Dynamika Bryªy Sztywnej
|
|
|
- Łucja Malinowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Dynamika Bryªy Sztywnej Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków,
2 Podstawy dynamiki bryªy sztywnej Bryªa sztywna to ukªad cz stek o niezmiennych wzajemnych odlegªo±ciach. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
3 Podstawy dynamiki bryªy sztywnej Bryªa sztywna to ukªad cz stek o niezmiennych wzajemnych odlegªo±ciach. Podstawowe znaczenie dla opisu ruchu ukªadu jako caªo±ci jest ruch szczególnego punktu - ±rodka masy ukªadu. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
4 Podstawy dynamiki bryªy sztywnej Bryªa sztywna to ukªad cz stek o niezmiennych wzajemnych odlegªo±ciach. Podstawowe znaczenie dla opisu ruchu ukªadu jako caªo±ci jest ruch szczególnego punktu - ±rodka masy ukªadu. rodek masy reprezentuje ukªad, wi c pod wpªywem wypadkowej siª zewn trznych porusza si jak cz stka o masie równej masie ukªadu: F = m a s = N m i a i gdzie m = N m i st d przyspieszenie ±rodka masy: a s = 1 m N m i a i Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
5 Poprzez kolejne caªkowania otrzymujemy pr dko± i poªo»enie ±rodka masy ukªadu: N N v s = 1 m m i v i r s = 1 m m i r i Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
6 Poprzez kolejne caªkowania otrzymujemy pr dko± i poªo»enie ±rodka masy ukªadu: N N v s = 1 m m i v i r s = 1 m m i r i Moment masy wzgl dem pocz tku ukªadu: m i r i Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
7 Poprzez kolejne caªkowania otrzymujemy pr dko± i poªo»enie ±rodka masy ukªadu: N N v s = 1 m m i v i r s = 1 m m i r i Moment masy wzgl dem pocz tku ukªadu: m i r i P d ±rodka masy jest równy p dowi ukªadu: p s = m v s = N m i v i = p Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
8 Poprzez kolejne caªkowania otrzymujemy pr dko± i poªo»enie ±rodka masy ukªadu: N N v s = 1 m m i v i r s = 1 m m i r i Moment masy wzgl dem pocz tku ukªadu: m i r i P d ±rodka masy jest równy p dowi ukªadu: p s = m v s = N m i v i = p Wypadkowa siª zewn trznych: F = d p dt = d ps dt Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
9 Zasada zachowania p du ±rodka masy F = 0 p s = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
10 Zasada zachowania p du ±rodka masy F = 0 p s = const Wtedy ±rodek masy ukªadu odosobnionego porusza si ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezale»nie od tego jak poruszaj si inne cz stki ukªadu. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
11 Zasada zachowania p du ±rodka masy F = 0 p s = const Wtedy ±rodek masy ukªadu odosobnionego porusza si ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezale»nie od tego jak poruszaj si inne cz stki ukªadu. Moment p du cz stki wzgl dem przechodz cej przez pocz tek ukªadu wspóªrz dnych osi prostopadªej do pªaszczyzny utworzonej przez wektory p du i poªo»enia: L = r p Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
12 Zasada zachowania p du ±rodka masy F = 0 p s = const Wtedy ±rodek masy ukªadu odosobnionego porusza si ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezale»nie od tego jak poruszaj si inne cz stki ukªadu. Moment p du cz stki wzgl dem przechodz cej przez pocz tek ukªadu wspóªrz dnych osi prostopadªej do pªaszczyzny utworzonej przez wektory p du i poªo»enia: L = r p Moment siªy dziaªaj cej na cz stk : M = r F Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
13 Moment p du i moment siªy d L dt = d ( r p) dt M = = r d p dt + d r dt p = r F + m v v }{{} N M i = N d L i dt = d dt N Li = d L dt 0 = M Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
14 Moment p du i moment siªy d L dt = d ( r p) dt M = = r d p dt + d r dt p = r F + m v v }{{} N M i = N d L i dt = d dt N Li = d L dt 0 = M Zasada Zachowania Momentu P du Je»eli moment dziaªaj cych na ukªad siª jest równy zeru, to moment p du ukªadu pozostaje staªy: d L dt = M = 0 L = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
15 Moment bezwªadno±ci Z transformacji pr dko±ci ukªadu obracaj cego si z pr dko±ci k tow ω wokóª ±rodka masy do laboratoryjnego pr dko± i-tej cz stki: v i = v s + ω r i v s pr dko± ±rodka masy r i poªo»enie cz stki w ukªadzie ±rodka masy Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
16 Moment bezwªadno±ci Z transformacji pr dko±ci ukªadu obracaj cego si z pr dko±ci k tow ω wokóª ±rodka masy do laboratoryjnego pr dko± i-tej cz stki: v i = v s + ω r i v s pr dko± ±rodka masy r i poªo»enie cz stki w ukªadzie ±rodka masy Energia kinetyczna jest sum energii cz stek: E K = N N 1 m 2 i vi 2 = 1 m 2 i ( v s + ω r i ) 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
17 Moment bezwªadno±ci Z transformacji pr dko±ci ukªadu obracaj cego si z pr dko±ci k tow ω wokóª ±rodka masy do laboratoryjnego pr dko± i-tej cz stki: v i = v s + ω r i v s pr dko± ±rodka masy r i poªo»enie cz stki w ukªadzie ±rodka masy Energia kinetyczna jest sum energii cz stek: E K = N N 1 m 2 i vi 2 = 1 m 2 i ( v s + ω r i ) 2 ( v s + ω r i ) 2 = v 2 s + 2 v s ( ω r i ) + ( ω r i ) 2 = v 2 s + 2 ω ( r i v s ) + ω 2 r 2 i sin 2 ω; r i Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
18 E K = 1 2 ( N N ) m i vs 2 + ω m i r i v s ω2 = 1 2 mv 2 s I ω2 }{{} 0 N m i r 2 i sin 2 ω; r i Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
19 E K = 1 2 ( N N ) m i vs 2 + ω m i r i v s ω2 = 1 2 mv 2 s I ω2 }{{} 0 N m i r 2 i sin 2 ω; r i Moment bezwªadno±ci bryªy wzgl dem danej osi jest sum iloczynów mas cz stek i kwadratów ich odlegªo±ci od osi. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
20 E K = 1 2 ( N N ) m i vs 2 + ω m i r i v s ω2 = 1 2 mv 2 s I ω2 }{{} 0 N m i r 2 i sin 2 ω; r i Moment bezwªadno±ci bryªy wzgl dem danej osi jest sum iloczynów mas cz stek i kwadratów ich odlegªo±ci od osi. Moment bezwªadno±ci bryªy ci gªej obliczamy, zast puj c masy cz stek elementami masy ciaªa: dm = ρ dv I = r 2 dm = ρr 2 dv m V Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
21 Przykªady oblicze«momentu bezwªadno±ci Moment bezwªadno±ci jednorodnego walca wzgl dem jego osi: R R I = r 2 ρh 2πr dr = 2πρh r 3 dr = 1πρhR 4 = 1 mr Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
22 Przykªady oblicze«momentu bezwªadno±ci Moment bezwªadno±ci jednorodnego walca wzgl dem jego osi: R R I = r 2 ρh 2πr dr = 2πρh r 3 dr = 1πρhR 4 = 1 mr Moment bezwªadno±ci jednorodnej kuli: I = R r 2 ρ2 R 2 r 2 2πr dr = 4πρ R R 2 r 2 r 3 dr = {R 2 r 2 = t} 0 0 = 2πρ = 4πρ R 2 ( ) [ t R 2 2 t dt = 2πρ 5 t 5/2 2 ] 0 3 R 2 t 3/2 ( 1 3 R 5 1 ) 5 R 5 = 8 15 πρr 5 = 2 5 mr 2 0 R 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
23 Moment bezwªadno±ci cienkiego, jednorodnego pr ta wzgl dem prostopadªej do niego osi przechodz cej przez jego koniec i ±rodek: L I K = γr 2 dr = γ 1 r 3 L = ml2 γ = m L I = 0 L/2 L/2 γr 2 dr = γ 1 r 3 L/2 = 1 3 L/2 12 ml2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
24 Moment bezwªadno±ci cienkiego, jednorodnego pr ta wzgl dem prostopadªej do niego osi przechodz cej przez jego koniec i ±rodek: L I K = γr 2 dr = γ 1 r 3 L = ml2 γ = m L I = 0 L/2 L/2 γr 2 dr = γ 1 r 3 L/2 = 1 3 L/2 12 ml2 Twierdzenie Steinera Moment bezwªadno±ci sztywnego ukªadu cz stek wzgl dem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwªadno±ci I ± wzgl dem równolegªej do niej osi, przechodz cej przez ±rodek masy i iloczynu masy ukªadu przez kwadrat odlegªo±ci pomi dzy osiami. I = I ± + md 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
25 Moment bezwªadno±ci cienkiego, jednorodnego pr ta wzgl dem prostopadªej do niego osi przechodz cej przez jego koniec i ±rodek: L I K = γr 2 dr = γ 1 r 3 L = ml2 γ = m L I = 0 L/2 L/2 γr 2 dr = γ 1 r 3 L/2 = 1 3 L/2 12 ml2 Twierdzenie Steinera Moment bezwªadno±ci sztywnego ukªadu cz stek wzgl dem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwªadno±ci I ± wzgl dem równolegªej do niej osi, przechodz cej przez ±rodek masy i iloczynu masy ukªadu przez kwadrat odlegªo±ci pomi dzy osiami. I = I ± + md 2 np. dla cienkiego, jednorodnego pr ta: I = 1 12 ml2 + ( 1 m L) 2 = ml2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
26 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
27 Dowód: poªo»enie i-tej masy podnosimy do kwadratu r i = r i + r i skªadowe: prostopadªa i równolegªa do osi N ( ) 2 m d N N i + ri = m i d m i r i d + N N m i r i 2 = md 2 + m i r i 2 + N m i r 2 i }{{} 0 }{{} I ± Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
28 Dowód: poªo»enie i-tej masy podnosimy do kwadratu r i = r i + r i skªadowe: prostopadªa i równolegªa do osi N ( ) 2 m d N N i + ri = m i d m i r i d + N N m i r i 2 = md 2 + m i r i 2 + N m i r 2 i }{{} poªo»enie i-tej masy rozdzielamy na cz ±ci: prostopadª i równolegª do osi N ( ) [ 2 m d N ( d ) ] 2 i + ri = m i + r i + r 2 i = + N m i r 2 i 0 N ( ) 2 m d i + r i }{{} I }{{} I ± Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
29 Gªówne osie bezwªadno±ci s osiami dla których momenty bezwªadno±ci przyjmuj warto±ci ekstremalne i nazywaj si gªównymi momentami bezwªadno±ci. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
30 Gªówne osie bezwªadno±ci s osiami dla których momenty bezwªadno±ci przyjmuj warto±ci ekstremalne i nazywaj si gªównymi momentami bezwªadno±ci. E K = 1 v 2 dm = 1 v ( ω r) dm = 1 ω m m m r v dm = 1 ω L 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
31 Gªówne osie bezwªadno±ci s osiami dla których momenty bezwªadno±ci przyjmuj warto±ci ekstremalne i nazywaj si gªównymi momentami bezwªadno±ci. E K = 1 v 2 dm = 1 v ( ω r) dm = 1 ω m m m r v dm = 1 ω L 2 v 2 = ( ω r) 2 = ( ω r) ( ω r) = ω 2 r 2 ( ω r) 2 = ( ) ( ωx 2 + ωy 2 + ωz 2 x 2 + y 2 + z 2) (ω x x + ω y y + ω z z) 2 ( = ωx 2 y 2 + z 2) ( + ωy 2 x 2 + z 2) ( + ωz 2 x 2 + y 2) 2ω x ω y xy 2ω x ω z xz 2ω y ω z yz Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
32 (y 2 + z 2) dm + 1 (x 2 + z 2) dm E K = 1 2 ω2 x 2 ω2 y + 1 (x 2 2 ω2 z + y 2) dm ω x ω y xy dm ω x ω z xz dm ω y ω z yz dm = 1 ( ) Ixx ωx 2 + I yy ωy 2 + I zz ωz 2 + 2I xy ω x ω y + 2I xz ω x ω z + 2I yz ω y ω z 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
33 (y 2 + z 2) dm + 1 (x 2 + z 2) dm E K = 1 2 ω2 x 2 ω2 y + 1 (x 2 2 ω2 z + y 2) dm ω x ω y xy dm ω x ω z xz dm ω y ω z yz dm = 1 ( ) Ixx ωx 2 + I yy ωy 2 + I zz ωz 2 + 2I xy ω x ω y + 2I xz ω x ω z + 2I yz ω y ω z 2 Momenty bezwªadno±ci wzgl dem osi ukªadu: I xx = ( y 2 + z 2) dm, I yy = ( x 2 + z 2) dm, I zz = ( x 2 + y 2) dm. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
34 (y 2 + z 2) dm + 1 (x 2 + z 2) dm E K = 1 2 ω2 x 2 ω2 y + 1 (x 2 2 ω2 z + y 2) dm ω x ω y xy dm ω x ω z xz dm ω y ω z yz dm = 1 ( ) Ixx ωx 2 + I yy ωy 2 + I zz ωz 2 + 2I xy ω x ω y + 2I xz ω x ω z + 2I yz ω y ω z 2 Momenty bezwªadno±ci wzgl dem osi ukªadu: I xx = ( y 2 + z 2) dm, I yy = ( x 2 + z 2) dm, I zz = ( x 2 + y 2) dm. Momenty zboczenia: I xy = xy dm, I xz = xz dm, I yz = yz dm. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
35 Je±li jako osie ukªadu przyjmiemy gªówne osie bezwªadno±ci, to momenty wzg dem osi b d gªównymi momentami bezwªadno±ci: I 1, I 2, I 3, a charakteryzuj ce asymetri momenty zboczenia ( znikn : E K = 1 I1 ω 2 + I 2 1 2ω 2 + ) I 2 3ω 2 3 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
36 Je±li jako osie ukªadu przyjmiemy gªówne osie bezwªadno±ci, to momenty wzg dem osi b d gªównymi momentami bezwªadno±ci: I 1, I 2, I 3, a charakteryzuj ce asymetri momenty zboczenia ( znikn : E K = 1 I1 ω 2 + I 2 1 2ω 2 + ) I 2 3ω 2 3 Warto±ci gªównych momentów bezwªadno±ci zale» od ksztaªtu ciaªa: Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
37 Je±li jako osie ukªadu przyjmiemy gªówne osie bezwªadno±ci, to momenty wzg dem osi b d gªównymi momentami bezwªadno±ci: I 1, I 2, I 3, a charakteryzuj ce asymetri momenty zboczenia ( znikn : E K = 1 I1 ω 2 + I 2 1 2ω 2 + ) I 2 3ω 2 3 Warto±ci gªównych momentów bezwªadno±ci zale» od ksztaªtu ciaªa: b k kulisty (I 1 = I 2 = I 3 ) wybór osi gªównych dowolny, Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
38 Je±li jako osie ukªadu przyjmiemy gªówne osie bezwªadno±ci, to momenty wzg dem osi b d gªównymi momentami bezwªadno±ci: I 1, I 2, I 3, a charakteryzuj ce asymetri momenty zboczenia ( znikn : E K = 1 I1 ω 2 + I 2 1 2ω 2 + ) I 2 3ω 2 3 Warto±ci gªównych momentów bezwªadno±ci zale» od ksztaªtu ciaªa: b k kulisty (I 1 = I 2 = I 3 ) wybór osi gªównych dowolny, b k symetryczny (I 1 I 2 = I 3 ) osie gªówne to o± I 1 oraz dwie osie prostopadªe do niej i do siebie wzajemnie, Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
39 Je±li jako osie ukªadu przyjmiemy gªówne osie bezwªadno±ci, to momenty wzg dem osi b d gªównymi momentami bezwªadno±ci: I 1, I 2, I 3, a charakteryzuj ce asymetri momenty zboczenia ( znikn : E K = 1 I1 ω 2 + I 2 1 2ω 2 + ) I 2 3ω 2 3 Warto±ci gªównych momentów bezwªadno±ci zale» od ksztaªtu ciaªa: b k kulisty (I 1 = I 2 = I 3 ) wybór osi gªównych dowolny, b k symetryczny (I 1 I 2 = I 3 ) osie gªówne to o± I 1 oraz dwie osie prostopadªe do niej i do siebie wzajemnie, b k niesymetryczny (I 1 I 2 I 3 I 1 ) osie gªówne prostopadªe do siebie i ±ci±le okre±lone. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
40 Je±li jako osie ukªadu przyjmiemy gªówne osie bezwªadno±ci, to momenty wzg dem osi b d gªównymi momentami bezwªadno±ci: I 1, I 2, I 3, a charakteryzuj ce asymetri momenty zboczenia ( znikn : E K = 1 I1 ω 2 + I 2 1 2ω 2 + ) I 2 3ω 2 3 Warto±ci gªównych momentów bezwªadno±ci zale» od ksztaªtu ciaªa: b k kulisty (I 1 = I 2 = I 3 ) wybór osi gªównych dowolny, b k symetryczny (I 1 I 2 = I 3 ) osie gªówne to o± I 1 oraz dwie osie prostopadªe do niej i do siebie wzajemnie, b k niesymetryczny (I 1 I 2 I 3 I 1 ) osie gªówne prostopadªe do siebie i ±ci±le okre±lone. Je±li ciaªo ma o± symetrii, to b dzie ona jedn z gªównych osi bezwªadno±ci. Je±li ciaªo ma pªaszczyzn symetrii, to dwie gªówne osie bezwªadno±ci b d le»aªy w tej pªaszczy¹nie. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
41 W szczególo±ci dla ukªadu le» cego w pªaszczy¹nie, moment wzgl dem osi prostopadªej do pªaszczyzny jest sum dwóch pozostaªych: I 3 = ( x 2 + y 2) dm = x 2 dm + y 2 dm = I 1 + I 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
42 W szczególo±ci dla ukªadu le» cego w pªaszczy¹nie, moment wzgl dem osi prostopadªej do pªaszczyzny jest sum dwóch pozostaªych: I 3 = ( x 2 + y 2) dm = x 2 dm + y 2 dm = I 1 + I 2 Gdy mamy ukªad liniowy, rozmieszczony wzdªu» linii prostej czyli rotator, moment wzgl dem tej prostej znika a pozostaªe momenty gªówne s sobie równe: I 3 = 0, I 1 = I 2 = z 2 dm Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
43 W szczególo±ci dla ukªadu le» cego w pªaszczy¹nie, moment wzgl dem osi prostopadªej do pªaszczyzny jest sum dwóch pozostaªych: I 3 = ( x 2 + y 2) dm = x 2 dm + y 2 dm = I 1 + I 2 Gdy mamy ukªad liniowy, rozmieszczony wzdªu» linii prostej czyli rotator, moment wzgl dem tej prostej znika a pozostaªe momenty gªówne s sobie równe: I 3 = 0, I 1 = I 2 = z 2 dm W przypadku b ka niesymetrycznego»aden z gªównych momentów nie mo»e by wi kszy ni» suma dwóch pozostaªych: I 1 + I 2 = = (y 2 + z 2) (x dm z 2) dm (x 2 + y 2) dm + 2 z 2 dm I 3 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
44 Moment p du bryªy: L = r d p = r ( ω r) dm = [ r 2 ω ( ω r) r ] dm p m m Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
45 Moment p du bryªy: L = r d p = r ( ω r) dm = [ r 2 ω ( ω r) r ] dm p m m [(x L x = 2 + y 2 + z 2) ω x (ω x x + ω y y + ω z z) ] x dm (y = ω 2 x + z 2) dm ω y xy dm ω z xz dm Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
46 Moment p du bryªy: L = r d p = r ( ω r) dm = [ r 2 ω ( ω r) r ] dm p m m [(x L x = 2 + y 2 + z 2) ω x (ω x x + ω y y + ω z z) ] x dm (y = ω 2 x + z 2) dm ω y xy dm ω z xz dm L x = I xx ω x + I xy ω y + I xz ω z L y = I yx ω x + I yy ω y + I yz ω z L z = I zx ω x + I zy ω y + I zz ω z Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
47 Moment bezwªadno±ci w zapisie tensorowym L x L y L z L = Î ω I xx I xy I xz = I yx I yy I yz I zx I zy I zz ω x ω y ω z Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
48 Moment bezwªadno±ci w zapisie tensorowym L x L y L z L = Î ω I xx I xy I xz = I yx I yy I yz I zx I zy I zz ω x ω y ω z Wektory momentu p du L i pr dko±ci k towej ω maj ten sam kierunek tylko w przypadku obrotu dookoªa jednej z gªównych osi. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
