Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem

Transkrypt

1 Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)<r} Definicja otoczenia punktu Otoczenie punktu p R n to każdy zbiór w R n zawierający punkt p wraz z pewną kulą o środku w p. Definicja punktu wewnętrznego zbioru unkt p jest punktem wewnętrznym zbioru gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem Definicja zbioru otwartego Zbiór otwarty to zbiór składający się tylko z punktów wewnętrznych Definicja punktu skupienia unkt p jest punktem skupienia zbioru A w każdym swoim otoczeniu zawiera conajmniej jeden punkt zbioru A różny od p Definicja punktu brzegowego unkt nazywamy punktem brzegowym w każdym jego otoczeniu znajduje się punkt należący i punkt nie należący do zbioru Definicja obszaru Obszar to zbiór otwarty który nie da się przedstawić jako suma dwóch niepustych rozłącznych zbiorów otwartych Definicja obszaru spójnego Obszar spójny to obszar którego dowolne dwa punkty da się połączyć łamaną zawartą w tym zbiorze Definicja obszaru regularnego Obszar regularny to obszar ograniczony którego brzeg da się podzielić na skończoną liczbę łuków (funkcji ciągłych typu y=f(x) lub x=g(y)) Definicja obszaru jednospójnego Jeżeli każdy zbiór ograniczony którego cały brzeg należy do obszaru D jest zawarty w D to D nazywamy obszarem jednospójnym (nie ma dziur) Definicja ciągłości funkcji w punkcie Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 R n f jest określona na pewnym otoczeniu x 0 i lim f x = f x x x0 ( ) ( ) 0 Istnienie granic iterowanych nie oznacza istnienia granicy funkcji w tym punkcie. rzykład: f ( x y) x y ) ( 0 0) 0wpp Funkcja określona na zbiorze domkniętym i ciągła jest ograniczona przyjmuje wartość minimalną i maksymalną i wszystkie wartości między nimi. Suma różnica iloczyn iloraz (jeśli nie przyjmuje 0) i złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Bolzano-Cauchy ego D - obszar spójny f - ciągła i określona na D Jeśli f przyjmuje w dwóch punktach tego obszaru wartości o różnych znakach to istnieje punkt w tym obszarze gdzie f przyjmuje wartość 0-1 -

2 Lemat Bolzano-Weierstrassa Z dowolnego ograniczonego ciągu punktów można wybrać podciąg zbieżny do pewnego punktu granicznego. Funkcja n zmiennych ciągła po ustaleniu dowolnych n-1 z nich nie musi być ciągła. rzykład: f ( x y) x y ) ( 0 0) 0wpp Funkcja która posiada obie pochodne cząstkowe nie musi być ciągła (muszą jeszcze być ciągłe). rzykład: f ( x y) x y ) ( 0 0) 0wpp Definicja klasy C 1 Funkcja jest klasy C 1 posiada wszystkie pochodne cząstkowe i są ciągłe f klasy C 1 w pewnym otoczeniu punktu p f jest ciągła w p o pochodnej cząstkowej funkcji złożonej g(xy) i h(xy) mają pochodne cząstkowe w (x 0 y 0 ) f(uv) jest klasy C 1 w pewnym otoczeniu punktu (u 0 v 0 ) u 0 =g(x 0 y 0 ) v 0 =h(x 0 y 0 ) Funkcja F(xy)=f(g(xy)h(xy)) ma pochodne cząstkowe w (x 0 y 0 ) i f u F x = + u x f v v x o równości pochodnych mieszanych Jeżeli pochodne mieszane różniące się tylko kolejnością różniczkowania istnieją w pewnym otoczeniu punktu p i są ciągłe w p (pochodne nie funkcja!) to są sobie równe w p Definicja różniczki zupełnej Funkcja f ma w punkcie (x 0 y 0 ) różniczkę zupełną Adx+Bdy istnieją stałe AB t.ż. [ f ( x0 + x y0 + y) f ( x0 y0 ) ] ( A x + B y) lim = 0 ( x y ) ( 0 0) x + y ( ) ( ) f jest klasy C 1 w pewnym otoczeniu punktu p 2

3 f jest różniczkowalna w p i współczynniki są równe pochodnym cząstkowym w danym punkcie Jeśli funkcja jest różniczkowalna to posiada pochodne cząstkowe i współczynniki są równe pochodnym cząstkowym w danym punkcie. Wnioskowanie odwrotne nie jest jednak prawdziwe. ontrprzykład: f ( x y) x y ) ( 0 0) 0wpp Złożenie funkcji różniczkowalnych jest funkcją różniczkowalną f:r k R n jest klasy C 1 w pewnym otoczeniu punktu x g:r n R m jest klasy C 1 w pewnym otoczeniu punktu y=f(x) gοf:r k R m ma macierz pochodnych cząstkowych i D(gοf)(x)=D(g)(y)*D(f)(x) Definicja jakobianu Jakobian funkcji f J(f)(x)=detD(f)(x) Wniosek J(gοf)=J(g)*J(f) f:r n R n jest klasy C 1 J(f) 0 w pewnym punkcie p f jest różnowartościowa w pewnym otoczeniu p (warunek konieczny istnienia ekstremum) f jest klasy C 1 f ma ekstremum w punkcie p Wszystkie pochodne cząstkowe się zerują w p Definicja rozwikłania funkcji Funkcja ϕ jest rozwikłaniem równania F(xy)=0w punkcie (x 0 y 0 ) 1. F(xϕ(x))=0 2. y 0 =f(x 0 ) o funkcjach uwikłanych F:R 2 R jest klasy C 1 w otoczeniu punktu p=(x 0 y 0 ) F(p)=0 f ( ) y p 0-3 -

