Wykład 8: Całka oznanczona

Podobne dokumenty
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

1.1 Pochodna funkcji w punkcie

Ciągi i szeregi funkcyjne

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

1 Definicja całki oznaczonej

Ciągi liczbowe wykład 3

takimi, że W każdym przedziale k 1 x k wybieramy punkt k ) i tworzymy sumę gdzie jest długością przedziału, x ). 1 k

I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.

Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

MATHCAD Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

7. Szeregi funkcyjne

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

Powtórka dotychczasowego materiału.

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

Analiza Matematyczna część 3

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

Ciągi i szeregi liczbowe

Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7.

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux

Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI

Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.

nazywamy n -tym wyrazem ciągu ( f n

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii

Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II. Wykłady

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

W tym wykładzie zapoznamy się z podstawowymi metodami przybliżonego obliczania całek oznaczonych funkcji jednej zmiennej, tj.

Analiza Matematyczna (część II)

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.

EAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych

Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.

Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

3.6. Całka oznaczona Riemanna i jej własności. Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

CIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

Analiza matematyczna ISIM I

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

ELEMENTÓW PRĘTOWYCH. Rys.D3.1

Arkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Matematyka stosowana i metody numeryczne

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

Analiza Matematyczna 2 Szeregi liczbowe i funkcyjne

Analiza Matematyczna Wykªad

METODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH

Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Obrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej.

Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?

Wykład 3: Transformata Fouriera

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

Struna nieograniczona

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.

Transkrypt:

Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy odciek [, ] odcików o rówej długości: [, ) [,, 2 ) [ ],...,,. Sum pól prostokątów, których podstwy są rówe tym odcikom wysokości kwdrtom ich lewych końców -sesowe przybliżeie ^2..2.4.6.8...2.4.6.8. Rysuek : Obliczie przybliżoej wrtości pol figury S Pole trójkt prboliczego"- obliczei Ozczmy pole figury odpowidjącej podziłowi odcik części przez s. Mmy s = i= ( i ) 2 = 3 (i ) 2 = i= ( )(2 ) 6 3.

Pole figury jest rówe lim s ( )(2 ) 2 3 3 2 + = lim 6 3 = lim 6 3 = 3 () Defiicj cłki ozczoej dl fukcji cigłej Defiicj. Złózmy, że fukcj f jest cigł przedzile [, b]. Cłkę ozczo z fukcji cigłej f przedzile [, b] defiiujemy wzorem [ b f()d = lim f k= ( + (k ) b ) ]. (2) Korzystjąc z wprowdzoej otcji, pole trójkąt prboliczego moż wyrzić stępująco: 2 d. Defiicj cłki ozczoej dl fukcji przedziłmi cigłej Uwg. Wzorem (2) moż zdefiiowć cłkę ozczoą dl pewych fukcji ieciągłych, p. dl fukcji przedziłmi ciągłych. Fukcję f zywmy przedziłmi ciągłą przedzile [, b], jeżeli istieją liczby c, c 2,..., c k tkie, że: (i) < c <... < c k < b orz: (ii) f jest ogriczo [, b] orz ciągł przedziłch (, c ), (c, c 2 ),... (c k, c k ), (c k, b). Cłki Riem i Lebesgue Potrzeby prktyki (i teorii): kostrukcj cłki pewych fukcji, które ie są przedziłmi ciągłe ( odciku [, b].) Kostrukcje tkie podli: B. Riem (826-866); H. Lebesgue (875-94) Cłk f()d gdy b < b Jeśli < b, to będziemy przyjmowli: orz (gdy = b) f()d = b f()d =. f()d. Cłk ozczo fukcji ujemej-iterpretcj geometrycz Jeśli fukcj f jest ujem przedzile [, b], < b, to cłk f()d jest rów polu figury ogriczoej: prostymi y =, = i = b orz wykresem fukcji f() pomożoemu przez (-). 2

Zstosowie do obliczi drogi przebytej w ruchu zmieym Pukt mterily porusz się ruchem prostoliiowym z prędkością v(t) zleżą od czsu. Chcemy zleźć drogę s przebytą przez te pukt w przedzile czsowym [, b]. Zkłdmy, że fukcj v jest ciągł. Podzielmy przedził [, b] odcików o rówej długości: [t, t ), [t, t 2 ),..., [t 2, t ), [t, t ], gdzie t =, t = b drog przebyt przez pukt mterily w przedzile czsowym [t i, t i ] = [ + (i ) b, + i b ] lub [t i, t i ) = [ + (i ) b, + i b ) jest rów w przybliżeiu v(t i ) b. wrtość przybliżo drogi przebytej przez pukt mterily przedzile: [, b] jest: s = b ( v + (i ) b ). (3) i= Zstosowie do obliczi drogi przebytej w ruchu zmieym c.d. Przechodząc do gricy ( ): s = lim s = v(t)dt. Jeśli V (t) jest dowol fukcją pierwotą fukcji v(t) przedzile I = [, b], wtedy drog przebyt przez pukt mterily w przedzile czsowym [, b] jest rów V (b) V (). Twierdzeie Newto-Leibiz Twierdzeie. Jeżeli fukcj f jest cigł przedzile [, b], to f()d = F (b) F (), (4) gdzie F ozcz dowol fukcję pierwot fukcji f tym przedzile. Twierdzeie to odpowid itepretcji fizyczej: drog przebyt przez pukt mterily przedzile czsowym [, b] jest rów V (b) V (), gdzie V jest dowolą fukcją pierwotą prędkości v [, b]. Precyzyjy dowód Tw. Newto-Leibiz moż zleźć p. książce W. Rudi Podstwy lizy mtemtyczej, prgrf 6.2. Uwg Niektórzy utorzy defiiują cłkę ozczo korzystjąc z rówości (4). Uwg. Zmist F (b) F () będziemy pisli F () b lub [F ()] b. Przykłdy Przykłd. Obliczyć cłkę ozczoą Mmy: przedzile [, ] stąd: 2 d. 2 d = 3 3 + C, [ 2 3 d = 3 ] = 3. 3

Zstosowi cłki ozczoej pole trpezu krzywoliiowego Figurę ogriczoą: wykresem fukcji f, gdzie f jest fukcją ciągłą przedzile [, b], prostymi =, = b orz prostą y = będziemy zwywć trpezem krzywoliiowym. y y = f() b Rysuek 2: Trpez krzywoliiowy Zstosowi cłki ozczoej obliczie pol figur Chcemy obliczyć pole figury ogriczoej przez: wykres fukcji f() = si orz proste: =, = π i y =, tj. chcemy zleźć pole trpezu krzywoliiowego odpowidjącego fukcji f() = si i odcikowi [, π]. Pole to jest rówe: π si d = [ cos ] π = cos π ( cos ) = + = 2. Zstosowi cłki ozczoej obliczie pol figur Chcemy obliczyć pole figury ogriczoej przez: wykres fukcji f() = si 2 orz proste: =, = π/2 i y =, tj. chcemy zleźć pole trpezu krzywoliiowego odpowidjącego fukcji f() = si 2 i odcikowi [, π/2]. Pole to jest rówe: π/2 si 2d = [ cos 2] π/2 = 2 cos π ( cos ) =. 2 Zstosowi cłki ozczoej obliczie pol figur c.d. Chcemy obliczyć pole figury ogriczoej przez: wykres fukcji f() = orz proste: =, = b i y =, gdzie b >, tj. chcemy zleźć pole trpezu krzywoliiowego odpowidjącego fukcji f() = i odcikowi [, b]. Pole to jest rówe: d = [l ]b = l b l = l b. 4

Zstosowi cłki ozczoej obliczie pol figur c.d. y y = b Rysuek 3: Logrytm turly liczby b > jko pole trpezu krzywoliiowego odpowidjącemu fukcji f() = i odcikowi [, b]. Zstosowi cłki ozczoej drog przebyt przez pukt mterily Pukt mterily porusz się z prędkością v(t) = cos t. Chcemy zleźć s(t ), położeiu puktu w czsie T = π. Zkłdmy, że s() =. Mmy s(π) = π cos tdt = [ si t] π = =. Zstosowi cłki ozczoej drog przebyt przez pukt mterily c.d. Zeek podczs zwodów biegie z prędkością v Z (t) = 8e.t [m/sek], t. Chcemy zleźć dysts przebyty przez Zek do chwili T =. Drog przebyt przez Zek (chwili T = ) jest rów: v Z (t)dt = [ 8. e.t] = = [ 8. e.t] = 8(e ) = 8( e ) 55,6964. 5