49 Moment bezwªadno±ci w zapisie tensorowym L x L y L z L = Î ω I xx I xy I xz = I yx I yy I yz I zx I zy I zz ω x ω y ω z Wektory momentu p du L i pr dko±ci k towej ω maj ten sam kierunek tylko w przypadku obrotu dookoªa jednej z gªównych osi. Energia kinetyczna: E K = 1 2 ω L = 1 2 ωt Î ω Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
50 Moment bezwªadno±ci w zapisie tensorowym L x L y L z L = Î ω I xx I xy I xz = I yx I yy I yz I zx I zy I zz ω x ω y ω z Wektory momentu p du L i pr dko±ci k towej ω maj ten sam kierunek tylko w przypadku obrotu dookoªa jednej z gªównych osi. Energia kinetyczna: E K = 1 2 ω L = 1 2 ωt Î ω Druga Zasada Dynamiki dla bryªy sztywnej M = d L dt d(î ω) = = Î d ω dt dt = Î ε Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
51 Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
52 Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: pr dko± k towa: ω = dϕ v = dx dt dt Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
53 Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: pr dko± k towa: ω = dϕ v = dx dt dt przyspieszenie k towe: ε = dω a = dv dt dt Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
54 Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: pr dko± k towa: ω = dϕ v = dx dt dt przyspieszenie k towe: ε = dω a = dv dt dt moment siªy: M = I ε = dl F = ma = dp dt dt Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
55 Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: pr dko± k towa: ω = dϕ v = dx dt dt przyspieszenie k towe: ε = dω a = dv dt dt moment siªy: M = I ε = dl F = ma = dp dt dt moment p du: L = I ω p = mv Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
56 Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: pr dko± k towa: ω = dϕ v = dx dt dt przyspieszenie k towe: ε = dω a = dv dt dt moment siªy: M = I ε = dl F = ma = dp dt dt moment p du: L = I ω p = mv energia kinetyczna: E K = 1 2 I ω2 E K = 1 2 mv 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
57 Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryªy sztywnej dookoªa staªej osi w analogii z ruchem prostoliniowym: pr dko± k towa: ω = dϕ v = dx dt dt przyspieszenie k towe: ε = dω a = dv dt dt moment siªy: M = I ε = dl F = ma = dp dt dt moment p du: L = I ω p = mv energia kinetyczna: E K = 1 2 I ω2 E K = 1 2 mv 2 ϕ ω ε M I L x v a F m p Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
58 Równania Eulera W inercjalnym ukªadzie odniesienia U o pocz tku w ±rodku masy bryªy sztywnej: d L dt = M Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
59 Równania Eulera W inercjalnym ukªadzie odniesienia U o pocz tku w ±rodku masy bryªy sztywnej: d L dt = M Powy»sze równanie w ukªadzie U sztywno zwi zanym z bryª, w którym osie skierowane s wzdªu» osi gªównych bezwªadno±ci (Î diagonalny): d L dt + ω L = M L = [ I x ω x, I y ω y, I z ω z ] = Î ω Î d ω ) (Î dt + ω ω = M Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
60 Równania Eulera dω x I x + ( I z I y ) ωy ω z = M x dt dω y I y + (I x I z ) ω x ω z = M y dt dω z I z + ( I y I x ) ωx ω y = M z dt Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
61 Równania Eulera dω x I x + ( I z I y ) ωy ω z = M x dt dω y I y + (I x I z ) ω x ω z = M y dt dω z I z + ( I y I x ) ωx ω y = M z dt Gdy wektory pr dko±ci k towej i momentu p du nie s równolegªe, koniec wektora ω zakre±la w ukªadzie U krzyw zwan polhodi, a w ukªadzie U krzyw zwan herpolhodi. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
62 Równania Eulera dω x I x + ( I z I y ) ωy ω z = M x dt dω y I y + (I x I z ) ω x ω z = M y dt dω z I z + ( I y I x ) ωx ω y = M z dt Gdy wektory pr dko±ci k towej i momentu p du nie s równolegªe, koniec wektora ω zakre±la w ukªadzie U krzyw zwan polhodi, a w ukªadzie U krzyw zwan herpolhodi. B k symetryczny to wiruj ca bryªa o symetrii obrotowej. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
63 Równania Eulera dω x I x + ( I z I y ) ωy ω z = M x dt dω y I y + (I x I z ) ω x ω z = M y dt dω z I z + ( I y I x ) ωx ω y = M z dt Gdy wektory pr dko±ci k towej i momentu p du nie s równolegªe, koniec wektora ω zakre±la w ukªadzie U krzyw zwan polhodi, a w ukªadzie U krzyw zwan herpolhodi. B k symetryczny to wiruj ca bryªa o symetrii obrotowej. B k swobodny to b k na który nie dziaªa moment siªy: M = 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
64 Swobodny b k symetryczny z osi symetrii pokrywaj c si z osi z (I y = I x ), nachylon pod k tem α do osi obrotu b ka ω: ω z 0 = ω cos α Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
65 Swobodny b k symetryczny z osi symetrii pokrywaj c si z osi z (I y = I x ), nachylon pod k tem α do osi obrotu b ka ω: ω z 0 = ω cos α dω x dt dω y dt + I z I y ω y ω z = 0 dω x I x dt + I x I z ω x ω z = 0 dω y I y dt + Ωω y = 0 Ωω x = 0 gdzie: I z I x ω I x z = Ω dω z dt = 0 ω z = ω z 0 = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
66 Swobodny b k symetryczny z osi symetrii pokrywaj c si z osi z (I y = I x ), nachylon pod k tem α do osi obrotu b ka ω: ω z 0 = ω cos α dω x dt dω y dt + I z I y ω y ω z = 0 dω x I x dt + I x I z ω x ω z = 0 dω y I y dt + Ωω y = 0 Ωω x = 0 gdzie: I z I x ω I x z = Ω dω z dt = 0 ω z = ω z 0 = const Równanie ruchu skªadowej pr dko±ci k towej prostopadªej do osi symetrii b ka: d 2 ω x dt 2 + Ω 2 ω x = 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
67 ω x = ω x 0 cos (Ωt + ϕ) dω x = Ωω x 0 sin (Ωt + ϕ) dt ω y = ω x 0 sin (Ωt + ϕ) ω z = ω z 0 Skªadowe pr dko±ci k towej ω x, ω y prostopadªe do osi symetrii b ka wiruj ze staª pr dko±ci k tow Ω, skªadowa równolegªa do osi symetrii jest staªa. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
68 ω x = ω x 0 cos (Ωt + ϕ) dω x = Ωω x 0 sin (Ωt + ϕ) dt ω y = ω x 0 sin (Ωt + ϕ) ω z = ω z 0 Skªadowe pr dko±ci k towej ω x, ω y prostopadªe do osi symetrii b ka wiruj ze staª pr dko±ci k tow Ω, skªadowa równolegªa do osi symetrii jest staªa. Polhodia jest okr giem o promieniu ω x 0, wzdªu» którego koniec wektora ω porusza si ruchem jednostajnym z okresem T n : T n = 2π Ω = 2π ω z 0 I x I z I x = 2π I x ω cos α I z I x = T I x cos α I z I x Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
69 B k pod dziaªaniem siª zewn trznych Efekt giroskopowy polega na obrocie momentu p du (wraz z nim osi symetrii) b ka symetrycznego wokóª osi prostopadªej do pr dko±ci k towej b ka i dziaªaj cego na«momentu siªy. L r L F L M d L = M dt L L = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
70 B k pod dziaªaniem siª zewn trznych Efekt giroskopowy polega na obrocie momentu p du (wraz z nim osi symetrii) b ka symetrycznego wokóª osi prostopadªej do pr dko±ci k towej b ka i dziaªaj cego na«momentu siªy. L r L F L M d L = M dt L L = const Precesja to obrót wektora momentu p du pod wpªywem momentu siª zewn trznych. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
71 B k pod dziaªaniem siª zewn trznych Efekt giroskopowy polega na obrocie momentu p du (wraz z nim osi symetrii) b ka symetrycznego wokóª osi prostopadªej do pr dko±ci k towej b ka i dziaªaj cego na«momentu siªy. L r L F L M d L = M dt L L = const Precesja to obrót wektora momentu p du pod wpªywem momentu siª zewn trznych. 2θ k t rozwarcia sto»ka tworzonego przez moment p du dϕ = dl L sin θ = M dt L sin θ pr dko± k towa precesji: ω P = dϕ dt = M L sin θ Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
72 Przykªad: b k symetryczny w polu siªy grawitacyjnej Pocz tek ukªadu wspóªrz dnych umieszczamy w punkcie podparcia b ka, a o± wspóªrz dnych z kierujemy pionowo do góry. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
73 Przykªad: b k symetryczny w polu siªy grawitacyjnej Pocz tek ukªadu wspóªrz dnych umieszczamy w punkcie podparcia b ka, a o± wspóªrz dnych z kierujemy pionowo do góry. Moment siªy ci»ko±ci M = R S m g M = mgr S sin θ Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
74 Przykªad: b k symetryczny w polu siªy grawitacyjnej Pocz tek ukªadu wspóªrz dnych umieszczamy w punkcie podparcia b ka, a o± wspóªrz dnych z kierujemy pionowo do góry. Moment siªy ci»ko±ci M = R S m g M = mgr S sin θ B k wykonuje ruch z precesj o cz sto±ci: ω P = M L sin θ = mgr S L Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
75 Przykªad: b k symetryczny w polu siªy grawitacyjnej Pocz tek ukªadu wspóªrz dnych umieszczamy w punkcie podparcia b ka, a o± wspóªrz dnych z kierujemy pionowo do góry. Moment siªy ci»ko±ci M = R S m g M = mgr S sin θ B k wykonuje ruch z precesj o cz sto±ci: ω P = M L sin θ = mgr S L Gdy o± momentu p du nie pokrywa si z osi symetrii b ka, na ruch precesyjny osi symetrii nakªada si nutacja o okresie T n. O± symetrii b ka zakre±la wtedy lini w»ykowat. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
76 Przykªad: Ziemia jako b k Ksztaªtem swym Ziemia przypomina spªaszczon elipsoid obrotow, wiruj c wokóª osi nie pokrywaj cej si z jej osi symetrii. Dziaªa na ni zewn trzny moment siªy zwi zany z niejednorodno±ci wokóª niej zewn trznego pola grawitacyjnego. Powoduje on obrót osi symetrii Ziemi zakre±laj cej sto»ek (o k cie rozwarcia ) wokóª kierunku normalnego do pªaszczyzny ekliptyki z okresem okoªo lat. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
77 Przykªad: Ziemia jako b k Ksztaªtem swym Ziemia przypomina spªaszczon elipsoid obrotow, wiruj c wokóª osi nie pokrywaj cej si z jej osi symetrii. Dziaªa na ni zewn trzny moment siªy zwi zany z niejednorodno±ci wokóª niej zewn trznego pola grawitacyjnego. Powoduje on obrót osi symetrii Ziemi zakre±laj cej sto»ek (o k cie rozwarcia ) wokóª kierunku normalnego do pªaszczyzny ekliptyki z okresem okoªo lat. Nakªadaj si na t precesj niewielkie nutacje o ±rednicy do 15 m i okresie obrotu bieguna kinematycznego okoªo 427 dni. Dla Ziemi: T n = T I x 300 T cos α I z I x Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
78 Przykªad: Ziemia jako b k Ksztaªtem swym Ziemia przypomina spªaszczon elipsoid obrotow, wiruj c wokóª osi nie pokrywaj cej si z jej osi symetrii. Dziaªa na ni zewn trzny moment siªy zwi zany z niejednorodno±ci wokóª niej zewn trznego pola grawitacyjnego. Powoduje on obrót osi symetrii Ziemi zakre±laj cej sto»ek (o k cie rozwarcia ) wokóª kierunku normalnego do pªaszczyzny ekliptyki z okresem okoªo lat. Nakªadaj si na t precesj niewielkie nutacje o ±rednicy do 15 m i okresie obrotu bieguna kinematycznego okoªo 427 dni. Dla Ziemi: T n = T I x 300 T cos α I z I x Ruch obrotowy Ziemi wykorzystywany jest przez kompas giroskopowy ustawiaj cy sw o± obrotu zgodnie z osi obrotu Ziemi, aby zachowa swój moment p du. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
79 Wahadªo zyczne Wahadªo zyczne jest to bryªa, która mo»e si waha wzgl dem staªej osi obrotu. Dªugo±ci wahadªa l jest odlegªo± od osi obrotu do ±rodka masy. Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
