 8 = 0 b) P 1 = (1, 2, 4), P 2 = ( 2, 4, 5), π 1 jest pªaszczyzn Oxy Zadanie 4.18. Napisa równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkt P 0 i prostopadªej do pªaszczyzn π 1, i π 2, gdy: a) P 0 = (, 2, 1), π 1 : 2x 2y 4z 7 = 0, π 2 : x + y z 1 = 0 b) P 0 = (0, 0, 0), π 1 : x + z 11 = 0, π 2 : x + 2y z = 0 b) P 0 = (1,, 4), π 1 : x z = 0, π 2 jest pªaszczyzn Oxy b) P 0 = (1,, 4), π 1 jest pªaszczyzn Oxy, π 2 jest pªaszczyzn Oxz Zadanie 4.19. Znale¹ punkty przeci cia pªaszczyzny π z osiami ukªadu wspóªrz dnych Oxyz, gdy a) π : 2x + y + z 6 = 0 b) π : 2x y z = 0 c) 2x + y 6 = 0 d) 2x + z 6 = 0 Zadanie 4.20. Napisa równanie pªaszczyzny przechodz cej przez punkty P 1, P 2, P, gdy: a) P 1 = (5, 2, 1), P 2 = (0,, 4), P = (5, 6, 7) b) P 1 = (0, 0, 12), P 2 = (2, 2, 5), P = (4, 0, 6) c) P 1 = (4, 4, ), P 2 = (0, 6, 0), P = (8, 1, 6) Aktualizacja: 16 listopada 2008 2
Zadanie 4.21. Znale¹ warto±ci parametru k, dla których pªaszczyzny π 1 i π 2 s równolegªe, gdy a) π 1 : 2x + ky + z + 6 = 0, π 2 : kx + 2y + (k 1)z + = 0 b) π 1 : x + (k + 1)y + 6z + 1 = 0, π 2 : (k + 1)x + 4ky + (11 + k 2 ) z = 0 Zadanie 4.22. Dla jakich warto±ci parametru k pªaszczyzny π 1 i π 2 z zadania 4.21 s prostopadªe? Zadanie 4.2. Sprawdzi,»e pªaszczyzny π i π 2 s równolegªe, a nast pnie obliczy odlegªo± mi dzy tymi pªaszczyznami, je±li: a) π 1 : 6x y + 6z + 5 = 0, π 2 : 4x 2y + 4z = 0 b) π 1 : 6x 8z 1 = 0, π 2 : 9x 12z + 48 = 0 c) π 1 : 2x 4y 6z 2 = 0, π 2 : x 6y 9z = 0 Zadanie 4.24. Napisa równanie pªaszczyzny π zawieraj cej kraw d¹ przeci cia pªaszczyzn π 1 i π 2 i przechodz cej przez punkt P, gdy: a) π 1 : 2x y z 8 = 0, π 2 : x y z 6 = 0, P = (1, 0, 2) b) π 1 : x z 6 = 0, π 2 : x + y z 6 = 0, P = (1, 2, ) c) π 1 : x + y 2z = 0, π 2 : y + 2z 8 = 0, P = (0, 2, 1) d) π 1 : 2x + 2y + z 2 = 0, π 2 : x y z 2 = 0, P = (1, 1, 2) Zadanie 4.25. Napisa równanie pªaszczyzny π zawieraj cej kraw d¹ przeci cia pªaszczyzn π 1 i π 2 i prostopadªej do pªaszczyzny π, gdy: a) π 1 : x y z 6 = 0, π 2 : 2x y z 8 = 0, π : x + y 6z 12 = 0 b) π 1 : 2x y = 0, π 2 : y + z 8 = 0, π : x + y 6z 12 = 0 c) π 1 : x + y z = 0, π 2 : 2x y z 8 = 0, π : 2x y + z 6 = 0 d) π 1 : x + y z = 0, π 2 : 2x y z 8 = 0, π : 4x y + z = 0 Zadanie 4.26. Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej przez punkt (, 4, 2) i równolegªej do osi: a) Ox b) Oy c) Oz Zadanie 4.27. Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej l przez punkt (, 4, 2) i równolegªej do prostej l 1, gdy: a) l 1 : x = t y = z = 2 t t R { 2x y z 6 = 0 b) l 1 : x = 4y = z 6 c) l 1 : x + y + z 5 = 0 Zadanie 4.28. Napisa równania parametryczne prostej l przechodz cej przez punkty P = (, 4, 2) i Q = (5, 6, 2), a nast pnie sprawdzi, czy punkt R = (1, 2, ) nale»y do tej prostej. Zadanie 4.29. Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej przez punkt (, 4, 5) i przecinaj cej o± Oy w punkcie o wspóªrz dnej y = 5. Aktualizacja: 16 listopada 2008
