Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.

Transkrypt

1 Ekoenergetyka Matematyka. Wykład 6. RÓWNANIA PŁASZCZYZN Fakt (równanie normalne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r [ x, y, z ] i prostopadłej do wektora n [ A, B, C] 0 ma postać : ( r r ) n 0, gdzie r [ x, y, z] jest wektorem wodzącym punktów przestrzeni. Wektor n [ A, B, C] 0 nazywamy wektorem normalnym do płaszczyzny. 0 W formie rozwiniętej równanie płaszczyzny przyjmuje postać: : A( x x ) B( y y ) C( z z ) Powyższe zależności nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny. Fakt (równanie ogólne płaszczyzny) Każde równanie postaci : Ax By Cz D 0, gdzie A B C 0, przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta ma wektor normalny n [ A, B, C] i przecina oś OZ w punkcie D z, o ile C 0. C Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez środek odcinka AB, gdzie A (3,, ), B (5,0,7) i prostopadłej do tego odcinka.

2 Fakt (równanie parametryczne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r0 [ x0, y0, z0] i rozpiętej na niewspółliniowych wektorach u [ a, b, c ] i v [ a, b, c] ma postać lub inaczej lub : r r su tv, gdzie st, 0 :[ x, y, z] [ x, y, z ] s[ a, b, c ] t[ a, b, c ], gdzie st, x x s a t a : y y sb t b z z s c t c 0 0 0, gdzie st,. Powyższe zależności nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny. Napisać równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych i równoległej do wektorów u [,,3], v [0,,]. Fakt (równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty P ( x, y, z ), P ( x, y, z ), P ( x, y, z ) ma postać Fakt (równanie odcinkowe płaszczyzny) x y z x y z : 0. x y z x y z Równanie płaszczyzny odcinającej na osiach OX, OY, OZ układu współrzędnych odpowiednio odcinki (zorientowane) a, b, c przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty abc,, 0 ma postać x y z : a b c

3 Powyższą zależność nazywany równaniem odcinkowym płaszczyzny. Znaleźć równanie płaszczyzny, która przechodzi przez punkt P (,,3) i odcina na osiach układu odcinki jednakowej Fakt (równanie parametryczne prostej) RÓWNANIA PROSTYCH Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r [ x, y, z ] i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku v [ a, b, c] ma postać lub po rozpisaniu lub l : r r tv, 0 gdzie l : r r tv, l :[ x, y, z] [ x, y, z ] t[ a, b, c], gdzie t x x0 t a : y y0 t b, gdzie t. z z0 t c 3

4 Fakt (równanie kierunkowe prostej) Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku v [ a, b, c] ma postać l x x y y z z a b c :. Ten sposób zapisu równania parametrycznego prostej nazywamy jej równaniem kierunkowym. Napisać równanie parametryczne i kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt P (,0,3) i równoległej do wektora v [,,5] Definicja (równanie krawędziowe prostej) Prosta l, która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn : A x B y Cz D 0 oraz : A x B y Cz D 0, będziemy zapisywać w postaci A x B y Cz D 0 l :. A x B y Cz D 0 Ten sposób zapisu nazywamy jej równaniem krawędziowym. 4

5 Fakt (o wektorze kierunkowym prostej w postaci kierunkowej) A x B y Cz D 0 Wektor kierunkowy prostej l : A x B y Cz D 0 v [ A, B, C ] [ A, B, C ]. ma postać Prostą 6x y z 9 0 l : 3x y z 0 zapisać w postaci parametrycznej Definicja (rzutu punktu na płaszczyznę i na prostą) Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę nazywamy punkt spełniający warunek PP'. P ' tej płaszczyzny Podobnie rzutem prostokątnym punktu P na prostą l nazywamy punkt warunek P P' l. P ' tej prostej spełniający 5

6 Rzut ukośny punktu. Fakt (odległość punktu od płaszczyzny) Odległość punktu P0 ( x0, y0, z0) od płaszczyzny : Ax By Cz D 0 wyraża się wzorem dp Fakt (odległość płaszczyzn równoległych) Ax By Cz D ( 0, ). A B C Odległość między płaszczyznami równoległymi i o równaniach : Ax By Cz D 0, : Ax By Cz D 0 wyraża się wzorem Obliczyć odległość: d D D (, ). A B C a) Punktu P (5,,6) od płaszczyzny :3x 4y z 0; b) płaszczyzn równoległych : x y z 5 0, : x y 4z 8 0. Fakt (wzór do obliczania kąta nachylenia prostej do płaszczyzny) Kąt nachylenia prostej l o wektorze kierunkowym v do płaszczyzny o wektorze normalnym n wyraża się wzorem 6

7 n v ( l, ) arcsin. nv Obliczyć kąt nachylenia prostej x y z l : do płaszczyzny :x y z 0. : Fakt (wzór do obliczania kąta między prostymi) Kąt między prostymi l, l o wektorach kierunkowych v i v odpowiednio wyraża się wzorem ( l, l) arccos. v v v v x t x 3s Obliczyć kąt między prostymi l : y t, t, l : y s. z t z 3 Fakt (wzór do obliczania kąta między płaszczyznami) Kąt między płaszczyznami i o wektorach normalnych odpowiednio n i n wyraża się wzorem 7

8 n n (, ) arccos. n n Obliczyć kąt między płaszczyznami : x y z 0, : x y z