80 Wahadªo zyczne Wahadªo zyczne jest to bryªa, która mo»e si waha wzgl dem staªej osi obrotu. Dªugo±ci wahadªa l jest odlegªo± od osi obrotu do ±rodka masy. Moment siªy ci»ko±ci wzgl dem ±rodka masy dla wahadªa odchylonego od pionu o k t ϕ: M = mgl sin ϕ Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
81 Wahadªo zyczne Wahadªo zyczne jest to bryªa, która mo»e si waha wzgl dem staªej osi obrotu. Dªugo±ci wahadªa l jest odlegªo± od osi obrotu do ±rodka masy. Moment siªy ci»ko±ci wzgl dem ±rodka masy dla wahadªa odchylonego od pionu o k t ϕ: M = mgl sin ϕ Równanie ruchu: = mgl sin ϕ dt 2 Moment siªy jest z ujemnym znakiem, poniewa» zmniejsza wychylenie. I d 2 ϕ Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
82 Wahadªo zyczne Wahadªo zyczne jest to bryªa, która mo»e si waha wzgl dem staªej osi obrotu. Dªugo±ci wahadªa l jest odlegªo± od osi obrotu do ±rodka masy. Moment siªy ci»ko±ci wzgl dem ±rodka masy dla wahadªa odchylonego od pionu o k t ϕ: M = mgl sin ϕ Równanie ruchu: = mgl sin ϕ dt 2 Moment siªy jest z ujemnym znakiem, poniewa» zmniejsza wychylenie. I d 2 ϕ Moment kieruj cy M k = mgl Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
83 Wahadªo zyczne Wahadªo zyczne jest to bryªa, która mo»e si waha wzgl dem staªej osi obrotu. Dªugo±ci wahadªa l jest odlegªo± od osi obrotu do ±rodka masy. Moment siªy ci»ko±ci wzgl dem ±rodka masy dla wahadªa odchylonego od pionu o k t ϕ: M = mgl sin ϕ Równanie ruchu: = mgl sin ϕ dt 2 Moment siªy jest z ujemnym znakiem, poniewa» zmniejsza wychylenie. I d 2 ϕ Moment kieruj cy M k = mgl Dla maªych wychyle«: sin ϕ ϕ d 2 ϕ dt 2 = M k I ϕ Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
84 d 2 ϕ = dω dt 2 dt = dω dϕ dϕ dt = ω dω dϕ = M k I ϕ Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
85 d 2 ϕ = dω dt 2 dt = dω dϕ dϕ dt = ω dω dϕ = M k I ϕ separacja zmiennych i caªkowanie: I ω dω = M k ϕ dϕ 1 2 I ω2 = 1 2 M kϕ 2 + C Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
86 d 2 ϕ = dω dt 2 dt = dω dϕ dϕ dt = ω dω dϕ = M k I ϕ separacja zmiennych i caªkowanie: I ω dω = M k ϕ dϕ 1 2 I ω2 = 1 2 M kϕ 2 + C 1 2 I ω2 + 1 }{{} 2 M kϕ 2 = C = E C caªkowita energia mechaniczna wahadªa }{{} E K E P Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
87 d 2 ϕ = dω dt 2 dt = dω dϕ dϕ dt = ω dω dϕ = M k I ϕ separacja zmiennych i caªkowanie: I ω dω = M k ϕ dϕ 1 2 I ω2 = 1 2 M kϕ 2 + C 1 2 I ω2 + 1 }{{} 2 M kϕ 2 = C = E C caªkowita energia mechaniczna wahadªa }{{} E K E P ω = 2E C M k ϕ 2 M = k 2E C I I M k ϕ 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
88 d 2 ϕ = dω dt 2 dt = dω dϕ dϕ dt = ω dω dϕ = M k I ϕ separacja zmiennych i caªkowanie: I ω dω = M k ϕ dϕ 1 2 I ω2 = 1 2 M kϕ 2 + C 1 2 I ω2 + 1 }{{} 2 M kϕ 2 = C = E C caªkowita energia mechaniczna wahadªa }{{} E K E P ω = 2E C M k ϕ 2 M = k 2E C I I M k ϕ 2 separacja zmiennych i caªkowanie: dϕ = 2E C ϕ M 2 k M k I dt arcsin ( M k 2E C ϕ ) = M k I t + C Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
89 ( ) 2E ϕ (t) = C M sin k M k I t + ϑ 0 = ϕ 0 sin ( 2π T t + ϑ ) 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
90 ( ) 2E ϕ (t) = C M sin k M k I t + ϑ 0 = ϕ 0 sin ( 2π T t + ϑ ) 0 Amplituda waha«: ϕ 0 = 2E C M k Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
91 ( ) 2E ϕ (t) = C M sin k M k I t + ϑ 0 = ϕ 0 sin ( 2π T t + ϑ ) 0 Amplituda waha«: ϕ 0 = 2E C M k Okres waha«: M k I = 2π T T = 2π I M k I = 2π = 2π mgl l rg Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
92 ( ) 2E ϕ (t) = C M sin k M k I t + ϑ 0 = ϕ 0 sin ( 2π T t + ϑ ) 0 Amplituda waha«: ϕ 0 = 2E C M k Okres waha«: M k I = 2π T T = 2π I M k I = 2π = 2π mgl l rg Dªugo± zredukowana wahadªa zycznego: l r = I = Is+ml 2 = Is + l > l ml ml ml Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
93 ( ) 2E ϕ (t) = C M sin k M k I t + ϑ 0 = ϕ 0 sin ( 2π T t + ϑ ) 0 Amplituda waha«: ϕ 0 = 2E C M k Okres waha«: M k I = 2π T T = 2π I M k I = 2π = 2π mgl l rg Dªugo± zredukowana wahadªa zycznego: l r = I = Is+ml 2 = Is + l > l ml ml ml Staªa fazowa: ϑ 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Dynamika Bryªy Sztywnej Kraków, / 28
2 Statyka. F sin α + R B = 1 1 n ( 1. Rys. 1. mg 2
1 Moment p du Zad. 1.1 Cz stka o masie m = 5 kg znajduj c si w poªo»eniu r = 3i + j + k [m] ma pr dko± v = i [m/s]. Obliczy wektor momentu p du L cz stki wzgl dem pocz tku ukªadu wspóªprzednych, wzgl dm
Stereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
r = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Dynamika. Adam Szmagli«ski. Kraków, Instytut Fizyki PK
Dynamika Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków, 22.10.2016 Pierwsza Zasada Dynamiki Newtona Ka»de ciaªo pozostaje w spoczynku lub porusza si ruchem jednostajnym prostoliniowym, je±li nie dziaªaj na
Kinematyka 2/15. Andrzej Kapanowski ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A. Kapanowski Kinematyka
Kinematyka 2/15 Andrzej Kapanowski http://users.uj.edu.pl/ ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków 2018 Podstawowe poj cia Kinematyka jest cz ±ci mechaniki, która zajmuje si opisem
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
1 Trochoidalny selektor elektronów
1 Trochoidalny selektor elektronów W trochoidalnym selektorze elektronów TEM (Trochoidal Electron Monochromator) stosuje si skrzy»owane i jednorodne pola: elektryczne i magnetyczne. Jako pierwsi taki ukªad
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Wektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Wektor. Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D).
Wektor Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D). Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, 10.10.2015 1 / 13 Wektor Uporz dkowany
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Elektrostatyka. Prawo Coulomba. F = k qq r r 2 r, wspóªczynnik k = 1 = N m2
Elektrostatyka Prawo Coulomba F = k qq r r 2 r, wspóªczynnik k = 1 N m2 4πε = 9 109 C 2 gdzie: F - siªa z jak ªadunek Q dziaªa na q, r wektor poªo»enia od ªadunku Q do q, r = r, Przenikalno± elektryczna
PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Ruch harmoniczny. Adam Szmagli«ski. Kraków, Instytut Fizyki PK
Ruch harmoniczny Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków, 29.10.2016 Ruch harmoniczny Drgania to ruchy powtarzaj ce si. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 2 / 32 Ruch harmoniczny
Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)
Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Kinematyka ruchu
Ekstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)
Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) I (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają
VII.1 Pojęcia podstawowe.
II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku
Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny
Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny Instytut Informatyki i Automatyki Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Informatyki i Przedsi biorczo±ci w Šom»y 2 0 0 9 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Przeksztaªcenia pªaszczyzny
Kinetyczna teoria gazów
Kinetyczna teoria gazów Gaz doskonaªy 1. Cz steczki gazu wzajemnie na siebie nie dziaªaj, a» do momentu zderzenia 2. Rozmiary cz steczek mo»na pomin, traktuj c je jako punkty Ka»da cz steczka gazu porusza
Ruch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe
Ruch obrotowy bryły sztywnej Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe Ruch obrotowy ruch po okręgu P, t 1 P 1, t 1 θ 1 θ Ruch obrotowy ruch po okręgu P,
Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki
Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki I. Zasada bezwładności Gdy działające siły równoważą się ciało fizyczne pozostaje w spoczynku lubporusza się ruchem prostoliniowym ze stałą prędkością. II. Zasada
Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9
Fizyka 1 (mechanika) 1100-1AF14 Wykład 9 Jerzy Łusakowski 05.12.2016 Plan wykładu Żyroskopy, bąki, etc. Toczenie się koła Ruch w polu sił centralnych Żyroskopy, bąki, etc. Niezrównoważony żyroskop L m
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Opis ruchu obrotowego
Opis ruchu obrotowego Oprócz ruchu translacyjnego ciała obserwujemy w przyrodzie inną jego odmianę: ruch obrotowy Ruch obrotowy jest zawsze względem osi obrotu W ruchu obrotowym wszystkie punkty zakreślają
1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Fizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,
![1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,](/thumbs/93/111864182.jpg "1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,")
XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
g 2 f 2 ω 4 r 2 4 R2 π 2 dla każdej odległości r położenia pracownika od środka tarczy. Ostatecznie:
Fizyka I, Kolokwium (07.0.03) Zadanie. Jedną z atrakcji wesołego miasteczka jest duża, pozioma tarcza o promieniu R wirująca z prędkością kątową ω. W poprzek sceny należy przejść nie tracąc równowagi.
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Spis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 2 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
1 Elektrostatyka. 1.1 Wst p teoretyczny
Elektrostatyka. Wst p teoretyczny Dwa ªadunki elektryczne q i q 2 wytwarzaj pole elektryczne i za po±rednictwem tego pola odziaªuj na siebie wzajemnie z pewn siª. Je»eli pole elektryczne wytworzone jest
Kinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Ciało sztywne i moment bezwładności Ciekawe przykłady ruchu obrotowego Dynamika ruchu obrotowego Kinematyka ruchu obrotowego Obliczanie momentu
Ruch obrotowy 016 Spis treści Ciało sztywne i moment bezwładności Ciekawe przykłady ruchu obrotowego Dynamika ruchu obrotowego Kinematyka ruchu obrotowego Obliczanie momentu bezwładności Ruch obrotowo-postępowy
AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
1 Praca, energia mechaniczna
1 Praca, energia mechaniczna Zad. 1.1 Kula o promieniu R pªywa w cieczy o g sto±ci ρ, przy czym jest w niej zanurzona do poªowy swej obj to±ci. Jak prac nale»y wykona, aby wydoby kul nad poziom cieczy?
Dynamika 3/15. Andrzej Kapanowski ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A. Kapanowski Dynamika
Dynamika 3/15 Andrzej Kapanowski http://users.uj.edu.pl/ ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków 2018 Podstawowe poj cia Dynamika jest cz ±ci mechaniki klasycznej, która zajmuje si
Pole grawitacyjne 5/15. Andrzej Kapanowski ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków
Pole grawitacyjne 5/15 Andrzej Kapanowski http://users.uj.edu.pl/ ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków 2018 Wprowadzenie Oddziaªywanie grawitacyjne jest jednym z czterech podstawowych
będzie momentem Twierdzenie Steinera
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz. Niech 90 oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała o masie i niech będzie momentem bezwładności tego ciała względem osi równoległej
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Teoria wzgl dno±ci Einsteina
Fizyka dla Informatyków Wykªad 12 Katedra Informatyki Stosowanej P J W S T K 2 0 0 9 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Wst p 2 3 4 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Wst p 2 3 4 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Wst p 2 3 4 Spis
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera
V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety
MECHANIKA KLASYCZNA. Andrzej P kalski
MECHANIKA KLASYCZNA Andrzej P kalski Spis tre±ci Rozdziaª 1. Wst p 7 Rozdziaª 2. Dynamika punktu materialnego 9 1. Prawa Newtona 9 2. Rozwi zywanie równa«newtona 10 3. Oscylator harmoniczny 11 4. Prawa
(wynika z II ZD), (wynika z PPC), Zapisujemy to wszystko w jednym równaniu i przeksztaªcamy: = GM
ODPOWIEDZI, EDUKARIS - kwiecie«2014, opracowaª Mariusz Mroczek 1 Zadanie 1.1 (2 pkt) Zmiana kierunku wektora pr dko±ci odbywa si, zgodnie z II ZD, w kierunku dziaªania siªy. Innymi sªowami: przyrosty pr
Fizyka 1- Mechanika. Wykład 9 1.XII Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
Fizyka 1- Mechanika Wykład 9 1.X.016 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ Moment bezwładności - koło Krążek wokół osi symetrii: M dm
R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO
R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO 4.1. Bryła sztywna W dotychczasowych rozważaniach traktowaliśmy wszystkie otaczające nas ciała jako punkty materialne lub zbiory punktów materialnych. Jest to
WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA ĆWICZENIE
ĆWICZENIE 1 WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA Cel ćwiczenia: Doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera, wyznaczenie
Siły oporu prędkość graniczna w spadku swobodnym
FIZYKA I Wykład III Mechanika: Pojęcia podstawowe dynamika i punktu historiamaterialnego (VI) Siły oporu prędkość graniczna w spadku swobodnym s = v 0 t + at v 0 = 0; a = g; s = h h = gt F o = k v F g
Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( Równowaga Statyka Bryły sztywnej umieszczonej
Rys.2 N = H (N cos = N) : (1) H y = q x2. y = q x2 2 H : (3) Warto± siªy H, która mo»e by uto»samiana z siª naci gu kabla, jest równa: z (3) przy
XXXV OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody III stopnia Rozwi zania zada«dla grupy mechaniczno-budowlanej Rozwi zanie zadania Tzw. maªy zwis, a wi c cos. W zwi zku z tym mo»na przyj,»e Rys. N H (N cos N)
Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Obrót wokół ustalonej osi Prawa ruchu Dla bryły sztywnej obracajacej się wokół ostalonej osi mement
Podstawy fizyki wykład 4
Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Stereometria. Zimowe Powtórki Maturalne. 22 lutego 2016 r.
Stereometria Zimowe Powtórki Maturalne 22 lutego 2016 r. 1. Przek tna sze±cianu o boku 1 ma dªugo± : 1. Przek tna sze±cianu o boku 1 ma dªugo± : 1 1. Przek tna sze±cianu o boku 1 ma dªugo± : 1 2 1. Przek
Podstawy fizyki wykład 4
Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2011-18-02 Motywacja Liczby
WYKŠAD 3. di dt. Ġ = d (r v) = r P. (1.53) dt. (1.55) Przyrównuj c stronami (1.54) i (1.55) otrzymujemy wektorowe równanie
WYKŠAD 3 Równania Gaussa dla e, I, Ω, ω, M. Ω, di 1.3.3 Od caªki ól do ė, W odró»nieniu od skalarnej caªki siª»ywych, wektorowa caªka ól mo»e nam osªu»y do otrzymania a» trzech kolejnych równa«gaussa.
v 6 i 7 j. Wyznacz wektora momentu pędu czaski względem początku układu współrzędnych.
Dynamika bryły sztywnej.. Moment siły. Moment pędu. Moment bezwładności. 171. Na cząstkę o masie kg znajdującą się w punkcie określonym wektorem r 5i 7j działa siła F 3i 4j. Wyznacz wektora momentu tej
PODSTAWY MECHANIKI KLASYCZNEJ wersja robocza. Andrzej P kalski
PODSTAWY MECHANIKI KLASYCZNEJ wersja robocza Andrzej P kalski Spis tre±ci Rozdziaª 1. Wst p 5 Rozdziaª 2. Dynamika punktu materialnego 7 1. Zasady zachowania 11 2. Ukªad punktów materialnych 13 3. Wi
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY
14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY Ruch jednostajny po okręgu Pole grawitacyjne Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania
1 Praca, energia mechaniczna
1 Praca, energia mechaniczna Zad. 1.1 Ciaªo pocz tkowo ze±lizguje si z równi pochyªej o k cie nachylenia α = 30, anast pnie ±lizga si po powierzchni poziomej. Drogi przebyte przez ciaªo po powierzchni
Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego
POLTECHNKA ŚLĄSKA WYDZAŁ CHEMCZNY KATEDRA FZYKOCHEM TECHNOLOG POLMERÓW LABORATORUM Z FZYK Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego WYZNACZANE MOMENTÓW BEZWŁADNOŚC
Mechanika Klasyczna. Wykªad 1
Mechanika Klasyczna Wykªad 1 Opis punktów materialnych w umownym ukªadzie odniesienia: Przestrze«trójwymiarowa, wektory: r = r = (r 1, r 2, r 3 ) R 3 (zwyczajowo (x, y, z) je±li jest to jednoznaczne) konwencja
MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
f(g(x))g (x)dx = 6) x 2 1
Mtemtyk -. rok Trnsport, stcjonrne. stopie«przykªdowe zdni n kolokwium nr.cªki nieoznczone - cªkownie przez cz ±ci, cªkownie przez podstwienie Denicj F () = f(), f()d = F () + C Cªkownie przez cz ±ci:
Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI:
Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI: Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Ogólne wyrażenie na moment pędu Tensor momentu bezwładności Osie główne Równania Eulera Bak swobodny Porównanie
v = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n [ ] U [x y z] T (X,Y,Z)
![v = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n [ ] U [x y z] T (X,Y,Z)](/thumbs/95/125796041.jpg "v = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n [ ] U [x y z] T (X,Y,Z)")
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i U = {X i } i=,n v T v = = v v n v n U x y z T X,Y,Z) v v v = 2 T A, ) b = 3 4 T B, ) c = + b b d = b c c d d 2 + 3b e b c = 5 3 T b d = 5 T c c = 34 d = 26 d
12 RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ I. a=εr. 2 t. Włodzimierz Wolczyński. Przyspieszenie kątowe. ε przyspieszenie kątowe [ ω prędkość kątowa
Włodzimierz Wolczyński Przyspieszenie kątowe 1 RUCH OROTOWY RYŁY SZTYWNEJ I = = ε przyspieszenie kątowe [ ] ω prędkość kątowa = = T okres, = - częstotliwość s=αr v=ωr a=εr droga = kąt x promień prędkość
MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
Bryła sztywna. Fizyka I (Mechanika) Wykład IX: Bryła sztywna Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Bak i żyroskop
Bryła sztywna Fizyka I (Mechanika) Wykład IX: Bryła sztywna Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Bak i żyroskop Bryła sztywna Układ wielu ciał m 1 p 1 m 4 CM m VCM p 4 3 m 2
Drgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ
ĆWICZENIE 12 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ Cel ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą sprężystych drgań obrotowych. Zagadnienia: sprężystość, naprężenie ścinające, prawo
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
MECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn
Legalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),
![sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),](/thumbs/96/129188795.jpg "sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),")
WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa
FMZ10 K - Liniowy efekt elektrooptyczny
FMZ10 K - Liniowy efekt elektrooptyczny Materiaªy przeznaczone dla studentów kierunku: Zaawansowane Materiaªy i Nanotechnologia w Instytucie Fizyki UJ rok akademicki 009/010 prowadz cy: dr hab. Krzysztof
Wojewódzki Konkurs Matematyczny
sumaryczna liczba punktów (wypeªnia sprawdzaj cy) Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych.
Repetytorium z Fizyki wersja testowa
Skrypt do przedmiotu Repetytorium z Fizyki wersja testowa Opracowanie: mgr in». Justyna Szostak mgr Tomasz Neumann Gda«sk, 2009 Projekt Przygotowanie i realizacja kierunku in»ynieria biomedyczna - studia