1. CAŁKI KRZYWOLINIOWE NIEZORIENTOWANE

CAŁKI KRZYWOLINIOWE NIEZORIENTOWANE ŁUKI NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI Def (funcja weorowa jednej zmiennej 3 a Funcją weorową jednej zmiennej nazwam odwzorowanie r : I R lub r : I R gdzie I oznacza przedział na prosej Funcje weorowe będziem zapiswali odpowiednio w posaci r ( ( ( ( lub r ( ( ( ( gdzie I Rs Funcja weorowa jednej zmiennej na płaszczźnie b Mówim że funcja weorowa r jes różnowarościowa na przedziale I gd dla dowolnch I prawdziwa jes impliacja r ( r ( Funcja r jes loalnie różnowarościowa na przedziale I jeżeli ażd pun ego przedziału ma ooczenie na órm funcja r jes różnowarościowa Rs Funcja weorowa jednej zmiennej w przesrzeni c Jeżeli funcje lub z są ciągłe na przedziale I o mówim że funcja weorowa r jes ciągła na I d Podobnie jeżeli funcje lub z są różniczowalne w sposób ciągł na I o mówim że funcja weorowa r jes różniczowalna w sposób ciągł na I Pochodną funcji weorowej r oreślam wzorem: def def / / / / / / / r ( ( ( r ( ( ( z ( ( lub ( Rs 3 Pochodna funcji weorowej

Def (łui na płaszczźnie a Niech funcja r :[ α β ] R nazwam zbiór: będzie ciągła i różnowarościowa na przedziale [αβ] Łuiem zwłm na płaszczźnie { ( : [ α β ]} r Rs 4 Łu zwł na płaszczźnie b Niech funcja r : I R gdzie I oznacza dowoln odcine półprosą lub prosą (z ońcem lub nie będzie ciągła i loalnie różnowarościowa na I Łuiem na płaszczźnie nazwam zbiór: r ( : I { } c Jeżeli dla łuu { ( : [ α β ]} Rs 5 Łu na płaszczźnie r spełniona jes równość r ( α r( β o mówim że łu en jes zamnię W przeciwnm przpadu mówim że łu jes niezamnię Rs 6 Łu zamnię na płaszczźnie d Jeżeli funcja r w definicji łuu zwłego jes różniczowalna w sposób ciągł na [αβ] oraz dla ażdego [αβ] spełnion jes warune: r ( O o mówim że łu en jes gładi Mówim że łu jes awałami gładi jeżeli można go podzielić na sończoną liczbę łuów gładich Rs 7 Łu awałami gładi na płaszczźnie

Uwaga Podobnie definiuje się łui analogicznch rodzajów w przesrzeni Funcję weorową r lub funcje z opisujące łu nazwam jego paramerzacją Obrazowo łu zwł można przedsawić jao powginan odcine ma płaszczźnie lub w przesrzeni Wginan odcine można wdłużać lub sracać ale nie wolno go rozrwać ani slejać Fa 3 (o przedsawianiu łuów na płaszczźnie i w przesrzeni Łuami na płaszczźnie są wres funcji ciągłch posaci: : ( a b : ( c d Łuami w przesrzeni są części wspólne ciągłch powierzchni walcowch: 3 ] [ ( ( : b a z z 4 ] [ ( ( : d c z z 5 ] [ ( ( : q p z z z Jeżeli funcje z mają ciągłe pierwsze pochodne o łui są gładie Rs 8 Łu jes wresem funcji ( gdzie [ab] Rs 9 Łu jes wspólną częścią powierzchni walcowch ( oraz z gdzie [ab] Fa 4 (paramerzacje ważniejszch łuów na płaszczźnie i w przesrzeni Odcine AB o ońcach A ( B ( ma przedsawienie paramerczne: [] ( ( Orąg o środu w puncie S ( i promieniu R > ma przedsawienie paramerczne: ] [ sin cos π R R

3 Elipsa o środu w puncie S ( i półosiach a > b > ma przedsawienie paramerczne: ] [ sin cos π b a 4 Odcine AB o ońcach A ( z B ( z ma przedsawienie paramerczne: [] ( ( ( z z z z 5 Linia śrubowa o sou h > nawinięa na walec ( ( R gdzie R > ma przedsawienie paramerczne: R h z R R π sin cos Jeden zwój linii śrubowej orzmam gd [π] Uwaga Równania fragmenów łuów oreślonch wżej orzmam zmniejszając odpowiednio zares zmienności parameru Na rsunach srzałą zaznaczono ierune przebiegu łuów prz wzroście parameru Def 5 (długość łuu Długością łuu nazwam res górn długości łamanch wpisanch w en łu; : sup n i i i i N n def P P P Rs Długość łuu