4 w pewnym otoczeniu punktu x 0 jest określone rozwikłanie równania F(xy)=0wzgledem y przechodzące przez punkt p= (x 0 y 0 ) i jest klasy C 1 Definicja maksimum warunkowego f ma w punkcie p maksimum warunkowe przy warunku g(xy)=0 f(xy) f(x 0 y 0 ) dla wszystkich (xy) z pewnego otoczenia p spełniających g(xy)=0 Warunkiem koniecznym istnienia ektremum warunkowego jest f x *g y =f y *g x - obszar f - funkcja określona na zbiór punktów nieciągłości f ma miarę 0 f jest R-całkowalna f i g są R-całkowalne 1. f±g 2. f*g 3. f/g (g 0) 4. cf (c-stała) 5. f są R-całkowalne =<ab>x<cd> f: R isnieje ( ) f x y dp dla każdego x <ab>istnieje b istnieje a d c f ( x y) dy dx d c f ( x y) dy i jest równa ( ) f x y dp ażda funkcja ciągła w obszarze regularnym jest w nim R-całkowalna Definicja obszaru normalnego Obszarem normalnym względem zmiennej x nazywamy obszar określony zależnościami 1. a<x<b 2. ϕ(x)<y<ψ(x) gdzie ϕ i ψ są funkcjami ciągłymi i ϕ(x)<ψ(x) - obszar normalny względem x f: R ciągła i ograniczona 4

5 f ( x y) dp = b a ψ ϕ ( x ) ( x ) f ( x y) dy dx D - obszary regularne ϕ: D różnowartościowa i ϕ(uv)=(χ(uv)δ(uv)) J(ϕ) 0 w f:d R jest klasy C 1 f ( x y) dp = ( ) ( ) ( χ δ ) ( ϕ ) ( ) f u v u v J u v dq FUNCJE ZESOLONE Definicja funkcji zespolonej f jest funkcją zespoloną gdy f:c C u:r 2 R v:r 2 R z=x+iy C f(z)=f(x+iy)=u(xy)+iv(xy) Definicja pochodnej zespolonej f z z f z f '( z) lim ( + ) = ( ) z 0 z (równania Cauchy-Riemanna) istnieje f (z) u x =v y i v x =-u y Jeśli równania Cauchy-Riemanna są spełnione nie oznacza to że pochodna istnieje rzykład: f ( x y) = x + iy u(z) i v(z) są klasy C 1 w pewnym otoczeniu punktu z 0 u i v spełniają równania Cauchy-Riemanna istnieje f (z) Definicja funkcji pierwotnej funkcji zespolonej ażdą funkcję F:D C która jest różniczkowalna w D i F (z)=f(z) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f f:d C ma funkcję pierwotną F w D f jest ciągła w D - 5 -

6 - krzywa kawałkami gładka o początku w α i końcu w β zawarta w D = β α i nie zależy od drogi całkowania Całka f ( z) dz F( ) F( ) Wnioski 1. Jeśli f:d C ma funkcję pierwotną w D i jest ciągła w D oraz jest krzywą zamkniętą to f ( z) dz = 0 2. Jeśli funkcja F spełnia w obszarze D równość F (z)=0 to F jest stała n 3. Jeżeli jest krzywą zamkniętą kawałkami gładką to c( z z0 ) dz dla n C\{-1} D - obszar płaski FUNCJE ANALITYCZNE Definicja funkcji analitycznej (holomorficznej) Funkcja f jest analityczna w D posiada pochodną zespoloną w D Funkcja analityczna posiada wszystkie pochodne. Funkcja analityczna rozwija się w szereg Taylora (alternatywna równoważna definicja jest właśnie taka) całkowe Cauchy ego - krzywa zamknięta kawałkami gładka jest brzegiem obszaru D D D f jest określona i analityczna w D f ( z) dz =0 Definicja obszaru k-spójnego Obszar którego brzeg składa się z k krzywych zamkniętych (bez samoprzecięć) nazywamy obszarem k-spójnym (uogólnienie twierdzenia całkowego Cauchy ego) - krzywa zamknięta kawałkami gładka D obszar D jednospójny f określona i holomorficzna w D f ( z) dz =0 D jest obszarem (n+1)-spójnym D jest ograniczony przez krzywe 0 1 n 6

7 krzywe 1 n leżą wewnątrz 0 wszystkie krzywe mają taką samą orientację względem płaszczyzny D obszar t.ż. D' D i n 0 i = 0 funkcja f jest określona i holomorficzna w D f ( z ) dz = f ( z) dz + + ( ) 0 1 n f z dz - 7 -