Wszystkie warianty kursu. Lista zadań
|
|
- Eleonora Nowicka
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A Wszystkie warianty kursu Zadania z listy oznaczone gwiazdka ( ) sa nieco trudniejsze albo maja charakter teoretyczny Jednak nie wychodza one poza program kursu Odpowiedzi do zadań z listy można zweryfikować za pomoca programów komputerowych Istnieje wiele programów do obliczeń numerycznych i symbolicznych Programy te można wykorzystać np do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciagów i funkcji, wyznaczania całek i pochodnych, rozwiazywania równań algebraicznych i różniczkowych, badań statystycznych Polecamy stronę internetow a Wolfram Alpha oraz darmowe programy: Maxima, Microsoft Mathematics, Octave, R, Sage, Scilab, a także programy płatne: Derive, Mathematica, Matlab, Maple, Scientific WorkPalce Uzdolnionych studentów zachęcamy do udziału w egzaminach na ocenę celujac a z algebry i analizy Zadania z tych egzaminów można znaleźć na stronie internetowej Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Lista zadań Wyrażenia algebraiczne Indukcja matematyczna Studenci wydziałów W oraz W4 opracowuja ten materiałsamodzielnie Podać przykłady liczb rzeczywistych x, y, u, v oraz liczb naturalnych n, m, dla których nie zachodza podane równości: (x + y) = x + y ; b) x + y = x + y; c) sin (x + y) = sin x + sin y; d) tg x = tg x; e) x y + u v = x+u y+v ; Obliczyć lub uprościć wyrażenia: ; b) ; c) (a b 3 ) 4 (a 4 b ) 3 ; d) x y 4 z 3 x 3 y 5 z 3 ; e) 3 Obliczyć: 7 9 ; b) 3 0; c) f) (n + m)! = n! + m! y 3 x 5 x 5 y 7 ; f) 4 Podane wyrażenia zapisać w postaci potęgi : ; b) 34 ; c) 4 5 8; d) 3 ; e) 4 ; f) Wył aczyć czynnik spod znaku pierwiastka: ; b) ; c) 4 6; d) 3x 8 4 ; e) 3 6a 9 ; f) 4 4a 4 b 8 6 Wykonać wskazane działania: (u + v) (u v) ; b) [ ] a c) 3 b 3 (a + b) a b ( ) x +y x : (x y ) ; y ( a b + ) ; d) a c a +ac+c a 3 b 3 a b bc
2 7 Podane ułamki uwolnić od niewymierności w mianowniku: 3 ; b) 6 4 ; c) 5 3 ; d) 3 3+ ; e) 5 8 Wskazać większa z liczb wśród podanych par: 3 + 3, 4 7 ; b), 3 ; c) 9 0, 7 3 ; d) 7 3, 8 3; e) 38, Uprościć wyrażenia: x3 8 x 4 ; b) a3 +7b 3 a 5 +43b 5 ; c) x4 +x y +y 4 x 6 +y 6 ; d) x x ; 0 *Uzasadnić, że podane liczby sa niewymierne: 5; b) 3 ; c) log 3 d) cos π (a b)5 e) (b 3 Za pomoca indukcji matematycznej uzasadnić, że dla każdej liczby naturalnej n zachodza tożsamości: (n ) = n ; b) n(n+) = n ; n+ c) n = (3n ) ; [ ] d) n 3 = n(n+) Metoda indukcji matematycznej uzasadnić nierówności: n > n dla n 5; b) n n c) n! > n dla n 4; dla n N; d) ( + x) n + nx dla x oraz n N (nierówność Bernoulliego); e) n! < ( n ) n dla n 6 3 Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n liczba: n 5 n jest podzielna przez 5; b) 8 n + 6 jest podzielna przez 7 4 *Uzasadnić, że n prostych może podzielić płaszczyznę na maksymalnie n(n+) + obszarów Na ile obszarów płaszczyznę można podzielić n okręgami? 5 Zastosować wzór dwumianowy Newtona do wyrażeń: (x + y) 4 ; b) ( c ) 7 ; c) ( x + x 3 ) 5 ; d) ( u + 4 v) 8 6 *Korzystajac ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: n ( n n ( k) ; b) n k) k ; c) n ) ( ) k k=0 k=0 k=0 ( n k 7 W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia ( ) a a znaleźć współczynnik stojacy przy a 5 ; ( ) 4 7 b) W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia x5 3 x znaleźć współczynnik stojacy przy 3 4 x Geometria analityczna na płaszczyźnie Studenci wydziałów W oraz W4 opracowuja ten materiałsamodzielnie