Tw 6 (długość łuu Niech {(( ( : α β} będzie łuiem gładim na płaszczźnie Wed długość ego łuu wraża się wzorem: β / / [ ] [ ( ] ( d α Podobnie niech {(( ( : α β} będzie łuiem gładim w przesrzeni Wed długość ego łuu wraża się wzorem: β / / / [ ] [ ( ] [ z ( ] ( d α Uwaga Jeżeli łu jes wresem funcji ( a b o jego długość wraża się wzorem: b / [ ( ] a d DEFINICJE I WŁASNOŚCI CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH Oznaczenia w definicji całi rzwoliniowej niezorienowanej Niech {(( ( : [αβ]} będzie łuiem gładim na płaszczźnie Wprowadzam nasępujące oznaczenia: P { n} gdzie α < < < n β podział odcina [αβ] na n N odcinów; - długość -ego odcina podziału P n; δ(p ma{ : n } średnica podziału P; Ξ { n } gdzie [ ] dla n zbiór punów pośrednich podziału P A (( ( pun podziału łuu induowane przez podział P n; A ( ( ( pun pośrednie na łuu A -A induowane przez wbór punów pośrednich podziału P ( n; l długość łuu A -A n Rs Podział odcina [αβ] i podział łuu induowan przez podział ego odcina Def (cała rzwoliniowa niezorienowana Niech f będzie funcją dwóch zmiennch oreśloną i ograniczoną na łuu gładim Całę rzwoliniową niezorienowaną z funcji f po łuu definiujem wzorem: def n f ( dl lim δ ( P f ( l o ile granica po prawej sronie znau równości nie zależ od sposobu podziału P odcina [αβ] ani od sposobu wboru punów pośrednich Ξ Uwaga Warość całi rzwoliniowej nie zależ od wbranej paramerzacji łuu Całę rzwoliniową niezorienowaną z funcji rzech zmiennch po łuu położonm w przesrzeni definiujem analogicznie Całę rzwoliniową niezorienowaną na płaszczźnie ja i w przesrzeni oznaczam róo smbolem f dl

Rs Ilusracja do definicji całi rzwoliniowej niezorienowanej Def (cała rzwoliniowa po łuu awałami gładim Niech będzie łuiem awałami gładim złożonm z łuów gładich m oraz niech f będzie funcją oreśloną i ograniczoną na łuu Całę rzwoliniową niezorienowaną z funcji f po łuu definiujem wzorem: def f dl o ile całi po prawej sronie znau równości isnieją f dl f dl m f dl Tw 3 (liniowość całi rzwoliniowej niezorienowanej Jeżeli isnieją całi rzwoliniowe niezorienowane z funcji f i g po awałami gładim łuu i c R o: a isnieje cała rzwoliniowa niezorienowana z funcji f g po łuu oraz ( f g dl f dl gdl b isnieje cała rzwoliniowa niezorienowana z funcji cf po łuu oraz cf dl c f dl ( Def 4 (cała rzwoliniowa niezorienowana z funcji weorowej Niech będzie łuiem awałami gładim na płaszczźnie oraz niech funcje P i Q będą całowalne na Całę rzwoliniową niezorienowaną po łuu z funcji weorowej F ( c ( P( Q( oreślam wzorem: def F( dl P( dl Q( dl Uwaga Podobnie oreśla się całę rzwoliniową niezorienowaną z funcji weorowej F ( c ( P( Q( R( po łuu położonm na płaszczźnie O oraz całę rzwoliniową niezorienowaną z funcji weorowej F ( c P( Q( R( po łuu położonm w przesrzeni ( 3 ZAMIANA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ POJEDYNCZĄ Tw 3 (o zamianie całi rzwoliniowej niezorienowanej na całę pojednczą a Jeżeli łu {(( ( : [αβ]} jes gładi i niezamnię funcja f jes ciągła na łuu o β / / f dl f ( ( ( [ ( ] [ ( ] ( d b Podobnie jeżeli łu {(( ( : [αβ]} jes gładi i niezamnię funcja f jes ciągła na łuu o α β / / / f dl f ( ( ( [ ( ] [ ( ] [ z ( ] ( d Uwaga W zapisie weorowm powższe wzor przjmują jednolią posać β f ( r dl f r ( r / ( d α α (

Jeżeli funcja f jes ciągła na łuu gładim opisanm równaniem ( gdzie a b o b / f dl f ( ( [ ( ] ( d a 4 ZASTOSOWANIA CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH Fa 4 (zasosowania w geomerii Długość łuu na płaszczźnie lub w przesrzeni wraża się wzorem: dl Niech oznacza powierzchnię boczną walca o worzącch przechodzącch przez łu R Tworzące walca są równoległe do osi Oz i w puncie ( mają długość f( Wed pole powierzchni wraża się wzorem: f ( dl Fa 4 (zasosowania w fizce Masa łuu maerialnego R o gęsości liniowej mas λ wraża się wzorem: M λ ( dl Momen saczne względem osi uładu łuu maerialnego R o gęsości liniowej mas λ wrażają się wzorami: MS ( dl MS λ ( dl λ 3 Współrzędne środa mas łuu maerialnego R o gęsości liniowej mas λ wrażają się wzorami: MS C M MS C M

4 Masa łuu maerialnego R 3 o gęsości liniowej mas λ wraża się wzorem: M λ ( dl 5 Momen saczne względem płaszczzn uładu współrzędnch łuu maerialnego R 3 o gęsości liniowej mas λ wrażają się wzorami: MS z ( dl MS z ( dl MS z λ ( dl λ λ 6 Współrzędne środa mas łuu maerialnego R 3 o gęsości liniowej mas λ wrażają się wzorami: MS z C M MS MS z C M z C M 7 Momen bezwładności względem osi lub począu uładu współrzędnch łuu maerialnego R 3 o gęsości liniowej mas λ wrażają się wzorami: I z λ ( dl ( ( z I λ ( dl ( z I z λ ( dl ( z I λ ( dl 8 Naężenie pola elercznego induowane w puncie r przez ładune elerczn o gęsości liniowej ładunu λ rozłożon na łuu R (R 3 wraża się wzorem: E ( r r λ( r dl 3 4πε r r gdzie r ( ( r ( a ε oznacza sałą dielerczną próżni 9 Siła przciągania grawiacjnego mas m supionej w puncie r przez łu maerialn R (R 3 o gęsości liniowej mas λ wraża się wzorem: ( r r λ( r dl F Gm 3 r r gdzie r ( ( r ( a G oznacza sałą grawiacji

Energia ineczna łuu maerialnego R 3 o gęsości liniowej mas λ podczas obrou woół osi O z prędością ąową ω wraża się wzorem: ω I ω E ( z λ( dl Uwaga Wzór na naężenie pola grawiacjnego jes analogiczn do wzoru na naężenie pola elercznego Taże wzór na siłę przciągania pochodzącą od ładunów elercznch jes analogiczn do wzoru na siłę przciągania grawiacjnego Fa 43 (środi mas łuów smercznch Jeżeli łu maerialn ma środe smerii i gęsość liniowa mas jes funcją smerczną względem ego środa (np jes sała o środe mas łu porwa się z jego środiem smerii Jeżeli łu maerialn ma oś lub płaszczznę smerii i gęsość liniowa mas jes funcją smerczną odpowiednio względem ej osi lub płaszczzn (np jes sała o środe mas łuu leż na ej osi lub na płaszczźnie smerii CAŁKI KRZYWOLINIOWE ZORIENTOWANE DEFINICJE I WŁASNOŚCI CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH ZORIENTOWANYCH Def (pole weorowe na płaszczźnie i w przesrzeni a Niech D będzie obszarem na płaszczźnie Polem weorowm na D nazwam funcję weorową F : D R gdzie F ( P( Q( dla ( D ( Rs Pole weorowe na płaszczźnie Rs Pole weorowe w przesrzeni

3 b Niech V będzie obszarem w przesrzeni Polem weorowm na V nazwam funcję weorową F : D R gdzie F ( P( Q( R( dla ( V ( c Jeżeli funcje P Q lub P Q R są ciągłe odpowiednio na obszarach D lub V o mówim że pole weorowe F jes ciągłe na ch obszarach d Podobnie jeżeli funcje P Q lub P Q R mają ciągłe wszsie pochodne cząsowe pierwszego rzędu odpowiednio na obszarach D lub V o mówim że pole weorowe F jes różniczowalne w sposób ciągł na ch obszarach Uwaga Będziem aże pisali róo F( r ( P( r Q( r r ( gdzie r ( gdzie lub F( r ( P( r Q( r R( r Def (łu zorienowan Łu zwł niezamnię na órm usalono począe i oniec (ierune nazwam łuiem zorienowanm Łu zorienowan oznaczam m samm smbolem co łu Łu o orienacji przeciwnej do orienacji łuu oznaczam przez Jeżeli ze wzrosem parameru łuu zorienowanego poruszam się po nim w ierunu orienacji o mówim że paramerzacja łuu jes zgodna z jego orienacją Rs 3 Łu zorienowan Rs 4 Łu - o orienacji przeciwnej do łuu zorienowanego ( Oznaczenia w definicji całi rzwoliniowej zorienowanej Niech będzie łuiem zorienowanm na płaszczźnie opisanm równaniem paramercznm r r ( [ α β ] gdzie r ( oraz r ( ( ( ( Załadam prz m że orienacja łuu jes zgodna z jego paramerzacją Wprowadzam nasępujące oznaczenia: P { n} gdzie α < < < n β podział odcina [αβ] na n N odcinów; - długość -ego odcina podziału P n; δ(p ma{ : n } średnica podziału P; Ξ { n } gdzie [ ] dla n zbiór punów pośrednich podziału P A r pun podziału łuu induowane przez podział P n (A jes począiem a A n ońcem łuu zorienowanego ; r r ( ( ( ( ( pun pośrednie na łuu A -A induowane przez wbór punów pośrednich podziału P n; r r ( r ( ( gdzie ( ( ( ( n Rs 5 Podział odcina [αβ] i podział łuu zorienowanego induowan przez en podział

Def 3 (cała rzwoliniowa zorienowana Niech F ( P Q będzie polem weorowm oreślonm na łuu zorienowanm R Całę rzwoliniową zorienowaną z pola weorowego F po łuu definiujem wzorem: def P( d Q( d lim δ ( P n ( P( Q( o ile granica po prawej sronie znau równości isnieje oraz nie zależ od sposobu podziału P przedziału [αβ] ani od sposobu wboru punów pośrednich Ξ Powższą całę oznaczam róo przez Pd Q d Uwaga Całę rzwoliniową zorienowaną z pola weorowego F ( P Q R po łuu położonm w przesrzeni definiujem analogicznie i oznaczam smbolem: P ( d Q( d R( dz lub róo P d Q d R dz W zapisie weorowm definicja całi rzwoliniowej zorienowanej z pola weorowego F ( P Q lub pola weorowego F ( P Q R po łuu zorienowanm położonm odpowiednio na płaszczźnie lub w przesrzeni przjmuje jednolią formę: def n F( r dr lim F( r r δ ( P gdzie dr def ( d d lub dr def ( d d dz Całę rzwoliniową z pola weorowego F po łuu oznaczam eż róo smbolem F dr Rs 6 Ilusracja do definicji całi rzwoliniowej zorienowanej w formie weorowej Def 4 (cała rzwoliniowa po sumie łuów zorienowanch Niech łu zorienowan będzie sumą łuów niezamnięch zorienowanch m prz czm oniec łuu jes począiem łuu m Ponado niech F będzie polem weorowm oreślonm na łuu Całę rzwoliniową zorienowaną z pola F po łuu oreślam wzorem: def F dr F dr F dr F dr o ile całi po prawej sronie znau równości isnieją Uwaga Jeżeli łu zorienowan na płaszczźnie jes zamnię o wed piszem w miejsce m Rs 7 Ilusracje do definicji całi rzwoliniowej zorienowanej po sumie łuów Tw 5 (liniowość całi rzwoliniowej zorienowanej Jeżeli isnieją całi rzwoliniowe z pól weorowch F i G po awałami gładim łuu zorienowanm oraz jeżeli c jes sałą dowolną o:

