Grafika komputerowa Wykład 4 Geometria przestrzenna
|
|
- Witold Podgórski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Grafika komputerowa Wykład 4 Geometria przestrzenna Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży
2 Spis treści Spis treści 1 Geometria 3D - podstawowe pojęcia w układzie obserwatora 6
3 Spis treści Spis treści 1 Geometria 3D - podstawowe pojęcia w układzie obserwatora 6
4 Spis treści Spis treści 1 Geometria 3D - podstawowe pojęcia w układzie obserwatora 6
5 Spis treści Spis treści 1 Geometria 3D - podstawowe pojęcia w układzie obserwatora 6
6 Spis treści Spis treści 1 Geometria 3D - podstawowe pojęcia w układzie obserwatora 6
7 Spis treści Spis treści 1 Geometria 3D - podstawowe pojęcia w układzie obserwatora 6
8 w układzie obserwatora Geometria w przestrzeni 3D Podstawowe pojęcia Rys. 1: Lewoskrętny układ współrzędnych kartezjańskich
9 w układzie obserwatora Geometria w przestrzeni 3D Podstawowe pojęcia Rys. 2: Współrzędne sferyczne: OP = r, x = r cos ϕ cos ψ, y = r sin ϕ, z = r cos ϕ sin ψ
10 w układzie obserwatora Geometria w przestrzeni 3D Podstawowe pojęcia Długość wektora v : v = v = x 2 + y 2 + z 2 Iloczyn skalarny v 1 v 2 = v 1 v 2 cos ( v 1, v 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Iloczyn wektorowy: właściwości 1. Prostopadłość: v 1 v i v 2 v 2. Dodatnie zorientowanie wektorów v 1, v 2 i v det( v 1, v 2, v) = det x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x y z > 0
11 w układzie obserwatora Geometria w przestrzeni 3D Podstawowe pojęcia Rys. 3: Iloczyn wektorowy
12 w układzie obserwatora Geometria w przestrzeni 3D Podstawowe pojęcia 3. Definicja iloczynu wektorowego v = v 1 v 2 sin ( v 1, v 2 ) v 1 v 2 = [y 1 z 2 y 2 z 1, x 2 z 1 x 1 z 2, x 1 y 2 x 2 y 1 ] Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) i P 2 = (x 2, y 2, z 2 ) (x x 1 ) (y 2 y 1 ) = (y y 1 ) (x 2 x 1 ) (y y 1 ) (z 2 z 1 ) = (z z 1 ) (y 2 y 1 ) (z z 1 ) (x 2 x 1 ) = (x x 1 ) (z 2 z 1 )
13 w układzie obserwatora Geometria w przestrzeni 3D Podstawowe pojęcia Parametryczne równanie prostej czyli x(t) = x 1 + t (x 2 x 1 ) y(t) = y 1 + t (y 2 y 1 ) z(t) = z 1 + t (z 2 z 1 ) P(t) = P 1 + t k, t (, + ) t (, + ) gdzie k = P 2 P 1 = [x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ] wektor kierunkowy prostej. Jeśli t ( 1, +1) to odcinek P 1 P 2.