3 8 Niech a = (, 4), b = (, 4) Wyznaczyć wektor u = 3 a b 9 Trójkat jest rozpięty na wektorach a, b Wyrazić środkowe tego trójkata przez wektory a, b 0 Niech r A, r B będa wektorami wodzacymi odpowiednio punktów A, B oraz niech punkt P dzieli odcinek AB w stosunku : 3 Znaleźć wektor wodzacy punktu P *Za pomoca rachunku wektorowego pokazać, że środki boków dowolnego czworokata sa wierzchołkami równoległoboku Wyznaczyć cosinus kata, jaki tworza wektory: u = (, ), v = (3, 5) ; b) u = (, ), v = (, 7) 3 Równoległobok jest rozpięty na wektorach a = ( 3, 4), b = (, ) Wyznaczyć kat ostry między przekatnymi równoległoboku 4 ( Długości wektorów a, b wynosza odpowiednio 3, 5 Znamy iloczyn skalarny a b = Obliczyć a ) ( b a + 3 ) b 5 Pokazać, że czworokat o wierzchołkach A = (0, 0), B = (5, ), C = (3, 7), D = (, 5) jest kwadratem 6 Wyznaczyć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = (, 3) i tworzy kat 0 o dodatnia częścia osi Ox z 7 Napisać równanie prostej przechodzacej przez punkty P = (, 3), P = ( 3, 7) 8 Znaleźć przecięcia prostej l : { x = 4 t, y = 6 + t, gdzie t R, z osiami układu współrzędnych Czy punkt P = (4, 7) należy do prostej? 9 Znaleźć punkt wspólny prostych: { x = t, k : y = 3 + t, gdzie t R, l : { x = t, y = 3 t, gdzie t R, 30 Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = (, ) i jest równoległa do prostej 3x y + = 0; b) prostopadła do prostej x + y = 0 3 Dla jakiej wartości parametru m, odległość punktów P = (, 0) i Q = (m + 3, ) jest równa 4? 3 Wyznaczyć odległość punktu P 0 = ( 4, ) od prostej l o równaniu 3x + 4y + = 0 33 Znaleźć odległość prostych równoległych l, l o równaniach odpowiednio x y = 0, 3x + 6y 5 = 0 34 Obliczyć wysokość trójkata o wierzchołkach A = (0, 0), B = (, 3), C = (, 5) opuszczona z wierzchołka C 35 *Znaleźć równania dwusiecznych katów wyznaczonych przez proste o równaniach 3x + 4y = 0, 4x 3y + 5 = 0 Krzywe stożkowe Studenci wydziałów W oraz W4 opracowuja ten materiałsamodzielnie 3
4 36 Napisać równanie okręgu, którego średnica jest odcinek o końcach A = (, 3), B = (5, 7) 37 Wyznaczyć współrzędne środka i promień okręgu x 4x + y + 6y + = 0 38 Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkacie ABC o wierzchołkach A = (0, 0), B = (8, 0), C = (0, 6) 39 Znaleźć równanie okręgu, który przechodzi przez punkty P = (3, 4), Q = (5, ) i ma środek na osi Ox 40 Wyznaczyć równanie okręgu, który jest styczny do obu osi układu współrzędnych oraz przechodzi przez punkt A = (5, 8) Ile rozwiazań ma zadanie? 4 Znaleźć równanie stycznej okręgu x + y = 5: w punkcie ( 3, 4); b) przechodzacej przez punkt ( 5, 0); c) równoległej do prostej x y 4 = 0; d) prostopadłej do prostej x + y = 0 4 Wyznaczyć osie, współrzędne ognisk oraz mimośród elipsy x 6 + y 9 = 43 Punkty F = ( 5, 0), F = (5, 0) sa ogniskami elipsy Znaleźć równanie tej elipsy, jeżeli widomo, że jednym z jej wierzchołków jest punkt W = (0, 3) 44 Naszkicować elipsę o równaniu 4x 8x + 9y + 36y + 4 = 0 45 Wyznaczyć osie, współrzędne ognisk oraz równania asymptot hiperboli 46 Narysować hiperbolę wraz z asymptotami: x 44 y 5 = (y + 5) (x ) 6 9 = ; b) 4x 5y + 8x = 0 47 Wyznaczyć współrzędne ogniska, wierzchołka oraz podać równanie kierownicy paraboli o równaniu: y = x; b) y = x + 6x 48 Napisać równanie paraboli, której: kierownica jest prosta y =, a punkt W = (, 6) - wierzchołkiem; b) kierownica jest prosta x =, a punkt W = (5, ) - wierzchołkiem 49 *Jakie krzywe przedstawiaj a równania: x y + 4 = 0; b) (x y) = ; c) x + y = xy? Macierze 4
5 50 Dla podanych par macierzy A, B wykonać (jeśli to jest możliwe) wskazane działania 3A B, AT, AB, BA, A : [ ] [ ] A =, B = ; 0 8 b) A = [ 3 ], B = [ 4 0 ] ; c) A = ] ; d) A = 4, B = Rozwiazać równanie macierzowe X = X Znaleźć niewiadome x, y, z spełniaj ace równanie [ ] [ ] T x + y = 3 0 y z 53 Podać przykłady macierzy kwadratowych A, B, które spełniaj a podane warunki: AB BA; b) AB = 0, ale A 0, B 0; c) A = 0, ale A 0 54 *Uzasadnić, że iloczyn: macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierza diagonalna; b) iloczyn macierzy trójkatnych dolnych tego samego stopnia jest macierza trójkatn a dolna 55 *Pokazać, że każda macierz kwadratowa można przedstawić jednoznacznie jako sumę macierzy symetrycznej ( A T = A ) i antysymetrycznej ( A T = A ) Napisać to przedstawienie dla macierzy 0 4 B = *Macierze kwadratowe A, B sa przemienne, tzn spełniaj a równość AB = BA Pokazać, tożsamości: (A B) (A + B) = A B ; b) (BA) = A B ; c) A B 3 = B 3 A 57 Dla podanych macierzy A obliczyć A n dla kilka poczatkowych liczb naturalnych n, następnie wysunać hipotezę o postaci tych potęg i uzasadnić ja za pomoca indukcji matematycznej: A = 0 0 ; b) A = 0 0 ; c*) A = *W zbiorze macierzy rzeczywistych znaleźć wszystkie rozwiazania podanych równań: [ ] [ ] [ ] X = ; b) X 0 9 = c) X 0 0 = 0 Wyznaczniki 5
6 59 Napisać rozwinięcia Laplace a podanych wyznaczników wg wskazanych kolumn lub wierszy (nie obliczać wyznaczników w otrzymanych rozwinięciach): , trzecia kolumna; b) , czwarty wiersz Obliczyć podane wyznaczniki: ; b) 3 4 ; c) Korzystajac z własności wyznaczników uzasadnić, że podane macierze sa osobliwe: ; b) ; c) Jakie sa możliwe wartości wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n spełniaj acej podane warunki: A 3 = 4A dla n = 3, 4; b) A T = A dla n = 3, 4? 63 Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy: ; b) ; c) Macierz odwrotna i układy równań liniowych 64 Korzystajac z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej wyznaczyć macierze odwrotne do podanych: A = [ ] ; b) A = 3 0 ; c) Korzystajac z metody doł aczonej macierzy jednostkowej znaleźć macierze odwrotne do podanych: ] [ A = 3 ; b) A = Znaleźć rozwiazania podanych równań macierzowych: [ ] [ ] X = ; b) X = ; 6 4 ; c) A =
7 c) X = 0 ; [ ] [ ] [ ] 3 8 d) X = Korzystajac ze wzorów Cramera wyznaczyć wskazana niewiadoma z podanych układów równań liniowych: { x y = 0, niewiadoma y; 3x + y = 5 x + y + z = b) x y + z = 4, niewiadoma x; 4x + y + 4z = c) b) x + 3y + z + 5t = x + y + 5z + t = x + y + 3z + t = 3 x + y + 3z + 4t = 3, niewiadoma z 68 Metoda eliminacji Gaussa rozwiazać podane układy równań: { x y = 0 3x + y = 5 ; c) x + y + z = x y + z = 4 4x + y + 4z = 3x y 5z + t = 3 x 3y + z + 5t = 3 x + y 4t = 3 x y 4z + 9t = ; 69 Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkty (, 4), (, 3) b) Znaleźć trójmian kwadratowy, który przechodzi przez punkty (, ), (0, ), (, 4) c) Wyznaczyć współczynniki a, b, c funkcji y = a x +b3 x +c4 x, która w punktach, 0, przyjmuje odpowiednio wartości 3,, 4 d) Funkcja y (x) = A cos x + B sin x spełnia równanie różniczkowe y 6y + 3y = 5 sin x Wyznaczyć współczynniki A, B 70 Dla jakich wartości parametru m, podany układ jednorodny ma niezerowe rozwiazanie mx + y + z = 0 x y + mz = 0 mx + y + 4z = 0 b) Dla jakich wartości parametrów a, b, c, d, podany układ równań liniowych jest sprzeczny x + y = a z + t = b? x + z = c y + t = d c) Znaleźć wszystkie wartości parametru p, dla których podany układ równań liniowych ma tylko jedno rozwiazanie x + y 3z = x py + z = 3 x + y pz = 5? 7
8 7 a*) Rozwiazać układ równań + 3 = x y z = 7 x y z 8 3 = 4 x y z b*) Znaleźć dodatnie rozwiazania układu równań Geometria analityczna w R 3 xy z 3 = x y 3 z 4 = 4 x yz = 7 Dla jakich wartości parametrów p, q wektory a = ( p, 3, ), b = (, 4 q, ) sa równoległe? b) Dla jakich wartości parametru s wektory p = (s,, s), q = (s,, ) sa prostopadłe? 73 Obliczyć iloczyn skalarny i wektorowy wektorów a = (,, 5), b = (, 3, ) 74 Znaleźć wersor, który jest prostopadły do wektorów u = (,, 0), v = (0,, ) 75 Wyznaczyć cosinus kata między wektorami p = (0, 3, 4), q = (,, ) 76 Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u = (,, 5), v = (0, 3, ) b) Obliczyć pole trójkata o wierzchołkach A = (0, 0, ), B = (3, 0, 0), C = (0, 5, 0) c) Obliczyć wysokość 77 Obliczyć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach: a = (,, 3), b = (0, 4, ), c = (, 0, ) b) Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach: A = (,, ), B = (,, 3), C = (0, 4, ), D = (,, ) 78 Znaleźć równania normalne i parametryczne płaszczyzny przechodzacej przez punkty: P = (,, 0), Q = (, 5, 7), R = (0, 0, ) 79 Płaszczyznę π : x + y z 3 = 0 zapisać w postaci parametrycznej x = + s + t, b) Płaszczyznę π : y = s t, przekształcić do postaci normalnej z = 3 + 3s t 80 Znaleźć równanie parametryczne i krawędziowe prostej: przechodzacej przez punkty A = ( 3, 4, ), B = (0,, ) b) przechodzacej przez punkt P = (3,, ) i przecinajacej prostopadle oś Oy { x + y 3 = 0 8 Prosta l : zapisać w postaci parametrycznej y + z = 0 b) Prosta l : x = 3, y = t, z = t zapisać w postaci krawędziowej 8 Wyznaczyć punkt przecięcia: prostej l : x = t, y = t, z = 3 + t oraz płaszczyzny π : 3x y z 5 = 0; b) płaszczyzn π : x + y z 5 = 0, π : x + y + = 0, π 3 : x + y + z = 0; c) prostych l : x = t, y =, z = 3 + t, l : x = s, y = 3 s, z = 5s 8
9 83 Obliczyć odległość: punktu P = (0,, ) od płaszczyzny π : 3x 4y + z = 0; b) płaszczyzn równoległych π : x y + z 3 = 0, π : x + 4y 4z + 8 = 0; c) punktu P = (, 5, ) od prostej l : x = t, y = t, z = 3 + t; d) prostych równoległych l : { x + y + z 3 = 0 x y z = 0, l : { x + y + z 3 = 0 x y z + 4 = 0 ; e) prostych skośnych l : x = t, y =, z = 3 + t, l : x = s, y = 3 s, z = 5s 84 Wyznaczyć rzut prostopadły punktu P = (,, 0) na: płaszczyznę π : x + y + 3z 5 = 0; b) prosta l : x = t, y = t, z = 3t 85 Obliczyć kat między: płaszczyznami π : x y + 3z = 0, π : x + y z + 5 = 0; { x + y + z 3 = 0 b) prosta l : i płaszczyzn a π : x + y = 0; x y z = 0 c) prostymi l : x = t, y = + t, z = 3, l : x = 0, y = s, z = + s Liczby zespolone 86 Obliczyć: ( 5i) + ( 3 + i ) ; b) (7 + 6i) (8 3i) ; c) (4 i) (3 + 4i) ; d) +i 6 5i ; e) i ; f) ( + i); g) ( 3i); h) (3 + 4i) ; i) [ ( + i) 3] 87 Porównuj ac części rzeczywiste i urojone obu stron podanych równań znaleźć ich rozwiazania: z = ( i)z; b) z + 4 = 0; c) ( + 3i) z + ( 5i) z = i 3; d*) z 3 = 88 Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniaj acych podane warunki: Re (z + ) = Im (z 4i) ; b) Re (z ) = 0; c) Im (z ) 8; d) Re ( z ) > Im (iz) 89 Uzasadnić tożsamości: z = z ; b) z z = z ; c) z n = z n, gdzie z C oraz n N 90 Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych: 3; b) 5 i; c) + i 5; d) 3+4i 4 3i ; e) ( + i) (i 3) ; f) ( + i)8 ; g) (sin 4α i cos 4α), gdzie α R; h) (ctg α + i), gdzie α nπ, n N 9 Korzystajac z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować zbiory liczb zespolonych spełniaj acych podane warunki: z + 3i < 4; b) z + 5i 3; c) z = + 5i z, d) z + 3i < z 4i ; e) iz + 5 i < + i ; f) > ; g) z +4 ; h) z + iz < 9 z 3i z 9 Wyznaczyć argumenty główne podanych liczb zespolonych (w razie potrzeby wykorzystać kalkulator): 55; b) π; c) i; d) 3 i; e) i; f) + i; g) + 3i; h) 3i 9 z i
10 93 Podane liczby zespolone przedstawić w postaci trygonometrycznej: ; b) 0 + 0i; c) + i 3 ; d) πi; e) 7 i 7; f) 3 i 7 94 Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniaj acych podane warunki: arg (z) = π; b) π 6 < arg (z i) π 3 ; c) π < arg (iz) < π; ) 3π d) arg ( z) = π; e) 0 < arg (z) π; f) 3π arg ( z 95 Korzystajac ze wzoru de Moivre a obliczyć: ( ( i) ; b) + i ) 8 ( ) 3 9 ( ; c) i ; d) 5 i 5 ) 0 96 Wyznaczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej elementy podanych pierwiastków: 4 6; b) 3 8i; c) 3 i; d) 6 97 W zbiorze liczb zespolonych rozwiazać podane równania: z z + 0 = 0; b) z + 3iz + 4 = 0; c) z 4 + 5z + 4 = 0; d) z + ( 3i) z i = 0; e) z 6 = ( i) 6 ; f) (z i) 4 = (z + ) 4 Wielomiany 98 Dla podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych obliczyć 3P Q, P Q, P : P (x) = x 3x +, Q (x) = x 4 ; b) P (z) = z + 4i, Q (z) = z 3 + ( i) z Obliczyć iloraz wielomianu P przez Q oraz podać resztę z tego dzielenia, jeżeli: P (x) = x 4 3x 3 x + x 5, Q (x) = x 3 x + 5; b) P (x) = x 4 + x + 6, Q (x) = x 3x + 4; c) P (z) = z 3 + iz +, Q (z) = z i 00 Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów: x 3 + 3x 4; b) x 4 x 3 + x 8x ; c) x 4 x 0 Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów: 6x 3 5x x + ; b) 3x 3 x + 3x ; c) 6x 4 + 7x + 0 Wyznaczyć pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotnościami podanych wielomianów: (x ) (x + ) 3 ; b) (x + 6) ( 4x) 5, c) (z ) (z + ) 3 (z + 9) 4 03 Nie wykonujac dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli: P (x) = x 8 + 3x 5 + x + 4, Q (x) = x ; b) P (x) = x x + 008, Q (x) = x + ; c) P (x) = x 99 x x 97, Q (x) = x 4 6 d*) P (x) = x x 00, Q (x) = x 4 + ; e*) P (x) = x x + x, Q (x) = (x + ) 04 Pokazać, że jeżeli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P, to liczba z także jest pierwiastkiem wielomianu P Korzystajac z tego faktu znaleźć pozostałe pierwiastki zespolone wielomianu P (x) = x 4 4x 3 +x 6x+5 wiedzac, że jednym z nich jest x = +i 0
11 05 Podane wielomiany rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste: x 3 7; b) x 4 + 6; c) x 4 + x + 4; d*) x Podane funkcje wymierne rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste: x+5 x+9 3x ; b) ; c) +4x+3 ; x x x(x+3) x 3 x +4x 4 Przestrzeń liniowa Tylko dla studentów wydziałów W oraz W4 d) x3 x 7x+6 x 4 +0x Niech a = (,,, 3), b = (5, 4,, 0) będa wektorami w przestrzeni liniowej R 4 Wyznaczyć wektory x oraz y, jeżeli: x = a b; b) a x = b + x; { x y = a, c) 3 x + y = b 08 Sprawdzić, czy podane zbiory sa podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni R n : A = { (x, y) R : xy 0 }, R ; b) B = { (x, y, z) R 3 : x + y z = 0 }, R 3 ; c) C = { (x, x, x 3, x 4 ) R 4 : x = x = 3x 3 = 4x 4 }, R 4 ; d) D = { (x, x, x 3, x 4, x 5 ) R 5 : x = 0, x = x 3, x 5 = 0 }, R 5 ; e) E = { (x, y, z) R 3 : x y = 0, y 3z = 0, z 4x = 0 }, R 3 09 We wskazanej przestrzeni liniowej zbadać liniowa niezależność podanych układów wektorów: R 3, a = (, 3, 0), a = (, 0, ), a 3 = (0,, 4) ; b) R 3, b = (,, 3), b = (3,, ), b 3 = (,, ) ; c) R 4, c = (, 0, 0, 0), c = (,, 0, 0), c 3 = (,,, 0), c 4 = (,,, ) ; d) R 5, d = (,, 3, 4, 5), d = (5, 4, 3,, ), d3 = (, 0,, 0, ) ; e) R n, e = (, 0, 0,, 0), e = (0,, 0,, 0), e 3 = (0, 0, 3,, 0),, e n = (0, 0, 0,, n) 0 Pokazać, że jeżeli wektory a, b, c sa liniowo niezależne w przestrzeni liniowej R n, to wektory a, a+ b, b 5 c także sa liniowo niezależne Czy wektory a b, b c, c a sa liniowo niezależne? b) Wektory u, v, w sa liniowo zależne w przestrzeni liniowej R n Czy wektory u v, u, w v także sa liniowo zależne? c) Wektory a, a + b, a + b + c sa liniowo niezależne w przestrzeni liniowej R n Pokazać, że wektory a, b, c sa także liniowo niezależne Pokazać, że układ wektorów w przestrzeni liniowej R n, który zawiera: wektor zerowy, b) dwa jednakowe wektory, c) wektory a, b oraz a b, jest liniowo zależny
12 Podać interpretację geometryczna podanych zbiorów we wskazanej przestrzeni: lin{(, 3)} w R ; b) lin{(, 0, 0), (,, 0), (,, )} w R 3 ; c) lin{(,, ), (4,, ), (, 3, 5)} w R 3 ; d*) lin{(,, 0, 0), (0, 0,, ), (, 0,, 0), (0,, 0, )} w R 4 ; e*) lin { (, 0, 0,, 0), (0,, 0,, ), (0, 0,,, 0),, ( 0, 0, 0,, ( ) n+)} w R n 3 *Czy w przestrzeni R 4 zachodzi równość lin {(,, 3, 5), (, 3, 4, 6), (, 4,, )} = lin {(0, 0, 3, 4), (, 5, 0, 0), (,,, )}? Baza i wymiar przestrzeni Tylko dla studentów wydziałów W oraz W4 4 Zbadać, czy podane układy wektorów sa bazami wskazanych przestrzeni liniowych R n : {(,, 0), (, 0, 3), (0,, 3)}, R 3 ; b) {(, 0, 0, 0), (,, 0, 0), (,,, 0), (,,, )}, R 4 ; c) {(,, 0, ), (, 0, 3, 0), (0,, 3, 0), (0, 0, 0, )}, R 4 ; d) {(,, 0, 0, 0), (0,,, 0, 0), (0, 0, 3, 3, 0), (0, 0, 0, 4, 4)}, R 5 ; e) {(0,, 0,, 0), (, 0,, 0, ), (0, 0, 0,, ), (,,,, ), (,,,, )}, R 5 5 Podane układy wektorów uzupełnić do baz wskazanych przestrzeni: {(,, 4), (, 0, )}, R 3 ; b) {(,, 3, 4), (, 0, 0, ), (0,, 0, 0)}, R 4 ; c) {(0,, 0, ), (4,,, 