a isnieje cała rzwoliniowa z pola weorowego F G po łuu oraz F G dr F dr G dr ( b isnieje cała z pola weorowego cf po łuu oraz cf dr c F dr ( c isnieje cała rzwoliniowa z pola weorowego F po łuu o orienacji przeciwnej oraz F dr F dr Tw 6 (zależność międz całami rzwoliniowmi Niech pole weorowe F ( P Q będzie ciągłe na łuu gładim Wed [ P( cos ( Q( cos ( ] P( d Q( d α β dl gdzie α( oznacza ą międz weorem scznm do łuu w puncie ( a dodanią częścią osi O naomias β( oznacza ą międz m samm weorem i dodanią częścią osi O Załadam prz m że zwro weora scznego jes zgodn z orienacją łuu Uwaga Prawdziwa jes aże analogiczna równość dla całe rzwoliniowch po łuu położonm w przesrzeni Równości e nieórz auorz przjmują jao definicję całi rzwoliniowej zorienowanej Rs 8 Ilusracja do wierdzenia o zależności międz dwoma rodzajami całe rzwoliniowch ZAMIANA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ ZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ POJEDYNCZĄ Tw (o zamianie całi rzwoliniowej na całę pojednczą a Jeżeli łu {(( ( : [αβ]} jes niezamnię i gładi orienacja łuu jes zgodna z jego polarzacją 3 pole weorowe F ( P Q jes ciągłe na o β / / [ P( ( ( ( Q( ( ( ( ] P ( d Q( d d b Podobnie jeżeli łu {(( ( : [αβ]}jes niezamnię i gładi orienacja łuu jes zgodna z jego polarzacją 3 pole weorowe F ( P Q R jes ciągłe na o P( d Q( d Q( dz α β / / / [ P( ( ( ( Q( ( ( ( R( ( ( z ( ] α Uwaga Powższe wzor w formie weorowej przjmują jednolią posać: β F ( r dr F r ( r / ( d [ ( ] α r r ( jes paramerzacją łuu oraz / ( / / r ( ( ( / / / / lub r ( ( ( ( z ( gdzie d

Jeżeli pole weorowe F ( P Q jes ciągłe na łuu gładim opisanm równaniem ( gdzie a b i orienacja łuu jes zgodna ze wzrosem zmiennej o b / [ P( ( Q( ( ( ] P ( d Q( d d a 3 NIEZALEŻNOŚĆ CAŁKI OD DROGI CAŁKOWANIA Def 3 (pole poencjalne poencjał pola Pole weorowe F oreślone na obszarze D nazwam polem poencjalnm gd isnieje funcja U: D R aa że F gradu Funcję U nazwam poencjałem pola weorowego F Uwaga Dla pola weorowego na płaszczźnie F ( P Q powższ warune ma posać U U P Q Podobnie dla pola weorowego w przesrzeni F ( P Q R mam U U U P Q R Tw 3 (cała rzwoliniowa z pola poencjalnego a Niech pole weorowe F ( P Q będzie ciągłe na obszarze D R pole weorowe F będzie poencjalne na obszarze D z poencjałem U Wed AB ( P( d Q( d U ( U ( U ( gdzie AB jes dowolnm zorienowanm awałami gładim łuiem o począu w puncie A ( i ońcu w puncie B ( całowicie zawarm w obszarze D b Podobnie niech pole weorowe F ( P Q R będzie ciągłe na obszarze V R 3 ( pole weorowe F będzie poencjalne na obszarze V z poencjałem U Wed ( z P( d Q( d R( dz U ( U ( z U ( z ( z AB gdzie AB jes dowolnm zorienowanm awałami gładim łuiem o począu w puncie A ( z i ońcu w puncie B ( z całowicie zawarm w obszarze V Uwaga W formie weorowej powższe wzor przjmują jednolią posać: B grad U dr U ( r U ( B U ( A A AB Inaczej mówiąc cała zorienowana w polu poencjalnm nie zależ od drogi całowania i jes równa różnic poencjałów w punach ońcowm i począowm drogi całowania W szczególności w polu poencjalnm F mam F dr gdzie jes dowolnm łuiem zamnięm zawarm w rozważanm obszarze Tw 33 (warune onieczn i wsarczając poencjalności pola a Niech obszar D R będzie wpuł pole weorowe F ( P Q będzie różniczowalne w sposób ciągł na D Wówczas pole weorowe F jes poencjalne na D wed i lo wed gd P Q ( ( dla ażdego punu ( D b Niech obszar V R 3 będzie wpuł

