Analiza na rozmaitościach Calculus on Manifolds. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia

Transkrypt

1 Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: Przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: Liczba godzin/tydzień: Liczba punktów: wykład, ćwiczenia W, C 5 ECTS PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU C1. Zapoznanie studentów z teorią krzywych i powierzchni gładkich w R n, teorią przestrzeni stycznych oraz form różniczkowych i całek z form różniczkowych po łańcuchach oraz ach. C. Przekazanie studentom praktycznych umiejętności obliczania całek krzywoliniowych i powierzchniowych oraz zapoznanie ich z twierdzeniem Stokesa i jego przypadkami szczególnymi jak: twierdzenie Greena, i twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego oraz z elementami teorii pola. C Zapoznanie studentów z przykładami zastosowań całek krzywoliniowych i powierzchniowych w wybranych zagadnieniach fizyki i techniki. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Student osiągnął efekty kształcenia z zakresu analizy matematycznej I, II, III.. Student zna podstawy algebry liniowej oraz teorii mnogości i topologii. EFEKTY KSZTAŁCENIA EK 1 student analizuje krzywe na płaszczyźnie oraz krzywe i powierzchnie w R 3, w R n EK student potrafi obliczać przestrzeni oraz całkę powierzchniową niezorientowaną EK 3 student potrafi dywergencję, rotację EK 4 student potrafi zastosować twierdzenie Stokesa dla łańcucha i TREŚCI PROGRAMOWE Forma zajęć WYKŁADY Analiza na ach Calculus on Manifolds Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia Semestr: II W 1 Wprowadzenie odwzorowania z R n w R m, odwzorowanie ciągłe, odwzorowanie klasy C 1, twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań różniczkowalnych, homeomorfizm, dyfeomorfizm klasy C 1. W Zbiory punktów w przestrzeni R n, krzywe na płaszczyźnie, krzywe i powierzchnie w R 3, hiperpłaszczyzna styczna i prosta normalna do powierzchni. W 3 Rozmaitości gładkie k - wymiarowe w przestrzeni R n, przestrzeń styczna do, pochodna określona na ach. W 4 k wymiarowa rozmaitość z brzegiem i przestrzeń do niej styczna, obszar wielokątny. Liczba godzin W 5 Całka krzywoliniowa (niezorientowana) na płaszczyźnie. W 6 Całka krzywoliniowa (niezorientowana) w przestrzeni, twierdzenie o obliczaniu j, zastosowania W 7 Całka powierzchniowa (niezorientowana) jej wyznaczanie. I zastosowania W 8 Elementy teorii pola, definicje: pole wektorowe, gradient, dywergencja, rotacja.

2 W 9 Definicja k-tensora, iloczynu tensorowego, definicja k formy różniczkowej, przestrzeni form, iloczynu zewnętrznego. Operacja przenoszenia k formy różniczka formy. W 10 Singularna kostka (n-kostka), całka formy na n- kostce, n -łańcuch, brzeg łańcucha, ścianki łańcucha, własności. W 11 Całkowanie form różniczkowych, całka krzywoliniowa i powierzchniowa (zorientowana), całka formy po łańcuchu, twierdzenie Stokesa dla łańcucha. W 1 Pole wektorowe i k - formy na ach, operacja przenoszenia k - formy na ach, różniczka na ach. W 13 Rozmaitość zorientowana, rozmaitość z brzegiem, orientacja (indukowana) brzegu. W 14 Twierdzenie Stokesa na ach. W 15 Przypadki szczególne twierdzenia Stokesa: twierdzenie Greena, twierdzenie Gaussa- Ostrogradskiego. Liczba Forma zajęć ĆWICZENIA godzin C 1 Odwzorowania z R n w R m, odwzorowanie ciągłe, składanie odwzorowań, wyznaczanie obrazów, przeciwobrazów, własności odwzorowań. C Równania krzywych na płaszczyźnie, krzywe w R 3. C 3 Powierzchnie w R 3. Hiperpłaszczyzna styczna i prosta normalna do powierzchni. C 4 - w R 3 zadane równaniem F(x 1, x,x 3 )=0. C 5 Rozmaitości zadane równaniami x n =f(x 1,,x n-1 ) oraz F(x 1,,x n) =0 C 6 Przestrzeń styczna jako przestrzeń wektorowa. Równania przestrzeni stycznych dla 3. Odwzorowanie styczne. C 7 Kolokwium I. 1 C 8 Elementy teorii pola, definicje: pole wektorowe, gradient, dywergencja, rotacja. Pole potencjalne. Warunek konieczny i wystarczający potencjalności pola. C 9 k- formy różniczkowe, postać kanoniczna. Całkowanie form różniczkowych, całka krzywoliniowa i powierzchniowa. C 10 Obliczanie całek krzywoliniowych i powierzchniowych. Twierdzenie Stokesa dla n- łańcucha. C 11 k- formy na ach. Rozmaitość zorientowana. Rozmaitość z brzegiem. C 1 Całka z formy na ach. Twierdzenie Stokesa na ach. C 13 Przypadki szczególne twierdzenia Stokesa: twierdzenie Greena, twierdzenie 3 Gaussa- Ostrogradskiego, twierdzenie o niezależności j od drogi całkowania. C 14 Kolokwium II. 1 C 15 - Zaliczenie ćwiczeń. NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE 1. wykład z wykorzystaniem prezentacji multimedialnych. ćwiczenia tablicowe publikacja list zadań na ćwiczenia w Internecie na stronie Instytutu Matematyki SPOSOBY OCENY ( F FORMUJĄCA, P PODSUMOWUJĄCA) F1. ocena samodzielnego przygotowania do ćwiczeń F. ocena aktywności podczas zajęć P1. ocena umiejętności samodzielnego rozwiązywania zadań z tematyki przedstawionej na wykładzie zaliczenie ćwiczeń na ocenę poprzez uzyskanie ponad 50% punktów z dwóch kolokwiów P. ocena opanowania materiału nauczania będącego przedmiotem wykładu egzamin pisemny zaliczenie poprzez uzyskanie ponad 50% możliwych do uzyskania punktów

3 OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA Forma aktywności Godziny kontaktowe z prowadzącym Zapoznanie się ze wskazaną literaturą Przygotowanie do ćwiczeń Przygotowanie do kolokwiów Przygotowanie do egzaminu Obecność na konsultacjach Suma SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS DLA PRZEDMIOTU Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym, w tym zajęć laboratoryjnych i projektowych Średnia liczba godzin na zrealizowanie aktywności 30W 30C 60h 10 h 0 h 10 h 0 h 5 h 15 h 5 ECTS,6 ECTS 3,4 ECTS LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA A.Birkholc, Analiza matematyczna, Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa,00 M. Spivak, Analiza na ach, PWN, warszawa, 005 W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 00 H. Flanders, Teoria form różniczkowych, PWN, Warszawa, 1969 M.P.do Carmo, Differential Forms and Applications, Springer-Verlag, Berlin, 1994 PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES ) 1. dr Maria Lupa maria.lupa@im.pcz.pl. dr Bogusława Waligóra-Klimurczyk boguslawa.waligora@im.pcz.pl MATRYCA REALIZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA Odniesienie danego efektu do Efekt kształcenia efektów zdefiniowanych dla kierunku Matematyka Cele przedmiotu EK1 EK EK3 EK4 K_W01, K_W05 K_W06 K_U03, KU_08 K_U05, K_U13 K_W07 K_W07, K_U05 K_U13, K_U17 K_W01,K_U05 K_U13,K_U17 C1 C,C3 Treści programowe W1-W4 C-C5 W5- W7, C9 Narzędzia dydaktyczn e Sposób oceny 1,,3 F1, P1 1,,3 C W8, C8 1,.3 C,C3 W9-W15 C9-C13 1, F1, F, P1, P F1,F, P1,P F1, F P1,P

4 II. FORMY OCENY SZCZEGÓŁY Na ocenę Na ocenę 3 Na ocenę 4 Na ocenę 5 EK 1 EK podstawowe krzywe na płaszczyźnie oraz krzywe i powierzchnie w R 3, w R n obliczać podstawowe przestrzeni oraz całkę powierzchniową niezorientowaną poznane krzywe na płaszczyźnie oraz krzywe i powierzchnie w R 3, w R n obliczać wszystkie przestrzeni oraz całkę powierzchniową niezorientowaną wszystkie poznane krzywe na płaszczyźnie oraz krzywe i powierzchnie w R 3, w R n Potrafi określić przestrzeń styczną do obliczać wszystkie przestrzeni oraz całkę powierzchniową niezorientowaną, cytuje twierdzenia potrzebne do obliczeń EK 3 EK 4 dywergencję, rotację zastosować w prostych przypadkach twierdzenie Stokesa dla łańcucha i dywergencję, rotację, określa potencjał pola wektorowego zastosować twierdzenie Stokesa dla łańcucha i dywergencję, rotację, określa potencjał pola wektorowego, korzysta z poznanych własności gradientu, dywergencji, rotacji zastosować twierdzenie Stokesa dla łańcucha i, wymienia i objaśnia poznane pojęcia, przeprowadza analizę przyjętej metody rozwiązania Dopuszcza się wystawienie oceny połówkowej o ile student spełniający wszystkie efekty kształcenia wymagane do oceny pełnej spełnia niektóre efekty kształcenia odpowiadające ocenie wyższej. III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE 1. Wszelkie informacje dla studentów na temat planu zajęć dostępne są na stronie internetowej:

5 Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć z danego przedmiotu oraz umieszczona jest na stronie internetowej Instytutu Matematyki: