2 Statyka. F sin α + R B = 1 1 n ( 1. Rys. 1. mg 2

Transkrypt

1 1 Moment p du Zad. 1.1 Cz stka o masie m = 5 kg znajduj c si w poªo»eniu r = 3i + j + k [m] ma pr dko± v = i [m/s]. Obliczy wektor momentu p du L cz stki wzgl dem pocz tku ukªadu wspóªprzednych, wzgl dm punktu o wspóªrz dnych r 1 = 3i, r = j, r 3 = k [m]. Zad. 1. Cz stka o masie m = 5 g porusza si ze staª pr dko±ci v = 5 cm s 1 równolegle do osi y w kierunku dodatnim. W chwili t = 0 cz stka przecina o± x w poªo»eniu x 0 = cm. Znale¹ L oraz N wzgl dem pocz tku ukªadu wspóªrz dnych oraz punktów r 1 = i i r = i (poªo»enie w cm). Odp. L 0 = 50 k, L 1 = 100 k, L = 0 [g cm s 1 ], N = 0 w ka»dym przypadku. Zad. 1.3 Pod wpªywem momentu siªy N cz stka o masie m = 10 g porusza si ze staªym przyspieszeniem a = 4 cm s po linii prostej równolegªej do osi x w kierunku dodatnim. W chwili t = 0 cz stka przecina o± y w poªo»eniu y 0 = cm. Znale¹ zale»no± L oraz N wzgl dem pocz tku ukªadu wspóªrz dnych. Odp. L = 80 k [g cm s 1 ], N = 80 k [g cm s ]. Zad. 1.4 Cz stka o masie m zostaªa wystrzelona z dziaªka pod k tem α do poziomu z pr dko±ci pocz tkow v 0. Jak zmienia si warto± momentu p du cz stki wzgl dem dziaªka? Odp. L = 1/mgv 0 t cos α. Zad. 1.5 Poªo»enie cz stki o masie m opisuje wektor wodz cy r(t) = R(cos ωt i + sin ωt j), gdzie poªo»enie mierzone jest w metrach, czas w sekundach. Jakie jest znaczenie zyczne wielko±ci ω. Obliczy moment p du L cz stki wzgl dem pocz tku ukªadu wspóªrz dnych oraz moment siªy. Odp. L = R ω k, N = 0. Zad. 1.6 Cz stka o masie m porusza si po okr gu z przyspieszeniem k towym α. Je»eli pocz tek ukªadu wspóªrz dnych umie±cimy w ±rodku okr gu, poªo»enie cz stki opisuje wektor wodz cy ( ( ) ( ) ) αt αt r(t) = R cos i + sin j, gdzie R jest promieniem okr gu. Obliczy wspóªrz dne wektora momentu p du L wzgl dem pocz tku ukªadu wspóªrz dnych oraz wektor momentu siªy wywieranego na cz stk wzgl dem pocz tku ukªadu wspóªrz dnych. Odp. L = R αt k, N = R α k. 1

2 Statyka Zad..1 Niewa»ki pr t o dªugo±ci l = 30 cm osadzono na podporze, która znajduje si w odlegªo±ci 10 cm od jednego z jego ko«ców. Pr t posiada trzy zaczepy, dwa na ko«cach oraz jeden w odlegªo±ci 10 cm od punktu podparcia. Czy mo»emy rozmie±ci trzy jednakowe ci»arki o masie m = 10 g na zaczepach w taki sposób, by ukªad pozostawaª w równowadze? Czy zagadnienie ma tylko jedno rozwi zanie? Zad.. Niewa»ki pr t z poprzedniego zadania zast pujemy pr tem o masie M = 100 g. Jak minimaln ilo± ci»arków nale»y zaczepi na ko«cach pr ta, by zapewni jego równowag? Zad..3 W jednej trzeciej dªugo±ci jednorodnej belki o masie m i dªugo±ci l umieszczono podpor. Na dªu»szym ko«cu belki zawieszono mase m. Jak mas nale»y zawiesi na krótszym ko«cu, by ukªad pozostawaª w równowadze. Jaka jest warto± siªy nacisku belki na podpor? Odp. 5/m. Zad..4 Do niewa»kiej belki (rys. 1a) przytwierdzono trzy ci»ary Q 1 = 30 N, Q = 15 N i Q 3 = 5 N. W jakiej odlegªo±ci x od masy Q 1 nale»y umie±ci podpor, by ukªad pozostawaª w równowadze? Jaka jest warto± siªy reakcji R podpory na belk? Dªugo± belki l = m. Odlegªo± pomi dzy punktami zaczepienia ci»arów l 1 = l = 1 m. Rys. 1 Zad..5 Na rys. 1b przedstawiono jednorodny pr t o dªugo±ci l i masie m, który w punkcie A poª czony jest przegubowo z podªo»em, za± w punkcie B jest podparty. W punkcie C odlegªym o l/n przyªo»ono pod k tem α siª o warto±ci F. Wyzanczy siªy reakcji podªo»a w punktach A i B. Odp. Siªa reakcji w punkcie A ma skªadowe wzdªu» osi x i y, natomiast w punkcie B (punkt podparcia) jedynie skªadow y. St d R A = F cos α i + [( ) ] R B = 1 1 n F sin α + mg j. ( 1 n F sin α + mg ) j

3 Zad..6 Na rys. a przedstawiono sposób, w jaki maj by zawieszone na linie dwie kule o ró»nych masach. Ile powinna wynosi masa m 1 kuli pierwszej, by przy ustalonej warto±ci masy m k ty, jakie tworz liny ze sªupami wynosiªy α 1, α. Odp. m 1 = m tgα /tgα 1. Zad..7 Na ko«cach niewwa»kiej nici przeci gni tej przez dwa niewa»kie bloczki zaczepiono dwie jednakowe masy m. Obliczy k t α, jaki utworz ze sob nici po doczepieniu do nich pomi dzy bloczkami trzeciej masy m (rys. b). Odp. α = 3π/. Rys. Zad..8 Jednorodna kula o masie m i promieniu r wisi na lince, która zostaªa zaczepiona na gªadkiej pionowej ±cianie w odlegªo±ci l powy»ej punktu styku kuli i ±ciany (rys. c). Obliczy warto± napr» nia T linki oraz nacisk R kulki na scian. Odp. T = mg(1 + r /l ),R = mgr/l. 3

4 3 Dynamika bryªy sztywnej Zad. 3.1 Obliczy ±rodek masy oraz moment bezwªadno±ci wzg dem trzech osi ukªadu wspóªrz dnych ukªadu trzech punktów materialnych m A = 6 kg, m = kg, m 3 = 4 kg o wspóªrz dnych r A = (3, ), r B = (4, 4), r C = (, 7). Odp. Rśm = (3/, 16/6). Zad. 3. Obliczy moment bezwªadno±ci ukªadu czterech mas punktowych le» cych na pªaszczy¹nie xy prostok tnego ukªadu wspóªrz dnych wzgl dem osi obrotu pokrywaj cej si z osi z. Dwie pierwsze masy m 1 = m = 9 kg znajduj si w odlegªo±cir 1 = r = 1 m od osi obrotu, dwie pozostaªe m 3 = m 4 = 4 kg w odlegªo±ci r 3 = r 4 = m (rys. ). Ile wynosi moment p du oraz energia kinetyczna ruchu obrotowego, je»eli ukªad obraca si z pr dko±ci k tow ω = 5 s 1 wokóª osi z? Rys. 3 Zad. 3.3 Obliczy wspóªrz dne ±rodka masy poªówki tarczy o masie m i promieniu R oraz staªej g sto±ci powierzchniowej ρ umieszczonej w pªaszczy¹nie xy nad osi Ox. Obliczy ( moment ) bezwªadno±ci wzgl dem osi Oz, prostopadªej do powierzchni tarczy. Odp. Rśm =, I = MR. 0, 4R 3π Zad. 3.4 Obliczy moment bezwªadno±ci prostok ta o bokach a i b wzgledem boku a, przyjmuj c staª g sto± powierzchniow. Zad. 3.5 Obliczy moment bezwªadno±ci jednorodnego cienkiego pr ta o dªugó±ci l wzgl dem prostopadªej osi przechodz cej przez ±rodek pr ta oraz przez jeden z jego ko«ców. Zad. 3.6 Obliczy moment bezwªadno±ci jednorodnej kuli oraz jednorodnej sfery o masie M oraz promieniu R wzgl dem osi przechodz cej przez jej ±rodek. Odp. I kuli = 5 MR, I sfery = 3 MR. Zad. 3.7 Obliczy moment bezwªadno±ci jednorodnego walca o masie M i promieniu R wzgledem osi pokrywaj cej si z osi walca. 4

5 Zad. 3.8 Obliczy moment bezwªadno±ci jednorodnego koªa o promieniu R wzgl dem osi prostopadªej do powierzchni koªa i przechodz cej przez kraw d¹ koªa. Zad. 3.9 Obliczy moment bezwªadno±ci jendorodnego sto»ka o masie M wysoko±ci H oraz promieniu podstawy R wzgl dem osi pokrywaj cej si z osi sto»ka. Odp. I = 3 10 MR. Zad Przez jednorodny bloczek w ksztaªcie walca o masie M i promieniu R przewieszone zostaªy na niewa»kiej i nierozci gliwej nici dwa ci»arki o masach m 1 oraz m. Obliczy przyspieszenie a ci»arków oraz napr»enia nici T 1 oraz T. Odp. a = m m 1 M T 1 = M+4m M+m 1 +m m 1 g, T = M+4m 1 M+m 1 +m m g. +m 1+m, Zad Na bloczek o momencie bezwªadno±ci I i promieniu R nawini ta jest ni, na ko«cu której zawieszony jest cie»arek o masie m. Obliczy przyspieszenie a ci»arka oraz napr»enie nici T. Ile wynosi pr dko± k towa ω bloczka w momencie, kiedy odwin ªo si l dªugo±ci nici? Odp. a = mr mr +I g, T = mgi mr +I, ω = mgl mr +I. Zad. 3.1 Do osi jednorodnego koªa o masie M oraz promieniu R stoj cego na poziomej powierzchni przyªo»ona jest poziomo siªa F. Obliczy przyspieszenie k towe α koªa oraz przyspieszenie liniowe a osi koªa. Jakie uzyskamy przyspieszenie je»eli jednorodne koªo zast pimy obr cz o tej samej masie? Jakiej maksymalnej siªy mo»emy u»y, by koªo przemieszczaªo si bez po±lizgu, je»eli wspóªczynnik tarcia statyczengo wynosi µ. Odp. α = F 3MR, a = F 3M, F max = 3µMg. Zad Cienki pr t o masie M i dªugo±ci L przytwierdzony na jednym z ko«ców do poziomej osi obrotu odchylany jest do poziomu i swobodnie puszczany. Obliczy przyspieszenie liniowe swobodnego ko«ca pr ta w chwili jego zwolnienia. Odp. a = 3 g. Zad Po równi pochyªej o k cie nachylenia θ stacza si walec o promieniu R i masie M. Obliczy pr dko± liniowa υ walca u podnó»a równi, je»eli dªugo± równi wynosi d. Jaka b dzie pr dko± jednorodnej obr czy, kuli oraz sfery o promieniu R i masie M? Odp. υ walca = 4 3dg sin θ. Zad Na brzegach walca o promieniu R oraz masie M nawini te zostaªy dwie nitki, których drugie ko«ce przytwierdzone zostaªy do sutu. Linki znajduj si w poªo»eniu niemal pionowym i utrzymuj walec w pozycji poziomej. Obliczy przyspieszenie liniowe a walca oraz napr»enie T nici. Odp. a = 3 g, T = 1 3 Mg. Zad Na brzegu nieruchomej tarczy o promieniu R i masie M, która osadzona jest na sztywnej osi, stoi czªowiek o masie m. W pewnym momencie czªowiek zaczyna porusza si wzdªu» brzegu tarczy z pr dko±ci liniow v liczon wzgl dem tarczy. Obliczy pr dko± k tow tarczy wzgl dem Ziemi. Odp. ω t = mrv (M+m)R. Zad Dwie tarcze o momentach bezwªadno±ci I 1 oraz I wiruj ce z pr dko±ciami k towymi ω 1 oraz ω umieszczone s jedna nad drug. W pewnym momencie górna tarcza upada na doln i po pewnym czasie obie tarcze obracaj si razem. Obliczy pr dko± k tow tarcz po poª czeniu oraz ciepªo jakie si wydzieliªo w wyniku dziaªania siª tarcia pomi dzy tarczami. Odp. ω = I 1 ω 1 +I ω I 1 +I, Q = I 1I (ω 1 ω ) (I 1 +I ). 5

6 Zad Na stoliku obrotowym stoi czªowiek trzymaj cy koªo rowerowe o momencie bezwªadno±ci I 0, które obraca si z predko±ci k tow ω 0. Zakªadaj c,»e moment bezwªadno±ci czªowieka i stolika jest znany i wynosi I, obliczy pr dko± k tow ω 1 czªowieka i stolika po obróceniu koªa o 180 oraz pr dko± k tow ω czªowieka i stolika po zatrzymaniu koªa przez czªowieka. Odp. ω 1 = I 0 ω 0 /I, ω = I 0 ω 0 /I. Zad Jednorodny pr t o masie M i dªugo±ci l osadzony jest na sztywnej osi prostopadªej do pr ta i przechodz cej przez jego ±rodek. W jeden z ko«ców pr ta wbija si pocisk o masie m, który nadleciaª z pr dko±ci v. Wektor pr dko±ci pocisku przed uderzeniem byª zorientowany prostopadle do pr ta i osi obrotu. Znale¹ pr dko± k tow ω pr ta po uderzeniu pocisku. Odp. ω = 6mv l(m+3m). Zad. 3.0 W jeden z ko«ców dryfuj cego w przestrzeni kosmicznej pr ta o dªugo±ci l i masie m traa pod k tem prostym plasyczny pocisk o takiej samej masie m, który po zderzeniu przykleja si do pr ta. Pr dko± pocisku przed zderzeniem w ukªadzie zwi zanym z dryfuj cym pr tem wynosiªa v 1. Obliczy pr dko± liniow v sklejonego pr tu i pocisku oraz ich pr dko± k tow ω. Rozmiary pocisku uzna za zaniedbywalne w porównaniu z rozmiarami pr ta. Obliczenia wykona w ukªadzie zwi zanym z dryfuj cym pr tem przed zderzeniem. Zad. 3.1 Symetryczny b k o masie m wiruje wokóª osi, której jeden z ko«ców jest zamocowany. Odlegªo± ±rodka masy od punktu zamocowania wynosi r. O± obrotu mo»e sama obraca si dookoªa punktu zamocowania. Pokaza,»e pr dko± k towa precesji jest odwrotnie proporcjonalna do warto±ci bezwzgl dnej momentu p du b ka. Przyj,»e pr dko± k towa osi obrotu (pr dko± k towa precesji) jest bardzo maªa w porównaniu z pr dko±ci k tow b ka dookoªa tej osi. Odp. ω = mgr L. 6