14 w układzie obserwatora Geometria w przestrzeni 3D Podstawowe pojęcia Równanie płaszczyzny n = [x n, y n, z n ] wektor normalny do płaszczyzny; P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) punkt płaszczyzny n (P P 0 ) = 0 x n x + y n y + z n z = c gdzie c = n P 0 = x nx 0 + y ny 0 + z nz 0 Równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 punkty ((P 2 P 1 ) (P 3 P 1 )) (P P 1 ) = 0 det x y z 1 x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 = 0
15 w układzie obserwatora Geometria w przestrzeni 3D Podstawowe pojęcia Równanie prostej wynik przecięcia dwu płaszczyzn P(t) = P 0 + t n 1 n 2 Punkt P 0 wyznaczamy jak przecięcie z trzecią dowolną płaszczyzną nierównoległą do pozostałych dwu, np. przechodzącą przez poczatek układu współrzędnych ( n 1 n 2 ) P = 0 W ogólności, jeśli trzy płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie, to spełnia ten punkt 3 równania n 1 P = c 1, n 2 P = c 2, n 3 P = c 3
16 w układzie obserwatora Geometria w przestrzeni 3D Podstawowe pojęcia Jeśli n i = [n i1, n i2, n i3 ], i = 1, 2, 3, to zadanie sprowadza się do rozwiązania układu równań n 11 x + n 12 y + n 13 z = c 1 n 21 x + n 22 y + n 23 z = c 2 n 31 x + n 32 y + n 33 z = c 1
17 w układzie obserwatora Reprezentacja liczb Liczby typu integer reprezentacja stałopozycyjna n l = s c i 2 i, (c n 0 dla l 0) i=0 gdzie s = ±1 znak liczby; c i = 0 lub 1. Liczby typu real reprezentacja zmiennopozycyjna x = s 2 c m gdzie s = ±1 znak liczby; c cecha (liczba całkowita); m = c i 2 i, (c 1 = 1, i=1 c i = 0 lub 1 dla i > 1) mantysa (liczba rzeczywista z przedziału [1/2, 1))
18 w układzie obserwatora Reprezentacja liczb Przykład Chcemy numerycznie wyznaczyć punkt przecięcia prostych y = a 1 x + b 1 i y = a 2 x + b 2 Niech rd(x) = x(1 + ε), ε η, η dokładność arytmetyki. Niech a 1 = rd(a 1 ) i a 2 = rd(a 2 ), a b 1, b 2 znane tylko z przybliżeniem, czyli rozwiązujemy układ y = a 1 x + b 1 i y = a 2 x + b 2 b 1 = rd(b 1 ) = b 1 (1 + ε 1 ), b 2 = rd(b 2 ) = b 2 (1 + ε 2 ), ε i η czyli prosta y = a 1 x + b 1 będzie reprezentowana jakąś prostą z pęku między b 1 (1 η) a b 1 (1 + η), a prosta y = a 2 x + b 2 z prostą z pęku pomiędzy b 2 (1 η) a b 2 (1 + η).
19 w układzie obserwatora Geometria w przestrzeni 3D Podstawowe pojęcia Rys. 4: Wpływ błędów reprezentacji współczynników prostych na położenie punktu ich przecięcia
20 w układzie obserwatora Reprezentacja liczb Przykład Rysujemy wielokrotnie ten sam m-kąt dwoma algorytmami różniącymi się tylko sposobem obliczania kolejnych kątów ϕ Algorytm a podstaw ϕ = /m; przesuń pióro do punktu (1, 0); dla i = 1, 2,..., n oblicz ϕ = i ϕ; rysuj odcinek od poprzedniego położenia pióra do punktu (cos ϕ, sin ϕ); Algorytm b podstaw ϕ = /m; przesuń pióro do punktu (1, 0); zainicjuj ϕ = 0; dla i = 1, 2,..., n powiększ ϕ = ϕ + ϕ; rysuj odcinek od poprzedniego położenia pióra do punktu (cos ϕ, sin ϕ);
21 w układzie obserwatora Geometria w przestrzeni 3D Podstawowe pojęcia Rys. 5: Siedmiokąt rysowany wielokrotnie algorytmem a) i b) dla dla m = 7 i n = 7000