pole weorowe F ( P Q R będzie różniczowalne w sposób ciągł na V Wówczas pole weorowe F jes poencjalne na V wed i lo wed gd P Q P R Q R ( ( ( ( ( ( dla ażdego punu ( V Uwaga Zamias wpułości obszarów D i V można założć że są one obszarami jednospójnmi odpowiednio na płaszczźnie lub w przesrzeni Def 34 (roacja pola weorowego Niech pole weorowe F ( P Q R będzie różniczowalne w sposób ciągł na obszarze V R 3 Roacją pola weorowego F nazwam pole weorowe oreślone wzorem: i j R Q P R Q P F def i ro j P Q R Fa 35 (rerium poencjalności pola weorowego Pole weorowe F ( P Q R na obszarze V R 3 jes poencjalne wed i lo wed gd ro F 4 TWIERDZENIE GREENA Def 4 (zna orienacji Niech będzie awałami gładim łuiem zamnięm (bez samoprzecięć na płaszczźnie zn rzwą Jordana Mówim że orienacja łuu jes dodania względem swego wnęrza D gd podczas ruchu łuu w ierunu jego orienacji obszar D leż cał czas po lewej sronie łuu W przeciwnm przpadu mówim że orienacja łuu jes ujemna Rs 4 Łu jes zorienowan dodanio względem obszaru D Rs 4 Łu jes zorienowan ujemnie względem obszaru D Tw 4 (wzór Greena Niech obszar domnię D R będzie normaln względem obu osi uład brzeg obszaru D będzie zorienowan dodanio 3 pole weorowe F ( P Q będzie różniczowalne w sposób ciągł na D Wed Q P P d Qd dd D Uwaga Wzór Greena jes prawdziw aże dla obszaru D ór można podzielić na sończoną liczbę obszarów normalnch (względem obu osi Def 43 (crulacja pola weorowego Crulacją pola weorowego F po łuu zamnięm zorienowanm nazwam całę rzwoliniową zorienowaną F dr

5 ZASTOSOWANIA CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH ZORIENTOWANYCH Fa 5 (zasosowania w geomerii Pole obszaru D R ograniczonego łuiem zamnięm awałami gładim dodanio zorienowanm względem obszaru D wraża się wzorami: D d d d d Fa 5 (zasosowania w fizce Praca w polu weorowm F wonana wzdłuż łuu zorienowanego od punu począowego do ońcowego wraża się wzorem: W F dr Ilość płasiej (umownej ciecz przepłwającej w jednosce czasu przez łu zorienowan wraża się wzorem: A Q( d P( d gdzie v ( ( P( Q( oznacza prędość przepłwu ciecz w puncie ( ego łuu 3 CAŁKI POWIERZCHNIOWE NIEZORIENTOWANE 3 PŁATY POWIERZCHNIOWE Def 3 (funcja weorowa dwóch zmiennch w przesrzeni a Niech D będzie obszarem na płaszczźnie Funcją weorową dwóch zmiennch w przesrzeni nazwam odwzorowanie 3 r : D R Funcję aą będziem zapiswać w posaci r ( ( ( gdzie ( D ( 3 Rs 3 Funcja weorowa r : D R

3 b Mówim że funcja weorowa r : D R jes różnowarościowa gd dla dowolnch punów (u v (u v D prawdziwa jes impliacja ( u v ( u v r ( u v r ( u v 3 c Mówim że funcja weorowa r : D R jes ciągła gd funcje z są ciągłe na D 3 d Mówim że funcja weorowa r : D R jes różniczowalna w sposób ciągł gd funcje z mają ciągłe wszsie pochodne cząsowe pierwszego rzędu na obszarze D Def 3 (pła powierzchniow 3 Niech D będzie prosoąem na płaszczźnie oraz niech funcja weorowa r : D R gdzie r ( ( ( ( dla ( D będzie ciągła i różnowarościowa na prosoącie D Płaem powierzchniowm nazwam zbiór warości funcji weorowej r j zbiór: { r ( : ( D} Zbiór w przesrzeni ai że ażd jego pun ma ooczenie domnięe óre jes płaem prosm nazwam płaem powierzchniowm Uwaga Funcję weorową r lub uład funcji z nazwam paramerzacją płaa Pła pros można wobrazić sobie jao powginan w przesrzeni prosoą Prz m przeszałcaniu prosoąa nie można rozrwać ani slejać Rs 3 Zbiór nie jes płaem powierzchniowm Rs 33 Zbiór jes płaem powierzchniowm Def 33 (pła powierzchniow gładi Pła powierzchniow { r ( : ( D} gdzie D jes obszarem domnięm z brzegiem awałami gładim a funcja weorowa r ( ( ( ( jes różnowarościowa i różniczowalna w sposób ciągł na obszarze D nazwam płaem gładim gd na obszarze D spełnion jes warune r r u gdzie r r oraz u u u u Pła ór można podzielić na sończoną liczbę płaów gładich nazwam płaem awałami gładim Rs 34 Pła powierzchniow gładi Rs 35 Pła powierzchniow awałami gładi Fa 34 (równania paramerczne ważniejszch płaów powierzchniowch Płaszczzna przechodząca przez pun r ( z i rozpięa na weorach a ( z b ( z przedsawienie paramerczne: ma

u v : u u u R v R z z uz vz W formie weorowej paramerzacja płaszczzn ma posać: { r r ua vb u R v R : Sfera o środu w począu uładu współrzędnch i promieniu r > ma przedsawienie paramerczne: r cos u cos v π π : r sin u cos v u [π ] v z r sin v 3 Powierzchnia soża oreślona równaniem z gdzie v cos u : v sin u u [ π ] v [ r ] z v r ma przedsawienie paramerczne: 4 Powierzchnia paraboloid obroowej oreślona równaniem z ( gdzie paramerczne: v cos u : v sin u u [ π ] v [ r ] z v 5 Powierzchnia walcowa opisana równaniem r gdzie z H ma przedsawienie paramerczne: r cos u : r sin u u [ π ] v [ H ] z v r ma przedsawienie

