Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Podobne dokumenty
Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Przestrzenie sygnałów

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

Analiza I.1, zima globalna lista zadań

Matematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 14 dr Adam Ćmiel

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia

ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze

Materiały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

+ ln = + ln n + 1 ln(n)

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

Wykład 11. a, b G a b = b a,

1 Układy równań liniowych

Szkic notatek do wykładu Analiza Funkcjonalna MAP9907

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że

Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Fraktale - ciąg g dalszy

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.

Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

Wyższe momenty zmiennej losowej

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Ciągi liczbowe wykład 3

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

Wykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.

Podprzestrzenie macierzowe

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Operatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

x t 1 (x) o 1 : x s 3 (x) Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

c 2 + d2 c 2 + d i, 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

5. Szeregi liczbowe. A n = A = lim. a k = lim a k, a k = a 1 + a 2 + a

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

2. Nieskończone ciągi liczbowe

Twierdzenia graniczne:

3. Funkcje elementarne

I kolokwium z Analizy Matematycznej

Zajęcia nr. 2 notatki

Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska

Materiały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak

Podróże po Imperium Liczb

Podprzestrzenie macierzowe

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

1. Miara i całka Lebesgue a na R d

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

1.3. Przestrzeni. Odwzorowania. Rząd macierzy. Twierdzenie Croneckera- Capellego

Ciąg liczbowy. Granica ciągu

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012

MACIERZE STOCHASTYCZNE

0, co implikuje tezę. W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna ( f (c)

Zadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.

Wykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

INDUKCJA MATEMATYCZNA

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Kombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera

ef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza

Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Analiza matematyczna dla informatyków

Metoda najszybszego spadku

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

Wstęp. zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (sample space), S zbiór zdarzeń, (events), P prawdopodobieństwo (probability distribution).

Analiza Funkcjonalna WPPT IIIr. semestr letni 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013

Wykład 3 : Podstawowe prawa, twierdzenia i reguły Teorii Obwodów

Liczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności

Analiza matematyczna dla informatyków

7. Różniczkowanie. x x. f (x 0 ) = df(x). dx x=x0 Pierwsze oznaczenie pochodzi od Lagrange a, a drugie od Leibniza.

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

1.3 Przestrzenie ilorazowe

Transkrypt:

Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji wielu zmieych. Z uwagi a prostotę zapisu i łatwe iterpretacje graficze ograiczymy się główie do fucji lub zmieych. Rozważmy zay z ursu algebry zbiór R, tórego elemety,, x x K możemy tratować jao puty P x, K, x w -wymiarowej przestrzei z aturalym uładem współrzędych, wetory OP zaczepioe w ustaloym pucie O, będącym początiem uładu współrzędych i ońcu w zadaym pucie P x, K, x, wetory swobode x = x, K, x w -wymiarowej przestrzei liiowej R, tóre moża zaczepiać w dowolym pucie. W zbiorze Q y, K, y wzorem R możemy zdefiiować odległość ρ pomiędzy putami P x,, x x i y i ρ P, =. K i Oreśloa powyżej fucja ρ, : R R [, zwaa metryą odległością eulidesową spełia astępujące warui:.,, ρ P P i ρ P P P R, P = P = P. ρ P, P = ρ P, P P, P R. ρ P, P ρ P, P + ρ P, P P, P, P R warue trójąta Powyższe warui możemy potratować jao warui defiiujące metryę ρ,. Moża sprawdzić, że taże fucje oreśloe wzorami ρ P, = max x y i i i ρ P, = x i y i rówież defiiują metryę w R. Parę R, ρ, gdzie ρ, jest dowolą metryą azywamy przestrzeią metryczą. Jeśli ie będzie to wyraźie zazaczoe, to załadamy, że w R rozważamy metryę eulidesową. Przyłady przestrzei metryczych X = R ρ x, = x y

Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl X X,ρ prz. metr. ρ dla x = y ρ x, = metrya dysreta dla x y ρ x, x, = rówież jest metryą w X ograiczoą przez + ρ x, Przestrzeń uormowaa Tratując R jao przestrzeń wetorową ad ciałem R ze zwyłymi działaiami dodawaia wetorów x = x,..., x i y = y,..., y x + y = x,..., + y x + y, oraz możeia wetora przez salar α x = αx,..., αx możemy zdefiiować pojęcie ormy eulidesowej wetora x = x,..., x wzorem x i x =. Przypomieie z algebry Niech X będzie przestrzeń liiową wetorową ad ciałem K K = R Normą w przestrzei liiowej ad ciałem K C lub R azywamy rzeczywistą fucję : x X x, przy czym: º x = x x X = º α x α x α K x X = º x + y x y x, y X + Parę X, azywamy przestrzeią uormowaą. Norma jest odpowiediiem pojęcia długości wetora. Np. X = R x = x,..., x - x = x i - orma eulidesowa orma l x max x - orma max lub l - = l i i - x = l x i - orma l Np. X = C[ a, b] - zbiór wszystich fucji rzeczywistych ciągłych a [ a, b] f = sup f x = max f x - orma supremum sup=max bo f jest cg. a przedziale [a,b] Fat. Przestrzeń uormowaa jest przestrzeią metryczą z metryą ρ x, = x y. Pojęcia związae z metryą: X,ρ - przestrzeń metrycza.

Z Z Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Kula : K x, r = { x X : ρ x, x < r}, Ja wyglądają ule w R w różych metryach Otoczeie uliste putu x : Ot x, r = K x, r x, r = K x, r { x Sąsiedztwo putu x : S } Kula w przestrzei X = C[ a, b] z metryą Czebyszewa K f, r - wszystie fucje ciągłe, tórych wyresy leżą pomiędzy f r a f + r. Fucja rzeczywista zmieych rzeczywistych Utożsamiając put P z jego współrzędymi x = x,..., x rozważać będziemy rzeczywistą fucję putu P jao fucję wielu zmieych współrzędych putu f : R D x fx R Przyład. fx,=arcsi ax + arcsi b y jest rzeczywistą fucją dwóch zmieych rzeczywistych oreśloą a prostoącie [-a, a] [-b, b]. Przyładowe wyresy fucji zmieych- przeroje- powierzchie obrotowe p.: z=x +y Paraboloida hiperbolicza fx,=x -y siodło - - - -4-5,,5,,,5 Y - -, -,5 -, -, -,5 -, - X, > <,5 <,5 < < -,75 < -,75 < -,75 < -,75 z=x +y 8 7 6 5 paraboloida obrotowa fx,=x +y 4 -,,5 Y, - -, -,5 -, -, -,5 -, - X,,5, > 7,75 < 7,5 < 6,5 < 5,5 < 4,5 <,5 <,5 <,5 <

Z Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl z = 4x +*y paraboloida eliptycza fx,=4x +9y 4 8 6 4 8 6 4 -,,5,,,5 Y - -, -,5 -, -, -,5 -, - X, > < < 7 < < 9 < 5 < Graica ciągu o wartościach w R Wiadomo, że ciąg o wartościach rzeczywistych to fucja rzeczywista oreśloa a zbiorze liczb rzeczywistych. Podobie fucję P : N P = P R azwiemy ciągiem w przestrzei R. Przyjmując ozaczeia P = x,..., x, P = g,..., g możemy zdefiiować graice ciągu w R lim P = P lim ρ P, P = przy czym odległość ρ P, pomiędzy putami P = x,..., x i Q = y,..., y jest zadaa wzorem ρ P, = x i y i. Uwaga. Powyżej zdefiiowaa zbieżość jest rówoważa zbieżości po współrzędych - uzasadić. Przyład.,, = e,, si lim + + Podobie ja w rozważaym poprzedio przypadu fucji f: R R rzeczywistej zmieej rzeczywistej możemy zdefiiować otoczeie i sąsiedztwo putu w przestrzei metryczej OtP,δ= KP,δ= { P D f : ρ P, P < δ} ; SP,δ= OtP,δ-{P } Powyższą defiicję graicy ciągu o wartościach w R możemy uogólić a przypade ciągu o wartościach w przestrzei metryczej graicy ciągu o wartościach w przestrzei metryczej X,ρ: lim P = P ρ ε ε > P, P N Pytaie. Czy ciąg jest zbieży w przestrzei R z metryą dysretą. Ja wyglądają ciągi zbieże w przestrzei metryczej z metryą dysretą. To, czy ciąg ma graicę czy ie zależy ie tylo od ciągu ale i od metryi. Te sam ciąg może być zbieży w sesie jedej metryi a rozbieży w sesie iej metryi. 4

Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Podobie ja w przypadu ciągów rzeczywistych fudametalego czyli spełiającego warue Cauchy ego C możemy wprowadzić pojęcie ciągu ρ P, P ε. ε > N m m, Tw. Jeżeli ciąg P putów przestrzei metryczej X, ρ jest zbieży, to spełia o warue Cauchy ego ρ P, P ε. ε > N m m <, Uwaga. W przypadu ciągów rzeczywistych prawdziwe jest twierdzeie odwrote, a w ogólym przypadu ie. Przestrzeń metryczą X,ρ azywamy zupełą, jeżeli ażdy ciąg Cauchy ego elemetów przestrzei X,ρ jest zbieży do elemetu przestrzei X,ρ. Przyłady R, jest przestrzeią zupełą a W, ie jest przestrzeią zupełą R, ρ jest przestrzeią zupełą Zbieżość ciągu w przestrzei uormowaej a więc taże metryczej z metryą iduowaą przez ormę, azywamy zbieżością w sesie ormy. Przestrzeią Baacha azywamy przestrzeń liiową, uormowaą i zupełą. Metrya d f, g = sup f x g x c Czebyszewa w przestrzei C[ a, b] rzeczywistych fucji ciągłych a przedziale [a,b] iduowaa przez ormę f = sup f x, jest metryą zbieżości jedostajej. wrócimy do tego przy ciągach i szeregach fucyjych Put P X azywamy putem supieia zbioru A X istieje ciąg P A tai, że i lim = P P P P Put zbioru A, tóry ie jest jego putem supieia azywamy putem izolowaym zbioru. Charateryzacja otoczeiowa putów i zbiorów w przestrzei metryczej. X, ρ - przestrzeń metrycza, A X, A, przypomieie - K x, r = { x X : ρ x, x < } r Put a A azywamy putem izolowaym zbioru A r> Ka,r A={a}. Put a A azywamy putem wewętrzym zbioru r> Ka,r A. Put a X jest putem brzegowym zbioru A r> Ka,r A Ka,r X-A Put a X-A jest putem zewętrzym zbioru A r> Ka,r A Uwaga. Put wewętrzy zbioru A ależy do A, put zewętrzy ależy do jego dopełieia, a brzegowy może ależeć do A albo do X-A. 5

Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Put a X jest putem supieia zbioru A r> Ka,r-{a} A. Zbiór A X jest otwarty, gdy słada się z samych putów wewętrzych. Zbiór A X jest domięty A '= X \ A jest zbiorem otwartym. Wętrze zbioru A ozaczeie - it A to zbiór wszystich putów wewętrzych. Brzeg zbioru A ozaczeia - Fr A lub A, to zbiór wszystich putów brzegowych. Wiosi: A jest otwarty A=it A Wętrze zbioru A to ajwięszy zbiór otwarty zawarty w daym zbiorze. Def: Domięciem zbioru A X azywamy ajmiejszy zbiór domięty A arywający zbiór A. Wiosi Put a X jest putem domięcia zbioru A r> Ka,r A. Każdy put supieia zbioru A jest putem domięcia zbioru A, ale ie odwrotie, bo p. put izoloway jest putem domięcia, ale ie jest putem supieia. Zbiór domięty zawiera wszystie swoje puty supieia. 6