22 w układzie obserwatora Translacja P(x, y, z) P (x, y, z ) = P(x, y, z) + t (x, y, z) lub [x, y, z, 1] = [x, y, z, 1] tx ty tz 1
23 w układzie obserwatora Skalowanie P(x, y, z) P (x, y, z ) = P(sx x, sy y, sz z) lub [x, y, z, 1] = [x, y, z, 1] sx sy sz
24 w układzie obserwatora Skalowanie Rys. 6: Skalowanie krzywej
25 w układzie obserwatora Obrót wokół osi Ox P(x, y, z) P (x, y, z ) = P(x, y cos ϕ z sin ϕ, y sin ϕ + z cos ϕ) lub [x, y, z, 1] = [x, y, z, 1] cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ
26 w układzie obserwatora Symetria względem płaszczyzny Rys. Romuald 7: Symetria Kotowskiwzględem Grafikapłaszczyzny komputerowa W4
27 w układzie obserwatora Symetria względem płaszczyzny Dla danego punktu P = (x, y, z) szukamy punktu P = (x, y, z ) symetrycznego względem płaszczyzny ax + by + cz = d Rzut punkty P na płaszczyznę P(x, y, z) Q = P + t[a, b, c], bo [a, b, c] prostopadły do płaszczyzny. Parametr t wyznaczmy z warunku skąd dostajemy t = a(x + ta) + b(y + tb) + c(z + tc) = d d ax by cz a 2 + b 2 + c 2. Z oczywistej zależności P = P + (2Q P) [x, y, z d ax by cz ] = [x, y, z] + 2 a 2 + b 2 + c 2 [a, b, c] Odległość punktu P od płaszczyzny ρ = d ax by cz a 2 + b 2 + c 2
28 w układzie obserwatora Przekształcenie trzypunktowe Zastosowanie szczególnie przydatne przy budowaniu scen trójwymiarowych, gdy jeden obiekt chcemy dokleić do drugiego. Dane są dwie trójki punktów P 1, P 2, P 3 i Q 1, Q 2, Q 3.Szukamy takiej izometrii (odwzorowanie, które nie zmienia odległości między punktami), która odwzorowuje punkt P 1 w Q 1 kierunek P = P 2 P 1 przekształca w kierunek Q = Q 2 Q 1 transformuje płaszczyznę przechodzącą przez P 1, P 2, P 3 na płaszczyznę wyznaczoną punktami Q 1, Q 2, Q 3.
29 w układzie obserwatora Przekształcenie trzypunktowe Rys. 8: Przekształcenie trzypunktowe
30 w układzie obserwatora Przekształcenie trzypunktowe Budujemy lokalny układ współrzędnych w P 1 u 1 = P 2 P 1 P 2 P 1, u 2 = (P 2 P 1 ) (P 3 P 1 ) (P 2 P 1 ) (P 3 P 1 ), u 3 = u 1 u 2 i lokalny układ współrzędnych w Q 1 w 1 = Q 2 Q 1 Q 2 Q 1, w 2 = (Q 2 Q 1 ) (Q 3 Q 1 ) (Q 2 Q 1 ) (Q 3 Q 1 ), w 3 = w 1 w 2 u 1 Transformujemy U = u 2 W = u 3 gdzie R macierz obrotu w 1 w 2 w 3 = u 1 u 2 u 3 R
31 w układzie obserwatora Przekształcenie trzypunktowe Wierszami macierzy U są wektory jednostkowe wzajemnie prostopadłe, a zatem U jest macierzą ortogonalną, U U T = I czyli U 1 = U T (i podobnie dla W ). Mamy zatem R = U 1 W = [u1 T u2 T u3 T ] w 1 w 2 w 3 Musimy jeszcze tylko dokonać translacji o wektor Q 1 P 1 R
32 w układzie obserwatora Przekształcenia układu współrzędnych Często wygodniej zamiast przekształcać rysowany obiekt jest zmieniać układ współrzędnych. Układ współrzędnych możemy przesuwać, skalować lub obracać. Warto może jeszcze wspomnieć o szczególnym przypadku skalowania. Przekształcenie określone macierzą zmienia układ lewoskrętny na układ prawoskrętny.
33 w układzie obserwatora równoległe i perspektywiczne Metody rzutowania dzielimy na dwie klasy: 1 rzutowanie równoległe zachowuje równoległość prostych, stosunek długości odcinków równoległych i związki miarowe figury płaskiej równoległej do płaszczyzny rzutowania; stosuje się głównie w rysunku technicznym 2 rzutowanie perspektywiczne (środkowe) pozwala na bardziej realistyczną wizualizację obiektów trójwymiarowych i daje wrażenie głębi
34 w układzie obserwatora równoległe i perspektywiczne Rys. 9: Rzuty: a) równoległy; b) środkowy (perspektywiczny)
35 w układzie obserwatora równoległe i perspektywiczne Rys. 10: Porównanie rzutów tego samego obiektu: a) równoległego;
36 w układzie obserwatora równoległe i perspektywiczne Rys. 11: Porównanie rzutów tego samego obiektu: b) środkowego
37 w układzie obserwatora równoległe i perspektywiczne Rys. 12: Relacje odległości w rzucie środkowym
38 w układzie obserwatora równoległe i perspektywiczne Przy rzutowaniu środkowym zostają zmienione relacje odległości: rzuty odcinków leżących bliżej rzutni są dłuższe niż rzuty odcinków tej samej długości, ale bardziej oddalonych od płaszczyzny rzutowania. Przy rzutowaniu na płaszczyznę π obrazem punktu P jest punkt P, przecięcia z π prostej przechodzącej przez P. W rzucie perspektywicznym wszystkie proste (promienie rzutowania) mają punkt wspólny, nazywany środkiem rzutowania (punkt E na rys. 12). Odległość tego punktu od rzutni π decyduje o deformacji rysunku (patrz rys. 13). W rzucie równoległym wszystkie proste rzutowania mają ten sam ustalony kierunek k. Jeśli jest on prostopadły do rzutni, to rzut nazywamy ortogonalnym.
39 w układzie obserwatora równoległe i perspektywiczne Rys. 13: Wpływ położenia środka rzutowania w stosunku do płaszczyzny rzutu: a) bliżej; b) dalej
40 w układzie obserwatora równoległe i perspektywiczne Znalezienie współrzędnych rzutu P punktu P sprowadza się do rozwiązania rozważanego wcześniej zadania wyznaczania przecięcia płaszczyzny π i prostej (promienia rzutowania) określonej punktem P i kierunkiem k przy rzucie równoległym lub punktem P i środkiem rzutowania E w przypadku rzutu perspektywicznego. W ten sposób otrzymalibyśmy jednak współrzędne punktu P w układzie trójwymiarowym, w którym został opisany rysowany obiekt. Ten wyjściowy układ współrzędnych będziemy nazywali układem danych. Do rysowania są potrzebne współrzędne w układzie dwuwymiarowym określonym na płaszczyźnie rzutowania π. Najbardziej popularna jest metoda przekształcenia układu danych do układu obserwatora. Rzutnia π pokrywa się z płaszczyzną z = 0, a zatem przy rysowaniu na płaskim ekranie wystarczy pominąć współrzędne z.
41 w układzie obserwatora równoległe i perspektywiczne Rys. 14: równoległe w układzie obserwatora
42 w układzie obserwatora w układzie obserwatora Rzut równoległy Przy rzucie równoległym ortogonalnym rzutem punktu P = (x, y, z) jest P = (x, y, 0). Ogólniejszą sytuację ilustruje rys. 15. Kierunek rzutu równoległego tworzy z rzutnią π kąt α. Współrzędne x i y rzutu P punktu P(x, y, z) są równe x = x + r cos ϕ, y = y + r sin ϕ przy czym r = z tg α, a ϕ jest kątem nachylenia prostej przechodzącej przez (x, y, 0) i (x, y, 0) do osi Ox, więc x = x + z ctg α cos ϕ, y = y + z ctg α sin ϕ Najczęściej przyjmuje się ϕ = 30 lub ϕ = 45, a odpowiadające im sposoby rzutowania maj własne nazwy. Przykładowo, dla kata αarc ctan1/2 63 mamy aksonometrię kawalerską (rys. 16a), a dla kąta α = 45 wojskową (rys. 16b).