Zadanie 4.0. Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej przez punkt P = ( 1, 2, ) i prostopadªej do prostych l 1 i l 2, gdy: a) l 1 : x = 2 + t y = t z = t R, l 2 : b) l 1 : x 1 = 2 y = 2z, l 2 : { 2x y + 2z 6 = 0 x + y + z 4 = 0 { x + y 6 = 0 2x y z 8 = 0 Zadanie 4.1. Napisa równania parametryczne, kierunkowe i kraw dziowe prostej przechodz cej przez punkty P = (1, 2, 0), Q = ( 1,, 4). Zadanie 4.2. Sprawdzi,»e proste l 1 i l 2 s równolegªe, je±li: a) l 1 : x 1 = 2y = z 2, l 2 : { 4x + 12y 5z = 0 4x + 4y z + 1 = 0 b) l 1 : x = y = z 1, l 2 : x+ = y + 1 = z+2. Zadanie 4.. Znale¹ (je±li istniej ) punkty wspólne prostych l 1 i l 2, je±li: a) l 1 : x = y = z 1, l 2 : x 2 = y = z 1. 2 b) l 1 : x = y = z 1, l 2 : x 2 = y = z 4. 6 Zad. 4.1 a) 1, b) 4, c) ρ 2 + h 2, d) ρ. Zad. 4.2 a) 5, b) 6, c) 17, d) 2. Zad. 4. a) [5, 15, 5], b) [, 2, 17], c)[6, 19, 9] d) [ 4, 8, 1]. Zad. 4.4 a) równolegªe, b) prostopadªe. Zad. 4.5 a) k mo»e by dowolne, b) m = 4 lub m = 9, c) nie, d) m = 1. Zad. 4.6 a) nie, b) m = 2, c) m = 4, d) nie. Zad. 4.7 ka»dy wektor postaci [4k, 2k, 8s], gdzie k R jest równolegªy do u. Zad. 4.8 wektor v = [x, y, z] jest prostopadªy do u, gdy 4x + 2y 8z = 0. Zad. 4.9 a) sin φ = 65, cos φ = 4, b) sin φ = 221, cos φ = 2, c) 9 9 15 15 sin φ = 4 2, cos φ = 7, d) sin φ = 1, cos φ = 0. Zad. 4.10 a) 14, D = ( 5, 5, 0), b) 9 9 8, D = (4, 1, 2), c) 2 106, D=(-5,-4,-1). Zad. 4.11 a) 2, b) 12, c) 15. Zad. 4.12 a) tak, b) nie, c) tak. Zad. 4.1 a) 55, b) 22. Zad. 4.14 a) tak, b) tak, c) nie. Zad. 4.15 a) 9, b) 2. Zad. 4.16 a) x y 2z = 0, b) x + z = 0, c) z = 0, d) y = 0. Zad. 4.17 a) x y z = 0, b) x 5y + 2z = 0, c) 2x + y 8 = 0. Zad. 4.18 a) 5x + y + 2z 15 = 0, b) x y z = 0, c) y = 0, d) x 1 = 0. Zad. 4.19 a) (, 0, 0), (0, 6, 0), (0, 0, 2), b) (0, 0, 0), c) (, 0, 0), (0, 6, 0), d) (, 0, 0), (0, 0, 2). Zad. 4.20 a) x 15y + 10z + 5 = 0, b) x 4y 2z 24 = 0, c) x 4z = 0. Zad. 4.21 a) k = 2, b) k = 1. Zad. 4.22 a) k = 1 19, b) nie ma takiego k. Zad. 4.2 a) d =, b) d =, c) d = 0. Zad. 4.24 a) 5 18 10 14x 25y + 1z 40 = 0, b) 4x + 7y + 2z 24 = 0, c) x + y 2z = 0, d) takich pªaszczyzn jest niesko«czenie wiele; ka»da pªaszczyzna postaci π : λ 1 (2x + 2y + z 2) + λ 2 (x y z 2) = 0, gdzie λ 1, λ 2 0. Zad. 4.25 a) 1x 49y z 114 = 0, b) 6x + z 17 = 0, c) x + y z = 0, d) takich pªaszczyzn jest niesko«czenie wiele; ka»da pªaszczyzna postaci π : λ 1 (x + y z ) + λ 2 (2x y z 8) = 0, gdzie λ 1, λ 2 0. Zad. 4.26 a) b) x = + t z = 2, c) x = z = 2 + t. Zad. 4.27 a) z = 2 t, b) z = 2 + t 4 z = 2 + t Aktualizacja: 16 listopada 2008 4,, c)
a) x = 2t 7t z = 2 + t x = 1 t y = 2 + 9t z = + 7t Zadania z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Zad. 4.28, b) x = + 2t + 2t z = 2 + 4t x = 1 + 41t y = 2 + 9t z = 12t, nie. Zad. 4.29 a). Zad. 4.1a) { x + 2y 5 = 0 4y + z 8 = 0. Zad. 4. a) brak (proste sko±ne), b) (1, 1, 2). x = 1 + 2t y = 2 t z = 4t x = t y = 5 t z = 5t, Zad. 4.0, x 1 2 = y 2 1 = z 4, Aktualizacja: 16 listopada 2008 5