3)}, R 4 ; d) {(,, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 3, 3), (0,,, 0, 0)}, R 5 ; e) {(, 0, 0, 0, ), (0, 0, 0, 0, 4), (0,,, 0, 0), (0, 0, 0,, )}, R 5 6 Pokazać, że jeżeli wektory b, b, b 3, b 4 tworza bazę przestrzeni R 4, to wektory także tworza bazę tej przestrzeni u = b + b, u = b + b 3, u 3 = b + b 4, u 4 = b 3 + b 4 7 Znaleźć bazy i wymiary podanych podprzestrzeni: A = { (x, y, z) R 3 : 3x + y z = 0 } ; b) B = { (x, y, z, t) R 4 : x = y = t } ; c) C = { (u, v, x, y, z) R 5 : u + v = 0, x + y + x = 0 } ; d) D = { (u, v, w, x, y, z) R 6 : u + v = 0, x + y + z = 0, x u + y v + z = 0 } 8 Wyznaczyć współrzędne podanych wektorów we wskazanych bazach: a = (, 3), B = {(, ), (0, )} R ; b) b = (,, 3), B = {(,, ), (,, 0), (3, 0, 0)} R 3 ; c) c = (, 0,, 0), B = {(, 0,, 0), (0,, 0, ), (, 0,, 0), (,, 3, 4)} R 4 ; d) d = (5, 4, 3,, ),
13 B = {(,,,, ), (,,,, 0), (,,, 0, 0), (,, 0, 0, 0), (, 0, 0, 0, 0)} R 5 Przekształcenia liniowe Tylko dla studentów wydziałów W oraz W4 9 Zbadać, czy podane przekształcenia sa liniowe: F : R R, F (x, x ) = x 3x ; b) F : R R, F (x, y) = ( x + y, x y ) ; c) F : R 3 R 3, F (x, y, z) = ( x, 5x + y, y z) ; d) F : R R 4, F (x) = (0, x, 0, 3x) ; e) F : R 4 R, F (x, x, x 3, x 4 ) = (x x, x 3 x 4 ) ; f) F : R 3 R 5, F (u, v, w) = (u, 4v, u + v, w, u 3w) 0 Korzystajac z interpretacji geometrycznej przekształceń liniowych znaleźć ich jadra i obrazy: L : R R, obrót o kat α = π wokółpocz atku układu 3 b) L : R R, rzut prostokatny na prosta x + y = 0 c) L : R 3 R 3, symetria względem płaszczyzny y = z d) L : R 3 R 3, obrót wokółosi Oy o kat π Wyznaczyć jadra i obrazy podanych przekształceń liniowych: F : R R, F (x, x ) = x 3x ; b) F : R R, F (x, y) = (x + y, x + y) ; c) F : R 3 R 3, F (x, y, z) = ( x, 5x + y, y z) ; d) F : R R 4, F (x) = (0, x, 0, x) Znaleźć macierze podanych przekształceń liniowych F : R n R m we wskazanych bazach B oraz B odpowiednio przestrzeni R n oraz R m : F (x, y) = (x, y, x y), B = {(, 0), (, )}, B = {(, 0, 0), (0,, 0), (,, )} ; b) F (x, y) = (y, 0, x, 0), B = {(, ), (0, )}, B = {(, 0, 0, 0), (,, 0, 0), (,,, 0), (,,, )} ; c) F (x, y, z) = x + y 3z, B = {(, 0, ), (0,, ), (0, 0, )}, B -standardowa; d) F (x, y, z, t) = (x + y + z + t, y t, z x), B -standardowa, B -standardowa 3 Uzasadnić, że obrót na płaszczyźnie R wokółpoczatku układu współrzędnych o kat ϕ jest przekształceniem liniowym Znaleźć macierz tego obrotu w bazach standardowych b) Pokazać, że symetria wzlędem osi Oz w przestrzeni R 3 jest przekształceniem liniowym Znaleźć macierz tej symetrii w bazach standardowych Wartości i wektory własne macierzy Tylko dla studentów wydziałów W oraz W4 3
14 4 Korzystajac z definicji wyznaczyć wektory i wartości własne podanych przekształceń liniowych: symetria względm osi Ox w przestrzeni R ; b) obrót wokółosi Oy o kat π w przestrzeni 6 R3 ; c) symetria względem płaszczyny xoz w przestrzeni R 3 ; d) rzut prostokatny na oś Oz w przestrzeni R 3 5 Wyznaczyć wektory i wartości własne podanych macierzy: [ ] 4 5 A = ; b) B = ; c) C = ; d) D = Sprawdzić, że podane macierze spełniaj a swoje równania charakterystyczne: [ ] 0 0 A = ; b) B = Iloczyn skalarny Normy wektorów i macierzy Tylko dla studentów wydziałów W oraz W4 7 Obliczyć iloczyny skalarne podanych par wektorów w przestrzeni euklidesowej R n : a = (,, 5), b = (3, 4, ) w R 3 ; b) u = (0,, 3,, 5), v = (,, 3, 4, ) w R 5 8 Obliczyć katy między podanymi wektorami w przestrzeni euklidesowej R n : x = (, 5), y = (3, 4) w R ; b) p = (0,, 0,, 0), q = (, 0, 3, 0, ) w R 4 9 Dla jakich wartości parametru p, wektory a = (p,, p, ), b = (p, p,, 9) sa prostopadłe w przestrzeni euklidesowej R 4? 30 Sprawdzić, że podane układy wektorów tworza bazy ortogonalne we wskazanych przestrzeniach euklidesowych R n : e = (, 3, ), e = (,, 5), e 3 = (6, 7, 5), R 3 ; b) e = (,,, 3), e = (, 3,, 4), e 3 = (,,, 0), e 4 = (5,, 6, ), R 4 3 Wyznaczyć współrzędne podanych wektorów we wskazanych bazach ortogonalnych przestrzeni euklidesowych R n : a = (0, ), B = {(3, 4), (4, 3)} R ; b) b = (, 5, 4), B = {(,, ), (0,, ), (,, )} R 3 ; c) c = (0,, 0, ), B = {(, 0, 0, 0), (0,,, ), (0,, 0, ), (0,,, )} R 4 ; 4
15 3 W przestrzeni R n wprowadzamy następujace normy wektora x = (x, x,, x n ) : x = n i= (x i ) (norma euklidesow, x = max in a i, x = Obliczyć każda z tych norm podanych wektorów: x = ( 3, 4) R ; b) x = (,,, ) R 4 33 Wprowadzamy następujace normy macierzy kwadratowej A = [a ij ] stopnia n : n A F = i= A = max in n j= n j= Obliczyć każda z tych norm podanych macierzy: [ ] 0 A = ; b) A = (a ij ) (norma Frobenius, A = max jn a ij, A = max i,jn a ij, A 3 = *Które z powyższych norm macierzy sa indukowane przez normy wektorów? n i= n x i i= n a ij, i= n a ij j= 5
ALGEBRA LINIOWA 1. Lista zadań
ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A ALGEBRA LINIOWA Wszystkie warianty kursu Lista zdań obejmuje cały materiałkursu oraz określa przybliżony stopień trudności zadań, które pojawia się na kolokwiach i egzaminach
Bardziej szczegółowoKurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowoOpracowa : Zbigniew Skoczylas. Studenci wydzia ów W2, W4 oraz W7 opracowuja ¾ten materia samodzielnie. x 3 y 5 z 3 : 2x : (x 2 y 2 ) ; ; e) : 2+1
Algebra z geometri a analityczn a A - MAP 1140 Algebra z geometri a analityczn a B - MAP 1141 Lista zadań na rok akademicki 009/010 Opracowa Zbigniew Skoczylas Wyra zenia algebraiczne. Indukcja matematyczna
Bardziej szczegółowoKURS GEOMETRIA ANALITYCZNA
KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 1 Działania na wektorach bez układu współrzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3
Bardziej szczegółowoMatematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D
Bardziej szczegółowoKLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6
KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoK P K P R K P R D K P R D W
KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoZadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3
Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Równanie x2 3x+2 = 0 ma: x 2 4 A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki ZADANIE 2 (1 PKT) Liczba b jest 3 razy większa od liczby a. Wtedy
Bardziej szczegółowoMatematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II
Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II 1.Uzupełnienie treści ujętych w działach klasy I. 1.Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną
Bardziej szczegółowo'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu
Bardziej szczegółowoRozkład materiału klasa 1BW
Rozkład materiału klasa BW wg podręcznika Matematyka kl. wyd. Nowa Era 2h x 38 tyg. = 76h lekcyjnych LICZBYRZECZYWISTE (7 godz.). Zapoznanie z programem nauczania, wymaganiami edukacyjnymi, zasadami BHP
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIANY Z MATEMATYKI
SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych
PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny klasa 4
Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest w stanie zrozumieć
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki kl.i
I Matematyka klasa I - wymagania programowe DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej (K) rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne (K) umie porównywać
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.
Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoCzas pracy 170 minut
ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI
MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM
Matematyka z plusem dla gimnazjum WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (dp.) P - podstawowy ocena dostateczna (dst.)
Bardziej szczegółowoc ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,
3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.
2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze
Bardziej szczegółowoKOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk
KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: definiuje notację
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny
Bardziej szczegółowoArkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.
pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoOdpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem
Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz Zadania zamknięte Numer zadania Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania B W ( ) + 8 ( ) 8 W ( 7) ( 7) ( 7 ) 8 ( 7) ( 8) 8 ( 8) Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone C := R 2.
C := R 2. R 2 (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a (1, 0) + b (0, 1). R C, R x (x, 0) C. i := (0, 1), 1 = (1, 0) (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi. R 2 (a, b) = z = a + bi C. a- część rzeczywista liczby zespolonej
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoDział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne. Wielokąty i okręgi
Dział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne Wielokąty i okręgi zna twierdzenie Pitagorasa rozumie potrzebę stosowania twierdzenia Pitagorasa umie obliczyć
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES I. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie notacji wykładniczej. 2. Zna sposób
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
Bardziej szczegółowoMatematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej
1 ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia DKW-4015-37/01. Liczba godzin nauki w tygodniu:
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoKRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY
KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA I LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoCzas pracy 170 minut
ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 4 do PSO z matematyki
Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki na poziomie rozszerzonym Charakterystyka wymagań na poszczególne oceny: Wymagania na ocenę dopuszczającą dotyczą
Bardziej szczegółowoPAKIET MathCad - Część III
Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2013 WPISUJE ZDAJ CY KOD PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,
Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejk z kodem
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowonie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?
Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda
Bardziej szczegółowoNUMER IDENTYFIKATORA:
Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowoMatematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY II
1 ZAŁOśENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II (zakres podstawowy z rozszerzeniem) Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia DKW-4015-37/01. Liczba godzin nauki
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ 0 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do 5. sà podane 4 odpowiedzi:
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2013/2014
WMG DUKCJ Z MTMTK W KLS TRZCJ GMZJUM WG PROGRMU MTMTK Z PLUSM w roku szkolnym 2013/2014 L C Z B OC DOPUSZCZJĄC DOSTTCZ DOBR BRDZO DOBR CLUJĄC zna pojęcie liczby naturalnej, zna pojęcie notacji wykładniczej
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013
Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: wojewódzki 4 marca 2013 r. 120 minut Informacje dla
Bardziej szczegółowoARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I TM w roku szkolnym 2012/2013
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I TM w roku szkolnym 2012/2013 Uczeń otrzymuje ocenę celującą, gdy: a) w 100% opanował treści zawarte w programie nauczania. Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą,
Bardziej szczegółowo1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych.
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych LICEUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B Zadanie. (pkt) Rozwiąż
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE W ROKU SZKOLNYM 2014 /2015
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2014 /2015 Wymagania edukacyjne dostosowane są do programu MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoMatematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia
Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI
ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Styczeń 2013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. W zadaniach od 1. do 25. są
Bardziej szczegółowoZadania. SiOD Cwiczenie 1 ;
1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A
Bardziej szczegółowoZagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr
Zagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr I. Wyrażenia wymierne: funkcja wymierna - Dziedzina wyrażenia wymiernego. - Skarcenie
Bardziej szczegółowoDZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) TEMAT ZAJĘĆ CELE PODSTAWOWE CELE PONADPODSTAWOWE 1. Lekcja organizacyjna. Uczeń:
DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) TEMAT ZAJĘĆ CELE PODSTAWOWE CELE PONADPODSTAWOWE 1. Lekcja organizacyjna. Uczeń: Uczeń: zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI
WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI obowiązujące od roku 2015/16 I. Kryteria oceny semestralnej i końcowej dla klasy czwartej. 1. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń,
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Funkcja jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f x jest przedział
Zadanie. Na początku roku akademickiego mężczyźni stanowili 40% wszystkich studentów. Na koniec roku liczba wszystkich studentów zmalała o 0% i wówczas okazało się, że mężczyźni stanowią % wszystkich studentów.
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014
Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 8 stycznia 2014 r. 120 minut Informacje dla
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA. Zadania maturalne poziom rozszerzony.
MATEMATYKA Zadania maturalne poziom rozszerzony I Liczby, zbiory, wartość bezwzględna b Porównaj liczby a oraz Rozw: b a b a [MRI009/pkt] 8 a, b 7 9 a b, gdzie 69, : cos0 5 6 Uzasadnij, że 6 8 [MR/pkt]
Bardziej szczegółowoMatematyka dla liceum/funkcja liniowa
Matematyka dla liceum/funkcja liniowa 1 Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Funkcja liniowa Wstęp Co zawiera dział Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-061 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoPLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH
PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM I PODRĘCZNIKA O NR DOP. 168/1/2015/z1
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY
MATEMATYKA Poziom wyższy TEST DYDAKTYCZNY Maksymalna ilość punktów: 50 Próg zaliczenia: 33 % 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań Test dydaktyczny zawiera 23 zadania. Czas pracy oznaczono w kartach
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z
Uk ad graficzny CKE 010 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przekształcenia liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się
Bardziej szczegółowo