43 w układzie obserwatora w układzie obserwatora Rzut równoległy Rys. 15: Ogólny (nieortogonalny) rzut równoległy
44 w układzie obserwatora w układzie obserwatora Rzut równoległy Rys. 16: Aksonometrie: a) kawalerska; b) wojskowa
45 w układzie obserwatora w układzie obserwatora Rzut środkowy Obserwator utożsamiany ze środkiem rzutowania E znajduje się na ujemnej części osi z układu, na przykład w punkcie (0, 0, d). Z rysunku 17 widzimy, ze skala podobieństwa trójkątów EPQ i EP 0 jest równa d/(z + d). Stąd dostajemy potrzebne zależności między współrzędnymi punktu P i jego rzutu perspektywicznego P x = xd z + d, y = yd z + d
46 w układzie obserwatora w układzie obserwatora Rzut środkowy Rys. 17: Rzut środkowy w układzie obserwatora
47 w układzie obserwatora Zakładaliśmy, omawiając rzutowanie perspektywiczne, że wszystkie obiekty trójwymiarowe tworzące scenę znajdują się w pewnej odległości przed obserwatorem (środkiem rzutowania). Możemy zatem, otrzymywać takie obrazki jak na rys. 18a. A jak postępować, gdy chcemy uzyskać zbliżenie jakiegoś elementu (rys. 18b), czy sfotografować fragment sceny trójwymiarowej z jej środka (rys. 19c)? Rozwiązanie polega na zdefiniowaniu ostrosłupa widzenia i rzutowaniu tylko tych obiektów (ew. ich fragmentów), które się w tym ostrosłupie zmieściły.
48 w układzie obserwatora Rys. 18: a) Widok całego obiektu; b) fragment oglądany z lotu ptaka
49 w układzie obserwatora Rys. 19: c) fragment widziany z ulicy
50 w układzie obserwatora Zróbmy zdjęcie fotograficzne (aparat zgodnie z kierunkiem i zwrotem osi z). Wtedy płaszczyzną rzutowania π jest błona fotograficzna umieszczona w odległości 1 od obserwatora, a klatka filmu ma rozmiar 2u 2w. Rzutnia π jest zatem rozpięta na wektorach u = [u, 0, 0] i w = [0, w, 0]. W ten sposób zdefiniowaliśmy nieskończony ostrosłup widzenia o wierzchołku w środku rzutowania E i krawędziach będących półprostymi wychodzącymi z punktu E, mającymi kierunki (rys. 20) v + u + w, v + u w, v u + w, v u w
51 w układzie obserwatora Rys. 20: Początkowe położenie ostrosłupa widzenia
52 w układzie obserwatora Wybór wielkości u i w odpowiada wyborowi obiektywu. Im mniejsze są u i w, tym węższy jest ostrosłup widzenia w terminologii fotograficznej odpowiadałoby to stosowaniu teleobiektywu o coraz większej ogniskowej. Przyjęcie większych wartości u i w odpowiada natomiast użyciu obiektywu szerokokątnego. W ogólnym przypadku wierzchołek E ostrosłupa widzenia może być jakimkolwiek punktem R 3, na przykład mieć współrzędne (x E, y E, z E ). O wektorach u, w i v zakładamy jedynie, że są ortogonalne (wzajemnie prostopadłe), v ma długość v = 1. Przyjmijmy ponadto, że kierunek i zwrot osi x na rzutni π jest wyznaczony wektorem u a na osi y wektorem w (rys. 21). Początek tego układu to punkt 0 = E + v. Analogia z fotografowaniem nie jest pełna, gdyż punkty należące do ostrosłupa widzenia, a leżące po tej samej stronie π co punkt E, też będą rzutowane.
53 w układzie obserwatora Rys. 21: Ogólne określenie ostrosłupa widzenia
54 w układzie obserwatora Niech P będzie dowolnym punktem R 3 o współrzędnych (x, y, z) w układzie danych. Szukamy współrzędnych jego rzutu środkowego P na rzutni π. Jednocześnie chcemy rozstrzygnąć, czy P leży wewnątrz ostrosłupa widzenia. Z rysunku 21 widać, że EP = EP EP cos α = EP ( EP EP v EP v ) = EP EP v bo v = 1. Z drugiej strony EP = v + 0 P, a wektor 0 P to 0 P = x u u + y w w
55 w układzie obserwatora Szukane współrzędne x i y wyznaczamy z równania gdzie u = u/ u, a w = w/ w. x = x u + y w + v = EP EP u EP v, y EP w = EP v
Ćwiczenia nr 4. TEMATYKA: Rzutowanie
TEMATYKA: Rzutowanie Ćwiczenia nr 4 DEFINICJE: Rzut na prostą: rzutem na prostą l (zwaną rzutnią) w kierunku rzutowania k (k l) nazywamy przekształcenie płaszczyzny przyporządkowujące: a) Punktom prostej
Z ostatniego wzoru i zależności (3.20) można obliczyć n6. Otrzymujemy (3.23) 3.5. Transformacje geometryczne
46 III. Przekształcenia w przestrzeni trójwymiarowej Z ostatniego wzoru i zależności (3.20) można obliczyć n6. Otrzymujemy (3.23) 3.5. Transformacje geometryczne Złożone obiekty trójwymiarowe można uważać,
Elementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego
Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Geometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.
Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollub.pl Rzutowanie Równoległe Perspektywiczne Rzutowanie równoległe Rzutowanie równoległe jest powszechnie używane w rysunku technicznym - umożliwienie
Trójwymiarowa grafika komputerowa rzutowanie
Trójwymiarowa grafika komputerowa rzutowanie Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Rzutowanie w przestrzeni 3D etapy procesu rzutowania określenie rodzaju rzutu określenie
Geometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu
Oznaczenia A, B, 1, 2, I, II, punkty a, b, proste α, β, płaszczyzny π 1, π 2, rzutnie k kierunek rzutowania d(a,m) odległość punktu od prostej m(a,b) prosta przechodząca przez punkty A i B α(1,2,3) płaszczyzna
i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
3.3. dwie płaszczyzny równoległe do siebie α β Dwie płaszczyzny równoległe do siebie mają ślady równoległe do siebie
Widoczność A. W rzutowaniu europejskim zakłada się, że przedmiot obserwowany znajduje się między obserwatorem a rzutnią, a w amerykańskim rzutnia rozdziela przedmiot o oko obserwatora. B. Kierunek patrzenia
Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej. Marek Badura
Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej Marek Badura PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE W GRAFICE KOMPUTEROWEJ Przedstawimy podstawowe przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie R 2 (przestrzeń
Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Rzutowanie. dr Radosław Matusik. radmat
www.math.uni.lodz.pl/ radmat Warunki zaliczenia przedmiotu Na ćwiczeniach przez cały semestr będą realizowane dwa projekty w Unity (3D i 2D). Do uzyskania 3 z ćwiczeń wystarczy poprawnie zrealizować oba
gdzie (4.20) (4.21) 4.3. Rzut równoległy
4.3. Rzut równoległy 75 gdzie (4.20) Punkt zbiegu, określony wzorami (4.19) (4.20), leży na prostej przechodzącej przez środek rzutowania i równoległej do wektora u. Zauważmy, że gdy wektor u jest równoległy
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt
Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II
Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
Plan wykładu. Wykład 3. Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady. Rzutowanie prostokątne - geneza. Rzutowanie prostokątne - geneza
Plan wykładu Wykład 3 Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady 1. Rzutowanie prostokątne - geneza 2. Dwa sposoby wzajemnego położenia rzutni, obiektu i obserwatora, metoda europejska i amerykańska
GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel.
GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. (12) 617 46 37 Plan wykładu 1/4 ZACZNIEMY OD PRZYKŁADOWYCH PROCEDUR i PRZYKŁADÓW
Matematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Geometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest parabola? Parabola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem β = α (gdzie α
KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D
KMO2D Kolizje między-obiektowe w 2D I. Wstęp 3 lata temu na temat kolizji nie miałem żadnego pojęcia. Przyszedł jednak czas, gdy postanowiłem napisać pierwszą porządną grę i pojawił się, wtedy problem.
FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Geometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
WYKŁAD I KONSTRUKCJE PODSTAWOWE RZUT RÓWNOLEGŁY RZUT PROSTOKĄTNY AKSONOMETRIA. AdamŚwięcicki
WYKŁAD I KONSTRUKCJE PODSTAWOWE RZUT RÓWNOLEGŁY RZUT PROSTOKĄTNY AKSONOMETRIA AdamŚwięcicki KONSTRUKCJA PROSTEJ PRZECHODZĄCEJ PRZEZ DWA PUNKTY a B B A A KONSTRUKCJA ODCINKA B B A A wariant I KONSTRUKCJA
1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Grafika inżynierska geometria wykreślna. 3. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. Transformacja celowa.