Uwaga Równania fragmenów ch płaów powierzchniowch orzmam zmniejszając odpowiednio zares paramerów v Fa 35 (o posaci płaów powierzchniowch Płaami powierzchniowmi są wres funcji ciągłch posaci: z ; ( D gdzie D jes obszarem na płaszczźnie O ( ; ( D gdzie D jes obszarem na płaszczźnie Oz 3 ( ; ( D3 gdzie D 3 jes obszarem na płaszczźnie Oz Jeżeli funcje e mają ciągłe pochodne cząsowe pierwszego rzędu na rozważanch obszarach o e pła powierzchniowe są gładie Uwaga Równania ważniejszch płaów powierzchniowch óre są wresami funcji posaci z f( podane są w części Analiza maemaczna w facie 35 Tw 36 (pole płaa powierzchniowego Niech { r( : ( D} będzie gładim płaem powierzchniowm Wed pole ego płaa wraża się wzorem: r r dudv u Uwaga Jeżeli pła gładi jes wresem funcji z gdzie ( D o jego pole wraża się wzorem: dd D Analogicznie wglądają wzor na pola płaów gładich będącch wresami funcji ( oraz ( D 3 DEFINICJA I WŁASNOŚCI CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ Oznaczenia w definicji całi powierzchniowej niezorienowanej Niech { r( : ( D} będzie gładim płaem powierzchniowm załadam prz m że D jes domnięm obszarem regularnm na płaszczźnie Wprowadzam nasępujące oznaczenia: P { D D D n} podział obszaru D na obszar regularne D (o rozłącznch wnęrzach n; d średnica obszaru D j res górn odległości punów zbioru D n; δ(p ma{d : n } średnica podziału P; Ξ {( u v ( u v ( u n v n } gdzie ( u v D dla n zbiór punów pośrednich podziału P część płaa odpowiadająca obszarowi D w podanej wżej paramerzacji r n; pole płaa n; ( z pun płaa odpowiadając punowi ( u v D w podanej paramerzacji r n Rs 3 Ilusracja do definicji całi powierzchniowej niezorienowanej

Def 3 (cała powierzchniowa niezorienowana Niech będzie płaem powierzchniowm gładim oraz niech funcja niezorienowaną z funcji f po płacie definiujem wzorem: f ( ds lim δ ( P def n f f : R będzie ograniczona Całę powierzchniową ( z o ile granica po prawej sronie znau równości isnieje oraz nie zależ od sposobu podziału P obszaru D ani od sposobu wboru punów pośrednich Ξ Uwaga Warość całi powierzchniowej niezorienowanej nie zależ od sposobu paramerzacji płaa Całę powierzchniową niezorienowaną z funcji f po płacie oznaczam róo smbolem f ds Def 3 (cała powierzchniowa po płacie awałami gładim Niech będzie płaem awałami gładim złożonm z płaów gładich m oraz niech f będzie funcją oreśloną i ograniczoną na płacie Całę powierzchniową niezorienowaną z funcji f po płacie definiujem wzorem:; f ds o ile całi po prawej sronie znau równości isnieją def f ds f ds m f ds Tw 33 (liniowość całi powierzchniowej niezorienowanej Jeżeli funcje f i g są całowalne na awałami gładim płacie powierzchniowm oraz jeżeli c jes dowolną sałą o: a funcja f g jes całowalna na płacie oraz ( f g ds f ds g ds b funcja cf jes całowalna na płacie oraz ( cf ds c f ds Def 34 (cała powierzchniowa niezorienowana z funcji weorowej Niech będzie awałami gładim płaem powierzchniowm oraz niech funcje P Q R będą całowalne na Całę powierzchniową niezorienowaną po płacie z funcji weorowej F ( P Q R oreślam wzorem: def F ds P ds Q ds R ds 33 ZAMIANA CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ PODWÓJNĄ Tw 33 (o zamianie całi powierzchniowej na całę podwójną Jeżeli obszar D R jes regularn pła { r( : ( D} jes gładi 3 funcja f : R jes ciągła o r r f ( ds f ( r ( du dv u D Uwaga Jeżeli pła gładi jes wresem funcji z gdzie ( D oraz funcja f jes ciągła na o wzór na zamianę całe przjmuje posać: f ( ds f ( ( ( d d D Analogiczne wzor orzmujem w przpadu płaów powierzchniowch opisanch równaniami ( lub ( 34 ZASTOSOWANIA CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH Fa 34 (zasosowania w geomerii Pole awałami gładiego płaa wraża się wzorem: ds

Fa 34 (zasosowania w fizce Masa płaa maerialnego o gęsości powierzchniowej mas σ wraża się wzorem: M σ ( ds Momen saczne względem płaszczzn uładu współrzędnch płaa maerialnego o gęsości powierzchniowej mas σ wrażają się wzorami: MS z σ ( ds MS z σ ( ds MS zσ ( ds 3 Współrzędne środa mas płaa o gęsości powierzchniowej mas σ wrażają się wzorami: MS z C M MS MS z C M z C M 4 Momen bezwładności względem osi oraz względem począu uładu współrzędnch płaa maerialnego o gęsości powierzchniowej mas σ wrażają się wzorami: I z σ ( ds ( ( z I σ ( ds ( I z σ ( ds ( z I σ ( ds

5 Naężenie pola elercznego w puncie r pochodzące od ładunu elercznego rozłożonego na płacie o gęsości powierzchniowej ładunu σ wraża się wzorem: gdzie ε oznacza sałą dielerczną próżni ( r r σ ( r ds 4 πε r r E 3 6 Siła przciągania grawiacjnego mas m supionej w puncie r przez pła maerialn o gęsości powierzchniowej mas σ wraża się wzorem: gdzie G oznacza sałą grawiacji ( r r σ ( r F Gm ds 3 r r Fa 343 (środi mas płaów smercznch Jeżeli pła powierzchniow ma środe smerii i gęsość powierzchniowa mas jes funcją smerczną względem ego środa (np jes sała o środe mas płaa porwa się z jego środiem smerii Jeżeli pła powierzchniow ma oś lub płaszczznę smerii i gęsość powierzchniowa mas jes funcją smerczną względem ej osi lub płaszczzn (np jes sała o środe mas ego płaa leż na jego osi lub płaszczźnie smerii 4 CAŁKI POWIERZCHNIOWE ZORIENTOWANE I ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ 4 DEFINICJA I WŁASNOŚCI CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ Def 4 (pła powierzchniow zorienowan Pła powierzchniow dwusronn na órm wróżniono jedną ze sron nazwam płaem powierzchniowm zorienowanm Wróżnioną sronę płaa zorienowanego nazwam sroną dodanią Pła zorienowan oznaczam m samm smbolem co pła Pła powierzchniow zorienowan przeciwnie do płaa zorienowanego oznaczam przez Dla płaów zamnięch ograniczającch pewien obszar w przesrzeni za sronę dodanią płaa przjmujem z reguł jego sronę zewnęrzną Dla płaów będącch wresami funcji posaci z f( g( h( za sronę dodanią przjmujem zwle górną część aiego płaa Rs 4 Pła powierzchniow jednosronn Rs 4 Pła powierzchniow dwusronn; wres funcji z f(

Fa 4 (posać wersora normalnego płaa Niech pła gładi zorienowan ma przedsawienie paramerczne { r ( : ( D} Wed wersor normaln n do płaa wsawion w puncie ( z ego płaa odpowiadającm punowi (u v obszaru D w powższej paramerzacji wraża się wzorem: r r n ± u r r u r r gdzie weor oraz są obliczone w puncie (u v Zna sojąc przed wersorem n usala się na podsawie orienacji u płaa Przjmujem że wersor normaln jes sierowan od sron ujemnej do dodaniej płaa zorienowanego Jeżeli pła gładi jes wresem funcji z gdzie ( D o wersor normaln n do płaa wsawion w puncie ( z ego płaa gdzie z wraża się wzorem: p q n p q p q p q gdzie p ( q ( Wersor normaln n można przedsawić w posaci n (cosα cos β cos γ gdzie α β γ oznaczają ą międz m wersorem a dodanimi częściami osi O O Oz Rs 43 Wersor normaln do płaa zorienowanego Rs 44 Kosinus ierunowe weora normalnego n Def 43 (cała powierzchniowa zorienowana Niech F ( P Q R będzie polem weorowm na płacie gładim zorienowanm Całę powierzchniową zorienowaną z pola weorowego F po płacie definiujem wzorem: P( ddz Q( dzd R( dd gdzie n (cosα cos β cosγ płaa ( F( n( ( P( cosα Q( cos β R( cosγ def ds oznacza wersor normaln do płaa zorienowanego wsawion w puncie ( ego Uwaga W zapisie weorowm powższa definicja przjmuje posać: def F( r ds F( r n( r ds ( gdzie ds def ( ddz dzd dd Całę powierzchniową zorienowaną z pola weorowego F po płacie oznaczam eż róo P ddz Q dzd R dd a w noacji weorowej F ds ds

Rs 45 Ilusracja do definicji całi powierzchniowej zorienowanej z pola weorowego F po płacie zorienowanm Def 44 (cała powierzchniowa po płacie awałami gładim Niech będzie awałami gładim płaem zorienowanm uworzonm z płaów gładich m o orienacjach porwającch się z orienacją płaa Ponado niech F będzie polem weorowm oreślonm na płacie Całę powierzchniową zorienowaną z pola weorowego F po płacie definiujem wzorem: def F ds F ds F ds F ds o ile całi po prawej sronie znau równości isnieją Jeżeli jes płaem zorienowanm zamnięm ograniczającm pewien obszar w przesrzeni o wed piszem w miejsce Tw 45 (liniowość całi powierzchniowej zorienowanej Jeżeli isnieją całi powierzchniowe z pól weorowch F i G po awałami gładim płacie powierzchniowm zorienowanm oraz jeżeli c jes dowolną sałą o a isnieje cała z pola weorowego F G po płacie oraz F G ds F ds G ds ( b isnieje cała z pola weorowego cf po płacie oraz cf ds c F ds ( c isnieje cała z pola weorowego F po płacie o orienacji przeciwnej oraz F ds F ds m 4 ZAMIANA CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ PODWÓJNĄ Tw 4 (o zamianie całi powierzchniowej na całę podwójną Jeżeli {( ( ( : ( D} jes gładim płaem zorienowanm gdzie D jes obszarem regularnm na płaszczźnie pole weorowe F ( P Q R jes ciągłe na płacie o P( ddz Q( dzd R( dd ± D P ( ( ( u Q( ( ( u Zna sojąc przed całą podwójną usala się na podsawie orienacji płaa R Uwaga W zapisie weorowm wzór en przjmuje posać r r F ( r ds ± F ( r ( dudv u D u u ( ( ( u du dv u

Jeżeli gładi pła zorienowan jes wresem funcji z gdzie ( D oraz pole weorowe F ( P Q R jes ciągłe na o P( ddz Q( dzd R( dd P D Podobne równości mają miejsce gd pła jes wresem funcji ( lub ( 43 ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ ( Q( R( dd Def 43 (operaor Hamilona nabla Operaor Hamilona (nabla oreślon jes wzorem: def i j Def 43 (gradien funcji Niech f będzie funcją różniczowalną na obszarze V R 3 Gradien funcji f jes oreślon wzorem: f f f grad f def f Fa 433 (własności gradienu Niech funcje f i g będą różniczowalne na obszarze V R 3 oraz niech a b R Wed a grad ( af bg agrad f bgrad g b grad ( fg g grad f f grad g f g grad f f grad g c grad g g / d grad h( f h ( f grad f gdzie h jes funcją różniczowalną na pewnm przedziale e f cons grad f o f f v ( grad f gdzie v jes wersorem Def 434 (pole weorowe poencjalne Pole weorowe F nazwam polem poencjalnm na obszarze V R 3 jeżeli isnieje funcja U : V R aa że F gradu Funcję U nazwam poencjałem pola weorowego F Def 435 (roacja pola weorowego Niech F ( P Q R będzie różniczowalnm polem weorowm oreślonm na obszarze V R 3 Roację pola weorowego F oreślam wzorem: i j F def ro F P Q R Fa 436 (własności roacji Niech f będzie funcją różniczowalną na obszarze V R 3 oraz niech pola weorowe F i G będą różniczowalne na m obszarze Wed a ro ( af bg aro F brog gdzie a b R b ro ( ff ( grad f F f ro F c ro ( grad U o gdzie U jes funcją dwuronie różniczowalną w sposób ciągł na V Def 437 (dwergencja pola weorowego

Niech F ( P Q R będzie polem weorowm różniczowalnm w sposób ciągł na obszarze V R 3 Dwergencję pola weorowego F oreślam wzorem: P Q R F def div F Fa 438 (własności dwergencji Niech f będzie funcją różniczowalną w sposób ciągł na obszarze V R 3 oraz niech pola weorowe F i G będą różniczowalne w sposób ciągł na m obszarze Wed a div ( af bg adiv F bdivg gdzie a b R b div ( ff ( grad f F f div F c div ( F G G ro F F rog d ( ro F div gdzie pole weorowe F ma współrzędne dwuronie różniczowalne w sposób ciągł na V 44 TWIERDZENIE GAUSSA I STOKESA Tw 44 (wzór Gaussa Jeżeli jes zorienowanm awałami gładim płaem zamnięm ór jes brzegiem obszaru domnięego V R 3 pole weorowe F ( P Q R jes różniczowalne w sposób ciągł na V o F ds div F dv Po rozwinięciu powższa równość (wzór Gaussa przjmuje posać: P d dz Q dz d R d d V V P Q R dv Rs 44 Ilusracja do wzoru Gaussa Tw 44 (wzór Soesa Jeżeli jes płaem awałami gładim zorienowanm órego brzeg jes łuiem awałami gładim zorienowanm zgodnie z orienacją płaa pole weorowe F ( P Q R jes różniczowalne w sposób ciągł na płacie (łącznie z brzegiem o F dr ro F ds ( Po rozwinięciu powższa równość (wzór Soesa przjmuje posać: R Q P R Q P Pd Qd Rdz d dz dz d d d

Rs 44 Ilusracja do wzoru Soesa Uwaga Wzór Greena podan w rozdziale 4 jes szczególnm przpadiem wzoru Soesa Rzeczwiście przjmując że O jes płaem zorienowanm o brzegu oraz że pole weorowe F oreślone na m płacie ma posać F ( P Q prz czm funcje P i Q zależą lo od zmiennch orzmam Q P Pd Qd d d 45 ZASTOSOWANIA CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH ZORIENTOWANYCH Fa 45 (zasosowania w geomerii Objęość obszaru V ograniczonego płaem zamnięm zorienowanm na zewnąrz wraża się wzorami: V zdd ddz dzd ddz dzd zdd 3 Fa 45 (zasosowania w fizce Ilość ciecz przepłwającej w jednosce czasu przez pła zorienowan (ze sron ujemnej na dodanią wraża się wzorem: A v( ds gdzie v ( oznacza prędość ciecz w puncie ( ego płaa Parcie ciecz o ciężarze właściwm C na dodanią sronę płaa zorienowanego ór jes zanurzon w ej ciecz wraża się wzorem: P C zddz zdzd zdd