Grafika inżynierska geometria wykreślna 3. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie,
Przekształcenia geometryczne. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej
Przekształcenia geometryczne Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Akademia Górniczo Hutnicza w Krakowie Przekształcenia elementarne w przestrzeni D Punkty p w E na płaszczyźnie
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
M10. Własności funkcji liniowej
M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15 Niech r ( t ) [ x( t), y( t), z( t)], t I ( r ( t ) x( t) i y( t) j z( t) k, t I ) będzie równaniem wektorowym krzywej w R 3. Definicja Krzywą o równaniu r ( t ) [ a cost,
AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI
UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej
Iloczyn wektorowy. Autorzy: Michał Góra
Iloczyn wektorowy Autorzy: Michał Góra 019 Iloczyn wektorowy Autor: Michał Góra DEFINICJA Definicja 1: Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektorów v = ( v x, v y, v z ) R 3 oraz w = ( w x, w y, w z
FUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.
FUNKCJA LINIOWA Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. Jakie znaki mają współczynniki a i b? R: Przedstawiona prosta, jest wykresem funkcji
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Geometria wykreślna. 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury
Geometria wykreślna 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1 3.
MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza. dobrą, bardzo - oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; - zna
Geometria analityczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza
1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności
Grafika inżynierska geometria wykreślna. 2. Przynależność. Równoległość.
Grafika inżynierska geometria wykreślna 2. Przynależność. Równoległość. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Gospodarka przestrzenna, semestr
Grafika Komputerowa Wykład 4. Synteza grafiki 3D. mgr inż. Michał Chwesiuk 1/30
Wykład 4 mgr inż. 1/30 Synteza grafiki polega na stworzeniu obrazu w oparciu o jego opis. Synteza obrazu w grafice komputerowej polega na wykorzystaniu algorytmów komputerowych do uzyskania obrazu cyfrowego
Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty..
4. Proste równoległe i prostopadłe Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty.. Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym,
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej
Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy
Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy Potęgi Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; zna prawa działań na potęgach i potrafi
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;
Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)
Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji,
TEMATYKA: Współliniowość Współpłaszczyznowość Ćwiczenia nr DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, Podstawowe aksjomaty (zdanie, którego
SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie
MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)
Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
płaskie rzuty geometryczne
płaskie rzuty geometryczne równoległe perspektywiczne aksonometryczne izometryczne dimetryczne ukośne (trimetryczne) kawalerskie wojskowe prostokątne gabinetowe Rzuty aksonometryczne z y Rzut aksonometryczny
A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)
METODA RZUTÓW MONGE A (II CZ.)
RZUT PUNKTU NA TRZECIĄ RZUTNIĘ METODA RZUTÓW MONGE A (II CZ.) Dodanie trzeciej rzutni pozwala na dostrzeżenie ważnej, ogólnej zależności. Jeżeli trzecia rzutnia została postawiona na drugiej - pionowej,
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Rozdział VII. Przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie Przekształcenia geometryczne Symetria osiowa Symetria środkowa 328
Drogi Czytelniku 9 Oznaczenia matematyczne 11 Podstawowe wzory 15 Rozdział I. Zbiory. Działania na zbiorach 21 1. Zbiór liczb naturalnych 22 1.1. Działania w zbiorze liczb naturalnych 22 1.2. Prawa działań
Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola
Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest hiperbola? Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem 0 β < α (gdzie
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.
Ekoenergetyka Matematyka. Wykład 6. RÓWNANIA PŁASZCZYZN Fakt (równanie normalne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r [ x, y, z ] i prostopadłej
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Podstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska
Podstawy robotyki Wykład II Ruch ciała sztywnego w przestrzeni euklidesowej Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Preliminaria matematyczne
PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Geometria wykreślna. 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury
Geometria wykreślna 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1 5. Obroty i
9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.
( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Andrzej Marciniak GRAFIKA KOMPUTEROWA. Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu
Andrzej Marciniak GRAFIKA KOMPUTEROWA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku przez studentów
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne